정다면체

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1. 개요

정다면체는 모든 면이 합동인 정다각형으로 이루어져 있고, 각 꼭짓점에 모이는 면의 개수가 같은 다면체를 의미한다. 정다면체는 정삼각형, 정사각형, 정오각형을 조합하여 만들어지며, 정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체의 5가지 종류가 있다. 정다면체는 고대 그리스 시대부터 연구되었으며, 플라톤은 정다면체를 4원소(흙, 공기, 물, 불)와 연결시켰다. 정다면체는 슐레플리 기호, 오일러 공식, 외접구, 내접구, 중접구 등의 기하학적 성질을 가지며, 쌍대 다면체 관계를 통해 서로 연결된다. 정다면체는 결정 구조, 바이러스, 기상학 모델, 건축, 주사위, 롤플레잉 게임 등 다양한 분야에서 응용되며, 4차원 이상에서는 정다포체로 일반화된다.

정다면체

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정다면체 - 정육면체
정육면체는 합동인 정사각형 면 6개, 모서리 12개, 꼭짓점 8개로 구성된 높은 대칭성의 플라톤 입체로서, 한 변의 길이를 a라 할 때 부피는 a³, 겉넓이는 6a²이며, 정팔면체와 쌍대다면체 관계를 가진다.
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사면체는 기하학에서 네 개의 꼭짓점, 여섯 개의 모서리, 네 개의 면으로 이루어진 다면체이며, 정사면체를 포함하여 다양한 종류가 존재하고 부피, 겉넓이 등을 계산하는 공식이 있으며, 다양한 분야에서 응용된다.
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1. 개요
2. 종류
3. 역사
4. 기하학적 성질
5. 쌍대성
6. 대칭성
7. 응용
8. 4차원 정다면체

2. 종류

정다면체는 면의 모양에 따라 정삼각형, 정사각형, 정오각형으로 구성된 다섯 종류로 나뉜다.

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이름	그림	면의 모양	면의 개수	변의 개수	꼭짓점의 개수	한 꼭짓점에서 만나는 면의 수	겉넓이	부피	대칭군
정사면체	120x120픽셀	정삼각형	4	6	4	3	$\sqrt{3}a^2$	${\sqrt{2}\over12}a^3$	T_d
정육면체	120x120픽셀	정사각형	6	12	8	3	$6a^2\,$	$a^3\,$	O_h
정팔면체	120x120픽셀	정삼각형	8	12	6	4	$2\sqrt{3}a^2$	${\sqrt{2}\over3}a^3$	O_h
정십이면체	120x120픽셀	정오각형	12	30	20	3	$3\sqrt{25+10\sqrt5}a^2$	${15+7\sqrt5\over4}a^3$	I_h
정이십면체	120x120픽셀	정삼각형	20	30	12	5	$5\sqrt3a^2$	${5\over12}(3+\sqrt5)a^3$	I_h

다섯 개의 정다면체만 존재하는 이유는 다음과 같이 증명할 수 있다.

# 다면체에서 하나의 꼭짓점은 최소한 세 개의 면이 만나야 만들어진다.
# 각 꼭지각의 합은 360°보다 작아야 한다.
# 정다면체를 구성하는 면은 모두 합동이므로 각 꼭지각의 크기는 같다. 또한, 꼭지각은 최소 세 개가 모여야 하므로, 모든 꼭지각의 크기는 120° (360°/3) 보다 작아야 한다.
# 내각의 크기가 120°보다 작은 정다각형은 정삼각형, 정사각형, 정오각형 뿐이다.
#* 정삼각형: 내각은 60°이므로, 한 꼭짓점에 3개(정사면체), 4개(정팔면체), 5개(정이십면체)의 면이 모일 수 있다.
#* 정사각형: 내각은 90°이므로, 한 꼭짓점에 3개(정육면체)의 면이 모일 수 있다.
#* 정오각형: 내각은 108°이므로, 한 꼭짓점에 3개(정십이면체)의 면이 모일 수 있다.

