실베스터 행렬

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 정의
- 2.1. 실베스터 행렬의 구성
- 2.2. 1853년 변형 행렬
3. 성질
4. 응용
5. 역사
참조

1. 개요

실베스터 행렬은 가환환 계수를 갖는 두 다항식 p와 q에 대해 정의되는 정사각 행렬로, 다항식의 차수와 계수를 기반으로 구성된다. 실베스터 행렬의 행렬식은 두 다항식의 종결식과 같으며, 다항식의 최대공약수 차수를 결정하고 공통근 존재 여부를 판별하는 데 사용된다. 또한, 1853년 실베스터는 행렬의 변형된 형태를 제시하기도 했다. 실베스터 행렬은 두 다항식의 공통 인수를 확인하고, 베주 방정식의 해를 구하는 데 활용되며, 19세기 수학자 제임스 조지프 실베스터에 의해 도입되었다.

더 읽어볼만한 페이지

다항식 - 르장드르 다항식
르장드르 다항식은 르장드르 미분 방정식의 해로 정의되는 직교 다항식 계열로, 생성 함수, 로드리게스 공식, 또는 점화식을 통해 정의될 수 있으며, 물리학, 공학, 수치해석 등 다양한 분야에서 응용된다.
다항식 - 행렬식
행렬식은 정사각 행렬에 대해 정의되는 값으로, 선형 방정식의 해를 구하고 선형 독립성을 확인하며 기저의 방향과 부피를 계산하는 데 사용되며, 가우스 소거법 등의 계산 기법과 가역성 판단, 고유값 연관성 등의 성질을 갖는다.
가환대수학 - 매개계
매개계는 뇌터 국소 가환환과 유한 생성 가군을 사용하여 정의되며, 가군의 길이와 크룰 차원을 활용하여 정칙 국소환에서 정칙 매개계의 성질을 규명하고, 추상대수기하학에서 기하학적 대상의 분류와 연구에 중요한 역할을 한다.
가환대수학 - 크룰 차원
크룰 차원은 환 내의 소수 아이디얼 체인의 길이를 이용하여 정의되며, 환론 및 대수기하학에서 중요한 역할을 하고 다양한 개념으로 확장되어 사용된다.

실베스터 행렬
정의
유형	수학, 대수학, 선형대수학의 개념
설명	두 다항식의 종결식을 계산하는 데 사용되는 행렬
구성
구성 요소	다항식의 계수
크기	(m + n) × (m + n) 정사각 행렬, 여기서 m과 n은 다항식의 차수임
속성
주요 속성	두 다항식이 공통 근을 갖는지 여부를 결정하는 데 사용
응용 분야	다항식의 근 찾기 대수 기하학 제어 이론
관련 개념
관련 용어	종결식, 다항식, 계수, 행렬식
역사적 배경
이름의 유래	제임스 조지프 실베스터의 이름에서 유래
중요성	다항식 시스템 연구에 필수적인 도구

2. 정의

가환환 계수를 갖는 두 다항식 p와 q의 실베스터 행렬은 특정 규칙에 따라 구성되는 정사각 행렬이며, 그 크기는 두 다항식의 차수에 의해 결정된다.

두 다항식을 다음과 같이 정의한다.

: $f(x) = \sum_{i=0}^n a_i x^{n-i} = a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + \dots + a_n$

: $g(x) = \sum_{i=0}^m b_i x^{m-i} = b_0 x^m + b_1 x^{m-1} + \dots + b_m$

이때, $m + n$ 개의 변수를 갖는 연립 방정식은 다음과 같이 표현된다.

: $\begin{cases}a_0 x_0 + a_1 x_1 + \cdots + a_n x_n &= 0\\\quad\qquad a_0 x_1 + \cdots + a_{n-1} x_n + a_n x_{n+1}\quad &= 0\\\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\cdots\cdots & \\\qquad\qquad\qquad a_0 x_{m-1} + a_1 x_m + \cdots\cdots + a_n x_{m+n-1} &= 0\\b_0 x_0 + b_1 x_1 + \cdots\cdots + b_m x_m &= 0\\\quad\qquad b_0 x_1 + \cdots\cdots + b_{m-1} x_m + b_m x_{m+1} &= 0\\\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\cdots\cdots & \\\quad\qquad\qquad b_0 x_{n-1} + b_1 x_n + \cdots\cdots\cdots + b_m x_{m+n-1} &= 0\end{cases}$

이 연립 방정식의 계수 행렬이 바로 실베스터 행렬이며, $m + n$ 차의 정방 행렬이다. 이 행렬의 행렬식을 $R(f, g)$ 로 나타내며, 종결식(resultant; 리절턴트) 또는 실베스터 행렬식이라고 한다.

