바나흐 대수

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1. 개요

바나흐 대수는 실수체 또는 복소수체 위의 노름 공간이자 결합 대수인 집합으로, 노름 부등식과 항등원의 노름 조건을 만족한다. 바나흐 대수는 완비 노름 대수이며, 유니터리 원소, 반대 대수, 직합, 몫, 복소화, 완비화, 무게 부여, 아렌스 곱 등의 연산을 정의할 수 있다. 바나흐 대수는 멱급수, 기하 급수, 이항 정리 등의 성질을 가지며, 가역 요소의 집합은 열린 집합을 이룬다. 겔판트-마주르 정리에 따르면, 실수 바나흐 대수가 나눗셈환이려면 실수, 복소수 또는 사원수와 동형이다. 바나흐 대수의 개념은 나구모 미치오에 의해 처음 도입되었고, 이즈라일 겔판트와 워런 앰브로즈에 의해 발전되었으며, 아렌스 곱과 겔판트-마주르 정리가 중요한 연구 결과로 제시되었다.

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바나흐 대수
정의
종류	대수 구조의 일종
설명	완비성을 갖춘 노름 공간이자 환인 대수
기본 정보
계수체	R 또는 C
조건	A는 노름 공간이다. A는 환이다. A는 다음 조건을 만족시키는 노름을 갖는다: 모든 , ∈ A에 대하여, ≤ . A는 A의 노름이 부여된 완비 거리 공간이다.
추가 조건	A가 곱셈에 대한 항등원을 가지면, 항등원 의 노름은 = 1이다. A의 노름은 곱셈을 연속 함수로 만든다.
관련 개념	C*-대수
예시
실수체 및 복소수체	R 또는 C (절댓값을 노름으로 사용)
p-진수체	-진수체 }} (비아르키메데스 노름 사용)
연속 함수 대수	콤팩트 하우스도르프 공간 위의 모든 복소수 값 연속 함수들의 대수
유계 연산자 대수	힐베르트 공간 위의 모든 유계 연산자들의 대수
군 대수	국소 콤팩트 하우스도르프 공간 위의 모든 라돈 측도들의 대수
디스크 대수	단위 원판 위의 모든 정칙 함수들의 대수
성질
가환 바나흐 대수	극대 아이디얼 공간은 항상 공집합이 아니다.
겔판트 표현	가환 바나흐 대수에서 복소수체로 가는 준동형사상들의 집합 (겔판트 공간)을 사용하여 바나흐 대수를 표현할 수 있다.
참고 문헌

2. 정의

$\mathbb K$ 가 실수체 또는 복소수체 가운데 하나라고 하자. ''' $\mathbb K$ -노름 대수'''(normed $\mathbb K$ -algebra^영어)는 다음과 같은 구조가 주어진 집합이다.^[8]

$\mathbb K$ - 노름 공간이다.
$\mathbb K$ - 결합 대수이다.
(노름 부등식) $\Vert a\cdot b\Vert\le\Vert a\Vert\Vert b\Vert\qquad\forall a,b\in A$
(항등원의 노름) $\|1\|=1$

(일부 문헌에서는 곱셈 항등원을 가져야 하는 조건을 생략한다.^[11])

만약

X

가 바나흐 공간(완비 거리 공간)이라면, '''

\mathbb K

-바나흐 대수'''(Banach

\mathbb K

-algebra^영어)라고 한다.^[8]^[11]

2. 1. 노름 대수

\mathbb{K}

가 실수체 또는 복소수체 가운데 하나라고 하자. '''

\mathbb{K}

-노름 대수'''()

(A, +, 0, \cdot, 1, \|\|)

는 다음과 같은 구조가 주어진 집합이다.^[8]

$(A, +, 0, \|\|)$ 는 $\mathbb{K}$ -노름 공간이다.
$(A, +, 0, \cdot, 1)$ 는 $\mathbb{K}$ -결합 대수이다.

또한, 노름 공간 구조와 결합 대수 구조 사이에는 다음과 같은 두 가지 호환 조건이 주어져야 한다.