유클리드의 『원론』 제13권에서는 구에 내접하는 5개의 정다면체 구성이 논해졌으며, "지금 언급한 다섯 개의 도형 외에, 등변 등각으로 서로 같은 도형으로 둘러싸인 다른 도형은 만들어지지 않는다"고 기술되어 있다. 따라서 정다면체는 다음 조건을 모두 만족하는 다면체이다.

# 면은 서로 합동이다.
# 면은 정다각형이다.
# 모든 꼭짓점은 동일한 구면에 있다.

3번 조건은 1, 2번 조건을 만족하는 볼록 다면체에 한해 다음과 같이 바꿔 말할 수 있다.

* 모든 이면각은 같다.
* 모든 꼭짓점 모양은 정다각형이다.
* 모든 입체각은 합동이다.
* 모든 꼭짓점에 같은 수의 면이 모인다.

코세터는 동심 외접구, 중접구, 내접구를 갖는 것을 정다면체의 정의로 삼았다.

2.1. 정사면체

정삼각형 4개로 이루어진 정다면체이다. 꼭짓점의 개수는 4개, 모서리의 개수는 6개이다. 고대 그리스에서는 불을 상징하는 도형으로 여겨졌다.

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정사면체의 면, 꼭짓점, 변
면의 모양	면의 개수	꼭짓점의 개수	변의 개수
]]\|]]
정삼각형	4	4	6

정사면체의 슐레플리 기호는 {3,3}이다.

정사면체의 한 변을 a라고 하면, 다음과 같다.

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이름과 그림	겉넓이	부피	내접구 반지름	중접구 반지름	외접구 반지름	이 면각
정사면체 --	$\sqrt{3} a^2$ $\simeq 1.732a^2$	$\frac{\sqrt{2}}{12} a^3$ $\simeq 0.118a^3$	$\frac{1}{\sqrt{24}} a$ $\simeq 0.204a$	$\frac{1}{\sqrt{8}} a$ $\simeq 0.354a$	$\sqrt{\frac{3}{8}} a$ $\simeq 0.612a$	$\tan^{-1} \sqrt{8}$ $\simeq 70.53^\circ$

원점을 중심으로 하는 정사면체의 경우, 꼭짓점의 데카르트 좌표는 다음과 같다.

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정사면체의 꼭짓점 좌표
위치 1	위치 2
(1, 1, 1)	(−1, −1, −1)

정사면체의 좌표는 서로 다른 좌표에서 파생될 수 있도록 두 가지 위치로 제공된다. 정사면체의 경우, 모든 좌표의 부호를 변경함으로써 (점대칭), 또는 다른 경우, 세 개의 대각 평면 중 하나에 대해 두 좌표를 교환함으로써 (반사) 가능하다.

이러한 좌표는 정다면체 간의 특정 관계를 보여준다. 정사면체의 꼭짓점은 정육면체의 절반을 나타내며, h{4,3}으로 표시되는 이중 위치에서 4개의 꼭짓점의 두 세트 중 하나이다. 두 정사면체 위치 모두 별모양 팔면체를 구성한다.

2.2. 정육면체

정사각형 6개로 이루어진 정다면체이다. 변의 개수는 12개, 꼭짓점의 개수는 8개이다. 흔히 주사위 모양으로 잘 알려져 있으며, 고대 그리스에서는 흙을 상징하는 도형으로 여겨졌다.

정육면체의 한 변의 길이를 a라고 할 때 겉넓이와 부피는 다음과 같다.
* 겉넓이:

6a^2\,

* 부피:

a^3\,

정육면체는 정사면체의 꼭짓점의 절반을 공유한다.

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정육면체의 주요 특성
특성	값
면의 모양	정사각형
면의 개수	6
변의 개수	12
꼭짓점의 개수	8
한 꼭짓점에서 만나는 면의 수	3
겉넓이	$6a^2\,$
부피	$a^3\,$
슐레플리 기호	{4,3}
내접구 반지름	$0.5a$
중접구 반지름	$\frac{1}{\sqrt{2}} a$ $\simeq 0.707a$
외접구 반지름	$\frac{\sqrt{3}}{2} a$ $\simeq 0.866a$
이면각	$90^\circ$

2.3. 정팔면체

정팔면체는 정삼각형 8개로 이루어진 정다면체이다. 꼭짓점의 개수는 6개, 모서리의 개수는 12개이다. 고대 그리스에서는 공기를 상징하는 도형으로 여겨졌다.

