앞섬-뒤짐 보상기

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1. 개요
2. 이론
- 2.1. 앞섬 보상기 (Lead Compensator)
- 2.2. 뒤짐 보상기 (Lag Compensator)
3. 라플라스 변환 표현
4. 주파수 응답 특성
5. 시스템 응답 개선
6. 구현
- 6.1. 아날로그 구현
- 6.2. 디지털 구현
7. 응용 분야
참조

1. 개요

앞섬-뒤짐 보상기는 제어 시스템의 성능을 향상시키기 위해 사용되는 보상기 유형이다. 리드 보상기, 래그 보상기, 또는 이 둘을 결합한 리드-래그 보상기로 구성되며, 시스템의 위상 여유를 조절하여 안정성을 확보하고 정상 상태 오차를 줄이는 데 기여한다. 앞섬 보상기는 위상 여유를 증가시켜 시스템의 응답성을 개선하고, 뒤짐 보상기는 정상 상태 오차를 감소시키는 역할을 한다. 이러한 보상기는 아날로그 및 디지털 제어 시스템에서 구현되며, 로봇 공학, 위성 제어, 자동차 진단 등 다양한 분야에 적용된다.

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앞섬-뒤짐 보상기
개요
전형적인 앞섬-뒤짐 보상기의 보데 선도.
유형	보상기
분야	제어 이론
관련 주제	앞섬 보상기 뒤짐 보상기 PID 제어기 제어 시스템
상세 정보
전달 함수	'$Krac{s+a}{s+b}$'
영점	-a
극점	-b
앞섬 네트워크 조건	a < b
뒤짐 네트워크 조건	a > b

2. 이론

리드 보상기와 래그 보상기는 모두 개루프 전달 함수에 극-영점 쌍을 도입한다. 전달 함수는 라플라스 영역에서 다음과 같이 작성할 수 있다.

: $\frac{Y}{X} = \frac{s-z}{s-p}$

여기서 ''X''는 보상기의 입력, ''Y''는 출력, ''s''는 복소수 라플라스 변환 변수, ''z''는 영점 주파수, ''p''는 극 주파수이다. 극과 영점은 일반적으로 모두 음수이거나 복소 평면의 원점 왼쪽에 있다. 리드 보상기에서 $|z| < |p|$ 이고, 래그 보상기에서 $|z| > |p|$ 이다.

리드-래그 보상기는 리드 보상기와 래그 보상기가 직렬로 연결된 형태로 구성된다. 전체 전달 함수는 다음과 같이 작성할 수 있다.

: $\frac{Y}{X} = \frac{(s-z_1)(s-z_2)}{(s-p_1)(s-p_2)}.$

일반적으로 $|p_1| > |z_1| > |z_2| > |p_2|$ 이며, 여기서 ''z''₁과 ''p''₁은 리드 보상기의 영점과 극이고 ''z''₂와 ''p''₂는 래그 보상기의 영점과 극이다. 리드 보상기는 고주파수에서 위상 리드를 제공한다. 이것은 근궤적을 왼쪽으로 이동시켜 시스템의 응답성과 안정성을 향상시킨다. 래그 보상기는 저주파수에서 위상 지연을 제공하여 정상 상태 오차를 줄인다.

극과 영점의 정확한 위치는 폐루프 응답의 원하는 특성과 제어되는 시스템의 특성에 따라 달라진다. 그러나 래그 보상기의 극과 영점은 서로 가까이 있어야 극이 오른쪽으로 이동하여 불안정성이나 느린 수렴을 일으키는 것을 방지할 수 있다. 그들의 목적이 저주파수 동작에 영향을 미치는 것이므로 원점에 가까워야 한다.

2. 1. 앞섬 보상기 (Lead Compensator)

앞섬 보상기(Lead Compensator)의 위상 응답 특성은 선형 시불변 시스템(LTI system theory)의 위상 여유를 증가시켜 불안정한 시스템을 안정화시키거나 응답 특성을 개선하는데 이용될 수 있다. 주어진 플랜트(plant)를

G(s)

, 플랜트에 가해질 제어 입력을 생성할 보상기 또는 제어기를

D(s)

라 두고 단일 되먹임 시스템(unity feedback system)을 고려하면, 기준 입력(reference input)

r

로부터 출력

y

까지의 전달함수는 다음과 같다.

:

\frac{Y(s)}{R(s)} = \frac{D(s)G(s)}{1 + D(s)G(s)}.

