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슈윙거-다이슨 방정식

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목차

1. 개요

슈윙거-다이슨 방정식은 경로 적분을 통해 유도되며, 양자장론에서 연산자의 시간 순서 기댓값을 계산하는 데 사용되는 방정식이다. 이 방정식은 고전적인 오일러-라그랑주 방정식의 양자장론적 일반화이며, 생성 함수를 사용하여 표현할 수 있다. 슈윙거-다이슨 방정식은 비섭동적으로 상관 함수를 계산하는 데 사용되며, 특히 φ⁴ 이론과 같은 모델에서 정규화가 필요한 경우가 있다. 이 방정식은 프리먼 다이슨과 줄리언 슈윙거에 의해 처음 도입되었다.

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슈윙거-다이슨 방정식

2. 정의

장의 구성에 대해 다항식으로 경계가 있는 함수 F와 임의의 상태 벡터 |\psi\rangle (이는 QFT의 해)에 대해 다음 식이 성립한다.[3]

:\left\langle\psi\left|\mathcal{T}\left\{\frac{\delta}{\delta\varphi}F[\varphi]\right\}\right|\psi\right\rangle = -i\left\langle\psi\left|\mathcal{T}\left\{F[\varphi]\frac{\delta}{\delta\varphi}S[\varphi]\right\}\right|\psi\right\rangle

여기서 S는 작용 함수이고, \mathcal{T}는 시간 순서 연산자이다.

밀도 행렬 공식에서는 임의의 (유효한) 밀도 상태 \rho에 대해 다음이 성립한다.

:\rho\left(\mathcal{T}\left\{\frac{\delta}{\delta\varphi}F[\varphi]\right\}\right) = -i\rho\left(\mathcal{T}\left\{ F[\varphi] \frac{\delta}{\delta\varphi}S[\varphi]\right\}\right).

이 무한 집합의 방정식은 비섭동적으로 상관 함수를 푸는 데 사용될 수 있다.

파인만 다이어그램과 같은 도해적 기법과의 연결을 더 명확하게 하기 위해, 작용 S를 다음과 같이 분리하기도 한다.

:S[\varphi] = \frac{1}{2}\varphi^{i}D^{-1}_{ij}\varphi^{j} + S_{\text{int}}[\varphi],

여기서 첫 번째 항은 2차 항이고, D^{-1}는 드윗 표기법에서 2차 랭크의 가역적 대칭(페르미온의 경우 반대칭) 공변 텐서이며, 그 역 D는 베어 전파자, S_{\text{int}}[\varphi]는 "상호 작용 작용"이다. 그러면 SD 방정식을 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

:\langle\psi|\mathcal{T}\{F \varphi^j\}|\psi\rangle=\langle\psi|\mathcal{T}\{iF_{,i}D^{ij}-FS_{\text{int},i}D^{ij}\}|\psi\rangle.

F가 \varphi의 함수라면, 연산자 K에 대해 F[K]는 \varphi 대신 K를 대입하는 연산자로 정의된다. 예를 들어,

:F[\varphi]=\frac{\partial^{k_1}}{\partial x_1^{k_1}}\varphi(x_1)\cdots \frac{\partial^{k_n}}{\partial x_n^{k_n}}\varphi(x_n)

이고, G가 J의 함수라면,

:F\left[-i\frac{\delta}{\delta J}\right]G[J]=(-i)^n \frac{\partial^{k_1}}{\partial x_1^{k_1}}\frac{\delta}{\delta J(x_1)} \cdots \frac{\partial^{k_n}}{\partial x_n^{k_n}}\frac{\delta}{\delta J(x_n)} G[J].

