토포스

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 그로텐디크 토포스
- 2.2. 준토포스
3. 공간으로서의 토포스
4. 논리학으로서의 토포스
- 4.1. 논리적 사상
- 4.2. 미첼-베나부 언어
5. 성질
6. 예
7. 역사
참조

1. 개요

토포스는 범주론의 개념으로, 특정 조건을 만족하는 범주를 의미한다. 토포스는 유한 완비 및 쌍대 완비 범주이며, 데카르트 닫힌 범주이고 부분 대상 분류자를 갖는다. 집합론은 토포스 이론의 특별한 경우로 취급되며, 토포스는 위상 공간의 일반화로도 생각할 수 있다. 토포스는 고차 논리의 명제를 해석하는 데 사용될 수 있으며, 미첼-베나부 언어와 내적 논리를 갖는다. 토포스는 기하학적 사상, 논리적 사상, 그리고 점, 기하학적 사상, 기본군 등의 개념을 통해 연구되며, 그로텐디크 토포스와 준토포스 등 다양한 종류가 존재한다. 토포스는 대수기하학, 층 이론, 수리논리학 등 다양한 분야에서 활용되며, 최근에는 인공지능 연구에도 적용하려는 시도가 이루어지고 있다.

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토포스

2. 정의

'''토포스'''((elementary) topos^영어)는 다음 조건들을 만족시키는 범주이다.^[2]

유한 완비 범주이다. 즉, 모든 유한 극한이 존재한다.
데카르트 닫힌 범주이다.
부분 대상 분류자 $(\Omega,\top)$ 를 갖는다.

부분 대상 분류자 대신, 멱대상(power object^영어)의 개념을 도입하여 "모든 대상은 멱대상을 갖는다"로 위의 조건들을 대체할 수 있다.

2. 1. 그로텐디크 토포스

위치 위의 (집합 값을 갖는) 층들의 범주와 동치인 범주이다. '''지로 정리'''(Giraud’s theorem^영어)를 사용하여 공리적으로도 정의할 수 있다. 모든 그로텐디크 토포스는 토포스임을 보일 수 있다.^[2]

구체적으로, 지로 정리에 의하면 다음 두 조건이 서로 동치이다.

범주 $\mathcal C$ 는 그로텐디크 토포스이다.
범주 $\mathcal C$ 는 다음 조건들을 만족시킨다.
* $\mathcal C$ 는 유한 쌍대 완비 범주이다.
* 생성 집합을 갖는다.
* 쌍대 극한은 올곱과 가환한다.
* (쌍대곱의 서로소성) 쌍대곱 $X\sqcup Y$ 에 대한 당김 $X\times_{X\sqcup Y}Y$ 은 시작 대상 $0\in\mathcal C$ 과 같다.
* 모든 동치 관계는 유효 동치 관계이다.

여기서 임의의 범주에서의 '''동치 관계'''는 다음 조건을 만족시키는 사상

r\colon R\to X\times X

이다.

임의의 대상 $Y$ 에 대하여, $r$ 로부터 유도되는 사상 모임 사이의 사상 $r^*\colon\hom(Y,R)\to\hom(Y,X)\times\hom(Y,X)$ 은 (모임 위의) 동치 관계를 이룬다.

동치 관계에 대하여, 두 사영 사상에 대한 쌍대동등자

X\twoheadrightarrow X/R

를 정의할 수 있다. 표준적 사상

R\to X_{X/R}X

이 동형 사상이라면,

r

를 '''유효 동치 관계'''라고 한다.

그로텐디크 토포스는 다음 세 가지 성질 중 하나를 만족하는 범주

C

이다. (장 지로의 정리에 따르면 아래의 성질들은 모두 동치이다.)

작은 범주 $D$ 와 유한 극한 보존 왼쪽 수반자를 허용하는 $C\hookrightarrow \operatorname{PreshD}$ 가 존재한다.
$C$ 는 그로텐디크 사이트 위의 층의 범주이다.
$C$ 는 아래의 지로의 공리를 만족한다.

여기서 Presh(''D'')는 ''D''에서 집합의 범주로의 반변 함수의 범주를 나타낸다. 이러한 반변 함수는 종종 프리층이라고 불린다.

범주 ''C''에 대한 Giraud의 공리들은 다음과 같다.

''C''는 작은 집합의 생성자를 가지며, 모든 작은 쌍대극한을 허용한다. 게다가, 섬유곱은 쌍대곱에 분배된다. 즉, 집합 ''I'', ''A''로의 ''I''-색인 쌍대곱, 사상 ''A''' → ''A''가 주어지면, 당김은 당김의 ''I''-색인 쌍대곱이다: $\left(\coprod_{i\in I} B_i\right)\times_A A'\cong\coprod_{i\in I}(B_i\times_A A').$
''C''의 합은 서로소이다. 즉, ''X''와 ''Y''의 합에 대한 섬유곱은 ''C''의 초기 대상이다.
''C''의 모든 동치 관계는 유효하다.

마지막 공리는 가장 많은 설명을 필요로 한다. ''X''가 ''C''의 대상인 경우, ''X''에 대한 "동치 관계" ''R''은 ''C''에서 사상 ''R'' → ''X'' × ''X''이다. 이는 ''C''의 임의의 대상 ''Y''에 대해, 유도된 사상 Hom(''Y'', ''R'') → Hom(''Y'', ''X'') × Hom(''Y'', ''X'')가 집합 Hom(''Y'', ''X'')에 대한 일반적인 동치 관계를 제공하도록 한다. ''C''는 쌍대극한을 가지므로, 두 사상 ''R'' → ''X''의 코이퀄라이저를 형성할 수 있다; 이를 ''X''/''R''이라고 부른다. 동치 관계는 정규 사상

:

R \to X \times_{X/R} X \,\!