시스템의 응답 특성에서 오버슈트(overshoot)를 줄이거나 불안정한 시스템의 안정화를 위해서는 보통 개방 루프의 주파수 응답의 이득 교차 주파수

\omega_{c}

에서 위상 여유를 증가시켜야 한다. 직류 이득에 영향을 주지 않기 위해 보통

K = 1

로 둔다. 앞섬 보상기를 이용해 증가시킬 위상의 최댓값을

\phi_{m}

이라 두면

\phi_{m}

만큼의 위상 증가를 얻기 위해 필요한 극점과 영점의 비율

\gamma

는 다음의 관계식을 통해 결정된다.

:

\gamma = \frac{1 + \sin\phi_{m}}{1 - \sin\phi_{m}}.

\gamma

가 결정되면

\omega_{m} = \sqrt{pz}

와

\gamma = p/z

의 관계로부터

p

와

z

의 값을 다음과 같이 얻게된다.

:

z = \frac{\omega_{m}}{\sqrt{\gamma}},\quad p = \omega_{m}\sqrt{\gamma}.

여기서 만약

\omega_{m} = \omega_{c}

로 두고 개방 루프에 보상기를 추가해 주면 원하는 만큼의 응답 특성 개선이 이루어지지 않는다. 그 이유는 보상기를 추가함으로 인해 개방 루프의 크기 응답이 바뀌게 되어 이득 교차 주파수가 보상기의 추가 이전과 달라지기 때문이다. 따라서

\omega_{m}

값을

\omega_{c}

근처에서 조금씩 변화를 시키면서 튜닝을 해야한다.

리드 보상기에서

|z| < |p|

이다. 리드 보상기는 고주파수에서 위상 리드를 제공하며, 근궤적을 왼쪽으로 이동시켜 시스템의 응답성과 안정성을 향상시킨다.

2. 2. 뒤짐 보상기 (Lag Compensator)

뒤짐 보상기는 단일 되먹임 시스템의 정상 상태 오차를 줄이기 위해 사용된다. 개방 루프의 직류 이득을 증가시켜 정상 상태 오차를 줄일 수 있지만, 비례 이득만 증가시키면 시스템의 동특성이 크게 변화하여 부작용이 발생할 수 있다. 따라서 뒤짐 보상기를 사용하여 시스템 동특성 변화는 최소화하면서 직류 이득을 증가시킨다.

보상기의 직류 이득은 다음과 같이 계산된다.

:

\lim_{\omega \to 0}D(j\omega) = K.

원하는 만큼 정상 상태 오차가 줄어들도록

K

를 먼저 선택한다. 직류 이득을 증가시키면서 뒤짐 보상기가 개방 루프의 동특성을 크게 변화시키지 않도록

\omega

가 증가함에 따라

D(j\omega)

는

1

에 가까워져야 한다.

\lim_{\omega \to \infty}D(j\omega) = Kp/z

이므로

\gamma = 1/K

로 둔다. 극점과 영점을 가깝게 두어 서로의 영향이 상쇄되도록 하여 동특성 변화를 줄인다. 따라서

\gamma = 1/K

의 조건을 만족하면서 극점과 영점을 가깝게 두기 위해

z

와

p

를 작은 값으로 택한다.

리드 보상기와 래그 보상기는 모두 개루프 전달 함수에 극-영점 쌍을 도입한다. 래그 보상기에서

|z| > |p|

이다.

리드-래그 보상기는 리드 보상기와 래그 보상기가 직렬로 연결된 형태이다. 래그 보상기는 저주파수에서 위상 지연을 제공하여 정상 상태 오차를 줄인다. 래그 보상기의 극과 영점은 서로 가까이 있어야 극이 오른쪽으로 이동하여 불안정성이나 느린 수렴을 일으키는 것을 방지할 수 있다. 그들의 목적이 저주파수 동작에 영향을 미치는 것이므로 원점에 가까워야 한다.

네트워크 내 모든 신호 주파수에서 위상각이 음수이면, 해당 네트워크는 ''래그 네트워크''로 분류된다.

3. 라플라스 변환 표현

앞섬 보상기와 뒤짐 보상기의 라플라스 변환 표현은 다음과 같다.

