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작은 범주

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목차

1. 개요

작은 범주는 주어진 그로텐디크 전체 U에 대해, 대상과 사상이 U의 원소인 범주를 의미한다. U-작은 범주, 함자, 자연 변환들은 2-범주 Catᵤ를 이루며, 범주들의 모임을 다루기 위해 그로텐디크 전체를 사용한다. 임의의 범주 C가 모든 대상 X, Y에 대해 homC(X, Y)가 U에 속하면 U-국소적으로 작은 범주라고 한다. Catᵤ는 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이며, 데카르트 닫힌 범주이기도 하다. 작은 범주와 범주의 동치는 특정 조건을 만족하는 경우에 성립하며, U-작은 아벨 범주의 유도 범주는 일반적으로 U-작은 범주가 아니다.

2. 정의

범주들의 모임을 다루기 위해 그로텐디크 전체를 사용한다.[1][2][3][4]

2. 1. 작은 범주

그로텐디크 전체 \(\mathcal U\)가 주어졌다고 하자. \(\mathcal U\)-'''작은 범주''' \(\mathcal C\)는 다음 조건을 만족시키는 범주이다.[1][2][3][4]

  • \(\mathcal C\)의 대상들은 집합 \(\operatorname{Ob}(\mathcal C)\)을 이루며, 이는 \(\mathcal U\)의 원소이다.
  • \(\mathcal C\)의 사상들은 집합 \(\operatorname{Mor}(\mathcal C)\)을 이루며, 이는 \(\mathcal U\)의 원소이다.

\(\mathcal U\)-작은 범주들과, 그 사이의 함자들과, 그 사이의 자연 변환들은 2-범주를 이룬다. 이를 \(\operatorname{Cat}_{\mathcal U}\)라고 표기한다.

2. 2. 국소적으로 작은 범주

임의의 범주 \mathcal C가 다음 조건을 만족시킨다면, '''\mathcal U-국소적으로 작은 범주'''(\mathcal U-局所的으로 작은範疇, locally \mathcal U-small category영어)라고 한다.[4]

  • 임의의 두 대상 X,Y\in\operatorname{Ob}(\mathcal C)에 대하여, \hom_{\mathcal C}(X,Y)\in\mathcal U이다.

3. 연산

Cat영어는 U-완비 범주이자 U-쌍대 완비 범주이다. 즉, 임의의 U-작은 범주 I 및 함자 D: I → Cat에 대하여, D는 극한과 쌍대극한을 갖는다. 또한, Cat는 U-국소적으로 작은 데카르트 닫힌 범주이며, 이 경우 지수 대상 hom(-,-)은 (두 U-작은 범주 사이의) 함자와 자연 변환의 범주 Cat(-,-)이다.

3. 1. 극한과 쌍대극한

CatU는 임의의 U-작은 범주 I 및 함자 D: I → CatU에 대하여 극한과 쌍대극한을 갖는다.

  • CatU의 시작 대상은 Ob(0)=Mor(0)=∅인 유일한 범주 0이다.
  • CatU의 끝 대상은 Ob(1)={•} (한원소 집합)이며, Mor(1)={id•}인 유일한 범주 1이다. (이를 준군으로 간주하면, 이는 자명군에 해당한다.)

3. 2. 데카르트 닫힌 범주

\operatorname{Cat}_{\mathcal U}는 \mathcal U-국소적으로 작은 데카르트 닫힌 범주이며, 이 경우 지수 대상 \hom(-,-)은 (두 \mathcal U-작은 범주 사이의) 함자와 자연 변환의 범주 \operatorname{Cat}(-,-)이다. 다시 말해, 두 \mathcal U-작은 범주 사이의 함자 범주는 \mathcal U-작은 범주이다.[4]

4. 성질

\mathcal U-국소적으로 작은 범주 \mathcal C에서, 임의의 기수 \kappa\le|\mathcal U|와 임의의 대상 X\in\mathcal C에 대하여, 곱 X^{\times\kappa}이 존재하면 \mathcal C는 원순서 집합이다.[3] 즉, 임의의 두 대상 사이의 사상의 수는 1개 이하이다.

이는 다음과 같이 증명할 수 있다. 임의의 두 대상 X,Y\in\mathcal C에 대하여, 사상 집합 \hom_{\mathcal C}(X,Y^

)의 크기는 \left|\hom_{\mathcal C}(X,Y^

)\right| = |\hom_{\mathcal C}(X,Y)|^

이다. 정의에 따라 \left|\hom_{\mathcal C}(X,Y^

)\right| < |\mathcal U|이므로, 칸토어의 정리에 의해 |\hom_{\mathcal C}(X,Y)| \le 1임을 알 수 있다.

4. 1. 범주의 동치

범주\mathcal C에 대하여 다음 두 조건은 서로 동치이다.[5]

  • \mathcal C는 \mathcal U-작은 범주와 동치이다.
  • \mathcal C는 \mathcal U-국소적으로 작은 범주이며, 준층 범주 \operatorname{PSh}(\mathcal C)=\operatorname{Set}_{\mathcal U}^{\mathcal C^{\operatorname{op}}} 역시 \mathcal U-국소적으로 작은 범주이다.

4. 2. 함자

forgetful functor|망각 함자영어

:\operatorname{Ob} \colon \operatorname{Cat}_{\mathcal U}\to\operatorname{Set}_{\mathcal U}

:\operatorname{Ob} \colon \mathcal C\mapsto \operatorname{Ob}(\mathcal U)

위 함자는 오른쪽 수반 함자를 가지며, 이는 임의의 집합S를 다음과 같은 범주로 대응시킨다.

  • 대상은 S의 원소이다.
  • 모든 사상은 항등 사상이다.

5. 예

U-작은 아벨 범주 A의 유도 범주 D(A)는 일반적으로 U-작은 범주가 아니다.[2] 칸토어 역설에 따라, Catᵤ는 Catᵤ의 대상이 아니다.

참조

[1] 서적 Categories for the working mathematician Springer 1998
[2] 서적 Categories and sheaves Springer-Verlag 2006
[3] 논문 Set theory for category theory 2008
[4] 서적 Reports of the Midwest Category Seminar Ⅲ Springer-Verlag 1969
[5] 논문 On the size of categories http://tac.mta.ca/ta[...] 1995


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