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이름	그림	면의 모양	면의 개수	변의 개수	꼭짓점의 개수	한 꼭짓점에서 만나는 면의 수	겉넓이	부피	대칭군
정팔면체	프레임없음	정삼각형	8	12	6	4	$2\sqrt{3}a^2 \simeq 3.464a^2$	${\sqrt{2}\over3}a^3 \simeq 0.471a^3$	O_h

정팔면체의 한 변을 a라고 하면, 겉넓이, 부피, 내접구 반지름, 중접구 반지름, 외접구 반지름, 이면각은 다음과 같다.

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겉넓이	부피	내접구 반지름	중접구 반지름	외접구 반지름	이면각
$2\sqrt{3} a^2 \simeq 3.464a^2$	$\frac{\sqrt{2}}{3} a^3 \simeq 0.471a^3$	$\frac{1}{\sqrt{6}} a \simeq 0.408a$	$0.5a$	$\frac{1}{\sqrt{2}} a \simeq 0.707a$	$2\tan^{-1} \sqrt{2} \simeq 109.47^\circ$

2.4. 정십이면체

정십이면체는 정오각형 12개로 이루어진 정다면체이다. 꼭짓점은 20개, 변은 30개이다. 고대 그리스에서는 우주 전체를 상징하는 도형으로 여겨졌다.

정십이면체의 한 변의 길이를 a라고 하면, 겉넓이와 부피는 다음과 같다.

* 겉넓이:

3\sqrt{25+10\sqrt5}a^2

≈ 20.65a²
* 부피:

{15+7\sqrt5\over4}a^3

≈ 7.663a³

원점을 중심으로 하는 정십이면체의 데카르트 좌표는 다음과 같다. 여기서

\phi

는 황금비

\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1.6180

이다.

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정십이면체의 꼭짓점 좌표
위치 1	위치 2
(±1, ±1, ±1)	(±1, ±1, ±1)

정십이면체의 꼭짓점 8개는 정육면체와 공유된다.

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이름과 그림	구성 면	면	변	꼭짓점	슐레플리 기호	겉넓이	부피	내접구 반지름	중접구 반지름	외접구 반지름	이면각
[[정십이면체]] -->]]	정오각형	12	30	20	{5,3}	$3\sqrt{25+10\sqrt{5}} a^2$ $\simeq 20.65a^2$	$\frac{15+7\sqrt{5}}{4} a^3$ $\simeq 7.663a^3$	$\sqrt{\frac{25+11\sqrt{5}}{40}} a$ $\simeq 1.114a$	$\frac{3+\sqrt{5}}{4} a$ $\simeq 1.309a$	$\frac{\sqrt{15}+\sqrt{3}}{4} a$ $\simeq 1.401a$	$\cos^{-1} \left( -\frac{1}{\sqrt{5}} \right)$ $\simeq 116.56^\circ$

2.5. 정이십면체

정삼각형 20개로 이루어진 정다면체이다. 꼭짓점의 개수는 12개, 모서리의 개수는 30개이다. 고대 그리스에서는 물을 상징하는 도형으로 여겨졌다.

정다면체의 한 변을 a라고 하면, 겉넓이, 부피, 내접구 반지름, 중접구 반지름, 외접구 반지름, 이면각은 다음과 같다.

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구성 면	면	변	꼭짓점	슐레플리 기호	겉넓이	부피	내접구 반지름	중접구 반지름	외접구 반지름	이면각
정삼각형	20	30	12	{3,5}	$5\sqrt{3}a^2$ $\simeq 8.660a^2$	${5\over12}(3+\sqrt5)a^3$ $\simeq 2.182a^3$	$\frac{\sqrt{3}}{12} \left( 3+\sqrt{5} \right) a$ $\simeq 0.756a$	$a\cos \left( \frac{\pi}{5} \right)$ $\simeq 0.809a$	$a\sin \left( \frac{2\pi}{5} \right)$ $\simeq 0.951a$	$\cos^{-1} \left( -\frac{\sqrt 5}{3} \right)$ $\simeq 138.19^\circ$

3. 역사

케플러의 정다면체 모형《Mysterium Cosmographicum》 (1596) — 케플러의 정다면체 모형
*《Mysterium Cosmographicum》* (1596)

정다면체는 고대부터 알려져 왔다. 스코틀랜드의 늦은 신석기 시대 사람들이 만든 조각된 돌 공에서 그 형태를 찾아볼 수 있다.