(노름 부등식) $\Vert a \cdot b\Vert \le \Vert a\Vert \Vert b\Vert \qquad \forall a, b \in A$
(항등원의 노름) $\|1\| = 1$

(일부 문헌에서는 곱셈 항등원을 가져야 하는 조건을 생략한다.^[11])

만약

X

가 바나흐 공간(완비 거리 공간)이라면, '''

\mathbb{K}

-바나흐 대수'''()라고 한다.^[8]^[11]

2. 2. 바나흐 대수

\mathbb{K}

가 실수체 또는 복소수체 가운데 하나라고 하자. '''

\mathbb{K}

-바나흐 대수'''()는 바나흐 공간인

\mathbb{K}

-결합 대수이다. 즉,

(A, +, 0, \cdot, 1, \|\|)

가 다음 조건을 만족하는 집합이다.^[8]

$(A, +, 0, \|\|)$ 는 $\mathbb{K}$ -노름 공간이다.
$(A, +, 0, \cdot, 1)$ 는 $\mathbb{K}$ -결합 대수이다.
(노름 부등식) $\Vert a \cdot b\Vert \le \Vert a\Vert \Vert b\Vert \qquad \forall a,b \in A$
(항등원의 노름) $\|1\| = 1$

A

가 바나흐 공간(즉, 완비 거리 공간)이면,

\mathbb{K}

-바나흐 대수라고 한다.^[8]^[11]

2. 3. 유니터리 원소

\mathbb K

-노름 대수

A

는 환을 이루므로, 가역원의 개념을 정의할 수 있다. 가역원

a\in\operatorname{Unit}(A)

가운데 노름이 1인 것을 '''유니터리 원소'''(unitary element^영어)라고 한다.

3. 연산

주어진 노름 대수 또는 바나흐 대수로부터 새로운 노름 대수 또는 바나흐 대수를 구성하는 방법은 다음과 같다.

반대 대수: 반대환 $A^{\operatorname{op}}=(A,\cdot^{\operatorname{op}})$ 는 주어진 노름 대수 $(A,\cdot,\|\|)$ 의 곱셈을 $a\cdot^{\operatorname{op}}b=b\cdot a\qquad(a,b\in A)$ 와 같이 뒤집어 정의한다. 여기에 원래 노름을 그대로 부여하면, $A^{\operatorname{op}}$ 는 $\mathbb K$ -노름 대수가 된다.^[8] 만약 $A$ 가 바나흐 대수라면 $A^{\operatorname{op}}$ 역시 바나흐 대수이다.
직합: 유한 또는 무한 개의 K-바나흐 대수 $(A_i)_{i\in I}$ (K|K^영어)가 주어졌을 때, 직접곱의 부분 공간 위에 L¹ 노름 및 성분별 곱을 부여하면, 이 역시 K-바나흐 대수 (K|K^영어)를 이룬다.
몫: 바나흐 대수 (바나흐 대수^한국어) $A$ 의 닫힌집합인 양쪽 아이디얼 $\mathfrak I\subseteq A$ 가 주어졌고, $\mathfrak I\ne A$ 라고 하자. 그렇다면, 몫환 $A/\mathfrak I$ 위에 자연스러운 노름을 줄 수 있다. 이 경우, $A/\mathfrak I$ 역시 바나흐 대수 (바나흐 대수^한국어)를 이룬다.
복소화: 실수 바나흐 대수 $A$ 가 주어졌을 때, 그 복소화 $A\otimes_{\mathbb R}\mathbb C$ 위에 노름과 곱셈을 부여하면, 이는 복소수 바나흐 대수를 이룬다.
완비화: $\mathbb K$ -노름 대수 $A$ 가 주어졌을 때, 그 완비화 $\bar A$ 는 $\mathbb K$ -바나흐 대수를 이룬다. 이를 $A$ 의 '''완비화'''라고 한다.^[8]
무게 부여: 바나흐 대수 (바나흐 대수^한국어) $A$ 의 원소 $w\in A$ 가 주어졌으며, $\|w\|\le1$ 이라고 하자. 또한, $w$ 가 가역원이며, 중심에 속한다고 하자. 이 경우, $A$ 위에 새 이항 연산 $\star_w$ 를 $a\star_wb=wab\qquad\forall a,b\in A$ 와 같이 부여한다. 그렇다면 $(A,\star_w,w^{-1})$ 역시 바나흐 대수 (바나흐 대수^한국어)를 이룬다.
아렌스 곱: 노름 대수 $A$ 의 이중 연속 쌍대 공간 $A''$ 위에 정의되는 아렌스 곱(Arens product|아렌스 프로덕트^영어)을 통해, $A''$ 는 항상 바나흐 대수를 이룬다.