"해석" (국소적으로 수렴하는 멱급수로 주어지는 함수) 함수 Z(생성 함수)가 J(소스 장)를 만족한다면,

:\frac{\delta^n Z}{\delta J(x_1) \cdots \delta J(x_n)}[0]=i^n Z[0] \langle\varphi(x_1)\cdots \varphi(x_n)\rangle,

함수 적분 속성으로부터

:{\left \langle \frac{\delta \mathcal{S}}{\delta \varphi(x)}\left[\varphi \right] + J(x)\right\rangle}_J=0,

생성 함수에 대한 슈윙거-다이슨 방정식은 다음과 같다.

:\frac{\delta S}{\delta \varphi(x)}\left[-i \frac{\delta}{\delta J} \right] Z[J] + J(x)Z[J]=0.

이 방정식을 J = 0에 대한 테일러 급수로 전개하면, 슈윙거-다이슨 방정식의 전체 집합을 얻게 된다.

2. 1. 경로 적분을 통한 유도

경로 적분을 통해 슈윙거-다이슨 방정식을 유도할 수 있다.[3] 장 \phi(x)에 대한 범함수 X[\phi]=X(\phi,\partial_\mu\phi,\partial_\mu\partial_\nu\phi,\dots)의 변분은 다음과 같다.

:\frac{\delta X[\phi]}{\delta\phi}=\frac{\partial X}{\partial\phi}-\partial_\mu\frac{\partial X}{\partial(\partial_\mu\phi)}+\partial_\mu\partial_\nu\frac{\partial X}{\partial(\partial_\mu\partial_\nu\phi)}+\cdots

경로 적분의 측도 D\phi가 변수의 재정의 \phi\mapsto\phi+\delta\phi에 대하여 불변이라고 가정한다. 그렇다면, 임의의 연산자 X[\phi]에 대하여,

:0=\int D\phi\,\delta(X\exp(iS/\hbar))=\int D\phi\,\exp(i\hbar S)(\delta X+iX\delta S/\hbar)

이다. 이를 연산자로 쓰면 다음과 같다. 임의의 상태 |\psi\rangle에 대하여,

:\langle\psi|\mathcal T[X\delta S]|\psi\rangle=-i\hbar\langle\psi|\mathcal T[\delta X]|\psi\rangle

이를 '''슈윙거-다이슨 방정식'''이라고 한다. 여기서 \mathcal T[\cdots]는 시간 순서 연산자이다. 이는 고전적 오일러-라그랑주 방정식

:\delta S=0

의 양자장론적 일반화이며, 우변 \hbar \langle\mathcal T[\delta X]\rangle은 양자역학적인 보정항에 해당한다.

예를 들어, X=\phi(x_1)\phi(x_2)\cdots\phi(x_n)이라고 하자. 그렇다면 슈윙거-다이슨 방정식은 다음과 같다.

:\langle\psi|\mathcal T\left[\phi(x_1)\phi(x_2)\cdots\phi(x_n)\left(\frac{\partial S}{\partial\phi(x)}-\partial_\mu\frac{\partial S}{\partial(\partial_\mu\phi(x))}+\cdots\right)\right]|\psi\rangle=-i\sum_{i=1}^n\delta(x-x_i)\langle\psi|\mathcal T[\phi(x_1)\cdots\phi(x_{i-1})\phi(x_{i+1})\cdots\phi(x_n)]|\psi\rangle

2. 2. 연산자 형식

경로 적분의 측도 D\phi가 변수 재정의 \phi\mapsto\phi+\delta\phi에 대하여 불변이라고 가정하면, 임의의 연산자 X[\phi]에 대하여 다음 식이 성립한다.

:0=\int D\phi\,\delta(X\exp(iS/\hbar))=\int D\phi\,\exp(i\hbar S)(\delta X+iX\delta S/\hbar)

이를 연산자로 쓰면 다음과 같다. 임의의 상태 |\psi\rangle에 대하여,

:\langle\psi|\mathcal T[X\delta S]|\psi\rangle=-i\hbar\langle\psi|\mathcal T[\delta X]|\psi\rangle

이를 '''슈윙거-다이슨 방정식'''이라고 한다. 여기서 \mathcal T[\cdots]는 시간 순서 연산자이다. 이는 고전적 오일러-라그랑주 방정식

:\delta S=0

의 양자장론적 일반화이며, 우변 \hbar \langle\mathcal T[\delta X]\rangle은 양자역학적인 보정항에 해당한다.[3]

예를 들어, X=\phi(x_1)\phi(x_2)\cdots\phi(x_n)이라고 하면, 슈윙거-다이슨 방정식은 다음과 같다.