2. 1. 실베스터 행렬의 구성

가환환 R 계수를 갖는 두 0이 아닌 다항식 p, q (R[x]의 원소)의 실베스터 행렬은 (deg p + deg q) × (deg p + deg q) 크기의 정사각 행렬이다. 구체적으로 다음과 같이 정의된다.

:

p(x)=\sum_{i=0}^mp_ix^i

:

q(x)=\sum_{i=0}^nq_ix^i

:

p_mq_n\ne 0

이 때, p와 q의 실베스터 행렬은 다음과 같은 (m+n) × (m+n) 행렬이다.

:

S(p,q)=\begin{pmatrix}p_m&p_{m-1}&p_{m-2}&\cdots&p_1&p_0&0&\cdots&0&0\\0&p_m&p_{m-1}&p_{m-2}&\cdots&p_1&p_0&0&\ddots&0\\\vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\ddots&\ddots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\0&\cdots&0&p_m&p_{m-1}&p_{m-2}&\cdots&p_1&p_0&0\\0&0&\cdots&0&p_m&p_{m-1}&p_{m-2}&\cdots&p_1&p_0\\q_n&q_{n-1}&q_{n-2}&\cdots&q_1&q_0&0&\cdots&0&0\\0&q_n&q_{n-1}&q_{n-2}&\cdots&q_1&q_0&0&\ddots&0\\\vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\ddots&\ddots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\0&\cdots&0&q_n&q_{n-1}&q_{n-2}&\cdots&q_1&q_0&0\\0&0&\cdots&0&q_n&q_{n-1}&q_{n-2}&\cdots&q_1&q_0\\\end{pmatrix}

실베스터 행렬은 다음과 같이 구성된다.

n > 0이면, 첫 번째 행은 다음과 같다.

:

\begin{pmatrix} p_m & p_{m-1} & \cdots & p_1 & p_0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}.

두 번째 행은 첫 번째 행을 오른쪽으로 한 칸 이동시킨 것이다. 행의 첫 번째 요소는 0이다.
다음 n - 2개의 행은 매번 계수를 오른쪽으로 한 칸씩 이동시키고 행의 다른 항목을 0으로 만드는 방식으로 얻어진다.
m > 0이면, (n + 1)번째 행은 다음과 같다.

:

\begin{pmatrix} q_n & q_{n-1} & \cdots & q_1 & q_0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}.

나머지 행들은 이전과 같은 방식으로 얻어진다.

예를 들어 m = 4이고 n = 3이면, 실베스터 행렬은 다음과 같다.

:

S_{p,q}=\begin{pmatrix}p_4 & p_3 & p_2 & p_1 & p_0 & 0 & 0 \\0 & p_4 & p_3 & p_2 & p_1 & p_0 & 0 \\0 & 0 & p_4 & p_3 & p_2 & p_1 & p_0 \\q_3 & q_2 & q_1 & q_0 & 0 & 0 & 0 \\0 & q_3 & q_2 & q_1 & q_0 & 0 & 0 \\0 & 0 & q_3 & q_2 & q_1 & q_0 & 0 \\0 & 0 & 0 & q_3 & q_2 & q_1 & q_0\end{pmatrix}.

만약 차수 중 하나가 0이면(즉, 해당 다항식이 0이 아닌 상수 다항식), 다른 다항식의 계수로 구성된 행은 0개이며, 실베스터 행렬은 상수 다항식과 같은 모든 대각선 계수를 가지고, 차수가 비상수 다항식의 차수인 대각 행렬이 된다. 만약 m = n = 0이면, 실베스터 행렬은 0개의 행과 0개의 열을 가진 빈 행렬이 된다.

2. 2. 1853년 변형 행렬

위에 정의된 실베스터 행렬은 1840년 실베스터 논문에 나타난다. 1853년 논문에서 실베스터는 다음과 같은 행렬을 도입했는데, 이것은 행의 순열을 제외하고는 차수가 max^영어(''m'', ''n'')인 것으로 간주되는 ''p''와 ''q''의 실베스터 행렬이다.^[1]

따라서 이것은

2\max(n, m)\times 2\max(n, m)

행렬로,

\max(n, m)

쌍의 행을 포함한다.

m > n

이라고 가정하면 다음과 같이 얻어진다.

첫 번째 쌍은 다음과 같다.

:

\begin{pmatrix}p_m & p_{m-1} &\cdots & p_n  & \cdots   & p_1 & p_0 & 0 & \cdots & 0 \\0      & \cdots    & 0        & q_n  &  \cdots & q_1 & q_0 & 0 & \cdots & 0\end{pmatrix}.

두 번째 쌍은 첫 번째 쌍을 오른쪽으로 한 열 이동한 것이고, 두 행의 첫 번째 요소는 0이다.