가 동형사상일 경우 "유효"하다.

Giraud 정리는 이미 "사이트 위의 층"을 예시의 완전한 목록으로 제공한다. 그러나 서로 다른 사이트가 종종 동치인 토포스를 발생시킨다는 점에 유의해야 한다.

('''C''', ''J'')를 사잇이라고 할 때, '''C'''에서 ''Sets''로의 반변 함자 중 ''J''에 대한 "접착 조건"을 만족하는 것은 ('''C''', ''J'') 위의 층이라고 불리며, 그것들이 이루는 범주 ''Sh''('''C''', ''J'') (

\tilde C

라고도 쓴다)는 토포스가 된다. 이와 같이 얻어지는 토포스는 그로텐디크 토포스라고 불린다.

그로텐디크 토포스는 쌍완비 (cocomplete)이고 작은 생성계를 갖는 토포스로 특징지어진다. 여기서부터 그로텐디크 토포스에서의 아벨 군적인 대상이 이루는 아벨 범주는 충분한 단사 대상을 갖는다는 것을 알 수 있다. 따라서 그로텐디크 토포스의 아벨 군적인 대상의 범주에 대해 그 유도 범주를 생각하거나, 토포스의 사상의 직상 부분의 오른쪽 유도 함수를 생각할 수 있다.

특히, '''C'''를 작은 범주라고 할 때, 그 위의 자명한 그로텐디크 위상으로부터 '''C''' 위의 반변 함자 ('''C''' 위의 전층이라고 불린다) 전체의 범주 ''Psh''('''C''') (

\hat C

라고도 쓴다)가 얻어진다. 또한 ''J''가 '''C''' 위의 그로텐디크 위상일 때, "매장/망각" 함자 ''Sh''('''C''', ''J'') → ''Psh''('''C''')와 "층화" 함자 ''Psh''('''C''') → ''Sh''('''C''', ''J'')의 쌍은 ''Sh''('''C''', ''J'')에서 ''Psh''('''C''')로의 토포스의 사상이 된다.

2. 2. 준토포스

범주

\mathcal C

가 다음 조건들을 만족시킨다면, '''준토포스'''(quasitopos^영어)라고 한다.

유한 완비 범주이며 유한 쌍대 완비 범주이다.
국소 데카르트 닫힌 범주이다.
강한 부분 대상 분류자 $(\Omega,\top\colon 1\to\Omega)$ 가 존재한다.

모든 토포스는 준토포스이다. 준토포스는 토포스의 정의에서 부분 대상 분류자의 존재를 강한 부분 대상 분류자의 존재로 약화시킨 것이다.

위치

\mathcal C

위의 분리 준층 범주

\operatorname{SepPSh}(\mathcal C)

는 준토포스를 이룬다. 보다 일반적으로, 작은 범주

\mathcal C

위에 두 개의 그로텐디크 위상

j

및

k

가 주어졌으며,

j

가

k

보다 더 엉성할 때 (

j\subseteq k

),

j

-층인

k

-분리 준층들의 범주

\operatorname{Sh}(\mathcal C,j)\cap\operatorname{sepPSh}(\mathcal C,k)

는 준토포스를 이룬다. 이와 같이 나타낼 수 있는 준토포스를 '''그로텐디크 준토포스'''(Grothendieck quasitopos^영어)라고 한다.^[8] 그로텐디크 토포스에 대한 지로 정리와 마찬가지로, 그로텐디크 준토포스에 대해서도 지로 정리가 존재한다.

3. 공간으로서의 토포스

토포스는 위상 공간의 일반화로 생각할 수 있다. 위상 공간 위의 여러 개념들을 토포스에 대하여 정의할 수 있다.

범주 '''E'''가 (초등) 토포스라는 것은, '''E'''가 데카르트 닫힌 범주이고 부분 대상 분류자를 갖는 것을 말한다. 예를 들어, 집합의 범주 ''Sets'' 나 유한 집합의 범주 ''FinSets''는 부분 대상 분류자로서 두 점 집합을 가지므로 토포스가 된다.

위상 공간 ''X''의 열린 집합이 이루는 범주 '''O'''(''X'') 위에 족의 합집합 연산으로부터 그로텐디크 위상이 정해진다. 거기에서 얻어지는 토포스는 (보통 의미에서의) ''X'' 위의 층의 범주 ''Sh''(''X'')이다.

''Sets''는 한 점 공간 위의 층의 범주로 간주할 수 있다. 임의의 점 ''x'' ∈ ''X''에 대해 { x } → ''X''가 유도하는 토포스의 사상 ''Sets'' ≡ ''Sh''({''x''}) → ''Sh''(''X'')는 「''x''에서의 파이버를 취하는」 함자와 「''x'' 위의 마천루 층」 함수로부터 구성되어 있다. 또한, ''X'' → ''pt'' (한 점 공간)가 유도하는 토포스의 사상 ''Sh''(''X'') → ''Sets''는 「정수 층」 함자와 「대역 단면」 함자로부터 구성되어 있다.^[9]

3. 1. 기하학적 사상

두 토포스

\mathcal X

,

\mathcal Y

사이의 '''기하학적 사상'''(geometric morphism^영어)

f\colon\mathcal X\to\mathcal Y

는 다음 조건을 만족시키는 수반 함자쌍이다.

:

f^*\dashv f_*

:

f_*\colon\mathcal X\to\mathcal Y

:

f^*\colon\mathcal Y\to\mathcal X

$f^*$ 는 모든 유한 극한을 보존한다.

기하학적 사상

(f^*,f_*)

에서, 만약

f^*

가 추가로 왼쪽 수반 함자

:

f_!\dashv f^*\dashv f_*

를 갖는다면, 이를 '''본질적 기하학적 사상'''(essential geometric morphism^영어)이라고 한다.

