교대급수

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요

교대급수는 음이 아닌 실수 수열의 각 항에 부호를 번갈아 가며 적용하여 만들어지는 급수이다. 교대급수는 수렴 판정법을 통해 수렴 여부를 판단하며, 특히 라이프니츠 판정법에 의해 수열의 절댓값이 단조 감소하고 0으로 수렴하면 수렴한다. 교대급수는 절대 수렴과 조건 수렴으로 구분되며, 절대 수렴하는 급수는 무조건 수렴하지만, 조건 수렴하는 급수는 항의 순서를 재배열하면 다른 값으로 수렴할 수 있다. 교대급수의 합은 급수 가속 기술을 통해 빠르게 근사할 수 있다.

더 읽어볼만한 페이지

실해석학 - 멱급수
멱급수는 실수 또는 복소수 체에서 정의되며, 수렴 영역과 반지름을 가지며 미분, 적분, 사칙연산이 가능하고 해석 함수와 관련되어 상미분 방정식의 해를 구하는 데 활용된다.
실해석학 - 디리클레 함수
디리클레 함수는 실수에서 정의되어 유리수에서 1, 무리수에서 0의 값을 가지며 모든 점에서 불연속인 함수로, 리만 적분은 불가능하지만 르베그 적분은 가능하고 함수 해석학에서 불연속 함수의 성질 연구에 사용되는 베르 함수에 속하는 예시이다.
급수 - 테일러 급수
테일러 급수는 매끄러운 함수를 무한 멱급수로 나타내는 방법으로, 함수의 미분 계수를 사용하여 함수를 근사하며, a=0일 때의 테일러 급수를 매클로린 급수라고 한다.
급수 - 멱급수
멱급수는 실수 또는 복소수 체에서 정의되며, 수렴 영역과 반지름을 가지며 미분, 적분, 사칙연산이 가능하고 해석 함수와 관련되어 상미분 방정식의 해를 구하는 데 활용된다.

교대급수
정의
유형	급수
설명	부호가 번갈아 가며 나타나는 항으로 구성된 무한급수
일반 형태
일반적인 표현	∑ }} 여기서 은 양의 정수이고 각 }}는 양수 또는 음수이다.
더 구체적인 표현	(-1)^n * a_n 과 같은 표현, 여기서 a_n은 양수이다. (-1)^(n+1) * a_n 과 같은 표현, 여기서 a_n은 양수이다.
예시
예시	1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - ...
교대 급수 판정법
교대 급수 판정법	교대 급수가 수렴하는지 확인하는 방법

2. 정의

교대급수는 각 항의 부호가 양수와 음수를 번갈아 나타내는 급수이다. 음이 아닌 실수의 수열 $(a_n)_{n=0}^\infty$ ( $a_n\ge0\forall n\ge0$ )에 대해, 다음 두 가지 형태 중 하나를 갖는다.^[1]

$\sum_{n=0}^\infty(-1)^na_n=a_0-a_1+a_2-a_3+\cdots$
$\sum_{n=0}^\infty(-1)^{n+1}a_n=-a_0+a_1-a_2+a_3-\cdots$

2. 1. 교대급수

음이 아닌 실수의 수열

(a_n)_{n=0}^\infty

(

a_n\ge0\forall n\ge0

)에 대한 '''교대급수'''는 다음 두 급수 가운데 하나를 뜻한다.

:

\sum_{n=0}^\infty(-1)^na_n=a_0-a_1+a_2-a_3+\cdots

:

\sum_{n=0}^\infty(-1)^{n+1}a_n=-a_0+a_1-a_2+a_3-\cdots

1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯는 1/3으로 합산된다.

교대 조화 급수는 유한한 합을 가지지만, 조화 급수는 그렇지 않다. 다음 급수는

1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\ldots=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{2n+1}

π/4로 수렴하지만, 절대 수렴하지는 않는다.

메르카토르 급수는 다음과 같이 자연 로그를 나타내는 해석적 멱급수 표현을 제공한다.

\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^n  = \ln (1+x),\;\;\;|x|\le1,x\ne-1.

삼각법에서 사용되고 초등 대수학에서 직각 삼각형의 변의 비율로 소개된 사인과 코사인 함수는 미적분학에서 교대 급수로도 정의될 수 있다.

\sin x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}

그리고

\cos x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} .