:\langle\psi|\mathcal T\left[\phi(x_1)\phi(x_2)\cdots\phi(x_n)\left(\frac{\partial S}{\partial\phi(x)}-\partial_\mu\frac{\partial S}{\partial(\partial_\mu\phi(x))}+\cdots\right)\right]|\psi\rangle=-i\sum_{i=1}^n\delta(x-x_i)\langle\psi|\mathcal T[\phi(x_1)\cdots\phi(x_{i-1})\phi(x_{i+1})\cdots\phi(x_n)]|\psi\rangle

다항식으로 경계가 있는 함수 F가 장(field)의 구성에 대해 주어지면, 임의의 상태 벡터 |\psi\rangle (이는 QFT의 해)에 대해 다음이 성립한다.

:\left\langle\psi\left|\mathcal{T}\left\{\frac{\delta}{\delta\varphi}F[\varphi]\right\}\right|\psi\right\rangle = -i\left\langle\psi\left|\mathcal{T}\left\{F[\varphi]\frac{\delta}{\delta\varphi}S[\varphi]\right\}\right|\psi\right\rangle

여기서 S는 작용 함수이고 \mathcal{T}는 시간 순서 연산이다.

밀도 행렬 공식에서, 임의의 (유효한) 밀도 상태 \rho에 대해서도 동일한 식이 성립한다.

:\rho\left(\mathcal{T}\left\{\frac{\delta}{\delta\varphi}F[\varphi]\right\}\right) = -i\rho\left(\mathcal{T}\left\{ F[\varphi] \frac{\delta}{\delta\varphi}S[\varphi]\right\}\right).

3. 슈윙거-다이슨 으뜸 방정식

임의의 ''n''점 상관 함수에 대한 슈윙거-다이슨 방정식들을 하나로 통합한 것이 '''슈윙거-다이슨 으뜸 방정식'''(Schwinger–Dyson master equation영어)이다.

어떤 고전적 샘장 J(x)를 추가하여, 작용이 S+\int d^dx\,\phi(x)J(x)이라고 할 때, 연산자를 삽입하지 않으면 슈윙거-다이슨 방정식은 다음과 같다.

:0=i\langle\psi|\mathcal T\left[\frac{\delta S}{\delta\phi(x)}+J(x)\right]|\psi\rangle_J

=\int D\phi\,\exp(iS+i\int\phi J)\left(J(x)+i\frac{\delta S}{\delta\phi(x)}\right)

=\left(iJ(x)+i\frac{\delta S}{\delta\phi(x)}\left[-i\frac\delta{\delta J(x)}\right]\right)\int D\phi\,\exp(iS+i\int\phi J)

여기서 \frac{\delta S}{\delta\phi}\left[-i\frac\delta{\delta J}\right]는 \delta S/\delta\phi(x)에서 모든 \phi(x)를 -i\delta/\delta J(x)로 치환한 것이다. 즉, 이를 분배 함수

:Z[J]=\int D\phi\,\exp(iS+\int\phi J)

로 쓰면 다음과 같다.

:\left(J(x)+\frac{\delta S}{\delta\phi(x)}\left[-i\frac\delta{\delta J(x)}\right]\right)Z[J]=0

이것이 슈윙거-다이슨 으뜸 방정식이며, J(x)에 대하여 테일러 급수로 전개하면 ''n''점 상관 함수에 대한 슈윙거-다이슨 방정식들을 얻을 수 있다.