3. 1. 반대 대수

반대환

A^{\operatorname{op}}=(A,\cdot^{\operatorname{op}})

는 주어진 노름 대수

(A,\cdot,\|\|)

의 곱셈을 다음과 같이 뒤집어 정의한다.

:

a\cdot^{\operatorname{op}}b=b\cdot a\qquad(a,b\in A)

여기에 원래 노름을 그대로 부여하면,

A^{\operatorname{op}}

는

\mathbb K

-노름 대수가 된다.^[8] 환 연산은 노름 공간 구조와 관련이 없으므로,

A

가 바나흐 대수라면

A^{\operatorname{op}}

역시 바나흐 대수이다.

3. 2. 직합

유한 또는 무한 개의 K^영어-바나흐 대수

(A_i)_{i\in I}

이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 직접곱의 부분 공간

:

A=\widehat\bigoplus_{i\in I}A_i=\left\{(a_i)_{i\in I}\in\prod_{i\in I}A_i\colon \sup_{i\in I}\|a_i\|<\infty\right\}

위에 L¹ 노름

:

\|(a_i)_{i\in I}\|=\sup_{i=1}^n\|a_i\|_{A_i}\qquad(a\in A)

및 성분별 곱

:

(a_i)_{i\in I}\cdot(b_i)_{i\in I}=(a_ib_i)_{i\in I}\qquad(a,b\in A)

을 부여하면, 이 역시 K^영어-바나흐 대수를 이룬다. 이 경우

A

의 항등원은

:

1_A=(1_{A_1},1_{A_2},\dotsc,1_{A_n})

이다.

3. 3. 몫

바나흐 대수^한국어

A

의 닫힌집합인 양쪽 아이디얼

\mathfrak I\subseteq A

가 주어졌고,

\mathfrak I\ne A

라고 하자. 그렇다면, 몫환

A/\mathfrak I

위에는 자연스러운 노름

:

\|a+\mathfrak I\|=\inf_{i\in\mathfrak I}\|a+i\|

을 줄 수 있다. 그렇다면,

A/\mathfrak I

역시 바나흐 대수^한국어를 이루며, 그 항등원은

1_A+\mathfrak I

이다.

3. 4. 복소화

실수 바나흐 대수

A

가 주어졌을 때, 그 복소화

A\otimes_{\mathbb R}\mathbb C

위에 노름

\|a\otimes_{\mathbb R}z\|=\|a\||z|

과 곱셈

(a\otimes_{\mathbb R}z)\cdot(b\otimes_{\mathbb R}w)=ab\otimes_{\mathbb R}zw

을 부여하면, 이는 복소수 바나흐 대수를 이룬다.

3. 5. 완비화

\mathbb K

-노름 대수

A

가 주어졌을 때, 그 완비화

\bar A

는 다음과 같이 자연스럽게

\mathbb K

-바나흐 공간을 이룬다.

:

\|\bar a\|_{\bar A}=\lim_{i\to\infty}\|a_i\|_A\qquad(\bar a\in\bar A)

(여기서

(a_i)_{i\in\mathbb N}\subseteq A

는

\bar a\in\bar A

로 수렴하는,

A

속의 임의의 코시 열이다.)

그 위에 곱셈

:

\bar a\bar b=\lim_{i\to\infty}a_ib_i\qquad(\bar a,\bar b\in\bar A)

을 정의하면,

\bar A

는

\mathbb K

-바나흐 대수를 이룬다. (여기서

(a_i)_{i\in\mathbb N}\subseteq A

와

(b_i)_{i\in\mathbb N}\subseteq A

는 각각

\bar a,\bar b\in\bar A

로 수렴하는,

A

속의 임의의 두 코시 열이다.) 이를

A

의 '''완비화'''라고 한다.^[8]

3. 6. 무게 부여

바나흐 대수|

A

^한국어의 원소

w\in A

가 주어졌으며,

\|w\|\le1

이라고 하자. 또한,

w

가 가역원이며, 중심에 속한다고 하자.

