에너지 조건

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1. 개요

에너지 조건은 일반 상대성 이론에서 에너지-운동량 텐서에 부과되는 제약 조건으로, 시공간의 물리적 특성을 제한하고 다양한 이론적 결과를 도출하는 데 사용된다. 주요 에너지 조건에는 영벡터 에너지 조건(NEC), 약한 에너지 조건(WEC), 영벡터 우세 에너지 조건(NDEC), 우세 에너지 조건(DEC), 강한 에너지 조건(SEC) 등이 있으며, 이들은 시공간 상의 에너지 밀도와 압력의 관계를 규정한다. 또한, 평균 에너지 조건(ANEC, AWEC)은 주어진 세계선에서 에너지 조건을 적분하여 정의된다. 에너지 조건들은 블랙홀 열역학, 공간의 위상 변화, 블랙홀의 위상 등 시공간의 여러 성질을 증명하는 데 사용되며, 강한 에너지 조건은 암흑 에너지와 우주 상수 관측으로 인해 우주 규모에서 위배될 수 있다.

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에너지 조건
에너지 조건
개요
정의	일반 상대성 이론에서 물질의 스트레스-에너지 텐서가 만족해야 하는 몇 가지 조건
목적	아인슈타인 방정식의 해의 물리적 타당성을 보장하고, 특이점 정리와 같은 중요한 결과를 도출하는 데 사용됨
종류
약한 에너지 조건 (Weak Energy Condition, WEC)	모든 시간꼴 벡터 V에 대해, 에너지 밀도 ρ는 항상 0 이상이어야 함: TμνVμVν ≥ 0
강한 에너지 조건 (Strong Energy Condition, SEC)	모든 시간꼴 벡터 V에 대해, (Tμν − (1/2)Tgμν)VμVν ≥ 0 (T는 스트레스-에너지 텐서의 대각합)
우세한 에너지 조건 (Dominant Energy Condition, DEC)	에너지 밀도 ρ는 항상 0 이상이며, 에너지-운동량 벡터 TμνVν는 시간꼴 또는 영벡터이어야 함
영 에너지 조건 (Null Energy Condition, NEC)	모든 영벡터 (null vector) K에 대해, TμνKμKν ≥ 0
위반
양자장론	에너지 조건은 양자장론에서 종종 위반됨 (예: 카시미르 효과)
특이점 정리	일부 에너지 조건의 위반은 특이점 정리의 결론을 피할 수 있게 함
이국적인 물질	에너지 조건을 만족하지 않는 물질은 "이국적인 물질"이라고 불림
활용
블랙홀 열역학	에너지 조건은 블랙홀 열역학의 여러 중요한 결과들을 증명하는 데 사용됨
우주론	에너지 조건은 우주론 모델의 타당성을 검증하는 데 사용됨
웜홀	웜홀의 존재는 특정 에너지 조건의 위반을 필요로 함

2. 정의

일반 상대성 이론에서 에너지-운동량 텐서는 물질의 분포, 운동량, 응력 등을 나타낸다. 에너지 조건은 이 텐서가 만족해야 할 여러 가지 조건들을 제시한다.

계량 부호수 −+++를 사용하는 시공간 $(M,g)$ 위에 에너지-운동량 텐서 $T_{\mu\nu}$ 가 주어졌다고 가정하고, 이 시공간에는 시간 방향이 정해져 있다고 하자. 이에 따라 모든 벡터는 미래 방향 시간꼴 벡터, 과거 방향 시간꼴 벡터, 미래 방향 영벡터, 과거 방향 영벡터, 공간꼴 벡터로 분류할 수 있다. 또한, 에너지-운동량 텐서의 대각합 $T=g^{\mu\nu}T_{\mu\nu}$ 를 정의한다.