나머지 $max(n, m)-2$ 쌍의 행은 위와 같은 방식으로 얻어진다.

따라서 ''m'' = 4이고 ''n'' = 3이면, 행렬은 다음과 같다.

:

\begin{pmatrix}p_4 & p_3 & p_2 & p_1 & p_0 & 0 & 0 & 0\\0    & q_3 & q_2 & q_1 & q_0 & 0  & 0 & 0\\0    & p_4 & p_3 & p_2 & p_1 & p_0 & 0 & 0\\0    & 0    & q_3 & q_2 & q_1 & q_0 & 0  & 0\\0    & 0    & p_4 & p_3 & p_2 & p_1 & p_0 & 0\\0    & 0    & 0    & q_3 & q_2 & q_1 & q_0 & 0\\0    & 0    & 0    & p_4 & p_3 & p_2 & p_1 & p_0\\0    & 0    & 0    & 0     & q_3 & q_2 & q_1 & q_0\\\end{pmatrix}.

1853년 행렬의 행렬식은 부호를 제외하고 실베스터 행렬의 행렬식(''p''와 ''q''의 결과라고 불림)에

p_m^{m-n}

을 곱한 값이다(여전히

m\ge n

이라고 가정).

3. 성질

실베스터 행렬은 다항식의 근과 관련된 여러 중요한 성질을 갖는다. 두 다항식의 최대공약수의 차수는 두 다항식의 차수의 합에서 실베스터 행렬의 계수를 뺀 값과 같다.

: $\deg(\gcd(p,q)) = \deg p+\deg q-\operatorname{rank}S(p,q)$

대수적으로 닫힌 체 $K$ 에서 정의된 두 다항식 $p, q \in K[x]$ 가 근을 공유하지 않을 필요충분조건은 실베스터 행렬 $S(p, q)$ 가 가역 행렬인 것이며, $p$ 가 $q$ 를 나눌 필요충분조건은 $\operatorname{rank}S(p,q)=\deg q$ 이다.

3. 1. 행렬식과 종결식

가환환 계수를 갖는 두 다항식의 실베스터 행렬의 행렬식은 두 다항식의 종결식과 같다. 가환환 계수 다항식의 판별식은 자기 자신과 그 도함수의 종결식을 사용하여 나타낼 수 있으므로, 역시 실베스터 행렬의 행렬식을 통해 나타낼 수 있다.

두 다항식

p,q\in R[x]

에 대하여, 다음이 성립한다.

:

\deg(\gcd(p,q)) = \deg p+\deg q-\operatorname{rank}S(p,q)

여기서

\operatorname{rank}

는 행렬의 계수이다.

특히, 대수적으로 닫힌 체

K

및 두 다항식

p,q\in K[x]

가 근을 공유하지 않을 필요충분조건은

S(p,q)

가 가역 행렬인 것이며,

p\mid q

일 필요충분조건은

\operatorname{rank}S(p,q)=\deg q

이다.

두 다항식을 다음과 같이 정의한다.

f(x) = \sum_{i=0}^n a_i x^{n-i} = a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + \dots + a_n

g(x) = \sum_{i=0}^m b_i x^{m-i} = b_0 x^m + b_1 x^{m-1} + \dots + b_m

이 때,

m + n

개의 변수를 갖는 연립 방정식의 계수 행렬인 실베스터 행렬은

m + n

차의 정방 행렬이다.

이 행렬의 행렬식을

R(f, g)

로 나타내며, '''종결식'''(resultant|리절턴트^영어) 또는 실베스터 행렬식이라고 한다.

f(x) = a_0 \prod_{i=1}^{\deg f} (x - \alpha_i)

,

g(x) = b_0 \prod_{j=1}^{\deg g}( x - \beta_j)

으로 인수 분해할 때, 다음이 성립한다.

:

R(f,g) = a_0^{\deg g} b_0^{\deg f} \prod_{1\le i\le \deg f,1\le j\le \deg g} (\alpha_i - \beta_j)

:

R(cf,g) = c^{\deg g}R(f,g),\quad R(f,cg) = c^{\deg f}R(f,g)

f(x)

와

g(x)

가 공통근을 갖기 위한 필요충분조건은

R(f,g) = 0

이다. 다항식

f(x) = a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + \dots + a_{n-1} x + a_n

이 중근을 갖기 위한 필요충분조건은

f

와 그 도함수

f'

이 공통근을 갖는 것이며, 또한,

f

의 판별식

D(f)

가

D(f) = 0

이 되는 것이므로, 종결식과 판별식은 서로 관련이 있다.