:

w\in\operatorname Z(A)\cap\operatorname{Unit}(A)

이 경우,

A

위에 새 이항 연산

\star_w

를 다음과 같이 부여한다.

:

a\star_wb=wab\qquad\forall a,b\in A

그렇다면

(A,\star_w,w^{-1})

역시 바나흐 대수^한국어를 이루며,

\star_w

에 대한 항등원은

w^{-1}

이다.

3. 7. 아렌스 곱

Arens product^영어이라고 불리는 아렌스 곱은 노름 대수

A

의 이중 연속 쌍대 공간

A''

위에 정의되며, 이중 쌍대 노름 및 곱셈은 다음과 같이 주어진다.

:

\phi\chi\colon f\mapsto\phi(a\mapsto G(f(a)))\qquad(\phi,\chi\in A'',\;f\in A',\;a\in A)

이를 통해,

A''

는 항상 바나흐 대수를 이룬다.

A

가 바나흐 대수가 아닌 노름 대수일 때도,

A''

은 항상 바나흐 대수가 된다.

4. 성질

멱급수를 통해 정의되는 지수 함수, 삼각 함수를 포함한 모든 전해석 함수는 모든 단위 바나흐 대수에서 정의될 수 있다. 기하 급수 공식 및 이항 정리는 일반적인 단위 바나흐 대수에서도 유효하다.

모든 단위 바나흐 대수에서 가역 요소 집합은 열린 집합이며, 이 집합에서의 역 연산은 연속적이므로 곱셈에 대해 위상군을 형성한다.^[3] 바나흐 대수가 단위 $\mathbf{1}$ 을 갖는다면, 모든 $x, y \in A$ 에 대해 $xy - yx \neq \mathbf{1}$ 이다.

바나흐 대수의 추가적인 성질은 다음과 같다.

분할 대수인 모든 실수 바나흐 대수는 실수, 복소수 또는 사원수와 동형이다. 따라서 분할 대수인 유일한 복소수 바나흐 대수는 복소수이다. (이는 겔판트-마주르 정리로 알려져 있다.)^[4]
영인자가 없고 모든 주 아이디얼이 닫힌 집합인 모든 단위 실수 바나흐 대수는 실수, 복소수 또는 사원수와 동형이다.^[4]
영인자가 없는 모든 가환 단위 실수 노에터 바나흐 대수는 실수 또는 복소수와 동형이다.
(영인자를 가질 수 있는) 모든 가환 단위 노에터 실수 바나흐 대수는 유한 차원이다.
바나흐 대수의 영구 특이 요소는 위상적 영인자이다.

4. 1. 환론적 성질

겔판트-마주르 정리(Gelfand–Mazur theorem^영어)에 따르면, 실수 바나흐 대수에 대해 다음 세 조건은 서로 동치이다.^[3]

나눗셈환이다.
영역이며, 모든 주 아이디얼이 닫힌집합이다.
$\mathbb R$ (실수체), $\mathbb C$ (복소수체), $\mathbb H$ (사원수 대수) 가운데 하나이다.

복소수 바나흐 대수 가운데 나눗셈환인 것은

\mathbb C

밖에 없다. 실수 바나흐 대수 가운데 뇌터 가환환인 것은 유한 차원이다. 특히, 실수 바나흐 대수 가운데 뇌터 가환환이며 정역인 것은

\mathbb R

와

\mathbb C

밖에 없다.

복소수 바나흐 대수

B

의 임의의 두 원소

a,b\in B

에 대하여,

ab-ba\ne1

이다. 멱급수를 통해 정의되는 지수 함수, 삼각 함수를 포함한 모든 전해석 함수는 모든 단위 바나흐 대수에서 정의될 수 있다. 기하 급수 공식 및 이항 정리는 일반적인 단위 바나흐 대수에서도 유효하다.