흔히 사용되는 5가지의 에너지 조건은 다음과 같다.^[9]

'''영벡터 에너지 조건'''(零vector energy條件, null energy condition^영어, 약자 NEC)은 모든 미래 방향 영벡터장 $u^\mu$ 에 대하여 다음 부등식이 성립한다는 조건이다.
: $u^\mu u^\nu T_{\mu\nu}\ge0$
이는 빛의 속력으로 움직이는 (무질량) 관찰자는 항상 음이 아닌 에너지 밀도를 관찰한다는 것을 의미한다.
'''약한 에너지 조건'''(弱-energy條件, weak energy condition^영어, 약자 WEC)에 따르면, 모든 미래 방향 시간꼴 벡터장 $v^\mu$ 는 다음 조건을 만족시킨다.
: $v^\mu v^\nu T_{\mu\nu}\ge0$
이는 빛의 속력보다 느리게 움직이는 (유질량) 관찰자는 항상 음이 아닌 에너지 밀도를 관찰한다는 것을 의미한다.
'''영벡터 우세 에너지 조건'''(零vector優勢energy條件, null dominant energy condition^영어, 약자 NDEC)은 약한 에너지 조건이 충족되며, 모든 미래 방향 영벡터장 $u^\mu$ 에 대하여, $-T^{\mu\nu}u_\mu$ 는 미래 방향 시간꼴 또는 영벡터로 구성된 벡터장이라는 조건이다.
이는 빛의 속도로 움직이는 관찰자는 에너지-운동량이 빛보다 더 빨리 흐르는 것을 관찰할 수 없다는 것을 의미하며, 우세 에너지 조건과 유사하나 음의 우주 상수를 허용한다.^[9]
'''우세 에너지 조건'''(優勢energy條件, dominant energy condition^영어, 약자 DEC)은 약한 에너지 조건이 충족되며, 모든 미래 방향 시간꼴 또는 영벡터장 $v^\mu$ 에 대하여, $-T^{\mu\nu}v_\mu$ 는 미래 방향 시간꼴 또는 영벡터로 구성된 벡터장이라는 조건이다.
이는 빛의 속력 이하로 움직이는 관찰자는 에너지-운동량이 빛보다 더 빨리 흐르는 것을 관찰할 수 없다는 것을 의미한다. 등방성 물질의 경우, 압력이 항상 에너지 밀도보다 작아야 하며, 이는 물질에서 음속이 빛의 속력보다 작아야 한다는 조건이다.^[8]
'''강한 에너지 조건'''(強-energy條件, strong energy condition^영어, 약자 SEC)에 따르면, 모든 미래 방향 시간꼴 벡터장 $v^\mu$ 는 다음 조건을 만족시킨다.
: $v^\mu v^\nu(T_{\mu\nu}-Tg_{\mu\nu}/2)\ge0$

이 조건들을 약화시켜, 주어진 세계선의 적분에 관한 에너지 조건들을 정의할 수 있는데, 이를 '''평균 에너지 조건'''(平均energy條件, averaged energy conditions^영어)이라고 한다.^[11]

'''평균 영벡터 에너지 조건'''(平均零vector energy條件, averaged null energy condition^영어, 약자 ANEC)에 따르면, 모든 속력이 항상 미래 방향 영벡터인 곡선들의 집합은 다음 조건을 만족시킨다.
: $\int_{\mathbb R}\dot\gamma^\mu(t)\dot\gamma^\nu(t) T_{\mu\nu}(\gamma(t))\;\mathrm dt\ge0$
'''평균 약한 에너지 조건'''(平均弱-energy條件, averaged weak energy condition^영어, 약자 AWEC)에 따르면, 모든 임의의 $t\in\mathbb R$ 에 대하여 속력 $\dot\gamma(t)\in\mathrm T_xM$ 이 미래 방향 시간꼴인 곡선들의 집합은 다음 조건을 만족시킨다.
: $\int_{\mathbb R}\dot\gamma^\mu(t)\dot\gamma^\nu(t) T_{\mu\nu}(\gamma(t))\;\mathrm dt\ge0$

2. 1. 점별 에너지 조건

계량 부호수 −+++를 사용하는 시공간

(M,g)

위에 에너지-운동량 텐서

T_{\mu\nu}

가 주어졌다고 가정하고, 이 시공간에는 시간 방향이 정해져 있다고 하자. 이에 따라 모든 벡터는 미래 방향 시간꼴 벡터, 과거 방향 시간꼴 벡터, 미래 방향 영벡터, 과거 방향 영벡터, 공간꼴 벡터로 분류할 수 있다. 또한, 에너지-운동량 텐서의 대각합

T=g^{\mu\nu}T_{\mu\nu}

를 정의한다.