: $D(s) = \frac{Y(s)}{X(s)} = K\frac{s/z + 1}{s/p + 1}.$

여기서 $X$ 는 보상기의 입력 신호의 라플라스 변환이고 $Y$ 는 보상기의 출력 신호의 라플라스 변환, $s$ 는 라플라스 변환 변수, $-z$ 는 보상기의 영점, $-p$ 는 보상기의 극점이다. 만약 $0 < |z| < |p|$ 이면 보상기는 앞섬 보상기가 되고, $0 < |p| < |z|$ 이면 뒤짐 보상기가 된다. 보통의 경우 $p$ 와 $z$ , $K$ 는 양수이다.

4. 주파수 응답 특성

보상기의 주파수 응답 특성을 보기 위해 $s = j\omega$ 로 치환한다. 여기서 $j$ 는 허수 단위이고, $\omega$ 는 각주파수이다. 그러면 보상기의 크기 응답과 위상 응답은 다음과 같다.

: $\begin{align}|D(j\omega)| &= K\sqrt{\frac{1 + (\omega/z)^{2}}{1 + (\omega/p)^{2}}},\\\angle D(j\omega) &= \arctan \frac{\omega}{z} - \arctan \frac{\omega}{p}.\end{align}$

$0 < z < p$ 이면 위상 응답이 0보다 크고 ( $\omega = \sqrt{pz}$ 에서 최대) 앞섬 보상기가 된다. 반대로 $0 < p < z$ 이면 위상 응답이 0보다 작고 ( $\omega = \sqrt{pz}$ 에서 최소) 뒤짐 보상기가 된다. $\omega = \omega_{m} = \sqrt{pz}$ 에서의 위상 변화를 $\phi_{m}$ 이라 두면 다음과 같은 관계가 성립한다.

: $\sin \phi_{m} = \frac{\gamma - 1}{\gamma + 1},\quad \gamma = p/z.$

5. 시스템 응답 개선

리드-래그 보상기를 설계하기 위해서는, 엔지니어는 수정이 필요한 시스템을 리드 네트워크, 래그 네트워크, 또는 이 둘을 조합한 리드-래그 네트워크(따라서 "리드-래그 보상기"라는 이름이 붙음) 중 하나로 분류할 수 있는지 고려해야 한다. 이 네트워크가 입력 신호에 대해 나타내는 전기적 응답은 네트워크의 라플라스 영역 전달 함수로 표현되며, 이는 복소수로 표현되는 수학적 함수이다. 이 함수는 전류 이득비 전달 함수 또는 전압 이득비 전달 함수의 두 가지 방식으로 표현될 수 있다. 복소 함수는 일반적으로 $F(x) = A(x) + i B(x)$ 로 표현될 수 있는데, 여기서 $A(x)$ 는 단일 변수 함수 $F(x)$ 의 ''실수부''이고, $B(x)$ 는 ''허수부''이다.

네트워크의 ''위상각''은 $F(x)$ 의 인수이며, 왼쪽 반평면에서 이는 $\arctan\!\bigl(B(x)/A(x)\bigr)$ 이다. 네트워크 내 모든 신호 주파수에서 위상각이 음수이면, 해당 네트워크는 ''래그 네트워크''로 분류된다. 네트워크 내 모든 신호 주파수에서 위상각이 양수이면, 해당 네트워크는 ''리드 네트워크''로 분류된다. 전체 네트워크 위상각이 주파수의 함수로서 양수와 음수의 위상을 모두 갖는다면, 이는 ''리드-래그 네트워크''이다.

능동적인 피드백 제어 하에서 시스템의 공칭 작동 설계 매개변수에 따라, 래그 또는 리드 네트워크는 불안정성을 유발하고 속도와 응답 시간을 저하시킬 수 있다.

5. 1. 앞섬 보상기 설계

앞섬 보상기의 위상 응답 특성은 선형 시불변 시스템의 위상 여유를 증가시켜 불안정한 시스템을 안정화시키거나 응답 특성을 개선하는데 이용될 수 있다. 주어진 플랜트(plant)를

G(s)

, 플랜트에 가해질 제어 입력을 생성할 보상기 또는 제어기를

D(s)

라 두고 단일 되먹임 시스템(unity feedback system)을 고려하면, 기준 입력(reference input)

r

로부터 출력

y

까지의 전달함수는 다음과 같다.

:

\frac{Y(s)}{R(s)} = \frac{D(s)G(s)}{1 + D(s)G(s)}.