고대 그리스인들은 정다면체를 광범위하게 연구했다. 피타고라스가 정다면체를 발견했다는 주장도 있지만, 그가 정사면체, 정육면체, 정십이면체만 알고 있었고, 정팔면체와 정이십면체는 플라톤 시대의 인물인 테아이테토스가 발견했을 가능성도 있다. 테아이테토스는 다섯 개의 정다면체에 대한 수학적 설명을 제시했고, 다른 볼록 정다면체가 존재하지 않는다는 최초의 증명을 했다.

케플러의 우주의 신비 (1596)에 있는 태양계 정다면체 모델 — 케플러의 *우주의 신비* (1596)에 있는 태양계 정다면체 모델

정다면체는 플라톤의 철학에서 중요한 역할을 했다. 플라톤은 자신의 저서 티마이오스에서 정다면체에 대해 썼으며, 각 정다면체를 4원소(흙, 공기, 물, 불)와 연관시켰다. 흙은 정육면체, 공기는 정팔면체, 물은 정이십면체, 불은 정사면체와 연관시켰다. 다섯 번째 정다면체인 정십이면체에 대해 플라톤은 "...신은 온 하늘에 별자리를 배치하는 데 [그것]을 사용했다"고 언급했다. 아리스토텔레스는 다섯 번째 원소인 아이테르를 추가하고 하늘이 이 원소로 만들어졌다고 가정했지만, 플라톤의 다섯 번째 도형과 일치시키는 데는 관심이 없었다.

유클리드는 원론에서 정다면체를 완전히 수학적으로 설명했으며, 마지막 책(제13권)은 그들의 속성에 할애되었다. 제13권의 명제 13–17은 정사면체, 정팔면체, 정육면체, 정이십면체, 정십이면체의 순서로 작성을 설명한다. 각 도형에 대해 유클리드는 외접 구의 지름과 변의 길이의 비율을 찾는다. 명제 18에서 그는 더 이상의 볼록 정다면체가 없다고 주장한다. 제13권의 많은 정보는 테아이테토스의 연구에서 파생되었을 것이다.

16세기에 독일 천문학자 요하네스 케플러는 그 당시 알려진 다섯 개의 외계 행성을 다섯 개의 정다면체와 연결하려고 시도했다. 1596년에 출판된 우주의 신비에서 케플러는 다섯 개의 정다면체가 서로 안에 위치하고, 일련의 내접 및 외접 구로 구분되는 태양계 모델을 제안했다. 케플러는 그 당시 알려진 여섯 행성 간의 거리 관계를 토성 궤도를 나타내는 구 안에 갇힌 다섯 개의 정다면체의 관점에서 이해할 수 있다고 제안했다. 여섯 개의 구는 각각 하나의 행성 (수성, 금성, 지구, 화성, 목성, 토성)에 해당했다. 도형은 가장 안쪽에 정팔면체, 그 다음 정이십면체, 정십이면체, 정사면체, 마지막으로 정육면체의 순서로 정렬되어 태양계의 구조와 행성 간의 거리 관계를 정다면체로 결정했다. 결국 케플러의 원래 아이디어는 포기해야 했지만, 그의 연구에서 그의 세 가지 궤도 역학 법칙이 나왔고, 그 중 첫 번째는 행성의 궤도가 원이 아닌 타원이라는 것이었고, 이로 인해 물리학과 천문학의 흐름이 바뀌었다. 그는 또한 두 개의 비볼록 정다면체인 케플러 다면체를 발견했다.