일반 상대성 이론 및 관련 이론에서 물질, 그리고 중력을 제외한 모든 장에 의한 질량, 운동량, 응력의 분포는 에너지-운동량 텐서(또는 ''물질 텐서'')

T^{ab}

로 표현된다. 그러나 아인슈타인 방정식 자체는 어떤 종류의 물질 상태나 중력 이외의 장이 시공간 모델에서 허용되는지를 구체적으로 나타내지 않는다. 이는 중력 이론이 비중력 물리학에 대한 가정에 최대한 독립적이어야 한다는 장점이 있지만, 대부분의 물리학자들이 비물리적이라고 생각하는 특성을 가진 가상 해를 허용한다는 단점도 있다.

에너지 조건은 이러한 기준을 제시한다. 물리학적으로 잘 확립된 물질 상태와 비중력장에 공통적인 속성을 설명하며, 아인슈타인 방정식의 비물리적인 해를 배제한다.

수학적으로 에너지 조건은 물질 텐서의 고유값 및 고유벡터에 대한 제한이며, 접선 공간 수준에서 ''사건별''로 부과되어 닫힌 시간꼴 곡선과 같은 바람직하지 않은 전역 시공간 구조를 배제할 수는 없다.

흔히 사용되는 5가지의 에너지 조건은 다음과 같다.^[9]

2. 1. 1. 영벡터 에너지 조건 (NEC)

'''영벡터 에너지 조건'''(零vector energy條件, null energy condition^영어, 약자 NEC)은 모든 미래 방향 영벡터장

u^\mu

에 대하여 다음 부등식이 성립한다는 조건이다.

:

u^\mu u^\nu T_{\mu\nu}\ge0

이는 빛의 속력으로 움직이는 (무질량) 관찰자는 항상 음이 아닌 에너지 밀도를 관찰한다는 것을 의미한다.^[9]

각각의 에너지 조건은 ''평균화된'' 버전을 가지는데, 위에 언급된 속성은 적절한 벡터장의 흐름선상에서만 ''평균적으로'' 유효하다. 그렇지 않으면 카시미르 효과로 인해 예외가 발생한다. 예를 들어, '''평균 영 에너지 조건'''은 영 벡터장

\vec{k}

의 모든 흐름선(적분 곡선)

C

에 대해 다음을 만족해야 한다고 명시한다.

:

\int_C T_{ab}   k^a k^b d\lambda \ge 0.

2. 1. 2. 약한 에너지 조건 (WEC)

약한 에너지 조건(weak energy condition^영어, 약자 WEC)에 따르면, 모든 미래 방향 시간꼴 벡터장

v^\mu

는 다음 조건을 만족시킨다.^[9]

:

v^\mu v^\nu T_{\mu\nu}\ge0

즉, 빛의 속력보다 느리게 움직이는 (유질량) 관찰자는 항상 음이 아닌 에너지 밀도를 관찰한다.

이는 모든 ''시간꼴 벡터장''

\vec{X}

에 대해, 대응하는 관찰자가 관측한 물질 밀도가 항상 음수가 아니라는 조건으로 표현할 수 있다.

:

\rho = T_{ab} X^a X^b \ge 0.

2. 1. 3. 영벡터 우세 에너지 조건 (NDEC)

영벡터 우세 에너지 조건(零vector優勢energy條件, null dominant energy condition^영어, 약자 NDEC)에 따르면, ① 약한 에너지 조건이 충족되며, ② 모든 미래 방향 영벡터장

u^\mu

에 대하여,

-T^{\mu\nu}u_\mu

는 미래 방향 시간꼴 또는 영벡터로 구성된 벡터장이다.^[9] 즉, 두 번째 조건에 따르면, 빛의 속력으로 움직이는 관찰자는 에너지-운동량이 빛보다 더 빨리 흐르는 것을 관찰할 수 없다. 이 조건은 우세 에너지 조건과 유사하나, 음의 우주 상수를 허용한다.^[9]

2. 1. 4. 우세 에너지 조건 (DEC)

우세 에너지 조건(優勢energy條件, dominant energy condition^영어, 약자 DEC)에 따르면, ① 약한 에너지 조건이 충족되며, ② 모든 미래 방향 시간꼴 또는 영벡터장

v^\mu

에 대하여,

-T^{\mu\nu}v_\mu

는 미래 방향 시간꼴 또는 영벡터장이다. 즉, 빛의 속력 이하로 움직이는 관찰자는 에너지-운동량이 빛보다 더 빨리 흐르는 것을 관찰할 수 없다.^[9] 등방성 물질의 경우, 압력이 항상 에너지 밀도보다 작아야 한다는 조건 ②에 따라, 물질 내 음속은 빛의 속력보다 작아야 한다.^[8]

우세 에너지 조건과 관련된 내용은 아래 표와 같다.