시스템의 응답 특성에서 오버슈트(overshoot)를 줄이거나 불안정한 시스템의 안정화를 위해서는 보통 개방 루프의 주파수 응답의 이득 교차 주파수

\omega_{c}

에서 위상 여유를 증가시켜야 한다. 직류 이득에 영향을 주지 않기 위해 보통

K = 1

로 둔다. 앞섬 보상기를 이용해 증가시킬 위상의 최댓값을

\phi_{m}

이라 두면

\phi_{m}

만큼의 위상 증가를 얻기 위해 필요한 극점과 영점의 비율

\gamma

는 다음의 관계식을 통해 결정된다.

:

\gamma = \frac{1 + \sin\phi_{m}}{1 - \sin\phi_{m}}.

\gamma

가 결정되면

\omega_{m} = \sqrt{pz}

와

\gamma = p/z

의 관계로부터

p

와

z

의 값을 다음과 같이 얻게된다.

:

z = \frac{\omega_{m}}{\sqrt{\gamma}},\quad p = \omega_{m}\sqrt{\gamma}.

여기서 만약

\omega_{m} = \omega_{c}

로 두고 개방 루프에 보상기를 추가해 주면 원하는 만큼의 응답 특성 개선이 이루어지지 않는다. 그 이유는 보상기를 추가함으로 인해 개방 루프의 크기 응답이 바뀌게 되어 이득 교차 주파수가 보상기의 추가 이전과 달라지기 때문이다. 따라서

\omega_{m}

값을

\omega_{c}

근처에서 조금씩 변화를 시키면서 튜닝을 해야한다.

5. 2. 뒤짐 보상기 설계

단일 되먹임 시스템의 계단 응답에서 정상 상태 오차를 줄이기 위해서는 개방 루프의 직류 이득을 증가시켜야 한다. 하지만 비례 이득만을 증가시키면 시스템의 동특성이 크게 변화하여 부작용을 피할 수 없다. 따라서 시스템의 동특성에 변화를 가능하면 적게 주고 직류 이득을 증가시킬 필요가 있으며, 이를 위해 뒤짐 보상기를 사용한다.

보상기의 직류 이득은 다음과 같이 계산된다.

:

\lim_{\omega \to 0}D(j\omega) = K.

원하는 만큼 정상 상태 오차가 줄어들도록

K

를 먼저 선택한다. 직류 이득을 증가시키면서 뒤짐 보상기가 개방 루프의 동특성을 크게 변화시키지 않아야 하므로

\omega

가 증가함에 따라

D(j\omega)

는

1

에 가까워 져야 한다.

\lim_{\omega \to \infty}D(j\omega) = Kp/z

이므로

\gamma = 1/K

로 둔다. 동특성 변화를 줄이기 위해서는 극점과 영점을 가깝게 두어 서로의 영향이 상쇄되도록 해야 한다. 따라서

\gamma = 1/K

의 조건을 만족하면서 극점과 영점을 가깝게 두기 위해서는

z

와

p

를 작은 값으로 택해야 한다.

5. 3. 근궤적 상의 영향

리드-래그 보상기를 설계하기 위해, 엔지니어는 수정이 필요한 시스템을 리드 네트워크, 래그 네트워크, 또는 이 둘을 조합한 리드-래그 네트워크 중 하나로 분류할 수 있는지 고려해야 한다. 이 네트워크가 입력 신호에 대해 나타내는 전기적 응답은 네트워크의 라플라스 영역 전달 함수로 표현되며, 이는 복소수로 표현되는 수학적 함수이다. 복소 함수는 일반적으로

F(x) = A(x) + i B(x)

로 표현될 수 있는데, 여기서

A(x)

는 단일 변수 함수

F(x)

의 ''실수부''이고,

B(x)

는 ''허수부''이다.

네트워크의 ''위상각''은

F(x)

의 인수이며, 왼쪽 반평면에서 이는

\arctan\!\bigl(B(x)/A(x)\bigr)

이다. 네트워크 내 모든 신호 주파수에서 위상각이 음수이면, 해당 네트워크는 ''래그 네트워크''로 분류된다. 반대로 위상각이 양수이면 ''리드 네트워크''로 분류된다. 전체 네트워크 위상각이 주파수의 함수로서 양수와 음수의 위상을 모두 갖는다면, 이는 ''리드-래그 네트워크''이다.

능동적인 피드백 제어 하에서 시스템의 공칭 작동 설계 매개변수에 따라, 래그 또는 리드 네트워크는 불안정성을 유발하고 속도와 응답 시간을 저하시킬 수 있다.

