시프트 행렬

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
- 3.1. 추가적인 성질
4. 예
5. 멱영 행렬과의 관계
참조

1. 개요

시프트 행렬은 체 K 위의 n×n 상시프트 행렬 U_n과 하시프트 행렬 L_n으로 정의되며, 행렬의 왼쪽 및 오른쪽 곱셈과 관련된 특정 성질을 가진다. 이 행렬들은 멱영 지수가 n인 멱영 행렬이며, 멱영 행렬은 시프트 행렬을 블록으로 하는 블록 대각 행렬과 유사하다. 시프트 행렬은 행렬식, 대각합, 계수, 특성 다항식 등 다양한 수학적 특성을 가지며, 멱영 행렬과 밀접한 관련이 있다.

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시프트 행렬

2. 정의

체 $K$ 위의 $n\times n$ '''상시프트 행렬'''(upper shift matrix^영어) $U_n\in\operatorname{Mat}(n;K)$ 및 '''하시프트 행렬''' $L_n\in\operatorname{Mat}(n;K)$ 은 다음과 같이 정의된다.

: $(U_n)_{ij}=\delta_{i+1,j}=\begin{cases}1&j=i+1\\0&j\ne i+1\end{cases}\qquad\forall i,j\in\{1,\dots,n\}$

: $(L_n)_{ij}=\delta_{i,j+1}=\begin{cases}1&i=j+1\\0&i\ne j+1\end{cases}\qquad\forall i,j\in\{1,\dots,n\}$

여기서 $\delta_{ij}$ 는 크로네커 델타이다. 예를 들어, $5\times 5$ 상시프트 행렬 $U_5$ 및 하시프트 행렬 $L_5$ 는 다음과 같다.

: $U_5=\begin{pmatrix}0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\\0&0&0&0&0\end{pmatrix},\;L_5=\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\end{pmatrix}$

3. 성질

체 $K$ 위의 $m\times m$ 상·하시프트 행렬 $U_m, L_m \in \operatorname{Mat}(m;K)$ 의 왼쪽 곱셈은 다음과 같다.

: $U_m \cdot \colon \operatorname{Mat}(m,n;K) \to \operatorname{Mat}(m,n;K)$

: $U_m \cdot \colon \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_{n-1} \\ x_n \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} x_2 \\ x_3 \\ \vdots \\ x_n \\ 0_{1 \times n} \end{pmatrix} \qquad \forall x_1, \dots, x_n \in \operatorname{Mat}(1,n;K)$

: $L_m \cdot \colon \operatorname{Mat}(m,n;K) \to \operatorname{Mat}(m,n;K)$

: $L_m \cdot \colon \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_{n-1} \\ x_n \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} 0_{1 \times n} \\ x_1 \\ \vdots \\ x_{n-2} \\ x_{n-1} \end{pmatrix} \qquad \forall x_1, \dots, x_n \in \operatorname{Mat}(1,n;K)$

체 $K$ 위의 $n \times n$ 상·하시프트 행렬 $U_n, L_n \in \operatorname{Mat}(n;K)$ 의 오른쪽 곱셈은 다음과 같다.

: $\cdot U_n \colon \operatorname{Mat}(m,n;K) \to \operatorname{Mat}(m,n;K)$

: $\cdot U_n \colon \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & \cdots & x_{n-1} & x_n \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} 0_{m \times 1} & x_1 & \cdots & x_{n-2} & x_{n-1} \end{pmatrix} \qquad \forall x_1, \dots, x_n \in \operatorname{Mat}(m,1;K)$

: $\cdot L_n \colon \operatorname{Mat}(m,n;K) \to \operatorname{Mat}(m,n;K)$

: $\cdot L_n \colon \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & \cdots & x_{n-1} & x_n \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} x_2 & x_3 & \cdots & x_n & 0_{m \times 1} \end{pmatrix} \qquad \forall x_1, \dots, x_n \in \operatorname{Mat}(m,1;K)$

체 $K$ 위의 $n \times n$ 상시프트 행렬 및 하시프트 행렬 $U_n, L_n \in \operatorname{Mat}(n;K)$ 은 $n$ 을 멱영 지수로 하는 멱영 행렬이다.

: $U_n^n = 0_{n \times n}$

: $L_n^n = 0_{n \times n}$

: $U_n^{n-1} = E_{1n} = (\delta_{i,1}\delta_{j,n})_{i,j=1}^n$

: $L_n^{n-1} = E_{n1} = (\delta_{i,n}\delta_{j,1})_{i,j=1}^n$

3. 1. 추가적인 성질

U

와

L

을 각각

n \times n

하부 및 상부 시프트 행렬이라고 할 때, 다음 성질이 성립한다.

행렬식 $(U) = 0$
tr $(U) = 0$
계수 $(U) = n - 1$
$U$ 의 특성 다항식은 $p_U(\lambda) = (-1)^n\lambda^n$ 이다.
$U$ ^''n'' = 0. 이는 케일리-해밀턴 정리에 의해 유도된다.
$U$ 의 퍼머넌트는 0이다.

U

와

L

의 관계는 다음과 같다.

$L$ ^T = $U$ ; $U$ ^T = $L$
$U$ 와 $L$ 의 영공간은 각각 다음과 같다.

