준정다면체

1. 개요

준정다면체는 모든 면이 정다각형이지만 꼭짓점의 배열이 같은 두 종류 이상의 정다각형으로 이루어진 다면체를 의미한다. 아르키메데스의 다면체 중 깎은 정육면체와 십이이십면체가 볼록 준정다면체에 해당하며, 정팔면체는 정사면체 두 개의 교집합으로 준정다면체로 볼 수 있다. 준정다면체는 정다면체의 깎기 연산으로 구성될 수 있으며, 정규 다면체의 쌍대 쌍을 기반으로 하는 큰 이십이십면체와 십이면십이면체와 같은 오목 준정다면체도 존재한다. 또한, 준정다면체의 개념은 타일링과 고차원 공간으로 확장될 수 있으며, 와이토프 작도를 통해 생성된다.

2. 볼록 준정다면체

볼록 준정다면체는 아르키메데스의 다면체 중 일부를 포함한다. 깎은 정육면체, 십이이십면체, 정팔면체가 여기에 해당한다. 정팔면체는 정다면체이기도 하지만, 면에 다른 색을 번갈아 칠하면 준정다면체로 간주할 수 있으며, 이 경우 '사면반사면체'라고도 불린다.

이들은 각각 쌍대 정다면체 쌍의 공통핵을 형성한다. 깎은 정육면체는 정육면체와 정팔면체의 공통핵, 십이이십면체는 정십이면체와 정이십면체의 공통핵, 사면반사면체는 사면체 쌍대 쌍의 공통핵(별모양 팔면체)으로 표현할 수 있다.

이러한 준정다면체는 각 원래 모서리가 중간점으로 줄어들 때까지 꼭짓점을 완전히 절단하는 깎기 연산으로 구성될 수 있다.

2.1. 종류

아르키메데스의 다면체에는 육팔면체와 십이이십면체가 있다.

볼록 준정다면체는 두 가지가 있다.
# 깎은 정육면체 $\backslash begin\{Bmatrix\}\; 3\; \backslash \backslash \; 4\; \backslash end\{Bmatrix\}$, 꼭짓점 배열 (3.4)²
# 이십이십이면체 $\backslash begin\{Bmatrix\}\; 3\; \backslash \backslash \; 5\; \backslash end\{Bmatrix\}$, 꼭짓점 배열 (3.5)²

정팔면체는 정다면체이면서, $\backslash begin\{Bmatrix\}\; 3\; \backslash \backslash \; 3\; \backslash end\{Bmatrix\}$, 꼭짓점 배열 (3.3)²로, 번갈아 가며 면에 다른 색을 칠하면 준정다면체로 볼 수 있다. 이 형태는 때때로 사면반사면체라고 불린다. 나머지 볼록 정다면체는 각 꼭짓점에 홀수 개의 면이 있어 모서리 이동성을 유지하는 방식으로 색칠할 수 없다.

이들은 각각 쌍대 다면체인 정다면체 쌍의 공통핵을 형성한다. 이들 중 두 개의 이름은 관련 쌍대에 대한 단서를 제공한다. 즉, 정육면체 $\backslash cap$ 정팔면체, 그리고 정십이면체 $\backslash cap$ 정이십면체이다. 정팔면체는 사면체 쌍대 쌍의 공통핵이며 (별모양 팔면체), 이러한 방식으로 파생될 때 사면반사면체라고 불리며, 사면체 $\backslash cap$ 사면체로 표현된다.

이러한 준정다면체 각각은 정규 부모 중 하나에 대한 깎기 연산으로 구성될 수 있으며, 각 원래 모서리가 중간점으로 줄어들 때까지 꼭짓점을 완전히 절단한다.

2.2. 준정규 타일링

이 수열은 삼육각형 타일링, 꼭짓점 도형 (3.6)²으로 이어진다. 이는 삼각형 타일링과 육각형 타일링을 기반으로 한 준정규 타일링이다.

체커보드 패턴은 정사각형 타일링, 꼭짓점 도형 (4.4)²의 준정규 색칠이다.



삼각형 타일링은 또한 각 꼭짓점에서 세 개의 교대로 배열된 삼각형 세트, (3.3)³으로 준정규로 간주될 수 있다.