6. 구현

아날로그 및 디지털 제어 시스템 모두에서 앞섬-뒤짐 보상기를 사용한다. 구현에 사용되는 기술은 각 경우에 따라 다르지만, 기본적인 원리는 동일하다. 전달 함수는 출력을 입력, 입력과 출력의 적분과 관련된 항들의 합으로 표현되도록 재배열된다.

아날로그 제어 시스템에서 적분기는 비용이 많이 들기 때문에 필요한 적분기의 수를 최소화하기 위해 항들을 묶는 것이 일반적이다.

아날로그 제어에서 제어 신호는 일반적으로 전기적인 전압 또는 전류이다(하지만 유압 압력과 같은 다른 신호도 사용될 수 있다). 이 경우, 앞섬-뒤짐 보상기는 연산 증폭기("op-amps")의 네트워크로 구성되며, 이는 적분기 및 가중 가산기로 연결된다. 앞섬-뒤짐 보상기의 가능한 물리적 구현은 아래에 나와 있다.

디지털 제어에서는 미분과 적분을 이산화하여 연산을 수치적으로 수행한다.

전달 함수를 적분 방정식으로 표현하는 이유는 신호를 미분하면 신호의 노이즈가 증폭되기 때문이다. 매우 작은 진폭의 노이즈라도 주파수가 높으면 미분 값이 크다. 반면에 신호를 적분하면 노이즈가 평균화된다. 이는 적분기를 이용한 구현이 수치적으로 가장 안정적인 이유이다.

6. 1. 아날로그 구현

아날로그 및 디지털 제어 시스템 모두에서 앞섬-뒤짐 보상기를 사용한다. 구현에 사용되는 기술은 각 경우에 따라 다르지만, 기본적인 원리는 동일하다. 전달 함수는 출력을 입력, 입력과 출력의 적분과 관련된 항들의 합으로 표현되도록 재배열된다.

아날로그 제어 시스템에서 적분기는 비용이 많이 들기 때문에 필요한 적분기의 수를 최소화하기 위해 항들을 묶는다.

아날로그 제어에서 제어 신호는 일반적으로 전기적인 전압 또는 전류이다(하지만 유압 압력과 같은 다른 신호도 사용될 수 있다). 이 경우, 앞섬-뒤짐 보상기는 연산 증폭기("op-amps")의 네트워크로 구성되며, 이는 적분기 및 가중 가산기로 연결된다.

디지털 제어에서는 미분과 적분을 이산화하여 연산을 수치적으로 수행한다.

전달 함수를 적분 방정식으로 표현하는 이유는 신호를 미분하면 신호의 노이즈가 증폭되기 때문이다. 매우 작은 진폭의 노이즈라도 주파수가 높으면 미분 값이 크다. 반면에 신호를 적분하면 노이즈가 평균화된다. 이는 적분기를 이용한 구현이 수치적으로 가장 안정적인 이유이다.

6. 2. 디지털 구현

아날로그 및 디지털 제어 시스템 모두에서 앞섬-뒤짐 보상기를 사용한다. 구현에 사용되는 기술은 각 경우에 따라 다르지만, 기본적인 원리는 동일하다. 전달 함수는 출력을 입력, 입력과 출력의 적분과 관련된 항들의 합으로 표현되도록 재배열된다.

디지털 제어에서는 미분과 적분을 이산화하여 연산을 수치적으로 수행한다.

전달 함수를 적분 방정식으로 표현하는 이유는 신호를 미분하면 신호의 노이즈가 증폭되기 때문이다. 매우 작은 진폭의 노이즈라도 주파수가 높으면 미분 값이 크다. 반면에 신호를 적분하면 노이즈가 평균화된다. 이는 적분기를 이용한 구현이 수치적으로 가장 안정적인 이유이다.

7. 응용 분야

앞섬-뒤짐 보상기는 로봇 공학, 위성 제어, 자동차 진단, LCD 및 레이저 주파수 안정화와 같이 다양한 분야에 영향을 미친다. 이는 아날로그 제어 시스템의 중요한 구성 요소이며, 디지털 제어에도 사용할 수 있다.

제어 대상이 주어지면 보상기를 사용하여 원하는 사양을 달성할 수 있다. P, PI, PD 및 PID는 시스템 매개변수(예: 정상 상태 오차 감소, 공진 피크 감소, 상승 시간 감소를 통한 시스템 응답 개선)를 개선하는 데 사용되는 최적화 제어기이다. 이러한 모든 작업은 계단식 보상 기술에 사용되는 보상기를 통해서도 수행할 수 있다.

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