원판

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1. 개요
2. 기하학적 정의 및 공식
3. 성질
- 3.1. 기하학적 성질
- 3.2. 위상수학적 성질
4. 통계적 분포
- 4.1. 평균 거리
5. 거리 공간
6. 비고
참조

1. 개요

원판은 데카르트 좌표계에서 정의되는 기하학적 개념으로, 중심과 반지름을 갖는 열린 원판과 닫힌 원판으로 구분된다. 열린 원판은 경계선을 포함하지 않고, 닫힌 원판은 경계선을 포함한다. 원판은 유클리드 기하학에서 회전 대칭을 가지며, 넓이는 πR²이다. 원판의 개념은 일반적인 거리 공간으로 확장되어 구(ball)로 불리기도 한다. 열린 원판과 닫힌 원판은 위상적으로 다른 성질을 가지며, 닫힌 원판은 콤팩트 공간이지만 열린 원판은 그렇지 않다. 닫힌 원판에서 자신으로의 모든 연속 함수는 고정점을 갖지만, 열린 원판에서는 그렇지 않다. 원판은 통계적 분포, 특히 도시 계획과 같은 분야에서 사용되며, 원판 내 두 점 사이의 평균 거리를 계산하는 데 활용된다.

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원판
정의
정의	수학에서 원판은 평면에 있는 원의 모든 점으로 구성된 영역이다. 원판은 원으로 둘러싸여 있으며, 원은 원판의 경계를 이룬다.
종류
닫힌 원판	경계를 포함하는 원판
열린 원판	경계를 포함하지 않는 원판
성질
위상수학적 성질	원판은 위상적으로 원과 동등하다.
면적	반지름 r의 원판의 면적은 πr²이다.
연결성	원판은 단순 연결 공간이다.
관련 개념
구	3차원 공간에서의 원판에 해당하는 개념
공	3차원 공간에서의 원판에 해당하는 개념
참고 자료
참고 문헌	Clapham, Christopher; Nicholson, James (2014). The Concise Oxford Dictionary of Mathematics. Oxford University Press. ISBN 9780199679591. Arnold, B. H. (2013). Intuitive Concepts in Elementary Topology. Dover Books on Mathematics. Courier Dover Publications. ISBN 9780486275765.

2. 기하학적 정의 및 공식

데카르트 좌표계에서 중심 $(a, b)$ 와 반지름 ''R''을 갖는 열린 원판과 닫힌 원판은 각각 다음과 같은 공식으로 표현된다.^[1]

열린 원판:

:

D=\{(x, y)\in {\mathbb R^2}: (x-a)^2+(y-b)^2 < R^2\}

닫힌 원판:

:

\overline{ D }=\{(x, y)\in {\mathbb R^2}: (x-a)^2+(y-b)^2 \le R^2\}.

반지름 ''R''인 원판의 넓이는 π''R''²이다(원 넓이 참조).^[3] 유클리드 기하학에서의 원판은 회전 대칭이다.

2. 1. 열린 원판

데카르트 좌표계와 직교 좌표계에서 중심이

(a, b)

이고 반지름이 ''R''인 열린 원판은 다음과 같은 공식으로 표현된다.^[1]

:

D=\{(x, y)\in {\mathbb R^2}: (x-a)^2+(y-b)^2 < R^2\}

2. 2. 닫힌 원판

데카르트 좌표계에서 중심

(a, b)

이고 반지름이 ''R''인 닫힌 원판은 다음과 같이 표현된다.^[1]

:

\overline{ D }=\{(x, y)\in {\mathbb R^2}: (x-a)^2+(y-b)^2 \le R^2\}.

반지름 ''R''인 닫힌 원판의 넓이는 π''R''²이다(원 넓이 참조).^[3]

2. 3. 넓이

반지름 ''R''을 갖는 닫힌 원판 또는 열린 원판의 넓이는 π''R''²이다(원 넓이 참조).^[3]

3. 성질

원판은 원형 대칭을 갖는다.^[4]

열린 원판과 닫힌 원판은 위상 동형이 아니며, 서로 다른 위상적 성질을 갖는다. 예를 들어, 모든 닫힌 원판은 콤팩트 공간인 반면, 모든 열린 원판은 콤팩트 공간이 아니다.^[5] 그러나 대수적 위상수학의 관점에서 보면, 둘 다 많은 성질을 공유한다. 둘 다 축약 가능 공간이며,^[6] 따라서 하나의 점과 호모토피 동치이다. 이는 그들의 기본군이 자명하고, 0차를 제외한 모든 호몰로지 군이 자명하다는 것을 의미하며, 0차 호몰로지 군은 '''Z'''와 동형이다. 점(그리고 닫힌 원판 또는 열린 원판)의 오일러 지표는 1이다.^[7]

닫힌 원판에서 자기 자신으로 가는 모든 연속 함수는 적어도 하나의 고정점을 갖는다(함수가 전단사이거나 전사일 필요는 없다). 이는 브라우어 고정점 정리의 경우 ''n''=2이다.^[8] 이 명제는 열린 원판에 대해서는 성립하지 않는다.^[9]