교대 인자 (-1)^''n''을 이러한 급수에서 제거하면 미적분학과 통계학에서 사용되는 쌍곡선 함수 sinh와 cosh를 얻을 수 있다.

정수 또는 양의 지수 α에 대해 제1종 베셀 함수는 교대 급수로 정의될 수 있다.

J_\alpha(x) = \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^m}{m! \, \Gamma(m+\alpha+1)} {\left(\frac{x}{2}\right)}^{2m+\alpha}

여기서 Γ(''z'')는 감마 함수이다.

만약 ''s''가 복소수이면, 디리클레 에타 함수는 교대 급수로 형성된다.

\eta(s) = \sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^{n-1} \over n^s} = \frac{1}{1^s} - \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} - \frac{1}{4^s} + \cdots

이것은 해석적 정수론에서 사용된다.

교대 급수

:

\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{1}{n}

는 ln 2(=0.69314…)에 수렴하는 것으로 알려져 있다. 반면 각 항의 절댓값을 취한 급수

:

\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}

는 조화 급수로 잘 알려진 발산 급수이다. 이는 절대 수렴이 급수가 수렴하기 위한 충분 조건이지만 필요 조건은 아니라는 것(다른 말로 하면 절대 수렴은 수렴 조건으로는 지나치게 강하다)의 예이기도 하다.

실수항을 갖는 교대 급수에 대해서는 라이프니츠가 제시한 수렴 판정법이 있다. "수열 {''a''_''n''}이 단조 감소하고 0으로 수렴한다면 급수 ∑ (−1)^''n''''a''_''n''는 수렴한다" (항이 단조 증가하는 경우에도 전체에 −1을 곱함으로써 단조 감소하는 경우로 귀결되므로, 이 경우도 합하여 간단하게 "수열 {''a''_''n''}이 단조하게 0으로 수렴한다"라고 말할 수도 있다).

실제로 교대 급수

:

\sum_{n=0}^{\infty}a_n = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n |a_n|

의 항의 절댓값이 단조 감소하고 0으로 수렴하는, 즉

:

|a_0| \ge |a_1| \ge |a_2| \ge \cdots \to 0

을 만족할 때, 부분합

:

s_N := \sum_{k=0}^{N}a_k

의 열 {''s''_''N''}은 코시 수열을 이룬다는 것을 확인할 수 있다.

특히 부분합의 두 부분 수열 {''s''_2''n''}, {''s''_2''m''−1}는 유계인 단조 수열이므로 각각 유한한 값에 수렴하지만

:

\lim_{n\to\infty}s_{2n} - \lim_{m\to\infty}s_{2m-1} = \lim_{n\to\infty}(s_{2n} - s_{2n-1}) = \lim_{n\to\infty}a_{2n} = 0

가 되어 공통 극한값 ''S''를 가지므로, 그것이 구하는 합이다. 또한 이 때, 부분합 ''s''_''N''과 급수의 합 ''S''와의 오차는

:

|S - s_N| = |a_{N+1} - (a_{N+2} - a_{N+3}) - (a_{N+4} - a_{N+5}) - \cdots| \le |a_{N+1}|

으로 평가할 수 있다.

3. 교대급수 판정법

라이프니츠가 제시한 교대급수 판정법은 교대급수의 수렴 여부를 판정하는 방법이다. 교대급수 항의 절댓값이 0으로 단조적으로 수렴하면, 그 교대급수는 수렴한다는 내용을 담고 있다.

예를 들어, 다음과 같은 교대급수를 생각해보자.

: $\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{1}{n}$

이 급수는 ln 2로 수렴한다. 하지만 각 항의 절댓값을 취하면 조화 급수가 되어 발산한다. 이는 절대 수렴이 급수의 수렴을 위한 충분 조건이지만, 필요 조건은 아니라는 것을 보여준다. 다시 말해, 절대 수렴은 수렴하기 위한 조건으로는 너무 강한 조건이다.

교대급수 판정법의 핵심은 부분합의 움직임을 분석하는 것이다. 부분합은 코시 수열을 이루며, 이는 급수가 수렴한다는 것을 의미한다. 또한, 무한 합과 부분합의 차이는 각 항의 절댓값으로 억제된다.^[5]

3. 1. 교대급수 판정법 (라이프니츠 판정법)

음이 아닌 실수로 이루어진 수열

(a_n)_{n=0}^\infty

(

a_n\ge0\forall n\ge0

)이 다음 두 조건을 만족한다고 가정하자.

