블랙홀 열역학

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1. 개요
2. 블랙홀 역학의 법칙
3. 블랙홀 엔트로피
4. 블랙홀 열역학의 확장
5. 비판 및 논쟁
참조

1. 개요

블랙홀 열역학은 블랙홀이 따르는 물리적 법칙들을 다루는 분야이다. 이 분야는 열역학 법칙과 유사한 네 가지 블랙홀 역학 법칙을 통해 설명되며, 야코프 베켄슈타인, 브랜든 카터, 제임스 바딘 등에 의해 처음 발견되었고 스티븐 호킹에 의해 연구가 더 진행되었다. 블랙홀의 표면 중력, 사건 지평선의 면적 등을 온도와 엔트로피에 대응시키며, 양자역학적 효과를 고려하여 블랙홀의 온도와 호킹 복사를 설명한다. 블랙홀의 엔트로피는 사건 지평선의 면적에 비례하며, 베켄슈타인-호킹 공식으로 표현된다. 끈 이론은 블랙홀 엔트로피를 계산하는 데 사용되며, 블랙홀 열역학은 우주론적 사건 지평선과 홀로그래피 원리로 확장되었다.

2. 블랙홀 역학의 법칙

열역학 제2법칙에 따르면 블랙홀은 엔트로피를 가지고 있어야 한다. 만약 블랙홀이 엔트로피를 가지고 있지 않다면, 블랙홀에 질량을 던져 제2법칙을 위반할 수 있다. 블랙홀의 엔트로피 증가는 삼켜진 천체에 의한 엔트로피의 감소를 상쇄하는 것 이상이다.^[48]

1972년, 제이콥 베켄슈타인은 블랙홀이 엔트로피를 가져야 한다고 추측했으며,^[48] 같은 해에 털없음 정리를 제안했다. 1973년 베켄슈타인은 비례 상수로 $\frac{\ln{2}}{0.8\pi}\approx 0.276$ 를 제안하면서 상수가 정확히 이 값이 아니라면 매우 근접한 값이어야 한다고 주장했다.

1974년, 스티븐 호킹은 블랙홀이 특정 온도(호킹 온도)에 해당하는 열 호킹 복사^[49]^[50]를 방출한다는 것을 보여주었다.^[51]^[52] 호킹은 에너지, 온도, 엔트로피 사이의 열역학적 관계를 이용해 베켄슈타인의 가설을 확인하고 비례 상수를 $1/4$ 로 수정했다:^[53]^[54]

: $S_\text{BH} = \frac{k_\text{B} A}{4 \ell_\text{P}^2},$

여기서 $A$ 는 사건 지평선의 면적, $k_\text{B}$ 는 볼츠만 상수, $\ell_\text{P} = \sqrt{G\hbar / c^3}$ 은 플랑크 길이이다. 이를 흔히 '''베켄슈타인-호킹 공식'''이라고 한다. BH는 "블랙홀" 또는 "베켄슈타인-호킹"을 나타낸다. 블랙홀 엔트로피는 사건 지평선의 면적 $A$ 에 비례한다. 블랙홀 엔트로피가 베켄슈타인 경계에 의해 얻을 수 있는 최대 엔트로피이기도 하다는 사실(베켄슈타인 경계가 등식이 되는 경우)은 홀로그래피 원리로 이어진 주요 관찰이었다.^[47]

호킹의 계산은 블랙홀 엔트로피에 대한 추가적인 열역학적 증거를 제공했지만, 1995년까지 아무도 엔트로피를 많은 수의 미시상태들과 연관시키는 통계 역학을 기반으로 블랙홀 엔트로피를 통제된 계산을 할 수 없었다. 사실, 소위 "털없음" 정리^[56]는 블랙홀이 단 하나의 미시상태만 가질 수 있다고 제안하는 것처럼 보였다.