	영벡터 에너지 조건	약한 에너지 조건	영벡터 우세 에너지 조건	우세 에너지 조건
영벡터 $u^\mu$ 에 대하여, $u^\mu u^\nu T_{\mu\nu}\ge0$	O	O	O	O
시간꼴 벡터 $v^\mu$ 에 대하여, $v^\mu v^\nu T_{\mu\nu}\ge0$	X	O	O	O
미래 영벡터 $u^\mu$ 에 대하여, $-u^\mu T_{\mu\nu}$ 는 미래 시간꼴 또는 영벡터	X	X	O	O
미래 시간꼴 벡터 $v^\mu$ 에 대하여, $-v^\mu T_{\mu\nu}$ 는 미래 시간꼴 또는 영벡터	X	X	X	O

2. 1. 5. 강한 에너지 조건 (SEC)

'''강한 에너지 조건'''(strong energy condition^영어, 약자 SEC)에 따르면, 모든 미래 방향 시간꼴 벡터장

v^\mu

는 다음 조건을 만족시킨다.

:

v^\mu v^\nu(T_{\mu\nu}-Tg_{\mu\nu}/2)\ge0

완전 유체의 경우, 강한 에너지 조건은

\rho + p \ge 0, \; \; \rho + 3 p \ge 0.

을 만족해야 한다. 여기서

\rho

는 에너지 밀도이고

p

는 압력이다.

2. 2. 평균 에너지 조건

위 에너지 조건들은 각 점마다 성립 여부를 결정할 수 있다. 그러나 이 조건들을 약화시켜, 주어진 세계선의 적분에 관한 에너지 조건들을 정의할 수 있다. 이들을 '''평균 에너지 조건'''(平均energy條件, averaged energy conditions^영어)이라고 한다.^[11] (평균이 아닌 에너지 조건들은 양자 역학 효과에 의하여 미세하게 위배될 수 있지만, 평균 에너지 조건들은 양자 효과에 대하여 성립할 가능성이 더 높다고 여겨진다.)

시공간

(M,g)

에서, 매끄러운 곡선

\gamma\colon\mathbb R\to M

가운데, 임의의

t\in\mathbb R

에 대하여 속력

\dot\gamma(t)\in\mathrm T_xM

이 미래 방향 시간꼴인 곡선들의 집합을

\mathcal C^\infty_{\text{fut,time}}(\mathbb R,M)

로 표기한다. 마찬가지로, 속력이 항상 미래 방향 영벡터인 곡선들의 집합을

\mathcal C^\infty_{\text{fut,null}}(\mathbb R,M)

로 표기한다.

약한 에너지 조건은 모든 ''시간꼴 벡터장''

\vec{X}

에 대해, 이에 대응하는 관찰자가 관측한 물질 밀도가 항상 음수가 아니라는 조건을 명시한다.

:

\rho = T_{ab} X^a X^b \ge 0.

2. 2. 1. 평균 영벡터 에너지 조건 (ANEC)

평균 영벡터 에너지 조건(平均零vector energy條件, averaged null energy condition^영어, 약자 ANEC)에 따르면, 모든

\gamma\in\mathcal C^\infty_{\text{fut,null}}(\mathbb R,M)

는 다음 조건을 만족시킨다.^[11]

:

\int_{\mathbb R}\dot\gamma^\mu(t)\dot\gamma^\nu(t) T_{\mu\nu}(\gamma(t))\;\mathrm dt\ge0

영 에너지 조건은 모든 미래 지향적인 영 벡터장

\vec{k}

에 대해 다음을 규정한다.

:

\nu = T_{ab} k^a k^b \ge 0.