만약

\operatorname{Sh}(X)

와

\operatorname{Sh}(Y)

가 위상 공간 위의 그로텐디크 토포스이며, 연속 함수

f\colon X\to Y

가 주어졌다면, 층의 직상

f_*\colon\operatorname{Sh}(X)\to\operatorname{Sh}(Y)

및 역상

f^*\colon\operatorname{Sh}(Y)\to\operatorname{Sh}(X)

은 기하학적 사상을 이룬다.

프레이드의 수반 함자 정리에 따르면, 기하 사상 ''X'' → ''Y''를 제공하는 것은 유한 극한과 모든 작은 쌍대극한을 보존하는 함자 ''u''^∗: ''Y'' → ''X''를 제공하는 것이다. 따라서 토포스 사이의 기하 사상은 로컬의 사상과 유사하게 볼 수 있다.

만약

X

와

Y

가 위상 공간이고

u

가 그 사이의 연속 사상이라면, 층에 대한 당김과 밀기 연산은 사이트

\text{Open}(X),\text{Open}(Y)

에 대한 관련 토포스 사이의 기하 사상을 생성한다. 기하 사상 (''u''^∗,''u''_∗)이 ''essential'' 하다는 것은 ''u''^∗가 추가적인 왼쪽 수반 ''u''_!을 갖는다는 뜻이며, 이는 (수반 함자 정리에 의해) ''u''^∗가 유한 극한뿐만 아니라 모든 작은 극한을 보존한다는 것과 동치이다.

'''E'''와 '''F'''가 토포스일 때, 함자 ''f''_*: '''E''' → '''F'''와 완전 함자 ''f''^*: '''F''' → '''E'''의 쌍 (''f''_*, ''f''^*)으로 수반 관계 ''f''^* ⊣ ''f''_*를 만족하는 것은 '''E'''에서 '''F'''로의 토포스의 사상(geometric morphism)이라고 불린다. 이때 f_*는 f의 직상 부분, f^*는 f의 역상 부분이라고 불린다. 수반성에 의해 토포스의 사상의 직상 부분은 왼쪽 완전 함자가 된다. ''X''를 위상 공간이라고 할 때, ''X''의 열린 집합이 이루는 범주 '''O'''(''X'') 위에 족의 합집합 연산으로부터 그로텐디크 위상이 정해진다. 거기에서 얻어지는 토포스는 (보통 의미에서의) ''X'' 위의 층의 범주 ''Sh''(''X'')이다. 위상 공간 사이의 연속 사상 ''f'':''X'' → ''Y''는 토포스의 사상 ''Sh''(''X'') → ''Sh''(''Y'')를 유도한다. 반대로, ''Y''가 하우스도르프성 등 좋은 분리성을 갖는 공간일 때에는 토포스의 사상 ''Sh''(''X'') → ''Sh''(''Y'')는 반드시 이와 같이 얻어진다.

3. 2. 점

토포스

\mathcal X

의 '''점'''(點, point^영어)은 집합의 범주에서

\mathcal X

로 가는 기하학적 사상

f\colon\operatorname{Set}\to\mathcal X

이다.

공집합이 아닌 위상 공간은 하나 이상의 점을 갖지만, 점을 갖지 않는 자명하지 않는 토포스가 존재한다.^[9]

3. 3. 국소 연결 토포스

국소적으로 작은 토포스

\mathcal X

속의 '''연결 대상'''(connected object^영어)은 사상 집합 함자

:

\hom_{\mathcal X}(X,-)\colon\mathcal X\to\operatorname{Set}

가 모든 유한 쌍대극한을 보존시키는 대상

X\in\mathcal X

이다.

그로텐디크 토포스

\mathcal X

에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 그로텐디크 토포스를 '''국소 연결 토포스'''(locally connected topos^영어)라고 한다.

임의의 대상 $A\in\mathcal X$ 은 연결 대상들의 집합의 쌍대곱 $\textstyle\coprod_{i\in I}A_i$ 으로 나타낼 수 있다.
유일한 기하학적 사상 $\mathcal X\to\operatorname{Set}$ 은 본질적 기하학적 사상이다.

국소 연결 토포스

\mathcal X

에서 한원소 토포스

\operatorname{Set}

로 가는 (유일한) 본질적 기하학적 사상

(f_!,f^*,f_*)

에서

f_!

은 다음과 같이 해석할 수 있다.

'''연결 성분 함자'''(connected component functor^영어) $f_!\colon\mathcal X\to\operatorname{Set}$ 는 대상 $\textstyle\coprod_{i\in I}A_i$ 을 그 연결 성분의 집합 $I$ 로 대응시킨다.

위상 공간

X

에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

$X$ 는 국소 연결 공간이다.
$\operatorname{Sh}(X)$ 는 국소 연결 토포스이다.

3. 4. 연결 토포스

연결 토포스(connected topos^영어)는 그 상수층 함자가 충실충만한 함자인 토포스이다. 위상 공간

Sh(X)

가 연결 토포스인 것과

X

가 연결 공간인 것은 동치이다.

3. 5. 기본군

그로텐디크 토포스에 대하여, 기본군의 개념을 정의할 수 있다.^[11] 이는 위상 공간의 기본군의 사유한 완비나, 스킴의 에탈 기본군을 일반화한다.

그로텐디크 토포스

\operatorname{Sh}(\mathcal X)

가 주어졌을 때, 그 속에 국소 상수층들의 부분 범주

\operatorname{Sh_{locConst}}(\mathcal X)\hookrightarrow\operatorname{Sh}(\mathcal X)

를 정의할 수 있다.