1995년 앤드루 스트로민저와 캄란 바파가 D-막과 끈 이중성에 기반한 방법을 사용하여 끈 이론에서 초대칭 블랙홀의 올바른 베켄슈타인-호킹 엔트로피를 계산하면서 상황이 바뀌었다.^[57]

루프 양자중력(LQG)^[58]에서는 기하학적 해석을 미시상태와 연관시킬 수 있는데, 이것이 바로 지평선의 양자 기하학이다. LQG는 엔트로피의 유한성과 지평선 면적의 비례성에 대한 기하학적 설명을 제공한다.^[59]^[60]

블랙홀 역학의 법칙은 블랙홀이 만족하는 것으로 믿어지는 물리적 특성들이다. 열역학 법칙과 유사한 이 법칙들은 브랜던 카터, 스티븐 호킹, 제임스 M. 바딘에 의해 발견되었다. 블랙홀 역학은 기하학 단위계로 표현된다.

2. 1. 제0법칙

정지 상태의 블랙홀은 사건의 지평선에서 일정한 표면중력을 갖는다.

이는 열역학 제0법칙과 유사하며, 열평형 상태에 있는 물체의 모든 지점에서 온도가 일정함을 나타낸다. 이는 표면 중력이 온도와 유사하다는 것을 시사한다. 정규화된 계의 열평형 상태의 상수 온도 T는, 정적 블랙홀의 사건 지평선 상의 상수

\displaystyle \kappa

에 유사하다.

2. 2. 제1법칙

정지 상태의 블랙홀에 섭동(작은 변화)이 가해졌을 때, 에너지 변화(

dE

)는 면적, 각운동량, 전하의 변화와 다음과 같이 관련된다.^[1]

:

dE = \frac{\kappa}{8\pi}\,dA + \Omega\,dJ + \Phi\,dQ,

여기서 각 변수의 의미는 다음과 같다.

$E$ : 에너지
$\kappa$ : 표면중력
$A$ : 사건의 지평선 면적
$\Omega$ : 각속도
$J$ : 각운동량
$\Phi$ : 정전기 전위
$Q$ : 전하

이 공식에서 왼쪽 항(

dE

)은 에너지 변화(질량에 비례)를 나타낸다. 오른쪽 항에서 첫 번째 항은 바로 물리적으로 해석하기 어렵지만, 두 번째와 세 번째 항은 각각 회전과 전자기학에 의한 에너지 변화를 나타낸다. 이는 열역학 제1법칙이 에너지 보존을 나타내는 것과 유사하며, 열역학 제1법칙에서는 오른쪽에

T dS

항이 포함된다.^[1]

2. 3. 제2법칙

블랙홀 역학의 제2법칙은 사건 지평선의 면적이 시간이 지남에 따라 감소하지 않는다는 것을 의미한다. 이는 고립계에서 엔트로피가 증가하는 열역학 제2법칙과 유사하다.^[63]

:

\frac{dA}{dt} \geq 0.

하지만, 스티븐 호킹은 호킹 복사를 통해 블랙홀의 질량과 사건 지평선의 면적이 시간이 지남에 따라 감소할 수 있다는 것을 발견하였다. 따라서 이 법칙은 수정되어야 했다.^[63]

물질이 블랙홀로 떨어지면 엔트로피가 감소하는 것처럼 보여 열역학 제2법칙에 위배되는 것처럼 보이지만, 블랙홀의 엔트로피와 블랙홀 외부의 엔트로피를 합한 전체 엔트로피는 증가한다. 이를 '일반화된 제2법칙(GSL)'이라고 부른다.^[18] GSL은 블랙홀 외부 근처의 엔트로피가 사라져 열역학 제2법칙이 유용하지 않기 때문에 필요하며, 내부의 일반적인 엔트로피 측정이 가능하기 때문에 법칙의 적용을 허용한다.^[18]