감소수열이다. 즉, $a_0\ge a_1\ge a_2\ge\cdots$
$\lim_{n\to\infty}a_n=0$

그러면 교대급수

:

\sum_{n=0}^\infty(-1)^na_n=a_0-a_1+a_2-\cdots

는 수렴한다. 또한, 다음 부등식이 성립한다.^[5]

:

\left|\sum_{i=n}^\infty(-1)^ia_i\right|\le a_n

이를 '''교대급수 판정법'''(라이프니츠 판정법)이라고 한다. 이 판정법은 디리클레 판정법의 특수한 경우로 볼 수 있다.

3. 1. 1. 증명

디리클레 판정법에 따르면, 유계 부분합을 갖는 급수의 항과 0으로 수렴하는 단조수열을 곱한 급수는 수렴한다. 급수

:

\sum_{n=0}^\infty(-1)^n=1-1+1-\cdots

는 발산하지만, 이 급수의 부분합은 유계 수열이다. 따라서 디리클레 판정법을 적용할 수 있다.

교대급수의 부분합

:

S_n=\sum_{i=0}^n(-1)^ia_i

을 생각하자.

:

\begin{align}S_{n+2}&=S_n+(-1)^{n+1}a_{n+1}+(-1)^{n+2}a_{n+2}\\&=S_n+(-1)^{n+1}(a_{n+1}-a_{n+2})\end{align}

이므로,

n

이 홀수일 때

S_{n+2}\ge S_n

이며,

n

이 짝수일 때

S_{n+2}\le S_n

이다. 즉,

(S_{2k+1})_{k=0}^\infty

는 증가수열이며,

(S_{2k})_{k=0}^\infty

은 감소수열이다. 또한,

:

S_{2k+1}=S_{2k}+(-1)^{2k+1}a_{2k+1}=S_{2k}-a_{2k+1}\le S_{2k}

이므로,

:

S_1\le S_3\le S_5\le\cdots\le S_4\le S_2\le S_0

이다. 특히,

S_1

과

S_0

은 수열

(S_n)_{n=0}^\infty

의 하계와 상계이다. 따라서

(S_{2k+1})_{k=0}^\infty

과

(S_{2k})_{k=0}^\infty

은 모두 유계 수열이다. 모든 단조 유계 수열은 수렴하므로, 두 수열은 수렴한다.

:

S=\lim_{k\to\infty}S_{2k+1}\in\mathbb R

:

S'=\lim_{k\to\infty}S_{2k}\in\mathbb R

라고 하자. 그렇다면,

:

0=\lim_{k\to\infty}a_{2k+1}=\lim_{k\to\infty}(S_{2k}-S_{2k+1})=S-S'

이다. 즉, 두 수열의 극한은 같다. 따라서, 교대급수의 부분합

(S_n)_{n=0}^\infty

은 (

S=S'

으로) 수렴한다. 항상

:

0\le a_0-a_1=S_1\le S_n\le S_0=a_0

이므로,

:

\left|\sum_{i=0}^\infty(-1)^ia_i\right|\le a_0

이다. 수열

(a_0,a_1,a_2,\dots)

을 수열

(a_n,a_{n+1},a_{n+2},\dots)

로 대체하면 부등식

:

\left|\sum_{i=n}^\infty(-1)^ia_i\right|\le a_n

을 얻는다.^[5]

4. 예시

다음은 교대급수의 몇 가지 예시이다.

교대 조화 급수는 유한한 합을 가지지만, 조화 급수는 그렇지 않다.
다음 급수는 π/4로 수렴하지만, 절대 수렴하지는 않는다.

:

1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\ldots=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{2n+1}

메르카토르 급수는 자연 로그의 멱급수 표현을 제공한다.

:

\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^n  = \ln (1+x),\;\;\;|x|\le1,x\ne-1.

삼각함수인 사인과 코사인 함수는 미적분학에서 다음과 같은 교대 급수로 정의될 수 있다.

:

\sin x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}

:

\cos x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} .

정수 또는 양의 지수 α에 대해 제1종 베셀 함수는 다음과 같은 교대 급수로 정의된다.

:

J_\alpha(x) = \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^m}{m! \, \Gamma(m+\alpha+1)} {\left(\frac{x}{2}\right)}^{2m+\alpha}

(여기서 Γ(''z'')는 감마 함수이다.)