:

N(U) = \operatorname{span}\left\{ (1, 0, \ldots, 0)^\mathsf{T} \right\}

:

N(L) = \operatorname{span}\left\{ (0, \ldots, 0, 1)^\mathsf{T} \right\}

$U$ 와 $L$ 의 스펙트럼은 $\{0\}$ 이다. 0의 대수적 중복도는 ''n''이고, 기하학적 중복도는 1이다. $U$ 에 대한 유일한 고유벡터는 $(1, 0, \ldots, 0)^\mathsf{T}$ 이고, $L$ 에 대한 유일한 고유벡터는 $(0, \ldots, 0, 1)^\mathsf{T}$ 이다. (스케일링 제외)
$LU$ 와 $UL$ 에 대해 다음 관계가 성립한다.

:

UL = I - \operatorname{diag}(0, \ldots, 0, 1)

:

LU = I - \operatorname{diag}(1, 0, \ldots, 0)

이 행렬들은 모두 멱등 행렬, 대칭 행렬이며,

U

와

L

과 같은 계수를 가진다.

0에서 $n$ 까지의 모든 정수 $a$ 에 대해, $L$ ^{''n''−''a''} $U$ ^{''n''−''a''} + $L$ ^''a'' $U$ ^''a'' = $U$ ^{''n''−''a''} $L$ ^{''n''−''a''} + $U$ ^''a'' $L$ ^''a'' = $I$ (항등 행렬) 가 성립한다.

임의의 멱영 행렬

N

은 다음 형태의 블록 대각 행렬과 유사하다.

:

\begin{pmatrix}S_1 & 0 & \ldots & 0 \\0 & S_2 & \ldots & 0 \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\0 & 0 & \ldots & S_r\end{pmatrix}

여기서 각 블록

S

₁,

S

₂, ...,

S

_''r''는 시프트 행렬이다(크기가 다를 수 있음).^[2]^[3]

4. 예

다음은 주어진 행렬 M에 대한 예시이다.

: $M=\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\1&2&2&2&1\\1&2&3&2&1\\1&2&2&2&1\\1&1&1&1&1\end{pmatrix}$

이 행렬에 대해, 상단 시프트 행렬 $U_5$ 와 하단 시프트 행렬 $L_5$ 를 곱하면 다음과 같은 결과를 얻는다.

: $U_5M=\begin{pmatrix}0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\1&2&2&2&1\\1&2&3&2&1\\1&2&2&2&1\\1&1&1&1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2&2&2&1\\1&2&3&2&1\\1&2&2&2&1\\1&1&1&1&1\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}$

: $L_5M=\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\1&2&2&2&1\\1&2&3&2&1\\1&2&2&2&1\\1&1&1&1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\1&1&1&1&1\\1&2&2&2&1\\1&2&3&2&1\\1&2&2&2&1\end{pmatrix}$

반대로, 행렬 M에 상단 시프트 행렬 $U_5$ 와 하단 시프트 행렬 $L_5$ 를 곱하면 다음과 같다.

: $MU_5=\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\1&2&2&2&1\\1&2&3&2&1\\1&2&2&2&1\\1&1&1&1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1&1&1&1\\0&1&2&2&2\\0&1&2&3&2\\0&1&2&2&2\\0&1&1&1&1\end{pmatrix}$

: $ML_5=\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\1&2&2&2&1\\1&2&3&2&1\\1&2&2&2&1\\1&1&1&1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1&1&1&0\\2&2&2&1&0\\2&3&2&1&0\\2&2&2&1&0\\1&1&1&1&0\end{pmatrix}$

$S = \begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 1 & 0\end{pmatrix}; \quad A = \begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\1 & 2 & 2 & 2 & 1 \\1 & 2 & 3 & 2 & 1 \\1 & 2 & 2 & 2 & 1 \\1 & 1 & 1 & 1 & 1\end{pmatrix}$ 일 때,

: $SA = \begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\1 & 2 & 2 & 2 & 1 \\1 & 2 & 3 & 2 & 1 \\1 & 2 & 2 & 2 & 1\end{pmatrix}; \quad AS = \begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\2 & 2 & 2 & 1 & 0 \\2 & 3 & 2 & 1 & 0 \\2 & 2 & 2 & 1 & 0 \\1 & 1 & 1 & 1 & 0\end{pmatrix}$ 이다.

순열은 여러가지가 가능하다. 예를 들어 $S^\mathsf{T} A S$ 는 행렬 ''A''를 주 대각선을 따라 위, 왼쪽으로 이동 시킨것과 같다.

: $S^\mathsf{T}AS=\begin{pmatrix}2 & 2 & 2 & 1 & 0 \\2 & 3 & 2 & 1 & 0 \\2 & 2 & 2 & 1 & 0 \\1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}.$

5. 멱영 행렬과의 관계

임의의 멱영 행렬 ''N''은 다음과 같은 형태의 블록 대각 행렬과 유사하다.^[2]^[3]

: $\begin{pmatrix}S_1 & 0 & \ldots & 0 \\0 & S_2 & \ldots & 0 \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\0 & 0 & \ldots & S_r\end{pmatrix}$

여기서 각 블록 ''S''₁, ''S''₂, ..., ''S''_''r''는 시프트 행렬이다(크기가 다를 수 있음).

참조

_[1] 서적
_[2] 서적
_[3] 서적

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