3. 1. 기하학적 성질

원판은 원형 대칭(회전 대칭)을 갖는다.^[4]

3. 2. 위상수학적 성질

열린 원판과 닫힌 원판은 위상 동형이 아니며, 서로 다른 위상적 성질을 갖는다. 예를 들어, 모든 닫힌 원판은 콤팩트 공간인 반면, 모든 열린 원판은 콤팩트 공간이 아니다.^[5] 그러나 대수적 위상수학의 관점에서 보면, 둘 다 많은 성질을 공유한다. 둘 다 축약 가능 공간이며,^[6] 따라서 하나의 점과 호모토피 동치이다. 이는 그들의 기본군이 자명하고, 0차를 제외한 모든 호몰로지 군이 자명하다는 것을 의미하며, 0차 호몰로지 군은 '''Z'''와 동형이다. 점(그리고 닫힌 원판 또는 열린 원판)의 오일러 지표는 1이다.^[7]

닫힌 원판에서 자기 자신으로 가는 모든 연속 함수는 적어도 하나의 고정점을 갖는다(함수가 전단사이거나 전사일 필요는 없다). 이는 브라우어 고정점 정리의 경우 ''n''=2이다.^[8] 이 명제는 열린 원판에 대해서는 성립하지 않는다.^[9]

예를 들어, 함수

f(x,y)=\left(\frac{x+\sqrt{1-y^2}}{2},y\right)

를 생각해 보자. 이 함수는 열린 단위 원판의 모든 점을 주어진 점의 오른쪽에 있는 열린 단위 원판의 다른 점으로 매핑한다. 그러나 닫힌 단위 원판의 경우,

x^2 + y^2 = 1 , x >0 .

인 반원 위의 모든 점을 고정한다.

4. 통계적 분포

단위 원형 디스크에 대한 균등 분포는 통계에서 종종 발견된다. 이는 도시 계획 수학의 운영 연구에서 가장 일반적으로 발생하며, 도시 내 인구를 모델링하는 데 사용될 수 있다.^[10] 다른 용도로는 주어진 선형 부등식이 충족될 확률을 계산하기 쉬운 분포라는 사실을 활용할 수 있다. (가우스 분포는 평면에서 수치적 구적법을 필요로 한다.)

디스크 내 두 점 사이의 평균 유클리드 거리는 128|128^영어/(45π) ≈ 0.90541이며,^[10] 극좌표에서 직접 적분을 수행하면 평균 제곱 거리가 1임을 알 수 있다. 디스크 중심에서 거리 q|q^영어만큼 떨어진 임의의 위치가 주어지면, 분포 내의 점에서 이 위치까지의 평균 거리 b(q)|b(q)^영어와 그러한 거리의 평균 제곱을 결정하는 것 또한 중요하다. 후자의 값은 로 직접 계산할 수 있다.

4. 1. 평균 거리

단위 원형 디스크에 대한 균등 분포는 운영 연구에서 도시 내 인구를 모델링하는 등 통계에서 활용된다.^[10] 디스크 내 두 점 사이의 평균 유클리드 거리는 128/(45π) ≈ 0.90541이다.^[10] 극좌표에서 직접 적분을 수행하면 평균 제곱 거리가 1임을 알 수 있다.

디스크 중심에서 거리 q만큼 떨어진 위치가 주어지면, 분포 내의 점에서 이 위치까지의 평균 거리 b(q)와 평균 제곱 거리를 결정할 수 있다. 평균 제곱 거리의 값은 q² + 1/2로 계산할 수 있다.

b(q)를 구하기 위해서는 위치가 내부인지 외부인지, 즉 q < 1 또는 q > 1 인 경우를 따로 고려해야 하며, 두 경우 모두 결과는 완전 타원 적분으로 표현된다.

내부 위치(q < 1)의 경우, 고정된 위치를 중심으로 하는 극좌표에서 적분하여 밀도가 1/π이고 0 ≤ r ≤ s(θ)인 분포에서 r의 기댓값을 계산한다.

b(q) = \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} \textrm{d}\theta \int_0^{s(\theta)} r^2 \textrm{d}r  = \frac{1}{3\pi} \int_0^{2\pi} s(\theta)^3 \textrm{d}\theta.

여기서 s(θ)는 코사인 법칙을 사용하여 q와 θ의 함수로 찾을 수 있다.^[10] 그 결과는 다음과 같다.

b(q) = \frac{4}{9\pi}\biggl\{ 4(q^2-1)K(q^2) + (q^2+7)E(q^2)\biggr\}

여기서 K와 E는 제1종 및 제2종 완전 타원 적분이다.^[11] b(0) = 2/3이고, b(1) = 32/(9π) ≈ 1.13177이다.

외부 위치(q > 1)의 경우, 유사한 방식으로 적분을 설정하여 다음을 얻을 수 있다.

b(q) = \frac{2}{3\pi} \int_0^{\textrm{sin}^{-1}\tfrac{1}{q}} \biggl\{ s_{+}(\theta)^3-s_{-}(\theta)^3\biggr\} \textrm{d}\theta

여기서 코사인 법칙은 s₊(θ)와 s_-(θ)가 방정식 s² - 2qs cosθ + q² - 1 = 0의 근이라고 알려준다.