3. 1. 생성 함수를 이용한 표현

임의의 ''n''점 상관 함수 X=\phi(x_1)\phi(x_2)\cdots\phi(x_n)에 대하여 슈윙거-다이슨 방정식을 적을 수 있다. 이들 방정식들을 하나로 모아 '''슈윙거-다이슨 으뜸 방정식'''(Schwinger–Dyson master equation영어)으로 적을 수 있다.

우선, 어떤 고전적 샘장 J(x)을 추가하여, 작용이 S+\int d^dx\,\phi(x)J(x)이라고 하자. 이 경우, 추가로 연산자를 삽입하지 않으면 슈윙거-다이슨 방정식은 다음과 같다.

:0=i\langle\psi|\mathcal T\left[\frac{\delta S}{\delta\phi(x)}+J(x)\right]|\psi\rangle_J

=\int D\phi\,\exp(iS+i\int\phi J)\left(J(x)+i\frac{\delta S}{\delta\phi(x)}\right)

=\left(iJ(x)+i\frac{\delta S}{\delta\phi(x)}\left[-i\frac\delta{\delta J(x)}\right]\right)\int D\phi\,\exp(iS+i\int\phi J)

여기서

:\frac{\delta S}{\delta\phi}\left[-i\frac\delta{\delta J}\right]

는 \delta S/\delta\phi(x)에서 모든 \phi(x)를 -i\delta/\delta J(x)로 치환한 것이다. 즉, 이를 분배 함수

:Z[J]=\int D\phi\,\exp(iS+\int\phi J)

로 쓰면 다음과 같다.

:\left(J(x)+\frac{\delta S}{\delta\phi(x)}\left[-i\frac\delta{\delta J(x)}\right]\right)Z[J]=0

이를 '''슈윙거-다이슨 으뜸 방정식'''이라고 하며, J(x)에 대하여 테일러 급수로 전개하면 ''n''점 상관 함수에 대한 슈윙거-다이슨 방정식들을 얻는다.

만약 "해석" (국소적으로 수렴하는 멱급수로 주어지는 함수) 함수 Z(소스 장 J를 만족하는 생성 함수)가 아래 조건을 만족하면,

:\frac{\delta^n Z}{\delta J(x_1) \cdots \delta J(x_n)}[0]=i^n Z[0] \langle\varphi(x_1)\cdots \varphi(x_n)\rangle,

함수 적분 성질로부터

:{\left \langle \frac{\delta \mathcal{S}}{\delta \varphi(x)}\left[\varphi \right] + J(x)\right\rangle}_J=0,

생성 함수에 대한 슈윙거-다이슨 방정식은 다음과 같다.

:\frac{\delta S}{\delta \varphi(x)}\left[-i \frac{\delta}{\delta J} \right] Z[J] + J(x)Z[J]=0.

이 방정식을 J = 0에 대한 테일러 급수로 전개하면, 슈윙거-다이슨 방정식의 전체 집합을 얻게 된다.

3. 2. 테일러 급수 전개

우선, 어떤 고전적 샘장 J(x)를 추가하여, 작용이 S+\int d^dx\,\phi(x)J(x)이라고 하자. 이 경우, 슈윙거-다이슨 방정식은 다음과 같다.

:0=i\langle\psi|\mathcal T\left[\frac{\delta S}{\delta\phi(x)}+J(x)\right]|\psi\rangle_J

=\int D\phi\,\exp(iS+i\int\phi J)\left(J(x)+i\frac{\delta S}{\delta\phi(x)}\right)

=\left(iJ(x)+i\frac{\delta S}{\delta\phi(x)}\left[-i\frac\delta{\delta J(x)}\right]\right)\int D\phi\,\exp(iS+i\int\phi J)

여기서

:\frac{\delta S}{\delta\phi}\left[-i\frac\delta{\delta J}\right]

는 \delta S/\delta\phi(x)에서 모든 \phi(x)를 -i\delta/\delta J(x)로 치환한 것이다. 이를 분배 함수

:Z[J]=\int D\phi\,\exp(iS+\int\phi J)

로 쓰면 다음과 같다.