GSL의 유효성은 예를 들어 엔트로피를 가진 시스템이 더 크고 움직이지 않는 블랙홀로 떨어지는 것을 관찰하고, 블랙홀 엔트로피와 시스템 엔트로피의 증가에 대한 상한 및 하한 엔트로피를 각각 설정함으로써 확립될 수 있다.^[18] 또한 GSL은 아인슈타인 중력, 러브록 중력 또는 브레인월드 중력과 같은 중력 이론에 대해서도 유효하다.^[19]

그러나 블랙홀 형성의 주제에 대해 일반화된 열역학 제2법칙이 유효한지 여부와 유효하다면 모든 상황에 대해 유효한 것으로 증명되었는지 여부가 문제가 된다. 블랙홀 형성은 정지 상태가 아닌 움직이는 상태이므로 GSL이 성립함을 증명하는 것은 어렵다. GSL의 일반적인 유효성을 증명하려면 GSL이 양자 통계 역학의 양자 및 통계적 법칙이기 때문에 이를 사용해야 한다. 이 학문은 존재하지 않으므로 GSL은 일반적으로 유용할 뿐만 아니라 예측에도 유용하다고 가정할 수 있다.^[18]^[20]

2. 4. 제3법칙

표면 중력이 0인 블랙홀은 형성될 수 없다. 이는

\kappa = 0

은 달성될 수 없음을 의미하며, 절대 영도에 도달할 수 없다는 열역학 제3법칙과 유사하다.^[66]

하지만 극대 블랙홀과 같이 예외적인 경우도 존재하여 논란의 여지가 있다.^[21]^[22]

3. 블랙홀 엔트로피

열역학 제2법칙에 따르면 블랙홀은 엔트로피를 가져야 한다. 만약 블랙홀이 엔트로피를 가지고 있지 않다면, 블랙홀에 질량을 던져 넣어 열역학 제2법칙을 위반할 수 있다. 블랙홀의 엔트로피 증가는 삼켜진 천체가 가진 엔트로피의 감소를 상쇄하고도 남는다.

1995년 이전까지는 통계역학을 기반으로 블랙홀 엔트로피를 계산하는 것은 불가능했다. 그러나 앤드루 스트로민저와 캄란 바파가 끈 이론을 이용하여 초대칭 블랙홀의 베켄슈타인-호킹 엔트로피를 정확하게 계산하면서 상황이 바뀌었다. 이후 다른 종류의 블랙홀에 대한 유사한 계산들이 수행되었고, 그 결과는 항상 베켄슈타인-호킹 공식과 일치했다.

루프 양자 중력(LQG)에서는 미시 상태를 기하학적으로 해석하여 엔트로피의 유한성과 사건 지평선 면적의 비례성에 대한 설명을 제공한다.

3. 1. 베켄슈타인-호킹 공식

1972년, 제이콥 베켄슈타인은 블랙홀이 엔트로피를 가져야 한다고 추측했으며,^[48] 같은 해에 털없음 정리를 제안했다. 1973년 베켄슈타인은 비례 상수로

\frac{\ln{2}}{0.8\pi}\approx 0.276

를 제안하면서 상수가 정확히 이 값이 아니라면 매우 근접한 값이어야 한다고 주장했다.

이듬해인 1974년, 스티븐 호킹은 블랙홀이 특정 온도(호킹 온도)에 해당하는 열 호킹 복사^[49]^[50]를 방출한다는 것을 보여주었다.^[51]^[52] 호킹은 에너지, 온도, 엔트로피 사이의 열역학적 관계를 이용해 베켄슈타인의 가설을 확인하고 비례 상수를

1/4

로 수정하였다:^[53]^[54]

:

S_\text{BH} = \frac{k_\text{B} A}{4 \ell_\text{P}^2},

여기서

A

는 사건 지평선의 면적,

k_\text{B}

는 볼츠만 상수,

\ell_\text{P} = \sqrt{G\hbar / c^3}

은 플랑크 길이이다. 이를 흔히 '''베켄슈타인-호킹 공식'''이라고 한다. 접미사 BH는 "블랙홀" 또는 "베켄슈타인-호킹"을 나타낸다.