복소수 s에 대해, 디리클레 에타 함수는 다음과 같은 교대 급수로 표현된다.

:

\eta(s) = \sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^{n-1} \over n^s} = \frac{1}{1^s} - \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} - \frac{1}{4^s} + \cdots

1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯는 1/3으로 수렴한다.

실수항을 갖는 교대 급수에 대해서는 라이프니츠의 수렴 판정법, 즉 "수열 {''a''_''n''}이 단조 감소하고 0으로 수렴한다면 급수 ∑ (−1)^''n''''a''_''n''는 수렴한다"는 정리가 있다.

4. 1. 교대 조화 급수

교대 조화 급수는 다음과 같이 정의된다.

:

\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}n=1-\frac12+\frac13-\cdots

이 급수는 조건 수렴하는 대표적인 예시이며, 대한민국의 고등학교 수학 교육과정 '미적분' 과목에서 다루는 내용이다.

교대급수 판정법에 의해 이 급수는 수렴하는데, 수열

(1/n)_{n=0}^\infty

이 감소수열이고 0으로 수렴하기 때문이다. 이 교대급수에 대응하는 양의 실수 항 급수는 조화급수이며, 이는 발산한다. 즉, 교대 조화 급수는 조건 수렴만 한다.

이 급수의 합은 다음과 같다.

:

\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}n=\ln2

이는 아벨 극한 정리를 통해 증명할 수 있다.

각 항의 절댓값을 취한 급수

:

\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}

는 조화 급수로, 발산하는 급수로 잘 알려져 있다. 이는 절대 수렴이 급수의 수렴을 위한 충분 조건이지만 필요 조건은 아니라는 것을 보여준다. 다시 말해, 절대 수렴은 수렴 조건으로는 지나치게 강하다.

4. 2. 일반화된 교대급수

모든 수렴하는 양의 실수 항 급수에 대하여, 이에 대응하는 교대급수는 절대 수렴하며, 특히 수렴한다.

교대급수

:

\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}n=1-\frac12+\frac13-\cdots

를 생각해보자. 수열

(1/n)_{n=0}^\infty

은 감소수열이며, 0으로 수렴한다. 교대급수 판정법에 의하여, 이 급수는 수렴한다. 이 교대급수에 대응하는 양의 실수 항 급수는 조화급수이며, 이는 발산한다. 즉, 이 교대급수는 오직 조건 수렴한다. 사실, 이 급수의 합은

:

\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}n=\ln2

이다. 이는 아벨 극한 정리를 통하여 보일 수 있다.

보다 일반적으로, 교대급수

:

\sum_{n=2}^\infty\frac{(-1)^n}{n^p\ln^qn}\qquad(p,q\in\mathbb R)

를 생각할 때, p, q 값에 따른 수렴, 발산 여부는 다음과 같이 정리할 수 있다.

조건	수렴 여부	설명
$p>1$ 이거나 $p=1$ , $q>1$	절대 수렴	적분 판정법을 통해 증명 가능.
$p=1$ , $q\le1$ 이거나 $0 이거나 p=0, q>0$	조건 수렴	적분 판정법에 따라 절대 수렴하지 않음. 그러나 $1/(n^p\ln^qn)$ 은 최종적으로 감소 수열이고 0으로 수렴하므로, 교대급수 판정법에 의해 조건 수렴.
$p=0$ , $q\le0$ 이거나 $p<0$	발산	$(-1)^n/(n^p\ln^qn)$ 이 0으로 수렴하지 않음.

4. 3. 기타 예시

1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯는 1/3으로 수렴한다.

파이에 대한 라이프니츠 공식:

::

1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\ldots=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{2n+1} = \frac{\pi}{4}

메르카토르 급수:

::

\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^n  = \ln (1+x),\;\;\;|x|\le1, x\ne-1.

사인 함수와 코사인 함수의 멱급수 전개:

::

\sin x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}

::

\cos x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} .

