십이십이면체
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1. 개요
십이십이면체는 12개의 별 모양 오각형 면과 20개의 정오각형 면으로 이루어진 다면체이다. 60개의 모서리와 30개의 꼭짓점을 가지며, 각 꼭짓점에는 별 모양 오각형과 정오각형이 두 개씩 교차한다. 슐레플리 기호는 r{5/2, 5}이며, 와이소프 기호는 2 | 5 5/2이다. 쌍대 다면체는 중마름모삼십면체이며, 와이토프 작도를 통해 2 | 5 5/2, 2 | 5 5/3, 2 | 5/2 5/4, 2 | 5/3 5/4의 네 가지 형태로 나타낼 수 있다. 관련 다면체로는 이십이십이면체, 작은 십이십면별 이십면체, 큰 십이십면별 이십면체 등이 있으며, 깎은 작은 별모양 십이면체는 십이십이면체와 밀접한 관련을 맺는다. 십이십이면체는 쌍곡 4차 정오각 타일링의 몫 공간과 위상적으로 동일하며, 깎은 십이·이십면체, 마름모 십이·이십면체 등과 같은 입체를 파생시키며, 이십이십이면체, 작은 이십면반십이면체 등과 같은 입체와 같은 틀을 공유한다.
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| 십이십이면체 | |
|---|---|
| 명칭 | |
| 종류 | 아르키메데스 다면체 |
| 다른 이름 | 고른 별모양 다면체 볼록하지 않은 고른 다면체 |
| 영어 명칭 | Dodecadodecahedron |
| 일본어 명칭 | 十二・十二面体 (주니주니멘타이) |
| 한국어 명칭 | 십이십이면체 |
| 성질 | |
| 면의 수 | 24 |
| 모서리의 수 | 60 |
| 꼭짓점의 수 | 30 |
| 종류별 면의 수 | 12개의 정오각형과 12개의 정십각형 |
| 콘웨이 표기법 | dD |
| 슈레플리 기호 | '{5,5/2}' |
| 꼭짓점 배열 | (5.10.5/2) |
| 위토프 기호 | | 5 2 |
| 대칭군 | Ih, H3, [5,3] (*532) |
| 회전군 | I, [5,3]+ (532) |
| 쌍대 다면체 | 오각 성상 십이면체 |
| 특징 | 볼록하지 않음 |
| 색칠 수 | 4 |
| 꼭짓점 도형 | 5.10.5/2 |
| 관련 다면체 | |
| 관련 다면체 종류 | 정다면체 준정다면체 고른 다면체 |
2. 성질
십이십이면체는 12개의 별 모양 오각형 면과 12개의 정오각형 면으로 이루어져 있다. 모서리의 개수는 60개, 꼭짓점의 개수는 30개이다. 각 꼭짓점에는 별 모양 오각형과 정오각형이 번갈아 가며 두 개씩 만나며, 그 모양은 과 같다. 슐레플리 기호는 r{5/2, 5}이며, 와이소프 기호는 2 | 5 5/2이다. 쌍대는 중마름모삼십면체(Medial rhombic triacontahedron)이며, 그 모양은
십이십이면체는 네 개의 슈바르츠 삼각형족 사이에서 네 개의 와이토프 작도를 가지며, 이는 '''2 | 5 5/2''', '''2 | 5 5/3''', '''2 | 5/2 5/4''', '''2 | 5/3 5/4'''로 나타낼 수 있다. 이는 확장된 슐래플리 기호인 r{5/2,5}, r{5/3,5}, r{5/2,5/4}, r{5/3,5/4} 또는 콕스터-다킨 다이어그램으로도 나타낼 수 있다.
3. 와이토프 작도
4. 전개도
십이십이면체와 동일한 외형을 가진 도형은 전개도를 접어 구성할 수 있다. 12개의 오각별과 20개의 마름모 다발이 필요하다. 이 구성은 십이십이면체의 교차하는 오각형 면을 교차하지 않는 마름모 집합으로 대체하므로, 동일한 내부 구조를 생성하지 않는다.
5. 관련 다면체
볼록 껍질은 이십이십이면체이다. 또한 모서리 배열을 작은 십이십면별 이십면체(오각별 면을 공유) 및 큰 십이십면별 이십면체(오각형 면을 공유)와 공유한다.