:

a_0 D(f) = (-1)^{n(n-1)/2}R(f,f')

3. 2. 행렬의 계수와 최대공약수

두 다항식

p,q\in R[x]

에 대하여,

:

\deg(\gcd(p,q)) = \deg p+\deg q-\operatorname{rank}S(p,q)

이다. 여기서

\operatorname{rank}

는 행렬의 계수이다.

특히, 대수적으로 닫힌 체

K

및 두 다항식

p,q\in K[x]

가 근을 공유하지 않을 필요충분조건은

S(p,q)

가 가역 행렬인 것이며,

p\mid q

일 필요충분조건은

\operatorname{rank}S(p,q)=\deg q

이다.

3. 3. 판별식과의 관계

가환환 계수를 갖는 다항식의 판별식은 자기 자신과 그 도함수의 종결식을 사용하여 나타낼 수 있으며, 이는 실베스터 행렬의 행렬식으로 표현할 수 있다. 다항식

f(x)

가 중근을 갖기 위한 필요충분조건은

f

와 그 도함수

f'

이 공통근을 갖는 것이며, 이는

f

의 판별식

D(f)

가 0이 되는 것과 같다.

종결식과 판별식 사이에는 다음과 같은 관계가 성립한다.

:

a_0 D(f) = (-1)^{n(n-1)/2}R(f,f')

여기서

a_0

는 다항식

f(x) = a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + \dots + a_{n-1} x + a_n

의 최고차항 계수이다. 즉, 다항식의 판별식은 실베스터 행렬의 행렬식을 통해 계산할 수 있으며, 이를 통해 다항식이 중근을 갖는지 판별할 수 있다.

4. 응용

실베스터 행렬은 연립 선형 방정식의 해를 구하는 데 사용될 수 있다. 전치된 실베스터 행렬을 사용하여 표현하면 다음과 같다.

: ${S_{p,q}}^\mathrm{T}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$

여기서 $x$ 는 크기가 $n$ 인 벡터이고 $y$ 는 크기가 $m$ 인 벡터이다. 이는 다음 식을 만족하는 $x, y$ 쌍의 다항식(각각 $n-1$ 및 $m-1$ 차수)의 계수 벡터로 구성된다.

: $x(z) \cdot p(z) + y(z) \cdot q(z) = 0,$

여기서 다항식 곱셈과 덧셈이 사용된다.

4. 1. 공통근 판별

실베스터 행렬은 가환대수에서 사용되며, 두 다항식이 (상수가 아닌) 공통 인수를 갖는지 판별하는 데 사용된다. 두 다항식의 실베스터 행렬의 행렬식(결합식)이 0이면 두 다항식은 공통 인수를 가지며, 그 역도 성립한다.

두 다항식

:

f(x) = \sum_{i=0}^n a_i x^{n-i} = a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + \dots + a_n

:

g(x) = \sum_{i=0}^m b_i x^{m-i} = b_0 x^m + b_1 x^{m-1} + \dots + b_m

에 대하여,

f(x)

와

g(x)

가 공통근을 갖기 위한 필요충분조건은

R(f,g) = 0

이다.

이는 전치된 실베스터 행렬의 커널이

\deg x < \deg q

및

\deg y < \deg p

인 베주 방정식의 모든 해를 제공한다는 것을 의미한다.

결과적으로 실베스터 행렬의 계수는 ''p''와 ''q''의 최대공약수의 차수를 결정한다.

:

\deg(\gcd(p,q)) = m+n-\operatorname{rank} S_{p,q}.

4. 2. 베주 항등식의 해

실베스터 행렬은 베주 항등식의 해를 구하는 데에도 활용될 수 있다. 전치된 실베스터 행렬의 커널은

\deg x < \deg q

및

\deg y < \deg p

인 베주 방정식의 모든 해를 제공한다.^[1]

실베스터 행렬의 계수는 ''p''와 ''q''의 최대공약수의 차수를 결정한다.

:

\deg(\gcd(p,q)) = m+n-\operatorname{rank} S_{p,q}.

^[1]

4. 3. 부분 종결식

실베스터 행렬의 계수는 두 다항식 ''p''와 ''q''의 최대공약수의 차수를 결정한다.

:

\deg(\gcd(p,q)) = m+n-\operatorname{rank} S_{p,q}.

이 최대공약수의 계수는 실베스터 행렬의 부분 행렬의 행렬식으로 표현될 수 있다.^[1]

5. 역사

제임스 조지프 실베스터가 도입하였다. 실베스터는 판별식을 실베스터 행렬의 행렬식을 통해 나타낼 수 있음을 보였다.^[3]

참조

_[1] 논문 Sturm Sequences and Modified Subresultant Polynomial Remainder Sequences https://serdica-comp[...] 2014
_[2] 서적 Algebra Springer 2002
_[3] 간행물 방정식의 판별식과 교육과정에서 활용 방안 2011

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com