:\left(J(x)+\frac{\delta S}{\delta\phi(x)}\left[-i\frac\delta{\delta J(x)}\right]\right)Z[J]=0

이를 '''슈윙거-다이슨 으뜸 방정식'''이라고 하며, J(x)에 대하여 테일러 급수로 전개하면 ''n''점 상관 함수에 대한 슈윙거-다이슨 방정식들을 얻는다.

이 방정식을 J = 0에 대한 테일러 급수로 전개하면, 슈윙거-다이슨 방정식의 전체 집합을 얻게 된다.

4. 예시: φ4 이론

φ4영어 이론을 예로 들어 설명한다. 실수장 φ영어에 대한 작용은 다음과 같다.

:S[\varphi]=\int d^dx \left (\frac{1}{2} \partial^\mu \varphi(x) \partial_\mu \varphi(x) -\frac{1}{2}m^2\varphi(x)^2 -\frac{\lambda}{4!}\varphi(x)^4\right )

이 경우,

:\frac{\delta S}{\delta \varphi(x)}=-\partial_\mu \partial^\mu \varphi(x) -m^2 \varphi(x) - \frac{\lambda}{3!}\varphi^3(x).

이다.

따라서 이 때의 슈윙거-다이슨 방정식은 다음과 같다.

:i\partial_\mu \partial^\mu \frac{\delta}{\delta J(x)}Z[J]+im^2\frac{\delta}{\delta J(x)}Z[J]-\frac{i\lambda}{3!}\frac{\delta^3}{\delta J(x)^3} Z[J] + J(x)Z[J] = 0

이 방정식은 정규화가 필요하다.

4. 1. 정규화

φ영어4 이론에서 슈윙거-다이슨 방정식을 적용할 때, 다음 항이 잘 정의되지 않는 문제가 발생한다.

:\frac{\delta^3}{\delta J(x)^3}

이는

:\frac{\delta^3}{\delta J(x_1)\delta J(x_2) \delta J(x_3)} Z[J]

가 분포이기 때문이다. 따라서 이 방정식은 정규화가 필요하다.

이 예에서 맨 프로파게이터 D는 -\partial^\mu \partial_\mu-m^2에 대한 그린 함수이므로, 슈윙거-다이슨 방정식 집합은 다음과 같다.

:

\begin{align}

& \langle\psi\mid\mathcal{T}\{ \varphi(x_0) \varphi(x_1)\} \mid \psi\rangle \\[4pt]

= {} & iD(x_0,x_1) +\frac{\lambda}{3!}\int d^dx_2 \, D(x_0,x_2) \langle \psi \mid \mathcal{T} \{\varphi(x_1)\varphi(x_2)\varphi(x_2)\varphi(x_2)\} \mid \psi\rangle

\end{align}



:

\begin{align}

& \langle\psi\mid\mathcal{T}\{\varphi(x_0) \varphi(x_1) \varphi(x_2) \varphi(x_3)\} \mid \psi\rangle \\[6pt]

= {} & iD(x_0,x_1)\langle\psi\mid\mathcal{T}\{\varphi(x_2)\varphi(x_3)\}\mid\psi\rangle + iD(x_0,x_2)\langle\psi\mid\mathcal{T}\{\varphi(x_1)\varphi(x_3)\}\mid\psi\rangle \\[4pt]

& {} + iD(x_0,x_3)\langle\psi\mid\mathcal{T}\{\varphi(x_1)\varphi(x_2)\}\mid\psi\rangle \\[4pt]

& {} + \frac{\lambda}{3!}\int d^dx_4 \, D(x_0,x_4)\langle\psi\mid\mathcal{T}\{\varphi(x_1)\varphi(x_2)\varphi(x_3)\varphi(x_4)\varphi(x_4)\varphi(x_4)\}\mid\psi\rangle

\end{align}



만약 자발 대칭 깨짐이 없다면, 홀수 상관 함수는 사라진다.