제1종 베셀 함수:

::

J_\alpha(x) = \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^m}{m! \, \Gamma(m+\alpha+1)} {\left(\frac{x}{2}\right)}^{2m+\alpha}

디리클레 에타 함수:

::

\eta(s) = \sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^{n-1} \over n^s} = \frac{1}{1^s} - \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} - \frac{1}{4^s} + \cdots

5. 합의 근사

교대급수 판정법에 따르면, 교대급수의 항 $a_n$ 이 0으로 단조적으로 수렴하면 그 급수는 수렴한다. $a_n$ 이 단조 감소하고 0으로 수렴할 때, 부분합 $S_m$ 과 $S_n$ ( $m$ 은 홀수, $m)의 차이는 다음 부등식을 통해 추정할 수 있다.$

: $\begin{align}S_n - S_m & =\sum_{k=m+1}^n\,(-1)^k\,a_k\ = a_{m+1} - a_{m+2} + a_{m+3} - a_{m+4} + \cdots + a_n\\& = a_{m+1}-(a_{m+2}-a_{m+3}) - (a_{m+4}-a_{m+5}) - \cdots - a_n \le a_{m+1} \le a_{m}.\end{align}$

$a_n$ 이 단조 감소하므로 $-(a_m - a_{m+1})$ 항은 음수이고, 따라서 $S_n - S_m \le a_m$ 이라는 부등식을 얻는다. 비슷하게 $-a_m \le S_n - S_m$ 임을 보일 수 있다. $a_m$ 이 0으로 수렴하므로, 부분합 $S_m$ 은 코시 수열이 되고, 급수는 수렴한다.

이러한 추정은 $n$ 에 의존하지 않기 때문에, $a_n$ 이 단조적으로 0으로 접근할 때 부분합을 이용해 무한합을 근사하고 오차 범위를 구할 수 있게 해준다.

5. 1. 오차 범위

a_n^영어이 단조적으로 0에 접근하면, 부분합을 사용하여 무한합을 근사할 때 오차 범위를 구할 수 있다.^[1]

:

\left|\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\,a_k\,-\,\sum_{k=0}^m\,(-1)^k\,a_k\right|\le |a_{m+1}|.

이 추정이 항상 오차가 수열의 다음 항의 절댓값보다 작은 첫 번째 요소를 찾는 것을 의미하지는 않는다. 예를 들어

1-1/2+1/3-1/4+... = \ln 2

에서 오차가 최대 0.00005인 항을 찾으려고 할 때, 위 부등식은

a_{20000}

까지의 부분합이 충분하다고 나타내지만, 실제로는 필요한 항의 수보다 두 배나 많다. 처음 9999개 요소를 더한 후의 오차는 0.0000500025이므로,

a_{10000}

까지의 부분합으로 충분하다.

이 수열은

a_n -a_{n+1}

로 구성된 새로운 수열에도 라이프니츠 판정법이 적용되는 교대 수열을 제공하여, 단순한 오차 범위를 최적이 아니게 만든다. 이는 1962년에 발견된 Calabrese 경계^[1]에 의해 개선되었으며, 라이프니츠 오차 경계보다 2배 작은 결과를 제공한다.

이 속성이 두 번 이상 적용되는 수열의 경우에도 최적이 아니며, 이는 존슨바우 오차 경계^[2]로 설명된다. 이 속성을 무한 번 적용하면 오일러 변환이 적용된다.^[3]

5. 2. 개선된 오차 범위

라이프니츠 판정법에서 제시된 오차 범위는 최적의 값이 아닐 수 있다. 예를 들어,

1-1/2+1/3-1/4+... = \ln 2

의 경우, 라이프니츠 판정법에 따른 오차 범위는 실제 필요한 항의 수보다 두 배나 많은 항을 필요로 한다.

1962년에 Calabrese는 라이프니츠 오차 범위보다 2배 더 작은 결과를 얻을 수 있는 Calabrese 경계^[1]를 발견했다. 존슨바우는 Calabrese 경계가 여러 번 적용되는 수열에 대해서도 최적이 아님을 보이고 존슨바우 오차 경계^[2]를 제시했다. 이러한 속성을 무한 번 적용하면 오일러 변환^[3]이 적용된다.

6. 절대 수렴과 조건 수렴

급수 $\sum a_n$ 이 절대수렴한다는 것은 급수 $\sum |a_n|$ 이 수렴한다는 뜻이며, 급수가 수렴하지만 절대 수렴하지 않는 경우를 조건 수렴이라고 한다.