모든 단위 바나흐 대수에서 가역 요소 집합은 열린 집합이며, 이 집합에서의 역 연산은 연속적이므로 곱셈에 대해 위상군을 형성한다.^[3] 바나흐 대수가 단위

\mathbf{1}

을 갖는다면, 모든

x, y \in A

에 대해

xy - yx \neq \mathbf{1}

이다.

다음은 바나흐 대수의 추가적인 성질이다.

분할 대수인 모든 실수 바나흐 대수는 실수, 복소수 또는 사원수와 동형이다. 따라서 분할 대수인 유일한 복소수 바나흐 대수는 복소수이다. (이는 겔판트-마주르 정리로 알려져 있다.)^[4]
영인자가 없고 모든 주 아이디얼이 닫힌 집합인 모든 단위 실수 바나흐 대수는 실수, 복소수 또는 사원수와 동형이다.^[4]
영인자가 없는 모든 가환 단위 실수 노에터 바나흐 대수는 실수 또는 복소수와 동형이다.
(영인자를 가질 수 있는) 모든 가환 단위 노에터 실수 바나흐 대수는 유한 차원이다.
바나흐 대수의 영구 특이 요소는 위상적 영인자이다.

4. 2. 위상수학적 성질

\mathbb K

-바나흐 대수는 덧셈과 곱셈이 연속 함수이므로 위상환을 이룬다.

\mathbb K

-바나흐 대수의 가역원군은 위상군을 이룬다. 구체적으로,

\mathbb K

-바나흐 대수

B

의 가역원군

\operatorname{Unit}(B)\subseteq B

는

B

의 열린집합이며, 역원 함수

:

(-)^{-1}\colon\operatorname{Unit}(B)\to\operatorname{Unit}(B)

는 연속 함수이다.

멱급수를 통해 정의되는 지수 함수, 삼각 함수, 더 일반적으로는 모든 전해석 함수와 같은 몇 가지 기본 함수는 모든 단위 바나흐 대수에서 정의될 수 있다. 기하 급수 공식은 일반적인 단위 바나흐 대수에서도 유효하며, 이항 정리는 바나흐 대수의 두 교환 요소에도 적용된다.

모든 단위 바나흐 대수에서 가역 요소 집합은 열린집합이며, 이 집합에서의 역 연산은 연속적이다(따라서 위상 동형이다). 따라서 곱셈에 대해 위상군을 형성한다.^[3]

4. 3. 스펙트럼

스펙트럼은 바나흐 공간 위의 유계 작용소의 스펙트럼 개념을 일반화한 것이다. 복소수 체 위의 단위 바나흐 대수에서 스펙트럼 이론을 구성할 수 있다.

임의의

\mathbb K

-바나흐 대수

B

의 원소

b\in B

의 스펙트럼은 다음과 같이 정의된다.

:

\sigma(b)=\left\{\lambda\in\mathbb K\colon\nexists (\lambda-b)^{-1}\right\}

원소

x \in A

의 스펙트럼

\sigma(x)

는

x - \lambda \mathbf{1}

이

A

에서 가역적이지 않은 모든 복소수 스칼라

\lambda

로 구성된다.

임의의 원소

x

의 스펙트럼은 반지름이

\|x\|

이고 중심이

0

인

\Complex

의 닫힌 원반의 닫힌 부분집합이며, 따라서 콤팩트하다. 또한, 원소

x

의 스펙트럼

\sigma(x)

는 공집합이 아님을 만족하고 스펙트럼 반경 공식을 만족한다.

\sup \

4. 4. 겔판트 표현

가환 복소수 바나흐 대수

B

의 '''겔판트 표현'''은 다음과 같이 정의된다.

:

\hat\;\colon B\to\mathcal C^0(\Delta(B),\mathbb C)

:

\hat b\colon\chi\mapsto\chi(b)\qquad(b\in B,\;\chi\in\Delta(B))

여기서

\Delta(B)

는

B

의 지표들의 집합으로, 항등원을 보존하는 결합 대수 준동형

B\to\mathbb C

들의 집합을 의미한다.