그로텐디크 토포스

\operatorname{Sh}(\mathcal X)

의 밑점(base point^영어)은 특정한 조건들을 만족시키는, 유한 집합의 범주로 가는 함자

B\colon\operatorname{Sh_{locConst}}(\mathcal X)\to\operatorname{Set_{fin}}

이다. (구체적으로, 이는 "사표현 가능 함자"(pro-representable functor^영어)이어야 한다.)

그로텐디크 토포스

\operatorname{Sh}(\mathcal X)

의 밑점

B

가 대상

P\in\operatorname{Sh}(\mathcal X)

으로 표현된다고 하자. 그렇다면 그로텐디크 토포스

\operatorname{Sh}(\mathcal X)

의, 밑점

B

에서의 기본군

\pi_1(\operatorname{Sh}(\mathcal X),B)

는

P

의 자기 동형군

\operatorname{Aut}_{\operatorname{Sh}(\mathcal X)}(P)

이다. 이는 항상 사유한군이며, 또한 범주의 동치

:

\operatorname{Sh_{locConst}}(\mathcal X)\simeq\pi_1(\operatorname{Sh}(\mathcal X),B)\text{-Set}_{\operatorname{fin}}

가 존재한다. (우변은 사유한군

\pi_1(\operatorname{Sh}(\mathcal X),B)

의 작용을 갖는 유한군들로 구성된 범주이다.)

4. 논리학으로서의 토포스

토포스 $\mathcal X$ 에서 각 대상 $X\in\mathcal X$ 은 형(type)을 정의하며, 명제의 형은 부분 대상 분류자 $\Omega$ 이다. 토포스 속의 사상 $f\colon X\to Y$ 는 형 $X$ 를 형 $Y$ 로 대응시키는 변환이다. 즉, 형 $X$ 의 매개변수를 갖는 형 $Y$ 의 대상이다. 특히, 형 $X$ 의 매개변수 $x$ 를 갖는 명제 $\phi(x)$ 는 사상 $X\to\Omega$ 에 대응하며, 부분 대상 분류자의 성질에 의해 $X$ 의 부분 대상 $\phi\in\operatorname{Sub}(X)$ 에 대응한다.

논리	토포스
형	대상
형 사이의 변환	사상
명제의 형	부분 대상 분류자 $\Omega$
(자유 변수가 없는) 명제	부분 대상 분류자의 부분 대상
형 $X$ 의 자유 변수 $x$ 를 갖는 명제 $\phi(x)$	사상 $X\to\Omega$ = $X$ 의 부분 대상
형 $X$ 의 자유 변수 $x$ 를 갖는 명제 $\phi(x)$ 의 형	지수 대상 $\Omega^X$

명제의 형 $\Omega$ (또는 $\Omega^X$ )가 존재한다는 것은 명제에 존재 기호 및 전칭 기호를 씌울 수 있음을 의미한다. 즉, 토포스의 내적 논리는 고차 논리를 이룬다.

토포스 $\mathcal X$ 에서 임의의 대상 $X\in\mathcal X$ 의 부분 대상의 부분 순서 집합 $\operatorname{Sub}(X)$ 는 헤이팅 대수를 이룬다. (주어진 부분 순서 집합 위의 헤이팅 대수는 만약 존재한다면 유일하다.) 부분 대상 분류자 $\Omega$ 의 존재에 의해 부분 대상 $A\in\operatorname{Sub}(X)$ 는 사상 $A\to\Omega$ 와 동치이다.

논리	헤이팅 대수
명제	$\operatorname{Sub}(X)$ 의 원소
참 $\top$	$\operatorname{Sub}(X)$ 의 최대 원소 $\top\in\operatorname{Sub}(X)$
거짓 $\bot$	$\operatorname{Sub}(X)$ 의 최소 원소 $\bot\in\operatorname{Sub}(X)$
논리합 $\lor$	$\operatorname{Sub}(X)$ 의 두 원소의 이음 (상한) $x\lor y$
논리곱 $\land$	$\operatorname{Sub}(X)$ 의 두 원소의 만남 (하한) $x\land y$
함의 $x\implies y$	헤이팅 대수의 함의 관계 $x\implies y$
부정 $\lnot x$	거짓의 함의 $x\implies\bot$

토포스에서 임의의 사상 $f\colon X\to Y$ 에 대하여, 이로부터 유도되는 증가 함수 $f^*\colon\operatorname{Sub}(Y)\to\operatorname{Sub}(X)$ 를 생각할 수 있다. 부분 순서 집합을 작은 범주로 생각한다면, 토포스에서 이는 항상 왼쪽 수반 함자 및 오른쪽 수반 함자를 갖는다.

: $\exists_f \dashv f^* \dashv \forall_f$

이 경우, $\exists_f$ 는 존재 기호, $\forall_f$ 는 전칭 기호에 해당한다.

논리	집합	토포스
자유 변수 $y\colon Y$ 를 갖는 명제 $\phi(y)$ 및 함수 $f\colon X\to Y$ 가 주어졌을 때, 자유 변수 $x\colon X$ 를 갖는 명제 $\phi(f(x))$	부분 집합 $\phi\subseteq Y$ 및 함수 $f\colon X\to Y$ 에 대하여, $\{x\in X\colon \phi_Y(f(x))\}$	부분 대상 $\phi\in\operatorname{Sub}(Y)$ 에 대하여, $f^*\phi\in\operatorname{Sub}(X)$
자유 변수 $x\colon X$ , $y\colon Y$ 인 명제 $\phi(x,y)$ 에 대하여, $\forall x\in X\colon\phi(x,y)$	$\{y\in Y\colon \exists x\in X\colon\phi(x,y)\}$	사영 $\operatorname{proj}_Y\colon X\times Y\to Y$ 에 대하여, $\forall_{\operatorname{proj}_Y}\phi$
자유 변수 $x\colon X$ , $y\colon Y$ 인 명제 $\phi(x,y)$ 에 대하여, $\exists x\in X\colon\phi(x,y)$	$\{y\in Y\colon \exists x\in X\colon \phi(x,y)\}$	사영 $\operatorname{proj}_Y\colon X\times Y\to Y$ 에 대하여, $\exists_{\operatorname{proj}_Y}\phi$

