위상환

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1. 개요

위상환은 위상 공간과 환의 구조를 동시에 가지며, 환의 대수적 연산(덧셈, 덧셈의 역, 곱셈)이 연속 함수인 경우를 말한다. 위상체는 체의 연산(덧셈, 덧셈의 역, 곱셈, 곱셈의 역)이 연속 함수인 위상환의 특별한 경우이다. 위상환은 아벨 위상군을 이루며, 해석학 및 가환대수학 등 다양한 분야에서 나타난다. 위상환은 완비화될 수 있으며, 국소 콤팩트 위상체의 경우 실수체, 복소수체, p진수체 등의 유한 확대가 된다.

2. 정의

'''위상환''' $R$ 은 위상 공간과 환의 구조가 모두 주어져 있고, 환의 대수적 연산들이 연속 함수인 경우이다.

'''위상체'''(位相體, topological field^영어)는 위상 공간과 체의 구조가 모두 주어져 있고, 체의 대수적 연산들이 연속 함수인 경우이다. 위상체는 위상환의 특별한 경우이다.

2. 1. 위상환

'''위상환'''(位相環, topological ring^영어)은 위상 공간과 환의 구조가 둘 다 주어져, 환의 대수적 연산들이 연속 함수인 경우다. 즉, 다음 연산들이 연속 함수여야 한다.

덧셈 $+\colon R\times R\to R$
덧셈의 역 $-\colon R\to R$
곱셈 $\cdot \colon R\times R\to R$

따라서, 위상환은 아벨 위상군을 이룬다.

2. 2. 위상체

'''위상체'''(位相體, topological field^영어)는 위상 공간과 체의 구조가 둘 다 주어져, 체의 대수적 연산들이 연속 함수인 경우다. 즉, 다음 연산들이 연속 함수여야 한다.

덧셈 $+\colon R\times R\to R$
덧셈의 역 $-\colon R\to R$
곱셈 $\cdot \colon R\times R\to R$
곱셈의 역 $^{-1}\colon R\setminus\{0\}\to R$

위상체는 위상환의 특별한 경우다. 가장 일반적인 예시는 복소수와 모든 부분체 및 값매김체이며, 여기에는

p

-진수 체가 포함된다.

3. 일반적인 특징

위상환 $R$의 단위군 $R^\times$에 $R$의 부분 공간으로서의 부분 공간 위상을 부여하면 위상군이 아닐 수 있는데, 이는 $R^\times$에서의 역원이 부분 공간 위상에 대해 연속적일 필요가 없기 때문이다. 전역체의 아델환의 단위군은 이델군이라고 불리며 부분 공간 위상에서 위상군이 아니다.^[1]

환이 단위를 가질 필요가 없다면 덧셈 역원의 연속성을 요구하거나, 위상 환을 곱셈 또한 연속적인 위상군(덧셈에 대한)인 환으로 정의해야 한다.

3. 1. 단위군

위상환 $R$의 단위군 $R^\times$은 $R^\times$을 $R \times R$에 $(x, x^{-1})$로 임베딩하여 얻은 위상으로 구성될 때 위상군이 된다. 그러나 단위군에 $R$의 부분 공간으로서의 부분 공간 위상을 부여하면 위상군이 아닐 수 있는데, 이는 $R^\times$에서의 역원이 부분 공간 위상에 대해 연속적일 필요가 없기 때문이다. 이러한 상황의 예시는 전역체의 아델환이며, 이 단위군은 이델군이라고 불리며 부분 공간 위상에서 위상군이 아니다.^[1] $R^\times$에서의 역원이 $R$의 부분 공간 위상에서 연속적이면 $R^\times$에 대한 이 두 위상은 동일하다.

4. 예시

위상환의 예시는 다음과 같다.

가환대수학에서, 가환환 $R$ 의 아이디얼 $I$ 가 주어지면, $R$ 에 대한 -아딕 위상은 다음과 같이 정의된다: $R$ 의 부분 집합 $U$ 는 모든 $x \in U$ 에 대해 $x + I^n \subseteq U$ 를 만족하는 자연수 $n$ 이 존재할 때 열려 있다. 이것은 $R$ 을 위상환으로 만든다. $I$ -아딕 위상은 모든 $I$ 의 거듭제곱의 교집합이 영 아이디얼 $(0)$ 일 때 하우스도르프 공간이다.