\Delta(B)

는 점별 수렴 위상을 부여하면 콤팩트 하우스도르프 공간이 된다.

\mathcal C^0(\Delta(B),\mathbb C)

는

\Delta(B)

에서 복소수

\mathbb C

로 가는 연속 함수들의 복소수 바나흐 대수를 의미한다.

겔판트 표현은 결합 대수 준동형이며, 스펙트럼을 보존한다. 즉, 다음이 성립한다.

:

\sigma(b)=\sigma(\hat b)=\{\chi(b)\colon\chi\in\Delta(B)\}\subseteq\mathbb C\qquad\forall b\in B

여기서 우변은 복소수 바나흐 대수

\mathcal C^0(\Delta(B),\mathbb C)

에서 취한 스펙트럼이다.

B

의 극대 아이디얼

\mathfrak m

에 대하여,

B/\mathfrak m

은 체인 복소수 바나흐 대수이므로,

B/\mathfrak m\cong\mathbb C

이다. 따라서 몫 준동형

(/\mathbb m)\colon B\twoheadrightarrow B/\mathfrak m\cong\mathbb C

이 존재한다.

B

의 극대 아이디얼은 지표라고도 불린다.

B

의 극대 아이디얼의 집합

\operatorname{Max}(B)

와

\Delta(B)

사이에는 표준적인 전단사 함수가 존재한다. 임의의 지표

\chi\in\Delta(B)

는 항상 연속 함수이며, 그 작용소 노름은 항상 1이다.

단위 가환 바나흐 대수가 반단순 대수(야코비슨 근기가 0)이기 위한 필요충분조건은 겔판트 표현이 자명한 핵을 갖는 것이다. 가환 C*-대수의 경우, 겔판트 표현은 등거리적 *-동형사상이다.

5. 예

실수 또는 복소수 집합은 절댓값으로 주어진 노름을 갖는 바나흐 대수이다.
모든 실수 또는 복소수 $n$ × $n$ 행렬 집합은 하위 곱셈 행렬 노름을 갖추면 단위원을 가진 바나흐 대수가 된다.
어떤 집합에서 정의된 모든 유계 실수 또는 복소수 값 함수의 대수(점별 곱셈 및 상한 노름)는 단위원을 가진 바나흐 대수이다.
어떤 국소 컴팩트 공간에서 모든 유계 연속 실수 또는 복소수 값 함수의 대수(점별 연산 및 상한 노름)는 바나흐 대수이다.
균등 대수: 상한 노름을 갖는 복소 대수 $C(X)$ 의 부분 대수이고, 상수들을 포함하며 $X$ 의 점들을 분리하는 바나흐 대수(이는 콤팩트 하우스도르프 공간이어야 한다).
자연 바나흐 함수 대수: 모든 문자가 $X$ 의 점에서의 평가인 균등 대수.
측도 대수: 두 측도의 곱이 측도의 컨벌루션으로 주어지는, 어떤 국소 컴팩트 군의 모든 라돈 측도로 구성된 바나흐 대수.^[2]
아핀 대수는 비아르키메데스 체 위의 특정 종류의 바나흐 대수이다. 아핀 대수는 강성 해석 기하학의 기본 구성 요소이다.

5. 1. 연속 함수 공간

공집합이 아닌 콤팩트 하우스도르프 공간

X

위에 정의된 연속 함수의 공간

\mathcal C^0(X,\mathbb K)

은 균등 노름 및 점별 합과 곱에 대하여

\mathbb K

-바나흐 대수를 이룬다.^[11]

5. 2. 나눗셈 대수

실수체

\mathbb R

, 복소수체

\mathbb C

, 사원수 대수

\mathbb H

는 모두 실수 바나흐 대수를 이룬다. 이 가운데

\mathbb C

는 추가로 복소수 바나흐 대수를 이룬다. (

\mathbb R

와

\mathbb H

는 복소수 바나흐 대수를 이루지 못한다.)^[1]