라이프니츠에 따르면, "교대급수 판정법"은 교대급수의 항이 0으로 단조적으로 수렴하면 교대급수가 수렴한다고 명시한다. 실수항을 갖는 교대 급수에 대해서, 수열 {''a''_''n''}이 단조 감소하고 0으로 수렴한다면 급수 ∑ (−1)^''n''''a''_''n''는 수렴한다 (항이 단조 증가하는 경우에도 전체에 −1을 곱함으로써 단조 감소하는 경우로 귀결되므로, 이 경우도 합하여 간단하게 "수열 {''a''_''n''}이 단조하게 0으로 수렴한다"라고 말할 수도 있다).
증명: 수열 $a_n$ 이 0으로 수렴하고 단조 감소한다고 가정하고, $m$ 이 홀수이며 $m 일때, 다음 계산을 통해 S_n - S_m \le a_{m} 의 추정치를 얻는다.$

$\begin{align}S_n - S_m & =\sum_{k=0}^n(-1)^k\,a_k\,-\,\sum_{k=0}^m\,(-1)^k\,a_k\ = \sum_{k=m+1}^n\,(-1)^k\,a_k \\& =a_{m+1} - a_{m+2} + a_{m+3} - a_{m+4} + \cdots + a_n\\& = a_{m+1}-(a_{m+2}-a_{m+3}) - (a_{m+4}-a_{m+5}) - \cdots - a_n \le a_{m+1} \le a_{m}.\end{align}$

$a_n$ 이 단조 감소하므로 항 $-(a_m - a_{m+1})$ 은 음수이다. 따라서 최종 부등식 $S_n - S_m \le a_m$ 을 얻는다. 마찬가지로, $-a_m \le S_n - S_m$ 임을 보일 수 있다. $a_m$ 이 $0$ 으로 수렴하므로 부분합 $S_m$ 은 코시 수열을 형성하고 (즉, 급수는 코시 수렴 기준을 만족하고) 따라서 수렴한다. $m$ 이 짝수인 경우의 논증도 유사하다.

실제로 교대 급수

: $\sum_{n=0}^{\infty}a_n = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n |a_n|$

의 항의 절댓값이 단조 감소하고 0으로 수렴하는, 즉

: $|a_0| \ge |a_1| \ge |a_2| \ge \cdots \to 0$

을 만족할 때, 부분합

: $s_N := \sum_{k=0}^{N}a_k$

의 열 {''s''_''N''}은 코시 수열을 이룬다. 특히 부분합의 두 부분 수열 {''s''_2''n''}, {''s''_2''m''-1}는 유계인 단조 수열이므로 각각 유한한 값에 수렴하지만

: $\lim_{n\to\infty}s_{2n} - \lim_{m\to\infty}s_{2m-1} = \lim_{n\to\infty}(s_{2n} - s_{2n-1}) = \lim_{n\to\infty}a_{2n} = 0$

가 되어 공통 극한값 ''S''를 가지므로, 그것이 구하는 합이다. 또한 이 때, 부분합 ''s''_''N''과 급수의 합 ''S''와의 오차는

: $|S - s_N| = |a_{N+1} - (a_{N+2} - a_{N+3}) - (a_{N+4} - a_{N+5}) - \cdots| \le |a_{N+1}|$

으로 평가할 수 있다.

6. 1. 절대 수렴

급수

\sum a_n

이 절대수렴한다는 것은 급수

\sum |a_n|

이 수렴한다는 뜻이다.

절대 수렴하는 급수는 수렴한다.

증명:

\sum a_n

이 절대 수렴한다고 가정하자. 그러면

\sum |a_n|

은 수렴하고, 따라서

\sum 2|a_n|

또한 수렴한다.

0 \leq a_n + |a_n| \leq 2|a_n|

이므로, 비교 판정법에 의해 급수

\sum (a_n + |a_n|)

가 수렴한다. 따라서 급수

\sum a_n

는 두 수렴하는 급수의 차이

\sum a_n = \sum (a_n + |a_n|) - \sum |a_n|

이므로 수렴한다.

6. 2. 조건 수렴

급수는 수렴하지만 절대 수렴하지 않는 경우를 조건 수렴이라고 한다. 교대 조화 급수는 조건 수렴의 대표적인 예이다.

조화 급수는 발산하지만, 교대급수 판정법에 따라 다음과 같은 교대 급수는 수렴한다.

