오일러 변환

3. 공식화

오일러 변환은 수열 $\backslash \{a\_n\backslash \}$에 이항 변환 $\backslash Delta^n$을 적용하여 다음과 같이 정의한다.

:$E\_a\; =\; \backslash sum\_\{k=0\}^\backslash infty\; \backslash frac\{\backslash Delta^k\; a\_0\}\{2^\{k+1\}\}$

만약 급수 $\backslash sum\_\{k=0\}^\backslash infty\; (-1)^k\; a\_k$가 수렴하면, 오일러 변환 $E\_a$도 역시 수렴하고, $\backslash sum\_\{k=0\}^\backslash infty\; (-1)^k\; a\_k\; =\; E\_a$가 성립한다. 즉, 교대급수 판정법에 의해 $\backslash \{a\_n\backslash \}$이 0으로 수렴하는 감소수열이기만 하면 오일러 변환은 수렴하고, 위 정리를 이용할 수 있다.

4. 성질

오일러 변환은 수열의 생성함수와 연분수 표현에 관련된 여러 성질을 가진다.

• '''생성함수와의 관계:''' 수열 \(\{a_n\}\)의 일반 생성함수를 \(f(x)\), 이항 변환된 수열 \(\{s_n\}\)의 일반 생성함수를 \(g(x)\)라 하면, \(g(x) = \frac{1}{1-x} f\left(\frac{-x}{1-x}\right)\) 관계가 성립한다. 지수적 생성 함수의 경우, \(\overline{g}(x) = e^x \overline{f}(-x)\) 관계가 성립한다.
• '''연분수와의 관계:''' 0과 1 사이의 실수 x가 \([0;a_1, a_2, a_3,\cdots]\)와 같은 연분수 표현을 갖는다면, \(\frac{x}{1-x}=[0;a_1-1, a_2, a_3,\cdots]\) 이고 \(\frac{x}{1+x}=[0;a_1+1, a_2, a_3,\cdots]\)이다.^[1]

4. 1. 생성함수와의 관계

4. 2. 연분수와의 관계

5. 응용

오일러 변환은 고전적인 교대급수 \(\sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{1}{1+k}\)의 값을 구하는 데 응용될 수 있다.

수열 \(a_n = \frac{1}{1+n}\)에 이항 변환을 적용하면 \(\Delta^n a_0 = \frac{1}{n+1}\)이 된다. 이는 파스칼 삼각형과 유사한 도식을 통해 귀납적으로 확인할 수 있다. 그 결과는 다음과 같다.

따라서, \(a_n\)의 오일러 변환은 다음과 같다.

:\(E_a = \sum_{k=0}^\infty \frac{\Delta^k a_0}{2^{k+1}} = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(k+1)2^{k+1}}\)

위 식의 우변은 \(\log 2\)가 된다.

5. 1. 교대급수의 수렴 가속

5. 2. 초 기하 급수

6. 일반화

이항 변환을 함수 $\backslash mathfrak\; J(a)\_n=b\_n$로 정의하면, 이는 다음과 같이 표현할 수 있다.

:$\backslash sum\_\{i=0\}^n(-1)^\{n-i\}\backslash binom\{n\}\{i\}a\_i=b\_n.$

새로운 전방 차분 표를 만들고 각 행의 첫 번째 요소를 가져와 새로운 수열 $\backslash \{b\_n\backslash \}$을 구성하면, 원래 수열의 두 번째 이항 변환은 다음과 같다.

:$\backslash mathfrak\; J^2(a)\_n=\backslash sum\_\{i=0\}^n(-2)^\{n-i\}\backslash binom\{n\}\{i\}a\_i.$

이 과정을 ''k''번 반복하면 다음이 성립한다.

:$\backslash mathfrak\; J^k(a)\_n=b\_n=\backslash sum\_\{i=0\}^n(-k)^\{n-i\}\backslash binom\{n\}\{i\}a\_i.$

이에 대한 역변환은 다음과 같다.

:$\backslash mathfrak\; J^\{-k\}(b)\_n=a\_n=\backslash sum\_\{i=0\}^nk^\{n-i\}\backslash binom\{n\}\{i\}b\_i.$

이를 시프트 연산자 $\backslash mathbf\; E$를 사용하여 일반화하면 다음과 같이 표현할 수 있다.

:$\backslash mathfrak\; J^k(a)\_n=b\_n=(\backslash mathbf\; E-k)^na\_0$

:$\backslash mathfrak\; J^\{-k\}(b)\_n=a\_n=(\backslash mathbf\; E+k)^nb\_0.$

6. 1. k-이항 변환

6. 2. 일반화된 이항 변환

7. 이항 컨볼루션

두 복소수 수열 $\{a_n\}$, $\{b_n\}$ ($n=0,1,2,\ldots$)의 이항 컨볼루션은 다음과 같이 정의된다.

: $(a\circ b)_n=\sum_{k=0}^n{n \choose k}a_k b_{n-k},\ \ n=0,1,2,\ldots$

이 컨볼루션은 결합 법칙과 교환 법칙이 성립하며, 수열 $\{e_n\}$ ($e_0=1$이고 $n=1,2,\ldots$에 대해 $e_n=0$)은 이항 컨볼루션에서 항등원 역할을 한다. $a_0 \ne 0$인 수열 $\{a_n\}$은 역원을 가지며, 이러한 수열들의 집합은 이항 컨볼루션 하에서 아벨 군을 형성한다.

이항 컨볼루션은 지수 생성 함수의 곱에서 나타난다.

: $\left( \sum^\infty_{n=0} a_n {x^n \over n!} \right)

\left( \sum^\infty_{n=0} b_n {x^n \over n!} \right) =

\sum^\infty_{n=0} (a\circ b)_n {x^n \over n!}.$

이항 변환은 이항 컨볼루션으로 표현 가능하다. 모든 $n$에 대해 $\lambda_n=(-1)^n$이고 $1_n=1$일 때, 다음과 같이 표현된다.

: $(Ta)_n=(\lambda a\circ 1)_n.$

다음 공식은 뫼비우스 반전과 유사하다.

: $t_n = \sum_{k=0}^n (-1)^{n-k} {n\choose k} a_k

\iff a_n=\sum_{k=0}^n {n\choose k} t_k$

이는 $t_n = (a\circ \lambda)_n

\iff a_n=(t\circ 1)_n$으로 표현되는데, $\lambda_n$이 이항 컨볼루션에서 $1_n$의 역원이기 때문이다.

산술 함수 $f$와 $g$의 이항 컨볼루션은 다음과 같이 정의된다.

: $(f\circ_B g)(n)=\sum_{d\mid n} \left( \prod_p

\binom{\nu_p(n)}{\nu_p(d)} \right) f(d)g(n/d),$

여기서 $n=\prod_p p^{\nu_p(n)}$는 양의 정수 $n$의 표준 소인수분해이고, $\binom{\nu_p(n)}{\nu_p(d)}$는 이항 계수이다.

8. 적분 표현

시퀀스가 복소해석 함수에 의해 보간될 수 있을 때, 시퀀스의 이항 변환은 보간 함수에 대한 뇌를룬-라이스 적분을 통해 표현될 수 있다.