따라서

b(q) = \frac{4}{3\pi} \int_0^{\textrm{sin}^{-1}\tfrac{1}{q}} \biggl\{ 3q^2\textrm{cos}^2\theta \sqrt{1-q^2 \textrm{sin}^2\theta} +  \Bigl( 1-q^2 \textrm{sin}^2\theta\Bigr)^{\tfrac{3}{2}} \biggl\} \textrm{d}\theta.

u = q sinθ를 대입하면,

\begin{align}b(q) &= \frac{4}{3\pi} \int_0^1 \biggl\{ 3\sqrt{q^2-u^2} \sqrt{1-u^2} + \frac{(1-u^2)^{\tfrac{3}{2}}}{\sqrt{q^2-u^2}} \biggr\} \textrm{d}u \\[0.6ex] &=\frac{4}{3\pi} \int_0^1 \biggl\{ 4\sqrt{q^2-u^2} \sqrt{1-u^2} - \frac{q^2-1}{q} \frac{\sqrt{1-u^2}}{\sqrt{q^2-u^2}} \biggr\} \textrm{d}u \\[0.6ex] &=\frac{4}{3\pi}  \biggl\{ \frac{4q}{3} \biggl( (q^2+1)E(\tfrac{1}{q^2})-(q^2-1)K(\tfrac{1}{q^2}) \biggr) - (q^2-1) \biggl(qE(\tfrac{1}{q^2})-\frac{q^2-1}{q}K(\tfrac{1}{q^2}) \biggr) \biggr\} \\[0.6ex] &=\frac{4}{9\pi}  \biggl\{ q(q^2+7)E(\tfrac{1}{q^2}) - \frac{q^2-1}{q}(q^2+3)K(\tfrac{1}{q^2}) \biggr\}\end{align}

표준 적분을 사용한다.^[12]

따라서 다시 b(1) = 32/(9π) ≈ 1.13177이고,^[13]

\lim_{q \to \infty} b(q) = q + \tfrac{1}{8q}.

5. 거리 공간

앞 절에서 언급한 유클리드 평면 ('''R'''², ''d'')의 일반적인 (유클리드) 거리 ''d''에 관한 열린 원판

: $D(P;r)=\{Q \in \mathbb{R}^2: d_2(P,Q) < r\}$

와 닫힌 원판

: $\overline{D}(P;r)=\{Q\in \mathbb{R}^2 : d_2(P,Q) \le r\}$

은 '''R'''²를 임의의 거리 공간 (''X'', ''d'')으로 대체해도 그대로 적용된다.

일반적인 거리 공간에서의 거리에 관해 원판을 생각한 것은 일반적으로 구(ball)라고 불리는 것을 정한다. 예를 들어, 삼차원 유클리드 공간 ('''R'''³, ''d'')에서의 원판은 일반적인 의미(좁은 의미)의 구이다. 즉, 이 문맥에서 "원판" 대신 "구"를 사용해도 같은 의미가 된다.

6. 비고

닫힌 원판에서 자기 자신으로의 연속 함수는 전단사나 전사가 아니어도 적어도 하나의 고정점을 갖는다. 이는 브라우어 고정점 정리의 ''n''=2인 경우이다.^[8] 그러나 열린 원판에서는 이 명제가 성립하지 않는다.^[9]

예를 들어, 함수

: $f(x,y)=\left(\frac{x+\sqrt{1-y^2}}{2},y\right)$

는 열린 단위 원판의 모든 점을 주어진 점의 오른쪽에 있는 열린 단위 원판의 다른 점으로 매핑한다. 따라서 고정점을 갖지 않는다. 하지만 닫힌 단위 원판의 경우, $x^2 + y^2 = 1 , x >0 .$ 인 반원 위의 모든 점을 고정한다.

참조

_[1] 서적 The Concise Oxford Dictionary of Mathematics https://books.google[...] Oxford University Press
_[2] 서적 Intuitive Concepts in Elementary Topology https://books.google[...] Courier Dover Publications
_[3] 서적 Journey into Mathematics: An Introduction to Proofs https://books.google[...] Courier Dover Publications
_[4] 서적 Icons and Symmetries https://archive.org/[...] Oxford University Press 1992
_[5] 서적 New Foundations for Physical Geometry: The Theory of Linear Structures https://books.google[...] Oxford University Press
_[6] 서적 Combinatorial Group Theory: A Topological Approach https://books.google[...] Cambridge University Press
_[7] 서적 Introduction to Geometric Probability Cambridge University Press
_[8] 문서 Arnold 2013
_[9] 문서 Arnold 2013
_[10] 논문 On the Average Distances in a Circular Disc 1977
_[11] 문서 Abramowitz and Stegun
_[12] 문서 Gradshteyn and Ryzhik
_[13] 문서 Abramowitz and Stegun
_[14] 문서 境界上の点の有無は面積に影響しない。
_[15] 문서 ブラウワーの不動点定理

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