이들 각각은 평균화된 버전을 가지며, 여기서 위에 언급된 속성은 적절한 벡터장의 흐름선상에서만 평균적으로 유효하다. 그렇지 않으면 카시미르 효과로 인해 예외가 발생한다. 예를 들어, 평균 영 에너지 조건은 영 벡터장

\vec{k}

의 모든 흐름선(적분 곡선)

C

에 대해 다음을 만족해야 한다고 명시한다.

:

\int_C T_{ab}   k^a k^b d\lambda \ge 0.

2. 2. 2. 평균 약한 에너지 조건 (AWEC)

평균 약한 에너지 조건(平均弱-energy條件, averaged weak energy condition^영어, 약자 AWEC)에 따르면, 모든

\gamma\in\mathcal C^\infty_{\text{fut,time}}(\mathbb R,M)

는 다음 조건을 만족시킨다.^[11]

:

\int_{\mathbb R}\dot\gamma^\mu(t)\dot\gamma^\nu(t) T_{\mu\nu}(\gamma(t))\;\mathrm dt\ge0

이 조건은 모든 시간꼴 세계선을 따라 적분한 에너지 밀도가 0 이상이어야 한다는 것을 의미한다.

3. 성질

에너지 조건들 사이에는 특정한 관계가 존재한다. 'X ⇒ Y'는 'X'가 'Y'를 함의함을 뜻한다. 예를 들어, DEC은 NDEC을 함의하고, 이는 다시 WEC을 함의하며, 최종적으로 NEC을 함의한다. SEC은 이들과는 별개로 존재하며, WEC을 함의하지 않는다.^[3]

이상 유체의 경우, 각 에너지 조건은 에너지 밀도(

\rho

)와 압력(

p

)을 통해 표현할 수 있다. 예를 들어, 널 에너지 조건은

\rho + p \ge 0

과 같이 표현된다.

에너지 조건은 일반 상대성 이론에서 시공간의 성질을 증명하는 데 사용되기도 한다. 예를 들어, 블랙홀 열역학 제2 법칙은 영벡터 에너지 조건과 관련이 있으며, 제3 법칙은 약한 에너지 조건과 관련이 있다.^[11] 또한, 약한 에너지 조건은 공간 위상의 불변성을, 우세 에너지 조건은 블랙홀 위상이 항상 구여야 함을 의미한다.^[11]

하지만, 암흑 에너지/우주 상수의 관측은 강한 에너지 조건이 우주 규모에서 성립하지 않음을 보여준다.

3. 1. 인과 관계

다음은 에너지 조건들 사이의 함의 관계를 나타낸 것이다. 여기서 'X ⇒ Y'는 'X'가 'Y'를 함의함을 뜻한다.

DEC	⇒	NDEC	⇒	WEC	⇒	NEC
colspan=6 rowspan=2 \|	⇑
SEC

이름과 달리, 강한 에너지 조건(SEC)은 약한 에너지 조건(WEC)을 함의하지 않는다.^[3]

완전 유체의 경우, 에너지 조건 간의 관계는 오른쪽 그림과 같다.

3. 2. 이상 유체

에너지 밀도

\rho

, 압력

p

를 가진 이상 유체의 경우, 각 에너지 조건은 다음과 같이 표현된다.^[9]

영벡터 에너지 조건: $\rho+p\ge0$
약한 에너지 조건: $\rho\ge0$ , $\rho+p\ge0$
영벡터 우세 에너지 조건: $\rho\ge|p|$ 또는 $\rho=-p$
우세 에너지 조건: $\rho\ge|p|$
강한 에너지 조건: $\rho+p\ge0$ , $\rho+3p\ge0$

3. 3. 함의 관계

일반 상대성 이론에서 시공간의 다양한 성질을 증명하기 위해서는 일종의 에너지 조건이 필요하다. 예를 들어 블랙홀 열역학 제2 법칙은 영벡터 에너지 조건과 관련이 있으며, 제3 법칙(블랙홀의 표면 중력을 유한한 시간 안에 0으로 만들 수 없음)은 약한 에너지 조건과 관련이 있다.^[11] 또한 약한 에너지 조건은 공간의 위상이 변할 수 없음을, 우세 에너지 조건은 블랙홀의 위상이 항상 구여야 함을 의미한다.^[11]

몇 가지 주요 정리들에 필요한 에너지 조건은 다음과 같다.