4. 기하학적 성질

정다면체는 각 면이 합동인 정다각형이며, 각 꼭짓점에 모이는 면의 개수가 같다. 정다면체의 슐레플리 기호는 {p, q}로 표현되는데, p는 각 면을 이루는 정다각형의 변의 개수, q는 각 꼭짓점에 모이는 면의 개수를 의미한다.

다섯 개의 정다면체의 슐레플리 기호는 아래 표와 같다.

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정다면체의 성질
다면체		꼭짓점	모서리	면	슐레플리 기호	꼭짓점 배치
정사면체	Tetrahedron	4	6	4	{3, 3}	3.3.3
정육면체	Hexahedron (cube)	8	12	6	{4, 3}	4.4.4
정팔면체	Octahedron	6	12	8	{3, 4}	3.3.3.3
정십이면체	Dodecahedron	20	30	12	{5, 3}	5.5.5
정이십면체	Icosahedron	12	30	20	{3, 5}	3.3.3.3.3

정다면체의 꼭짓점(V), 모서리(E), 면(F)의 개수는 오일러 공식을 만족한다.

:

V - E + F = 2.

정다면체 {p,q}의 이각 θ는 다음 공식으로 주어지며,

\sin(\theta/2) = \frac{\cos(\pi/q)}{\sin(\pi/p)}.

탄젠트를 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

\tan(\theta/2) = \frac{\cos(\pi/q)}{\sin(\pi/h)}.

정다면체의 중심에서 보는 면의 입체각은 완전한 구의 입체각(4π 스테라디안)을 면의 수로 나눈 것과 같다.

정다면체의 한 변을 a라고 할 때, 정다면체들의 겉넓이, 부피, 내접구 반지름, 중접구 반지름, 외접구 반지름, 이면각은 아래 표와 같다.

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이름과 그림	구성 면	면	변	꼭짓점	슐레플리 기호	겉넓이	부피	내접구 반지름	중접구 반지름	외접구 반지름	이면각
[[정사면체]] -->]]	정삼각형	4	6	4	{3,3}	$\sqrt{3} a^2$ $\simeq 1.732a^2$	$\frac{\sqrt{2}}{12} a^3$ $\simeq 0.118a^3$	$\frac{1}{\sqrt{24}} a$ $\simeq 0.204a$	$\frac{1}{\sqrt{8}} a$ $\simeq 0.354a$	$\sqrt{\frac{3}{8}} a$ $\simeq 0.612a$	$\tan^{-1} \sqrt{8}$ $\simeq 70.53^\circ$
[[정육면체]] -->]]	정사각형	6	12	8	{4,3}	$6a^2$	$a^3$	$0.5a$	$\frac{1}{\sqrt{2}} a$ $\simeq 0.707a$	$\frac{\sqrt{3}}{2} a$ $\simeq 0.866a$	$90^\circ$
[[정팔면체]] -->]]	정삼각형	8	12	6	{3,4}	$2\sqrt{3} a^2$ $\simeq 3.464a^2$	$\frac{\sqrt{2}}{3} a^3$ $\simeq 0.471a^3$	$\frac{1}{\sqrt{6}} a$ $\simeq 0.408a$	$0.5a$	$\frac{1}{\sqrt{2}} a$ $\simeq 0.707a$	$2\tan^{-1} \sqrt{2}$ $\simeq 109.47^\circ$
[[정십이면체]] -->]]	정오각형	12	30	20	{5,3}	$3\sqrt{25+10\sqrt{5}} a^2$ $\simeq 20.65a^2$	$\frac{15+7\sqrt{5}}{4} a^3$ $\simeq 7.663a^3$	$\sqrt{\frac{25+11\sqrt{5}}{40}} a$ $\simeq 1.114a$	$\frac{3+\sqrt{5}}{4} a$ $\simeq 1.309a$	$\frac{\sqrt{15}+\sqrt{3}}{4} a$ $\simeq 1.401a$	$\cos^{-1} \left( -\frac{1}{\sqrt{5}} \right)$ $\simeq 116.56^\circ$
[[정이십면체]] -->]]	정삼각형	20	30	12	{3,5}	$5\sqrt{3}a^2$ $\simeq 8.660a^2$	${5\over12}(3+\sqrt5)a^3$ $\simeq 2.182a^3$	$\frac{\sqrt{3}}{12} \left( 3+\sqrt{5} \right) a$ $\simeq 0.756a$	$a\cos \left( \frac{\pi}{5} \right)$ $\simeq 0.809a$	$a\sin \left( \frac{2\pi}{5} \right)$ $\simeq 0.951a$	$\cos^{-1} \left( -\frac{\sqrt 5}{3} \right)$ $\simeq 138.19^\circ$