이 다면체는 깎은 큰 십이면체로 간주할 수 있다. 이것은 작은 별모양 십이면체와 큰 십이면체 사이의 절단 시퀀스의 중심이다.이름 작은 별모양 십이면체 깎은 작은 별모양 십이면체 십이십이면체 깎은 큰 십이면체 큰 십이면체 100px 100px 100px 100px 100px
깎은 작은 별모양 십이면체는 표면에서 십이면체처럼 보이지만, 24개의 면을 가지고 있다. 깎인 꼭짓점에서 나온 12개의 오각형과 (깎인 오각별)로 겹쳐진 12개의 면이다. 십이십이면체의 절단 자체는 균일하지 않으며 균일하게 만들려고 하면 퇴화된 다면체 (구멍의 십이면체 집합을 채우는 {10/2} 다각형이 있는 작은 마름모십이이십면체처럼 보임)가 되지만, 깎은 십이십이면체의 균일한 준절단이 있다.
이것은 쌍곡 기하학의 4차 정오각형 타일링의 몫 공간과 위상적으로 동일하며, 오각별을 정오각형으로 왜곡한다. 따라서, 그것은 지수 2의 정다각형이다.[2][3]
십이십이면체의 그래프 (왼쪽)와 이중 그래프 (오른쪽)는 브링 곡선에 그려져 있다. 전자는 4차 정오각형 타일링의 몫이고, 후자는 5차 정사각 타일링의 몫이다. 글자(및 색상)는 기본 20각형의 어느 면이 함께 속하는지 나타낸다. 이 면으로 잘린 면은 색상으로 표시된다. 24개의 오각형11개가 완전하고, 10개가 반으로 잘리고, 2개가 5조각으로 잘리고, 1개가 10조각으로 잘림 30개의 정사각형20개가 완전하고, 10개가 반으로 잘림
5. 1. 깎은 작은 별모양 십이면체
깎은 작은 별모양 십이면체는 표면에서 정십이면체처럼 보이지만, 24개의 면(깎인 꼭짓점에서 나온 12개의 오각형과 깎인 오각별로 겹쳐진 12개의 면)을 가지고 있다.
5. 2. 메디얼 롬빅 트라이콘타헤드론
메디얼 롬빅 트라이콘타헤드론은 십이십이면체의 쌍대 다면체이다. 30개의 교차하는 마름모 면을 가지고 있다.
6. 위상적 관계
십이십이면체는 쌍곡 4차 정오각 타일링의 몫 공간과 위상적으로 동일하며, 오각별을 정오각형으로 왜곡하여 얻을 수 있다.[4] 그 쌍대 다면체인 메디얼 롬빅 트라이콘타헤드론은 쌍곡 5차 정사각 타일링의 몫 공간과 위상적으로 동일하며, 마름모를 정사각형으로 변형하여 얻을 수 있다.[4]
7. 파생된 입체
깎은 십이·이십면체, 마름모 십이·이십면체, 변형 십이·이십면체, 역변형 십이·이십면체 등이 십이십이면체에서 파생된 입체에 해당한다.
8. 같은 틀을 갖는 입체
이십이십이면체, 작은 이십면반십이면체, 작은 십이면반십이면체, 큰 이십십이면체, 큰 십이면반십이면체, 큰 이십면반십이면체, 작은 십이면반이십면체, 큰 십이면반이십면체는 십이십이면체와 같은 틀을 갖는다. 이 외에도 5개의 정팔면체로 이루어진 복합 다면체와 5개의 사면반육면체로 이루어진 복합 다면체 또한 같은 틀을 갖는다.
참조
[1]
웹사이트
36: dodecadodecahedron
https://www.mathcons[...]
2020-02-03
[2]
웹사이트
The Regular Polyhedra (of index two)
http://homepages.wmi[...]
2016-03-04
[3]
웹사이트
The Golay Code on the Dodecadodecahedron
http://homepages.wmi[...]
2018-10-18
[4]
웹사이트
The Regular Polyhedra (of index two)
http://homepages.wmi[...]
2016-03-04
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