실수 또는 복소수 전체로 이루어진 체는, 절댓값을 노름으로 하여 바나흐 대수를 이룬다.
사원수는 사원수의 절댓값으로 주어지는 노름을 갖는 4차원 실수 바나흐 대수를 형성한다.^[1]
사원수 $\H$ 의 대수는 실수 바나흐 대수이지만, 사원수의 중심이 복소수의 복사본을 포함할 수 없는 실수이므로 복소 대수(따라서 복소 바나흐 대수가 아님)가 아니다.^[1]

5. 3. 유클리드 공간

자연수

n\in\mathbb N

에 대하여, 유한 차원

\mathbb K

-벡터 공간

V=\mathbb K^n

위에 최댓값 노름

:

\|(a_1,\dotsc,a_n)\|=\max\{a_1,\dotsc,a_n\}

및 성분별 곱

:

(a_1,\dotsc,a_n)\cdot(b_1,\dotsc,b_n)=(a_1b_1,\dotsc,a_nb_n)

을 부여하면, 이는 가환

\mathbb K

-바나흐 대수를 이룬다. 그 가역원군은

:

\operatorname{Unit}(V)=(\mathbb K^\times)^n

이다.

노름

\|x\| = \max_{} |x_i|

을 갖는 바나흐 공간

\R^n

(또는

\Complex^n

)에 성분별 곱셈

\left(x_1, \ldots, x_n\right) \left(y_1, \ldots, y_n\right) = \left(x_1 y_1, \ldots, x_n y_n\right)

을 정의한다.

5. 4. 유계 작용소

1차원 이상의 노름 공간

V

위의

V\to V

유계 작용소들의 집합

\operatorname B(V,V)

는 작용소 노름과 함수의 합성에 의하여 노름 대수를 이룬다.^[8] 만약

V

가 바나흐 공간이라면,

\operatorname B(V,V)

는 바나흐 대수를 이룬다.^[8]^[11] 바나흐 공간

E

위의 모든 연속 선형 연산자 대수(함수 합성 곱셈과 연산자 노름을 노름으로 사용)는 단위원을 가진 바나흐 대수이다.

E

위의 모든 콤팩트 연산자의 집합은 바나흐 대수이자 닫힌 아이디얼이다.

\dim E = \infty.

이면 항등원이 없다.^[1]

5. 5. C* 대수

모든 C* 대수는 복소수 바나흐 대수를 이룬다. 구체적으로, C* 대수

(A,^*)

가 주어졌을 때, 그 위에 다음 노름을 부여할 수 있다.

:

\|a\|=\sup\left\{\sqrt

\colon \lambda\in\mathbb C,\;\lambda-a^*a\not\in\operatorname{Unit}(A)\right\}

이렇게 정의된 노름은 바나흐 대수를 이룬다.

국소 컴팩트 하우스도르프 공간

X

에서 정의되고 무한대에서 사라지는 (복소수 값을 갖는) 연속 함수 공간인

C_0(X)

는 바나흐 대수의 전형적인 예시이다.

X

가 콤팩트인 경우에만

C_0(X)

는 단위원을 가진다. 복소 켤레는 대합이므로

C_0(X)

는 실제로 C*-대수이다. 더 일반적으로, 모든 C*-대수는 정의에 따라 바나흐 대수이다.

C*-대수는 어떤 힐베르트 공간 위의 유계 연산자 대수의 닫힌 *-부분 대수인 바나흐 대수이다.

5. 6. 위상군 위의 함수

콤팩트 하우스도르프 위상군

G

위의 (왼쪽 하르 측도에 대한) 르베그 공간

\operatorname L^1(G;\mathbb K)

은

\mathbb K

-바나흐 대수이다. 그 위에 합성곱

:

(f*g)(x)=\int_Gf(y)g(y^{-1}x)\;\mathrm dy\qquad(f,g\in\operatorname L^1(G;\mathbb K))

을 부여하면, 이는

\mathbb K

-바나흐 대수를 이룬다.^[2]

6. 역사

‘바나흐 대수’라는 이름은 스테판 바나흐를 딴 것이다. 그러나 바나흐 대수의 이론은 스테판 바나흐와 큰 관계가 없으며, 다만 바나흐가 연구한 바나흐 공간을 이루기 때문에 이러한 이름이 붙었다.^[12]