5. 쌍대성

모든 정다면체는 면과 꼭짓점을 서로 바꾼 [[쌍대 다면체|쌍대]] 다면체를 갖는다. 모든 정다면체의 쌍대는 또 다른 정다면체이므로, 5개의 정다면체를 쌍대 쌍으로 배열할 수 있다.

* 정사면체는 자기 쌍대이다. 즉, 쌍대는 또 다른 정사면체이다.
* 정육면체와 정팔면체는 쌍대 쌍을 이룬다.
* 정십이면체와 정이십면체는 쌍대 쌍을 이룬다.

다면체가 슐레플리 기호 {p, q}를 갖는다면, 그 쌍대는 기호 {q, p}를 갖는다. 실제로, 하나의 정다면체의 모든 조합적 성질은 쌍대의 다른 조합적 성질로 해석될 수 있다.

쌍대 다면체는 원래 도형의 면의 중심을 쌍대의 꼭짓점으로 취함으로써 구성할 수 있다. 원래 도형에서 인접한 면의 중심을 연결하면 쌍대의 모서리가 형성되어 면의 수와 꼭짓점의 수를 서로 바꾸면서 모서리의 수를 유지한다.

정다면체의 각 면의 중심을 꼭짓점으로 하는 입체도 또한 정다면체가 된다. 이를 정다면체의 쌍대 관계라고 하며, 다음의 세 가지 조합이 존재한다.

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조합	그림	그림
정사면체와 정사면체	정사면체 ↔ 정사면체
정육면체와 정팔면체	정육면체 → 정팔면체	정팔면체 → 정육면체
정십이면체와 정이십면체	정십이면체 → 정이십면체	정이십면체 → 정십이면체

정십이면체와 정이십면체가 동일한 구에 내접할 때, 정십이면체의 정오각형과 정이십면체의 정삼각형은 같은 원에 내접한다. 또한, 정육면체와 정팔면체가 동일한 구에 내접할 때, 정육면체의 정사각형과 정팔면체의 정삼각형은 같은 원에 내접한다.

6. 대칭성

수학에서 대칭성의 개념은 수학적 군의 개념으로 연구된다. 모든 다면체는 고유한 대칭군을 가지며, 이는 다면체를 변하지 않게 유지하는 모든 변환(유클리드 등거리 변환)의 집합이다. 대칭군의 차수는 다면체의 대칭의 수이다. 반사를 포함하는 전체 대칭군과 회전만 포함하는 고유 대칭군을 구분하기도 한다.

정다면체의 대칭군은 3차원 점군의 특별한 종류로, 다면체군이라고 한다. 정다면체는 높은 대칭성을 가지는데, 이는 각 도형의 꼭짓점이 대칭군의 작용에 의해 모두 동일하며, 모서리와 면도 마찬가지라는 것이다. 대칭군의 작용이 꼭짓점, 모서리, 면에 대해 추이적이라고 한다. 다면체가 꼭짓점 균일, 모서리 균일, 면 균일일 때 정다면체라고 할 수 있다.

정다면체와 관련된 대칭군은 3개뿐인데, 이는 임의의 다면체의 대칭군이 이중다면체의 대칭군과 일치하기 때문이다. 3개의 다면체군은 다음과 같다.

* 사면체군 T
* 팔면체군 O (이는 정육면체의 대칭군이기도 하다)
* 이십면체군 I (이는 정십이면체의 대칭군이기도 하다)

고유 (회전) 군의 차수는 각각 12, 24, 60이며, 이는 각 다면체의 모서리 수의 정확히 두 배이다. 전체 대칭군의 차수는 그것의 두 배 (24, 48, 120)이다. 정사면체를 제외한 모든 정다면체는 중심 대칭이며, 이는 원점에 대한 반사에 대해 보존됨을 의미한다.