에너지 조건	관련 정리
영벡터 에너지 조건
약한 에너지 조건
우세 에너지 조건	블랙홀의 위상은 항상 구

일반 상대성 이론과 관련 이론에서, 물질 및 중력 이외의 모든 장으로 인한 질량, 운동량, 응력 분포는 에너지-운동량 텐서로 설명된다. 그러나 아인슈타인 방정식 자체는 어떤 종류의 물질 상태 또는 중력 이외의 장이 허용되는지 명시하지 않는다. 에너지 조건은 물리학에서 잘 확립된 물질 상태와 비중력장에 공통적인 속성을 설명하며, 아인슈타인 방정식의 비물리적 해를 배제한다.

수학적으로 에너지 조건은 물질 텐서의 고유값 및 고유벡터에 대한 제한이며, 접선 공간 수준에서 사건별로 부과된다. 따라서 닫힌 시간꼴 곡선과 같은 바람직하지 않은 전역 시공간 구조를 배제할 수는 없다.

암흑 에너지/우주 상수의 관측은 강한 에너지 조건이 우주 규모에서 평균화하더라도 우리 우주를 설명하는 데 실패한다는 것을 보여준다.

3. 3. 1. 블랙홀 열역학

블랙홀 열역학 제2 법칙은 영벡터 에너지 조건^[11], 제3 법칙(블랙홀의 표면 중력을 유한한 시간 안에 0으로 만들 수 없음)은 약한 에너지 조건과 관련이 있다.

3. 3. 2. 위상 변화

약한 에너지 조건은 공간의 위상이 변할 수 없음을 함의한다.^[11]

3. 3. 3. 블랙홀 위상

우세 에너지 조건은 블랙홀의 위상이 항상 구여야 함을 의미한다.^[11]

3. 4. 위배

질량을 갖는 스칼라장(클레인-고르돈 방정식)은 고전적으로 강한 에너지 조건을 위배할 수 있다.^[11] 양자 역학적 효과는 심지어 영벡터 에너지 조건도 위배할 수 있다고 생각된다.^[10] 그러나 각종 평균화 에너지 조건들은 양자 효과에 대하여 비교적 안전하다고 여겨진다.

카시미르 효과에서, 매우 작은 간격 ''d''로 평행하게 유지된 두 개의 전도성 판 사이의 영역에는 다음과 같은 '음'의 에너지 밀도가 존재한다.

:

\varepsilon = \frac{-\pi^2}{720} \frac{\hbar}{d^4}

하지만 카시미르 효과는 위상수학적이며, 진공 에너지의 부호는 구성의 기하학적 구조와 위상수학적 구조 모두에 따라 달라진다. 평행판의 경우 음수이지만, 진공 에너지는 전도성 구의 경우 양수이다. 다양한 양자 부등식은 이러한 경우에 적절한 평균 에너지 조건이 충족될 수 있음을 시사한다. 특히, '평균 널 에너지 조건'은 카시미르 효과에서 충족된다.

강한 에너지 조건은 모든 정상/뉴턴 물질에 의해 준수되지만, 거짓 진공은 이를 위반할 수 있다. 선형 바트로픽 상태 방정식 (

p = w\rho,

여기서

\rho

는 물질 에너지 밀도,

p

는 물질 압력,

w

는 상수)에서, 강한 에너지 조건은

w \ge -1/3

을 요구하지만, 거짓 진공 상태의 경우

w = -1

이다.^[7]

참조

_[1] 뉴스 A Primer on Energy Conditions https://archive.org/[...]
_[2] 논문 A Unifying Theory of Dark Energy and Dark Matter: Negative Masses and Matter Creation within a Modified ΛCDM Framework
_[3] 서적 Cosmo-99
_[4] 논문 Thermodynamic stability implies causality http://arxiv.org/abs[...] 2022-01-06
_[5] 논문 Can we make sense of dissipation without causality? http://arxiv.org/abs[...] 2022-10-03
_[6] 간행물 Relativistic Thermodynamics https://doi.org/10.1[...] Birkhäuser 2024-05-17
_[7] 서적 Relativistic Cosmology Cambridge University Press
_[8] 서적
_[9] 서적 http://preposterousu[...] 2014-04-06
_[10] 서적 https://archive.org/[...]
_[11] 서적

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