바나흐 대수의 개념은 여러 수학자들에 의해 발전되었다. 1936년 나구모 미치오가 ‘선형 계량환’이라는 이름으로 초기 개념을 제시했고,^[12]^[13] 이즈라일 겔판트가 ‘노름환’이라는 이름으로 재도입하여 이론을 발전시켰다.^[12]^[14] 1945년 워런 앰브로즈가 ‘바나흐 대수’라는 용어를 처음 사용하였다.^[12]^[15] 1951년 리하르트 프리드리히 아렌스는 아렌스 곱을 도입하였다.^[16]^[17] 겔판트-마주르 정리는 이즈라일 겔판트와 스타니스와프 마주르의 이름을 땄다. 스타니스와프 마주르가 1938년에 증명하였으나^[18]^[19] 저널 지면 부족으로 정리 자체만 출판되었고, 1941년 이즈라일 겔판트가 독자적으로 증명하였다.^[14]

6. 1. 나구모 미치오

나구모 미치오(1905년~1995년)가 1936년에 ‘선형 계량환’(linearer metrischer Ring^de)이라는 이름으로 바나흐 대수의 개념을 도입하였다.^[12]^[13]

6. 2. 이즈라일 겔판트

이즈라일 겔판트는 '노름환'(normierter Ring^de)이라는 이름으로 바나흐 대수를 재도입하고, 이론을 발전시키는 데 크게 기여하였다.^[12]^[14] 스타니스와프 마주르와 함께 겔판트-마주르 정리를 증명하였는데, 마주르가 1938년에 먼저 증명하였으나^[18]^[19] 저널 지면 부족으로 정리 자체만 출판되었고, 1941년에 겔판트가 독자적으로 증명하였다.^[14]

6. 3. 워런 앰브로즈

1945년에 워런 앰브로즈(Warren Ambrose^영어, 1914~1995)가 ‘바나흐 대수’(Banach algebra^영어)라는 용어를 처음 사용하였다.^[12]^[15]

6. 4. 리하르트 프리드리히 아렌스

리하르트 프리드리히 아렌스Richard Friederich Arens|리하르트 프리드리히 아렌스^de(1919~2000)가 1951년에 아렌스 곱을 도입하였다.^[16]^[17]

6. 5. 겔판트-마주르 정리

겔판트-마주르 정리는 이즈라일 겔판트와 스타니스와프 마주르의 이름을 땄다. 마주르는 1938년에 이 정리를 증명하였는데^[18]^[19], 저널에 페이지가 모자라 증명을 싣지 못하고 정리 자체만 출판하였다. 1941년에 이즈라일 겔판트가 독자적으로 증명하였다.^[14]

참조

_[1] 간행물 1990
_[2] 간행물 1990
_[3] 간행물 1990
_[4] 논문 A New Simple Proof of the Gelfand-Mazur-Kaplansky Theorem https://www.jstor.or[...] 1995
_[5] 간행물 1979
_[6] 웹사이트 Banach algebra
_[7] 문서 Takesaki, Theory of Operator Algebras I. Proposition 2.8.
_[8] 서적 Complete normed algebras Springer-Verlag 1973
_[9] 서적 Introduction to Banach Algebras, Operators and Harmonic Analysis 2003
_[10] 서적 Banach algebras https://archive.org/[...] 1975
_[11] 서적 Functional analysis https://archive.org/[...] MacGraw-Hill 1991
_[12] 저널 Why Banach algebras? http://cms.math.ca/n[...] 2012-06
_[13] 저널 Einige analytische Untersuchungen in linearen, metrischen Ringen https://www.jstage.j[...] 1936
_[14] 저널 Normierte Ringe http://mi.mathnet.ru[...] 1941
_[15] 저널 Structure theorems for a special class of Banach algebras 1945
_[16] 저널 Operations induced in function classes http://resolver.sub.[...] 1951
_[17] 저널 The adjoint of a bilinear operation 1951
_[18] 저널 Sur les anneaux linéaires 1938
_[19] 저널 La preuve originale de S. Mazur pour son théorème sur les algèbres normées https://web.archive.[...] 2007

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