다음 표는 정다면체의 다양한 대칭 속성을 나타낸다. 나열된 대칭군은 (회전 부분군과 마찬가지로) 전체 군이다. Wythoff의 만화경 작도는 대칭군에서 직접 다면체를 구성하는 방법이다. 각 정다면체에 대한 Wythoff 기호를 참고용으로 나열하였다.

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다면체	슐래플리 기호	Wythoff 기호	쌍대 다면체	대칭군 (반사, 회전)
다면체	슐래플리 기호	Wythoff 기호	쌍대 다면체	다면체	쇤.	콕.	오비.	차수
정사면체	{3, 3}	3 2 3	정사면체	사면체 대칭	T_d T	[3,3] [3,3]⁺	*332 332	24 12
정육면체	{4, 3}	3 2 4	정팔면체	팔면체 대칭	O_h O	[4,3] [4,3]⁺	*432 432	48 24
정팔면체	{3, 4}	4 2 3	정육면체	팔면체 대칭	O_h O	[4,3] [4,3]⁺	*432 432	48 24
정십이면체	{5, 3}	3 2 5	정이십면체	이십면체 대칭	I_h I	[5,3] [5,3]⁺	*532 532	120 60
정이십면체	{3, 5}	5 2 3	정십이면체	이십면체 대칭	I_h I	[5,3] [5,3]⁺	*532 532	120 60

정다면체를 자신에게 겹쳐지도록 하는 3차원 공간상의 회전 조작(회전 변환) 전체가 이루는 군을 말한다. 이는 3차원 회전군의 부분군이 된다.

정다면체의 회전군은 "정몇면체군"이라고 부르지만, 서로 쌍대인 정육면체군과 정팔면체군, 정십이면체군과 정이십면체군은 각각 군으로서 같은 것이 되므로, 정사면체군, 정팔면체군, 정이십면체군이라고 부르는 경우가 많다. 정사면체군은 4차 교대군 A₄, 정팔면체군은 4차 대칭군 S₄, 정이십면체군은 5차 교대군 A₅와 동형이다.

슐래플리 기호를 사용하여 {p, q}로 쓸 수 있는 정다면체를 자신으로 옮기는 회전에는 다음 세 가지 유형이 있다. 단, 정사면체의 경우에는 면의 중심과 꼭짓점이 상대적이므로 ①과 ②가 융합된 것으로 간주한다.
* ① 서로 마주보는 면의 중심을 잇는 축을 중심으로 2π/p의 정수배 회전하는 조작
* ② 서로 마주보는 꼭짓점을 잇는 축을 중심으로 2π/q의 정수배 회전하는 조작
* ③ 서로 마주보는 변의 중점을 잇는 축을 중심으로 π (의 정수배) 회전하는 조작

다음 표에서 ①, ②, ③에는 단위원이 아닌 것의 수를 나타냈다.

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정다면체의 변환군
	p	q	①	②	③	단위원	합계(위수)	2회 대칭축	3회 대칭축	4회 대칭축	5회 대칭축
정사면체	3	3	8		3	1	12	3	4	-	-
정육면체	4	3	9	8	6	1	24	6	4	3	-
정팔면체	3	4	8	9	6	1	24	6	4	3	-
정십이면체	5	3	24	20	15	1	60	15	10	-	6
정이십면체	3	5	20	24	15	1	60	15	10	-	6

7. 응용

정다면체는 자연과 과학 기술의 여러 분야에서 발견되거나 활용된다. 결정 구조에서 정사면체, 정육면체, 정팔면체 형태가 나타나며, 황철석은 정십이면체와 비슷한 오각십이면체 형태를 가진다. 붕소 동소체와 붕소 카바이드 등의 붕소 함유 금속 붕소 화합물의 결정 구조는 정이십면체와 유사한 B₁₂ 구조를 포함한다. 카보레인산도 정이십면체에 가까운 분자 구조를 갖는다.