4. 2. 상관 함수 계산

실수장 φ에 대한 작용이 다음과 같다고 가정하자.

:S[\varphi]=\int d^dx \left (\frac{1}{2} \partial^\mu \varphi(x) \partial_\mu \varphi(x) -\frac{1}{2}m^2\varphi(x)^2 -\frac{\lambda}{4!}\varphi(x)^4\right )

그러면,

:\frac{\delta S}{\delta \varphi(x)}=-\partial_\mu \partial^\mu \varphi(x) -m^2 \varphi(x) - \frac{\lambda}{3!}\varphi^3(x).

이 경우 슈윙거-다이슨 방정식은 다음과 같다.

:i\partial_\mu \partial^\mu \frac{\delta}{\delta J(x)}Z[J]+im^2\frac{\delta}{\delta J(x)}Z[J]-\frac{i\lambda}{3!}\frac{\delta^3}{\delta J(x)^3} Z[J] + J(x)Z[J] = 0

여기서

:\frac{\delta^3}{\delta J(x)^3}

는

:\frac{\delta^3}{\delta J(x_1)\delta J(x_2) \delta J(x_3)} Z[J]

가 x_1, x_2, x_3에서 분포이므로 잘 정의되지 않아, 이 방정식은 정규화가 필요하다.

이 예에서, 맨 프로파게이터 ''D''는 -\partial^\mu \partial_\mu-m^2에 대한 그린 함수이므로, 슈윙거-다이슨 방정식 집합은 다음과 같다.

:

\begin{align}

& \langle\psi\mid\mathcal{T}\{ \varphi(x_0) \varphi(x_1)\} \mid \psi\rangle \\[4pt]

= {} & iD(x_0,x_1) +\frac{\lambda}{3!}\int d^dx_2 \, D(x_0,x_2) \langle \psi \mid \mathcal{T} \{\varphi(x_1)\varphi(x_2)\varphi(x_2)\varphi(x_2)\} \mid \psi\rangle

\end{align}



:

\begin{align}

& \langle\psi\mid\mathcal{T}\{\varphi(x_0) \varphi(x_1) \varphi(x_2) \varphi(x_3)\} \mid \psi\rangle \\[6pt]

= {} & iD(x_0,x_1)\langle\psi\mid\mathcal{T}\{\varphi(x_2)\varphi(x_3)\}\mid\psi\rangle + iD(x_0,x_2)\langle\psi\mid\mathcal{T}\{\varphi(x_1)\varphi(x_3)\}\mid\psi\rangle \\[4pt]

& {} + iD(x_0,x_3)\langle\psi\mid\mathcal{T}\{\varphi(x_1)\varphi(x_2)\}\mid\psi\rangle \\[4pt]

& {} + \frac{\lambda}{3!}\int d^dx_4 \, D(x_0,x_4)\langle\psi\mid\mathcal{T}\{\varphi(x_1)\varphi(x_2)\varphi(x_3)\varphi(x_4)\varphi(x_4)\varphi(x_4)\}\mid\psi\rangle

\end{align}



만약 자발적 대칭 깨짐이 없다면, 홀수 상관 함수는 사라진다.

5. 역사

프리먼 다이슨[4]과 줄리언 슈윙거[5][6]가 도입하였다.

참조

[1] 논문 The S Matrix in Quantum Electrodynamics
[2] 논문 On Green's functions of quantized fields I + II
[3] 서적 An Introduction to Quantum Field Theory http://physics.weber[...] Westview Press 2014-07-04
[4] 저널 The ''S'' matrix in quantum electrodynamics https://archive.org/[...] 1949
[5] 저널 On the Green’s functions of quantized fields I 1951
[6] 저널 On the Green’s functions of quantized fields II 1951


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