:

\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n},

위 교대 급수는 ln 2(=0.69314…)에 수렴하지만, 각 항의 절댓값을 취한 급수

:

\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}

는 조화 급수로 발산한다. 이는 절대 수렴이 급수의 수렴을 위한 충분 조건이지만 필요 조건은 아님을 보여주는 예시이다.

7. 재배열

어떤 급수든 덧셈의 순서를 재배열하여 새로운 급수를 만들 수 있다. 급수는 어떤 재배열을 하더라도 원래 급수와 동일한 수렴성을 갖는다면 무조건 수렴한다고 한다. 절대 수렴하는 급수는 무조건 수렴한다. 그러나 리만 재배열 정리는 조건부 수렴 급수를 재배열하여 임의의 수렴성을 만들 수 있다고 말한다.^[4] 아그뉴 정리는 모든 수렴 급수에 대해 수렴성을 보존하는 재배열을 설명한다. 일반적인 원칙은 무한 합의 덧셈은 절대 수렴 급수에 대해서만 교환 가능하다는 것이다.

예를 들어, 1=0이라는 잘못된 증명은 무한 합에 대한 결합 법칙이 실패했기 때문이다.

7. 1. 리만 재배열 정리

어떤 급수든, 덧셈의 순서를 재배열하여 새로운 급수를 만들 수 있다. 급수는 어떤 재배열을 하더라도 원래 급수와 동일한 수렴성을 갖는다면 무조건 수렴한다고 한다. 절대 수렴하는 급수는 무조건 수렴한다. 그러나 리만 재배열 정리는 조건부 수렴 급수를 재배열하여 임의의 수렴성을 만들 수 있다고 말한다.^[4] 일반적인 원칙은 무한 합의 덧셈은 절대 수렴 급수에 대해서만 교환 가능하다는 것이다.

예를 들어, 메르카토르 급수에 의해

:

\ln(2) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots.

하지만 이 급수는 절대 수렴하지 않으므로, 항들을 재배열하여

\tfrac 1 2 \ln(2)

에 대한 급수를 얻을 수 있다.

:

\begin{align}& {} \quad \left(1-\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{4} +\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{6}\right) -\frac{1}{8}+\left(\frac{1}{5} -\frac{1}{10}\right)-\frac{1}{12}+\cdots \\[8pt]& = \frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{6} -\frac{1}{8}+\frac{1}{10}-\frac{1}{12} +\cdots \\[8pt]& = \frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2} + \frac{1}{3} -\frac{1}{4}+\frac{1}{5}- \frac{1}{6}+ \cdots\right)= \frac{1}{2} \ln(2).\end{align}

7. 2. 예시

어떤 급수든 덧셈의 순서를 재배열하여 새로운 급수를 만들 수 있다. 급수는 어떤 재배열을 하더라도 원래 급수와 동일한 수렴성을 갖는다면 무조건 수렴한다고 한다. 절대 수렴하는 급수는 무조건 수렴한다. 그러나 리만 재배열 정리는 조건부 수렴 급수를 재배열하여 임의의 수렴성을 만들 수 있다고 말한다.^[4] 일반적인 원칙은 무한 합의 덧셈은 절대 수렴 급수에 대해서만 교환 가능성이 있다는 것이다.

예를 들어, 1=0이라는 잘못된 증명은 무한 합에 대한 결합 법칙의 실패를 이용한다.

또 다른 예로, 메르카토르 급수에 의해

:ln^영어(2) = 1 - + - + ···.

하지만 이 급수는 절대 수렴하지 않으므로, 항들을 재배열하여 tfrac|1|2^영어 ln^영어(2)에 대한 급수를 얻을 수 있다.

:(1-)- +(-) -+( -)-+ ···

:= -+ -+- + ···

:= (1- + -+- + ···)= ln^영어(2).

8. 급수 가속

실제 교대급수의 수치적 합산은 다양한 급수 가속 기술을 사용하여 속도를 높일 수 있다. 가장 오래된 기술 중 하나는 오일러 합이며, 더 빠른 수렴을 제공할 수 있는 많은 현대적인 기술이 있다.

참조

_[1] 논문 A Note on Alternating Series https://www.jstor.or[...] 1962-03
_[2] 논문 Summing an Alternating Series https://www.jstor.or[...] 1979-10
_[3] arXiv The error in an alternating series 2015-11-27
_[4] 논문 Curious Consequences of Simple Sequences 2007
_[5] 서적 해석학 입문 경문사 2007

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com