정수에 대한 $p$ -아딕 위상은 $I$ -아딕 위상의 한 예이다( $I = p\Z$ ).

4. 1. 해석학에서의 예시

위상환은 몇몇 위상 공간에서 연속적인 실수 값 함수들의 환(여기서 위상은 점별 수렴에 의해 주어짐)이나, 몇몇 노름 벡터 공간에서 연속적인 선형 연산자들의 환과 같이 수학적 분석에서 나타난다. 모든 바나흐 대수는 위상환이다. 유리수, 실수, 복소수 및 p-진수는 또한 표준 위상을 가진 위상환이다. 평면에서 분할 복소수와 이중수는 다른 위상환을 형성한다. 다른 저차원 예는 초복소수를 참조한다.

4. 2. 수 체계

유리수, 실수, 복소수 및 p-진수는 표준 위상을 가진 위상환이자 위상체이다.^[1] 평면에서 분할 복소수와 이중수는 다른 위상환을 형성한다.^[1]

4. 3. 기타 예시

수학적 분석에서 모든 바나흐 대수는 위상환이다. 유리수, 실수, 복소수 및 p-진수는 표준 위상을 가진 위상환(위상체)이다. 평면에서 분할 복소수와 이중수는 다른 위상환을 형성한다. 다른 저차원 예시는 초복소수를 참조한다.

4. 4. 가환대수학에서의 예시

가환대수학에서, 가환환

R

의 아이디얼

I

가 주어지면,

R

에 대한 -아딕 위상은 다음과 같이 정의된다.

R

의 부분 집합

U

는 모든

x \in U

에 대해

x + I^n \subseteq U

를 만족하는 자연수

n

이 존재할 때 열려 있다. 이것은

R

을 위상환으로 만든다.

I

-아딕 위상은 모든

I

의 거듭제곱의 교집합이 영 아이디얼

(0)

일 때 하우스도르프 공간이다.

정수에 대한

p

-아딕 위상은

I

-아딕 위상의 한 예이다(

I = p\Z

).

5. 완비화

모든 위상환은 덧셈에 대해 위상군이며, 자연스러운 방식으로 균등 공간이다. 따라서 주어진 위상환 $R$ 이 완비인지 확인할 수 있다. 만약 완비가 아니라면, 이를 '완비화'할 수 있다. 즉, $R$ 을 조밀한 부분환으로 포함하는 완비 위상환 $S$ 를 찾을 수 있다. 이때, $S$ 는 유일하며, $R$ 에 주어진 위상은 $S$ 에서 유도된 부분 공간 위상과 같다.

만약 시작 환 $R$ 이 거리 공간이면, 환 $S$ 는 $R$ 의 코시 수열의 동치류 집합으로 구성될 수 있다. 이 동치 관계는 환 $S$ 를 하우스도르프로 만든다. 만약 $R$ 이 거리 공간이 아니면, 표준적인 구성은 최소 코시 필터를 사용하며, 보편적 성질을 만족한다.

형식적 멱급수의 환과 $p$ -진 정수는 $I$ -진 위상을 갖는 특정 위상환의 완비화로 가장 자연스럽게 정의된다. 위상환은 덧셈에 관하여 위상군이므로, 균등 공간이기도 하다. 이때, 이 위상환이 만약 균등 공간으로서 완비하지 않은 경우에는, 완비화한 균등 공간이 (동형을 제외하고) 유일하게 존재하지만, 그것 또한 위상환이 된다. 예를 들어 유리수 환을 완비화한 것은 실수 환이다. 이 경우, 원래의 위상환은 완비화된 위상환의 조밀 부분환이다.

5. 1. 위상군과 균등 공간

모든 위상환은 덧셈에 대해 위상군이며, 자연스러운 방식으로 균등 공간이다. 따라서 주어진 위상환

R

이 완비인지 확인할 수 있다. 만약 완비가 아니라면, 이를 '완비화'할 수 있다. 즉,

R

을 조밀한 부분환으로 포함하는 완비 위상환

S

를 찾을 수 있다. 이때,

S

는 유일하며,

R

에 주어진 위상은

S

에서 유도된 부분 공간 위상과 같다.

위상환은 덧셈에 대해 위상군이므로, 균등 공간이기도 하다. 이때, 이 위상환이 균등 공간으로서 완비되지 않은 경우에는, 완비화한 균등 공간이 (동형을 제외하고) 유일하게 존재하지만, 그것 또한 위상환이 된다. 예를 들어 유리수 환을 완비화한 것은 실수 환이다. 이 경우, 원래의 위상환은 완비화된 위상환의 조밀 부분환이다.