대상 $X$ 속의 부분 대상 $a,b\in\operatorname{Sub}(X)$

: $a\colon A\hookrightarrow X$

: $b\colon B\hookrightarrow X$

이 주어졌으며, 그 만남

: $a\land b\colon A\land_XB\hookrightarrow X$

이 주어졌을 때, 헤이팅 대수 $\operatorname{Sub}(X)$ 에서의 헤이팅 함의 관계 $a\implies b$ 는 다음과 같이 정의된다.

: $(a\implies b)=\forall_{a\land b}\top_{\operatorname{Sub}(A\land_XB)}\in\operatorname{Sub}(X)$

여기서 $\forall_{a\land b}\colon A\land_XB\to X$ 는 부분 대상 $a\land b\in\operatorname{Sub}(X)$ 에 대응하는 단사 사상이며, $\top_{\operatorname{Sub}(A\land_XB)}\in\operatorname{Sub}(A\land_XB)$ 는 $\operatorname{Sub}(A\land_XB)$ 의 최대 원소이다.

크립키-조얄 의미론을 통해 집합론적 논리식을 토포스의 대상과 사상에 대한 명제로 해석할 수 있다. 토포스 '''Sets'''에서의 해석은 통상적인 기호론적 집합과 그 원소에 관한 논리식 해석이 된다. 군, 가환군, 환 등 수학적(특히 대수적) 구조의 공리를 논리식으로 표현했을 때, 경계 ('''C''', ''J'') 위의 그로텐디크 토포스에서 해당 논리식을 만족하는 대상이 ('''C''', ''J'') 위의 군, 가환군, 환 등의 층이 된다. 국소환의 층 등 국소적인 조건 또한 전칭 기호를 사용한 논리식으로 자연스럽게 표현된다.

한편, 적절한 경계 ('''P''', ''J'')를 폴 코언의 강제법 논의를 따라 구성하고, 그 위의 층의 범주로서 연속체 가설이 성립하지 않는 집합론 모델을 얻을 수 있다. 이와 유사하게 선택 공리가 성립하지 않는 집합론 모델도 어떤 경계 위의 층 범주로 실현할 수 있다. 이렇게 구성된 집합론 모델 중에는 배중률이 성립하지 않는 직관주의적 모델도 자연스럽게 나타난다.

4. 1. 논리적 사상

두 토포스

\mathcal X

,

\mathcal Y

사이의 논리적 사상(logical morphism^영어)

f\colon\mathcal X\to\mathcal Y

는 유한 극한과 멱대상을 보존하는 함자이다.^[7] 논리적 함자는 토포스가 가진 구조를 보존하는데, 특히 유한 쌍대 극한, 부분 대상 분류자, 지수 대상을 보존한다.^[7]

토포스

\mathcal X

에서 각 대상

X\in\mathcal X

은 형(type^영어)을 정의한다. 명제의 형은 부분 대상 분류자

\Omega

이다. 토포스 속의 사상

f\colon X\to Y

는 형

X

를 형

Y

로 대응시키는 변환이다. 즉, 형

X

의 매개변수를 갖는 형

Y

의 대상이다. 특히, 형

X

의 매개변수

x

를 갖는 명제

\phi(x)

는 사상

X\to\Omega

에 대응하며, 부분 대상 분류자의 성질에 따라

X

의 부분 대상

\phi\in\operatorname{Sub}(X)

에 대응한다.

논리	토포스
형	대상
형 사이의 변환	사상
명제의 형	부분 대상 분류자 $\Omega$
(자유 변수가 없는) 명제	부분 대상 분류자의 부분 대상
형 $X$ 의 자유 변수 $x$ 를 갖는 명제 $\phi(x)$	사상 $X\to\Omega$ = $X$ 의 부분 대상
형 $X$ 의 자유 변수 $x$ 를 갖는 명제 $\phi(x)$ 의 형	지수 대상 $\Omega^X$

명제의 형 $\Omega$ (또는 $\Omega^X$ )가 존재한다는 것은 명제에 존재 기호 및 전칭 기호를 씌울 수 있음을 뜻한다. 즉, 토포스의 내적 논리는 고차 논리를 이룬다.

토포스 $\mathcal X$ 에서 임의의 대상 $X\in\mathcal X$ 의 부분 대상 부분 순서 집합 $\operatorname{Sub}(X)$ 는 헤이팅 대수를 이룬다. (주어진 부분 순서 집합 위의 헤이팅 대수는 만약 존재한다면 유일하다.) 부분 대상 분류자 $\Omega$ 의 존재에 의해 부분 대상 $A\in\operatorname{Sub}(X)$ 는 사상 $A\to\Omega$ 와 동치이다.

논리	헤이팅 대수
명제	$\operatorname{Sub}(X)$ 의 원소
참 $\top$	$\operatorname{Sub}(X)$ 의 최대 원소 $\top\in\operatorname{Sub}(X)$
거짓 $\bot$	$\operatorname{Sub}(X)$ 의 최소 원소 $\bot\in\operatorname{Sub}(X)$
논리합 $\lor$	$\operatorname{Sub}(X)$ 의 두 원소의 이음 (상한) $x\lor y$
논리곱 $\land$	$\operatorname{Sub}(X)$ 의 두 원소의 만남 (하한) $x\land y$
함의 $x\implies y$	헤이팅 대수의 함의 관계 $x\implies y$
부정 $\lnot x$	거짓의 함의 $x\implies\bot$

토포스에서 임의의 사상 $f\colon X\to Y$ 에 대하여, 이로부터 유도되는 증가 함수

: $f^*\colon\operatorname{Sub}(Y)\to\operatorname{Sub}(X)$

를 생각할 수 있다. 부분 순서 집합을 작은 범주로 생각한다면, 토포스에서 이는 항상 왼쪽 수반 함자 및 오른쪽 수반 함자를 갖는다.

