올림

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1. 개요
2. 위상수학에서의 올림
- 2.1. 덮개 공간
  - 2.1.1. 경로 올림
3. 대수 논리에서의 올림
- 3.1. 관계 미적분
- 3.2. 부분 함수
4. 원 사상에서의 올림
- 4.1. 덮개 사상
참조

1. 개요

올림은 위상 공간, 대수 논리, 원 사상 등 다양한 수학 분야에서 사용되는 개념이다. 위상수학에서는 경로를 덮개 공간 내의 경로로 올리는 것을 의미하며, 대수 논리에서는 관계 미적분을 통해 논리 표현을 단순화하는 과정과 관련된다. 원 사상의 경우, 올림은 실수선 위의 사상으로 정의되며 회전수 계산에 응용된다.

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올림
수학 정보
분야	수학
하위 분야	범주론 위상수학
관련 개념	함자, 수반 함자, 모나드
올림 (사상)
정의	f : X → Y 와 g : Z → Y 가 주어졌을 때, f = g∘h 를 만족하는 사상 h : X → Z 를 찾음
관련 단어	올려진 사상, 덮개 사상
관련 항목	수학, 사상, 범주론, 위상수학, 함자, 수반 함자, 모나드

2. 위상수학에서의 올림

위상수학에서 올림의 예시는 위상 공간 내의 경로를 덮개 공간 내의 경로로 올리는 것이다.^[1] 예를 들어 구에서 사영 평면으로의 연속 함수를 생각할 수 있다.

2. 1. 덮개 공간

사영 평면 위의 경로는 구 위의 경로로 올릴 수 있다. 이는 덮개 사상의 중요한 예시이다.^[1]

2. 1. 1. 경로 올림

위상수학에서의 기본적인 예시는 한 위상 공간 내의 경로를 덮개 공간 내의 경로로 올리는 것이다.^[1] 예를 들어, 구의 반대편 점들을 같은 점에 매핑하는 것을 생각해 보자. 이는 구에서 사영 평면으로의 연속 함수이다. 사영 평면에서의 경로는 단위 구간 [0,1]로부터의 연속 함수이다. 우리는 경로의 첫 번째 점에 매핑되는 두 개의 구 점 중 하나를 선택한 다음, 연속성을 유지함으로써 그러한 경로를 구로 올릴 수 있다. 이 경우, 두 개의 시작점 각각은 사영 평면의 경로의 올림인 구에서 고유한 경로를 강제한다. 따라서, 연속 함수를 사상으로 하는 위상 공간 범주에서, 우리는 다음을 얻는다.

:

\begin{align}f\colon\, &[0,1] \to \mathbb{RP}^2 &&\ \text{ (사영 평면 경로)} \\g\colon\, &S^2 \to \mathbb{RP}^2 &&\ \text{ (덮개 사상)} \\h\colon\, &[0,1] \to S^2 &&\ \text{ (구 경로)}\end{align}

3. 대수 논리에서의 올림

일계 술어 논리의 표기법은 양화사가 이항 관계의 확립된 영역 및 범위로 격하될 때 간소화된다. 군터 슈미트와 미하엘 빈터는 저서 ''관계 위상수학''에서 위상수학의 전통적인 논리 표현을 관계 미적분으로 끌어올리는 방법을 설명했다.^[2] 이들은 "개념을 관계 수준으로 끌어올려 무점적(point free)일 뿐만 아니라 양화사가 없는(quantifier free) 상태로 만들어 일계 술어 논리 스타일에서 벗어나 대수적 추론의 명료함에 접근하는 것을 목표로 한다"라고 밝혔다.

예를 들어, 부분 함수 ''M''은 $M^T ; M \subseteq I$ 로 표현될 수 있으며, 여기서 $I$ 는 ''M''의 범위에 대한 항등 관계를 나타낸다. 즉, 양화 표기는 전치 및 합성과 같은 관계 연산과 규칙의 유형화에 깊이 통합되어 있다.

3. 1. 관계 미적분

군터 슈미트와 미하엘 빈터는 저서 ''관계 위상수학''에서 위상수학의 전통적인 논리 표현을 관계 미적분으로 끌어올리는 방법을 제시했다.^[2] 그들은 "개념을 관계 수준으로 끌어올려 무점적(point free)일 뿐만 아니라 양화사가 없는(quantifier free) 상태로 만들어 일계 술어 논리 스타일에서 벗어나 대수적 추론의 명료함에 접근하는 것을 목표로 한다"라고 설명했다.

예를 들어, 부분 함수 ''M''은

M^T ; M \subseteq I

에 해당하며, 여기서

I

는 ''M''의 범위에 대한 항등 관계를 나타낸다. "양화에 대한 표기는 숨겨져 있으며 관계 연산(여기서는 전치 및 합성)과 규칙의 유형화에 깊이 통합되어 있다."

3. 2. 부분 함수

군터 슈미트와 미하엘 빈터는 저서 ''관계 위상수학''에서 위상수학의 전통적인 논리 표현을 관계 미적분으로 끌어올리는 방법을 설명했다.^[2] 이들은 "개념을 관계 수준으로 끌어올려 무점적(point free)일 뿐만 아니라 양화사가 없는(quantifier free) 상태로 만들어 일계 술어 논리 스타일에서 벗어나 대수적 추론의 명료함에 접근하는 것을 목표로 한다"라고 밝혔다.

예를 들어, 부분 함수 ''M''은

M^T ; M \subseteq I

로 표현될 수 있으며, 여기서

I

는 ''M''의 범위에 대한 항등 관계를 나타낸다. 즉, 양화 표기는 전치 및 합성과 같은 관계 연산과 규칙의 유형화에 깊이 통합되어 있다.

4. 원 사상에서의 올림

원 사상의 경우, 실수선으로의 올림은 약간 다르게 정의되는데, 이는 회전수 계산과 같은 일반적인 응용에 사용된다.

4. 1. 덮개 사상

원 위의 사상

T:\text{S}\rightarrow\text{S}

가 주어지면,

T

의 올림

F_T

는 실수선 위의 사상

F_T:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}

이며, 여기서

\pi: \mathbb{R} \rightarrow \text{S}

와 같은 사영(또는, 덮개 사상)이 존재하여

\pi \circ F_T = T \circ \pi

가 성립한다.

참조

_[1] 서적 A path to Epistemology of Mathematics: Homotopy theory Oxford University Press 2006
_[2] 서적 Relational Topology Springer books 2018
_[3] 서적 An Introduction to Chaotic Dynamical Systems Addison-Wesley 1989

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