쌍곡 평면에서 이 수열은 더 나아가 삼칠각형 타일링, 꼭짓점 도형 (3.7)²로 이어진다. 이는 7차 삼각형 타일링과 칠각형 타일링을 기반으로 한 준정규 타일링이다.

3. 오목 준정다면체

오목 준정다면체는 별 모양을 포함하는 비볼록 준정다면체이다. 고른 다면체 중 케플러-푸앵소 다면체와 관련이 있는 것 2종, 면이 다면체의 중심을 지나는 것 9종, 정규 십이면체의 면 분할 형태인 3종이 있다. 콕세터 등(1954)은 유사한 특징을 가진 특정 별 다면체를 준정다면체로 분류하기도 한다.

케플러-푸앵소 다면체를 기반으로 하는 오목 준정다면체에는 큰 이십이십면체와 십이면십이면체가 있다. 반다면체는 정규 다면체의 정형에서 파생된 면 분할 형태로, 다면체의 중심을 통과하는 적도면을 포함한다. 여기에는 사면반육면체, 팔면반팔면체, 육팔면반팔면체, 작은 이십반십이면체, 큰 이십반십이면체, 작은 십이면반십이면체, 작은 십이면반이십면체, 큰 십이면반십이면체, 큰 십이면반이십면체가 있다. 정규 십이면체의 면 분할 형태는 세 가지 이중삼각 형태가 있는데, 그 꼭짓점 도형에는 두 가지 면 유형의 세 가지 교대가 포함된다. 여기에는 이중삼각 십이면십이면체, 작은 이중삼각 이십이십면체, 큰 이중삼각 이십이십면체가 있다.

유클리드 평면에서 반다면체 시퀀스는 다음 4가지 별 타일링으로 이어지며, 여기서 에이프러곤은 앞서 언급한 적도 다각형으로 나타난다.

3.1. 케플러-푸앵소 다면체 기반

큰 별모양 십이면체와 큰 이십면체의 교집합은 큰 이십이십면체로 표현된다. 작은 별모양 십이면체와 큰 십이면체의 교집합은 십이면십이면체로 표현된다.

3.2. 반다면체

고른 다면체 중에는 다면체의 중심을 지나는 면을 포함하는 9종의 반다면체가 있다. 이들은 정규 다면체의 정형에서 파생된 면 분할 형태를 가진다.

9개의 반다면체는 다음과 같다.

* 사면반육면체
* 팔면반팔면체
* 작은 이십반십이면체
* 큰 이십반십이면체
* 작은 십이면반이십면체
* 육팔면반팔면체
* 작은 십이면반십이면체
* 큰 십이면반십이면체
* 큰 십이면반이십면체

3.3. 이중삼각 형태

정규 십이면체의 면 분할 형태는 세 가지 면 유형의 교대를 포함하는 꼭짓점 도형을 가진다. 종류는 다음과 같다.

4. 와이토프 작도

아르키메데스의 다면체 중 육팔면체와 십이이십면체가 있다. 고른 다면체 중 케플러-푸앵소 다면체와 관련이 있는 것 2종과 면이 다면체의 중심을 지나는 것 9종이 있다.

코세터는 준정다면체를 와이토프 기호가 p | q r 형태를 가지는 것으로 정의하며, q=2 또는 q=r인 경우 정다면체이다.

코세터-킨킨 다이어그램은 두 쌍대 정다각형 형태 사이의 준정 관계를 보여주는 또 다른 기호 표현이다.

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📌 열 고정 해제

슐레플리 기호		코세터 다이어그램	와이토프 기호
$\backslash begin\{Bmatrix\}\; p\; ,\; q\; \backslash end\{Bmatrix\}$	{p,q}		q>2 p
$\backslash begin\{Bmatrix\}\; q\; ,\; p\; \backslash end\{Bmatrix\}$	{q,p}		p>2 q
$\backslash begin\{Bmatrix\}\; p\; \backslash \backslash \; q\; \backslash end\{Bmatrix\}$	r{p,q}	또는	2>p q

5. 준정다면체의 쌍대

준정다면체와 관련된 다면체로는 아르키메데스의 다면체 중 육팔면체와 십이이십면체가 있다.