: $\exists_f \dashv f^* \dashv \forall_f$

이 경우, $\exists_f$ 는 존재 기호, $\forall_f$ 는 전칭 기호에 해당한다.

$A\subset X \to \{f(x)\colon\forall x\in X\colon f(x)\in A_Y\}$

논리	집합	토포스
자유 변수 $y\colon Y$ 를 갖는 명제 $\phi(y)$ 및 함수 $f\colon X\to Y$ 가 주어졌을 때, 자유 변수 $x\colon X$ 를 갖는 명제 $\phi(f(x))$	부분 집합 $\phi\subseteq Y$ 및 함수 $f\colon X\to Y$ 에 대하여, $\{x\in X\colon \phi_Y(f(x))\}$	부분 대상 $\phi\in\operatorname{Sub}(Y)$ 에 대하여, $f^*\phi\in\operatorname{Sub}(X)$
자유 변수 $x\colon X$ , $y\colon Y$ 인 명제 $\phi(x,y)$ 에 대하여, $\forall x\in X\colon\phi(x,y)$	$\{y\in Y\colon \exists x\in X\colon\phi(x,y)\}$	사영 $\operatorname{proj}_Y\colon X\times Y\to Y$ 에 대하여, $\forall_{\operatorname{proj}_Y}\phi$
자유 변수 $x\colon X$ , $y\colon Y$ 인 명제 $\phi(x,y)$ 에 대하여, $\exists x\in X\colon\phi(x,y)$	$\{y\in Y\colon \exists x\in X\colon \phi(x,y)\}$	사영 $\operatorname{proj}_Y\colon X\times Y\to Y$ 에 대하여, $\exists_{\operatorname{proj}_Y}\phi$

대상 $X$ 속의 부분 대상 $a,b\in\operatorname{Sub}(X)$

: $a\colon A\hookrightarrow X$

: $b\colon B\hookrightarrow X$

이 주어졌으며, 그 만남

: $a\land b\colon A\land_XB\hookrightarrow X$

이 주어졌을 때, 헤이팅 대수 $\operatorname{Sub}(X)$ 에서의 헤이팅 함의 관계 $a\implies b$ 는 다음과 같이 정의된다.

: $(a\implies b)=\forall_{a\land b}\top_{\operatorname{Sub}(A\land_XB)}\in\operatorname{Sub}(X)$

여기서 $\forall_{a\land b}\colon A\land_XB\to X$ 는 부분 대상 $a\land b\in\operatorname{Sub}(X)$ 에 대응하는 단사 사상이며, $\top_{\operatorname{Sub}(A\land_XB)}\in\operatorname{Sub}(A\land_XB)$ 는 $\operatorname{Sub}(A\land_XB)$ 의 최대 원소이다.

크립키-조얄 의미론을 통해 집합론적 논리식을 토포스의 대상과 사상에 대한 명제로 해석할 수 있다. 토포스 '''Sets'''에서의 해석은 통상적인 기호론적 집합과 그 원소에 관한 논리식 해석이 된다. 군, 가환군, 환 등 수학적(특히 대수적) 구조의 공리를 논리식으로 표현했을 때, 경계 ('''C''', ''J'') 위의 그로텐디크 토포스에서 해당 논리식을 만족하는 대상이 ('''C''', ''J'') 위의 군, 가환군, 환 등의 층이 된다. 국소환의 층 등 국소적인 조건 또한 전칭 기호를 사용한 논리식으로 자연스럽게 표현된다.

한편, 적절한 경계 ('''P''', ''J'')를 폴 코언의 강제법 논의를 따라 구성하고, 그 위의 층의 범주로서 연속체 가설이 성립하지 않는 집합론 모델을 얻을 수 있다. 이와 유사하게 선택 공리가 성립하지 않는 집합론 모델도 어떤 경계 위의 층 범주로 실현할 수 있다. 이렇게 구성된 집합론 모델 중에는 배중률이 성립하지 않는 직관주의적 모델도 자연스럽게 나타난다.

4. 2. 미첼-베나부 언어

토포스

\mathcal X

에서 임의의 고차 논리 (유형 이론) 명제를 해석할 수 있다. 이를

\mathcal X

의 '''미첼-베나부 언어'''(Mitchell–Bénabou language^영어)라고 하며,^[12] 이 언어 가운데 참인 명제들의 집합을

\mathcal X

의 '''내적 논리'''(internal logic^영어)라고 한다. 이 경우, 직관 논리의 모든 공리는 성립하지만, 고전 논리는 성립하지 않을 수 있다. 또한, 선택 공리(모든 전사 사상은 분할 전사 사상) 역시 성립하지 않을 수 있다.

토포스 위의 미첼-베나부 언어에는 '''크립키-주아얄 의미론'''(Kripke–Joyal semantics^영어)이라는 의미론이 존재한다.^[12] 이는 솔 크립키와 앙드레 주아얄이 도입하였다.