에른스트 헤켈이 묘사한 방산충 중 일부는 정다면체 모양의 골격을 가지고 있다. 예를 들어 Circoporus octahedrus, Circogonia icosahedra, Lithocubus geometricus, Circorrhegma dodecahedra 등이 있다. 헤르페스 바이러스와 같은 많은 바이러스는 정이십면체 모양을 띄는데, 이는 반복되는 단백질 서브유닛으로 구성하기 쉽고 게놈 공간을 절약할 수 있기 때문이다.

기상학과 기후학에서는 대기 흐름의 전 지구 수치 모델에 정이십면체 기반의 측지선 격자가 사용된다. 이는 극점과 같은 수학적 특이점 없이 공간 해상도를 균등하게 분배하는 장점이 있다.

스페이스 프레임 기하학은 종종 플라톤 입체를 기반으로 하며, MERO 시스템에서는 다양한 스페이스 프레임 구성을 명명하는 데 사용된다. 예를 들어 O+T는 정팔면체의 절반과 정사면체로 구성된 구조를 나타낸다.

큐베인과 도데카헤드란을 포함한 여러 플라톤 탄화수소가 합성되었다.

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정다면체는 공정한 주사위를 만드는 데 사용될 수 있어, 주사위로 자주 활용된다. 6면 주사위 외에도 다양한 면을 가진 주사위가 롤플레잉 게임 등에서 사용된다. 이러한 주사위는 dn (n은 면의 수)으로 표기된다. 루빅스 큐브와 유사한 퍼즐도 정다면체 모양으로 만들어진다.

아이작 뉴턴의 영묘 (1784년)와 같은 건축물에서 정다면체의 조형적 특성이 활용되기도 한다. 에티엔 루이 불레는 건축에 "플라톤 다면체" 개념을 도입하였다.

다음은 일본산 광물 결정 중 정다면체 형태를 이루는 주요 광물 종류이다.

* 정사면체
* 연안사면동광 (Tetrahedrite) 등의 사면동광 그룹, 섬아연광 (Sphalerite), 즈니석 (Zunyite) 등
* 정육면체
* 황철광 (Pyrite), 방연광 (Galena), 자연동 (Native copper), 흑진사 (Metacinnabar), 형석 (Fluorite), 각은광 (Chlorargyrite), 섬망간광 (Alabandite), 독철광 (Pharmacosiderite) 등
* 정팔면체
* 황철광 (Pyrite), 자연금 (native gold), 자연동 (Native copper), 하우엘광 (Hauerite), 휘코발트광 (Cobaltite), 형석 (Fluorite), 적동광 (Cuprite), 녹망간광 (Manganosite), 첨정석 (Spinel), 자철광 (Magnetite), 크롬철광 (Chromite) 등
* (정오각형이 아닌) 오각십이면체
* 황철광 (Pyrite)
* (일부는 정삼각형이 아닌) 삼각이십면체
* 황철광 (Pyrite)

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형태	면지수
섬아연광	정사면체	{111}
황철광	정육면체	{100}
첨정석	정팔면체	{111}
황철광	오각십이면체	{210}
황철광	삼각이십면체	{111} {210}

대한민국에서는 민주당 등 진보 정당을 중심으로 정다면체의 조화로운 특성을 사회적 통합과 관련된 가치에 대한 은유로 사용하는 경우가 있다.

8. 4차원 정다면체

3차원 이상에서는 다면체가 다포체로 일반화되며, 고차원 볼록 정다포체는 3차원 플라톤 다면체에 해당한다.

19세기 중반 스위스 수학자 루드비히 슐레플리는 플라톤 다면체의 4차원 아날로그인 볼록 정4-다포체를 발견했다. 이러한 도형은 정확히 6개가 있으며, 그 중 5개는 플라톤 다면체와 유사하다: {3,3,3}인 5-세포, {3,3,4}인 16-세포, {3,3,5}인 600-세포, {4,3,3}인 초입방체, {5,3,3}인 120-세포가 있으며, 여섯 번째는 자기 쌍대인 24-세포인 {3,4,3}이다.