5. 2. 완비화 과정

모든 위상환은 덧셈에 대해 위상군이며, 자연스러운 방식으로 균등 공간이다. 따라서 주어진 위상환

R

이 완비인지 확인할 수 있다. 만약 그렇지 않다면, ''완비화''를 할 수 있다. 즉,

R

을 조밀한 부분환으로 포함하는 완비 위상환

S

를 찾을 수 있다. 이때

S

는 유일하며,

R

에 주어진 위상은

S

에서 유도된 부분 공간 위상과 같다.

만약 시작 환

R

이 거리 공간이면, 환

S

는

R

의 코시 수열의 동치류 집합으로 구성될 수 있다. 이 동치 관계는 환

S

를 하우스도르프로 만들고, (코시인) 상수 수열을 사용하면, 모든 CM

f : R \to T

에 대해, 여기서

T

는 하우스도르프이고 완비이면, 고유한 CM

g : S \to T

가 존재하여 다음을 만족하는 (균일) 연속 사상(CM)

c : R \to S

을 얻을 수 있다.

::

f = g \circ c.

만약

R

이 거리 공간이 아니면 (예를 들어, 모든 실수 변수 유리수 값을 갖는 함수, 즉, 점별 수렴 위상을 갖는 모든 함수

f : \R \to \Q

와 같음), 표준적인 구성은 최소 코시 필터를 사용하며, 위와 동일한 보편적 성질을 만족한다.

형식적 멱급수의 환과

p

-진 정수는

I

-진 위상을 갖는 특정 위상환의 완비화로 가장 자연스럽게 정의된다.

위상환은 덧셈에 관하여 위상군이므로, 균등 공간이기도 하다. 이때, 이 위상환이 만약 균등 공간으로서 완비하지 않은 경우에는, 완비화한 균등 공간이 (동형을 제외하고) 유일하게 존재하지만, 그것 또한 위상환이 된다. 예를 들어 유리수 환을 완비화한 것은 실수 환이다. 이 경우, 원래의 위상환은 완비화된 위상환의 조밀 부분환이다.

5. 3. 코시 수열

거리 공간인 경우, 코시 수열의 동치류 집합을 이용하여 완비화를 구성할 수 있다. 시작 환

R

이 거리 공간이면, 환

S

는

R

의 코시 수열의 동치류 집합으로 구성될 수 있으며, 이 동치 관계는 환

S

를 하우스도르프로 만든다.

5. 4. 코시 필터

위상환은 덧셈에 대해 위상군이며, 자연스러운 방식으로 균등 공간이다. 따라서 주어진 위상환

R

이 완비인지 질문할 수 있다. 만약 그렇지 않다면, 이를 ''완비화''할 수 있다.

R

이 거리 공간이 아닌 경우, 표준적인 구성은 최소 코시 필터를 사용하며, 위와 동일한 보편적 성질을 만족한다.

5. 5. 형식적 멱급수와 p-진 정수

모든 위상환은 덧셈에 대해 위상군이며, 자연스러운 방식으로 균등 공간이다. 따라서 주어진 위상환

R

이 완비인지 질문할 수 있다. 만약 그렇지 않다면, 이를 ''완비화''할 수 있다. 형식적 멱급수의 환과

p

-진 정수는

I

-진 위상을 갖는 특정 위상환의 완비화로 가장 자연스럽게 정의된다.

6. 국소 콤팩트 위상체

비이산 하우스도르프 국소 콤팩트 위상체는 체들의 유한 확대로 나타낼 수 있다.^[1]

6. 1. 분류 기준

모든 비이산 하우스도르프 국소 콤팩트 위상체

L

은 다음 체들 가운데 하나의 유한 확대이다.^[1]

$K=\mathbb R$ . 즉, $L=\mathbb R$ 이거나 $L=\mathbb C$ 이다.
$K=\mathbb Q_p$ (p진수체)
$K=\mathbb F_p((t))$ ( $\mathbb F_p$ 의 형식적 로랑 급수체)

6. 2. 분류 예시

실수(

\mathbb R

), 복소수(

\mathbb C

), p진수체(

\mathbb Q_p

),

\mathbb F_p

의 형식적 로랑 급수체(

K=\mathbb F_p((t))

) 등이 있다.^[1]

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