토포스

\mathcal X

에서, 각 대상

X\in\mathcal X

은 '''형'''(type^영어)을 정의한다. 명제의 형은 부분 대상 분류자

\Omega

이다. 토포스 속의 사상

f\colon X\to Y

는 형

X

를 형

Y

로 대응시키는 변환이다. 즉, 형

X

의 매개변수를 갖는 형

Y

의 대상이다. 특히, 형

X

의 매개변수

x

를 갖는 명제

\phi(x)

는 사상

X\to\Omega

에 대응하며, 부분 대상 분류자의 성질에 의하여 이는

X

의 부분 대상

\phi\in\operatorname{Sub}(X)

에 대응한다.

논리	토포스
형	대상
형 사이의 변환	사상
명제의 형	부분 대상 분류자 $\Omega$
(자유 변수가 없는) 명제	부분 대상 분류자의 부분 대상
형 $X$ 의 자유 변수 $x$ 를 갖는 명제 $\phi(x)$	사상 $X\to\Omega$ = $X$ 의 부분 대상
형 $X$ 의 자유 변수 $x$ 를 갖는 명제 $\phi(x)$ 의 형	지수 대상 $\Omega^X$

명제의 형 $\Omega$ (또는 $\Omega^X$ )가 존재한다는 것은, 명제에 대하여 존재 기호 · 전칭 기호를 씌울 수 있음을 뜻한다. 즉, 토포스의 내적 논리는 고차 논리를 이룬다.

토포스 $\mathcal X$ 에서, 임의의 대상 $X\in\mathcal X$ 의 부분 대상 부분 순서 집합 $\operatorname{Sub}(X)$ 는 헤이팅 대수를 이룬다. (주어진 부분 순서 집합 위의 헤이팅 대수는 만약 존재한다면 유일하다. 부분 대상 분류자 $\Omega$ 의 존재에 의하여, 부분 대상 $A\in\operatorname{Sub}(X)$ 는 사상 $A\to\Omega$ 와 동치이다.)

논리	헤이팅 대수
명제	$\operatorname{Sub}(X)$ 의 원소
참 $\top$	$\operatorname{Sub}(X)$ 의 최대 원소 $\top\in\operatorname{Sub}(X)$
거짓 $\bot$	$\operatorname{Sub}(X)$ 의 최소 원소 $\bot\in\operatorname{Sub}(X)$
논리합 $\lor$	$\operatorname{Sub}(X)$ 의 두 원소의 이음 (상한) $x\lor y$
논리곱 $\land$	$\operatorname{Sub}(X)$ 의 두 원소의 만남 (하한) $x\land y$
함의 $x\implies y$	헤이팅 대수의 함의 관계 $x\implies y$
부정 $\lnot x$	거짓의 함의 $x\implies\bot$

토포스에서, 임의의 사상 $f\colon X\to Y$ 에 대하여, 이로부터 유도되는 증가 함수 $f^*\colon\operatorname{Sub}(Y)\to\operatorname{Sub}(X)$ 를 생각하자. 부분 순서 집합을 작은 범주로 생각한다면, 토포스에서 이는 항상 왼쪽 수반 함자 및 오른쪽 수반 함자를 갖는다.

: $\exists_f \dashv f^* \dashv \forall_f$

이 경우, $\exists_f$ 는 존재 기호, $\forall_f$ 는 전칭 기호에 해당한다.

논리	집합	토포스
자유 변수 $y\colon Y$ 를 갖는 명제 $\phi(y)$ 및 함수 $f\colon X\to Y$ 가 주어졌을 때, 자유 변수 $x\colon X$ 를 갖는 명제 $\phi(f(x))$	부분 집합 $\phi\subseteq Y$ 및 함수 $f\colon X\to Y$ 에 대하여, $\{x\in X\colon \phi_Y(f(x))\}$	부분 대상 $\phi\in\operatorname{Sub}(Y)$ 에 대하여, $f^*\phi\in\operatorname{Sub}(X)$
자유 변수 $x\colon X$ , $y\colon Y$ 인 명제 $\phi(x,y)$ 에 대하여, $\forall x\in X\colon\phi(x,y)$	$\{y\in Y\colon \exists x\in X\colon\phi(x,y)\}$	사영 $\operatorname{proj}_Y\colon X\times Y\to Y$ 에 대하여, $\forall_{\operatorname{proj}_Y}\phi$
자유 변수 $x\colon X$ , $y\colon Y$ 인 명제 $\phi(x,y)$ 에 대하여, $\exists x\in X\colon\phi(x,y)$	$\{y\in Y\colon \exists x\in X\colon \phi(x,y)\}$	사영 $\operatorname{proj}_Y\colon X\times Y\to Y$ 에 대하여, $\exists_{\operatorname{proj}_Y}\phi$

대상 $X$ 속의 부분 대상 $a,b\in\operatorname{Sub}(X)$

: $a\colon A\hookrightarrow X$

: $b\colon B\hookrightarrow X$

이 주어졌으며, 그 만남

: $a\land b\colon A\land_XB\hookrightarrow X$

이 주어졌을 때, 헤이팅 대수 $\operatorname{Sub}(X)$ 에서의 헤이팅 함의 관계 $a\implies b$ 는 다음과 같이 정의된다.

: $(a\implies b)=\forall_{a\land b}\top_{\operatorname{Sub}(A\land_XB)}\in\operatorname{Sub}(X)$

여기서 $\forall_{a\land b}\colon A\land_XB\to X$ 는 부분 대상 $a\land b\in\operatorname{Sub}(X)$ 에 대응하는 단사 사상이며, $\top_{\operatorname{Sub}(A\land_XB)}\in\operatorname{Sub}(A\land_XB)$ 는 $\operatorname{Sub}(A\land_XB)$ 의 최대 원소이다.