블랙홀 엔트로피는 사건 지평선의 면적

A

에 비례한다. 블랙홀 엔트로피가 베켄슈타인 경계에 의해 얻을 수 있는 최대 엔트로피이기도 하다는 사실(베켄슈타인 경계가 등식이 되는 경우)은 홀로그래피 원리로 이어진 주요 관찰이었다.^[47]

3. 2. 끈 이론과 블랙홀 엔트로피

끈 이론을 사용하면, 초대칭 (BPS) 블랙홀 또는 초대칭에 가까운 블랙홀의 엔트로피를 계산할 수 있다.^[68]^[69]^[70]^[71] 가장 대표적인 예는 세 개의 전하를 가진 '''D1-D5-P''' 5차원 블랙홀이다.^[72]^[73] 이는 ''Q''₁개의 D1-막과 ''Q''₅개의 D5-막을 배열하여 만든다.

막	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
D5	—	•	•	•	•	—	—	—	—	—
D1	—	•	•	•	•	—	•	•	•	•
T⁴ 또는 K3	—	—	—	—	—	—	•	•	•	•

이렇게 축소화하면, 6차원 시공간에 존재하는 1차원 끈을 얻을 수 있다. ''x''⁵를 축소화하고, 이 방향에 ''n''개의 운동량을 가진 중력파를 추가한다. 축소화한 차원 ''x''⁵의 크기와 딜라톤(닫힌 끈 결합 상수)의 크기를 조절하면, 5차원 초대칭 임계 블랙홀을 얻을 수 있다. 이 블랙홀의 사건 지평선 넓이는 다음과 같다.

: $A=8\pi G_5\sqrt{Q_1Q_5n}$

여기서 $G_5$ 는 5차원 중력 상수다.

이 블랙홀의 미시적 상태(microstate^영어)는 다음과 같이 셀 수 있다.^[73] 블랙홀의 미시적 상태는 한 끝은 D1-막에, 다른 끝은 D5-막에 붙어 있는 끈들로 주어진다. 편의상 $Q_1$ 과 $Q_5$ 가 서로소라고 가정하면, 이는 6차원에서 ''x''⁵ 방향으로 $Q_1Q_5$ 번 감긴 끈들로 나타낼 수 있다.

이 끈들은 나머지 4개의 공간 방향으로 진동할 수 있다. 진동 모드들은 음이 아닌 정수들 $N^i_m$ ( $i=1,2,3,4$ , $m=0,1,2,\dots$ )로 주어진다. 즉, 끈은 $x^i$ 방향으로 ''m''번째 에너지 준위에 있다. 이 경우, 끈의 감음수(winding number^영어)는 다음과 같다.

: $nW=\sum_{i=1}^4\sum_{m=1}^\infty mN_m^i$

(엄밀히 말하면, 닫힌 끈의 진동 모드는 오른쪽 또는 왼쪽 방향 진동 두 가지가 가능하다. 다만, 초대칭을 보존하려면 모든 모드들이 같은 방향을 따라야 한다.) 따라서, 양자수 $Q_1$ , $Q_5$ , $n$ 을 가진 블랙홀의 미시적 상태는

: $nQ_1Q_2=16\sum_{i=1}^4\sum_{m=1}^\infty mN_m^i$

를 만족시키는 $(N_m^i)_{i,m}$ 들의 개수 $\Omega(Q_1Q_5n)$ 으로 주어진다.

: $\ln \Omega(m)\approx 2\pi\sqrt{m}$

임을 수학적으로 보일 수 있다. 따라서

: $\ln \Omega=S\approx A/4G_5$

임을 알 수 있다.

1995년 앤드루 스트로민저와 컴런 바파는 끈 이론에서 D-막과 끈 이중성을 기반으로 하는 방법을 사용하여, 초대칭 블랙홀의 정확한 베켄슈타인-호킹 엔트로피를 계산했다.^[12] 그들의 계산에 이어 다른 많은 극대 블랙홀 및 근극대 블랙홀의 엔트로피를 계산하는 유사한 계산이 이어졌으며, 그 결과는 항상 베켄슈타인-호킹 공식과 일치했다.