5. 성질

토포스는 다음 성질들을 갖는다.^[8]

유한 완비 범주이다. 즉, 모든 유한 극한이 존재한다. 특히, 유한곱 $A_1\times A_2\times\cdots\times A_n$ 및 끝 대상 $1$ 이 존재한다.
유한 쌍대 완비 범주이다. 즉, 모든 유한 쌍대 극한(colimit)이 존재한다. 특히, 유한 쌍대곱 $A_1\sqcup A_2\sqcup\cdots\sqcup A_n$ 및 시작 대상 $0$ 이 존재한다.
서로 비동형인 두 대상이 존재하는 토포스에서는 0과 1이 서로 동형이지 않다 (즉, 영 대상이 존재하지 않는다).
부분 대상 분류자 $2$ 가 존재한다.
임의의 두 대상 $A,B$ 에 대하여, 지수 대상 $A^B$ (함수들의 집합과 유사한 역할을 하는 대상)이 존재한다. 특히, 멱대상 $2^B$ 이 존재하며, 이에 대하여 모든 토포스는 데카르트 닫힌 범주를 이룬다.

그로텐디크 토포스는 토포스이며, 또한 다음과 같은 추가 성질을 가진다.

그로텐디크 토포스는 항상 자연수 대상(natural numbers object^영어)을 가지며, 이는 자연수 집합을 값으로 하는 상수층 $\underline{\mathbb N}$ 이다.

6. 예

집합의 범주 $\operatorname{Set}$ 는 한 점으로 구성되는 공간 위의 층의 범주이므로, 그로텐디크 토포스를 이룬다. 유한 집합의 범주 $\operatorname{FinSet}$ 는 그로텐디크 토포스가 아니다. 군 $G$ 의 작용을 갖춘 집합 및 작용에 호환되는 함수들의 범주 $G\text{-Set}$ , 작은 범주 $\mathcal C$ 에 대한 함자 범주 $\operatorname{Set}^\mathcal C$ , 작은 위치 위의 (집합 값을 갖는) 층의 범주는 그로텐디크 토포스이며, 따라서 역시 토포스이다. 토포스 $\mathcal T$ 의 대상 $X\in\mathcal T$ 에 대한 조각 범주 $\mathcal T/X$ 또한 토포스이다. 점 집합의 범주와 아벨 군의 범주는 토포스가 아니다.

7. 역사

토포스의 개념은 알렉산더 그로텐디크가 대수기하학과 층 이론의 관점에서 1960년대에 도입하였다.^[13]^[14] 그로텐디크가 창안한 단어 topos|토포스^프랑스어 (복수 topoï|토포이^프랑스어)는 τόπος|토포스^grc(장소, 복수 τόποι|토포이^grc)에서 유래하였다.

프랜시스 윌리엄 로비어와 마일스 티어니(Myles Tierney^영어)는 수리논리학에 토포스의 개념을 응용하였고, 그로텐디크 토포스의 개념을 (기초적) 토포스로 일반화하였다.^[15] 지로 정리는 장 지로(Jean Giraud^프랑스어)가 증명하였다.

1940년대에 수학에 층이 도입된 이후, 주요 주제는 공간 위의 층을 연구하여 공간을 연구하는 것이었다. 알렉산더 그로텐디크는 이 아이디어를 "토포스"의 개념을 도입하여 설명하였다. 이 개념의 주요 유용성은 위상적 발견법이 매우 효과적이지만 정직한 위상 공간이 부족한 수학적 상황이 풍부하다는 것이다. 발견법을 형식화하는 토포스를 찾는 것이 때때로 가능하다. 이 프로그램적 아이디어의 중요한 예시는 스키마의 에탈 토포스이다.

서로 매우 다른 언어로 작성되었지만 공통적인 수학적 내용을 공유하는 이론들을 연결하기 위한 "다리"로 그로텐디크 토포스를 사용하는 것은 그로텐디크 토포스가 다양한 수학적 상황의 "본질"을 구현할 수 있는 능력을 보여주는 또 다른 예이다.^[2]^[3] 그로텐디크 연구소 연구 단체의 설립자이자 회장인 수학자 올리비아 카라멜로에 따르면, 이러한 "다리"는 "서로 다른 영역 간의 정보 전송을 용이하게 할 수"도 있다.^[4] 이러한 이유로, 기술 회사 화웨이는 수학자 로랑 라포르그에게 그로텐디크의 선구적인 연구를 점점 더 효과적인 AI 연구 분야의 개발에 사용할 수 있도록 이 측면을 더 깊이 파고들도록 위탁했다.^[4]

참조

_[1] 간행물 2004
_[2] 학위논문 Grothendieck toposes as unifying 'bridges' in Mathematics https://www.oliviaca[...] Paris Diderot University (Paris 7) 2016
_[3] 서적 Theories, Sites, Toposes: Relating and studying mathematical theories through topos-theoretic 'bridges https://oxford.unive[...] Oxford University Press 2017
_[4] 뉴스 'He was in mystic delirium': was this hermit mathematician a forgotten genius whose ideas could transform AI – or a lonely madman? https://www.theguard[...] 2024-08-31
_[5] 서적 Etale Homotopy Springer-Verlag
_[6] 간행물 étale homotopy of simplicial schemes Princeton University Press
_[7] 간행물 1992
_[8] 저널 Grothendieck quasitoposes 2012-04-01
_[9] 서적 Théorie des topos et cohomologie étale des schémas. Tome 1: Théorie des topos http://iecl.univ-lor[...] 2016-01-10
_[10] 저널 Toposes without points 1974-12
_[11] 서적 Revêtements étales et groupe fondamental 1971
_[12] 서적 Sheaves in geometry and logic: a first introduction to topos theory Springer 1992
_[13] 저널 The uses and abuses of the history of topos theory http://www.cwru.edu/[...] 2014-10-09
_[14] 저널 What is a ... topos? http://www.ams.org/n[...] 2004-09
_[15] 서적 Handbook of Philosophical Logic, vol. 12 Springer 2005

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