3. 3. 루프 양자 중력과 블랙홀 엔트로피

루프 양자 중력(LQG)은 미시 상태를 기하학적으로 해석한다. LQG는 사건의 지평선을 양자 기하학적으로 해석하고, 엔트로피의 유한성과 사건의 지평선 면적의 비례성을 기하학적으로 설명한다.^[14]^[15] 스핀폼을 이용하여 양자론을 공변적으로 정식화하면, 에너지와 면적의 관계식(제1법칙), 운루 온도, 호킹 엔트로피의 분포를 도출할 수 있다.^[16] LQG에서의 계산은 동적 지평선 개념을 사용하여 비임계 블랙홀에 대해 수행된다. LQG 관점에서 베켄슈타인-호킹 엔트로피 계산에 대한 다양한 논의도 이루어지고 있다.

4. 블랙홀 열역학의 확장

게리 기번스와 스티븐 호킹은 블랙홀 열역학이 블랙홀뿐만 아니라 우주론적 사건 지평선에도 적용되며, 엔트로피와 온도를 가진다는 것을 보여주었다.^[77]

헤라르뒤스 엇호프트와 레너드 서스킨드는 블랙홀 열역학 법칙을 이용해 자연의 일반적인 홀로그래피 원리를 주장했다. 이들은 중력과 양자역학을 통합하는 이론이 더 낮은 차원에서 성립해야 한다고 보았다. 홀로그래피 원리는 아직 완전히 이해되지 않았지만, AdS/CFT 대응성과 같은 이론들의 핵심 개념이다.^[77]

블랙홀 엔트로피와 유체 표면 장력 사이에도 연관성이 있는 것으로 밝혀졌다.^[78]

5. 비판 및 논쟁

블랙홀 열역학(BHT)은 양자 중력 이론에 대한 가장 깊은 단서 중 하나로 여겨져 왔지만, "종종 열역학의 일종의 캐리커처에 기반하고 있다" 또한 "BHT의 그 시스템이 무엇이어야 하는 지 불분명하다"는 철학적 비평들이 남아 있으며, 이것은 "그 유추가 일반적으로 생각하는 것만큼 좋지는 않다"는 결론에 이른다.^[74]^[75]

이러한 비평들로 인해 한 동료 회의론자는 "블랙홀을 열역학적 시스템으로 간주하는 경우"를 재검토하게 되었고, 특히 "블랙홀이 서로 열 접촉할 수 있도록 하는 호킹 복사의 중심적 역할"과 "블랙홀에 가까운 호킹 복사를 어떤 중력으로 묶인 열 대기(gravitationally bound thermal atmosphere)로 해석하는 것"에 주목하여 "정지 블랙홀들은 열역학적 시스템들과 ''유사하지 않으며'', 완전한 의미에서, 열역학적 시스템들''이다''."라고, 결국 반대의 결론으로 마친다.^[76]

블랙홀 역학의 4가지 법칙은 블랙홀의 표면 중력을 온도와, 사건의 지평선의 면적을 엔트로피와 적어도 몇몇 곱셈 상수까지 동일시해야 함을 시사한다. 만약 고전적으로만 블랙홀을 고려한다면, 블랙홀은 무모발 정리에 의해^[11] 영(0)의 온도와 영(0)의 엔트로피를 가지며, 블랙홀 역학의 법칙은 여전히 비유로 남는다. 그러나, 양자역학적 효과를 고려하면, 블랙홀은 열 복사 (호킹 복사)를 방출한다는 것을 알게 된다.

이러한 비판은 자세히 재검토되어 "정지 블랙홀은 열역학적 시스템과 '유사'한 것이 아니라, '완전한' 의미에서 열역학적 시스템이다."라는 정반대의 결론으로 이어졌다.^[28]^[26]^[27]

참조

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