위치벡터

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 3차원
- 2.2. ''n'' 차원
3. 상대 위치
4. 응용
- 4.1. 미분기하학
- 4.2. 역학
5. 위치의 도함수
참조

1. 개요

위치 벡터는 공간상의 한 점의 위치를 나타내는 벡터이다. 3차원 공간에서 위치 벡터는 데카르트 좌표계, 구면 좌표계, 원통 좌표계 등 다양한 좌표계를 사용하여 표현할 수 있으며, n차원 공간에서는 기저 벡터의 선형 결합으로 나타낼 수 있다. 두 점 사이의 상대 위치는 두 위치 벡터의 차이로 정의되며, 미분기하학, 역학 등 다양한 분야에서 활용된다. 위치 벡터의 시간 미분은 속도, 가속도, 저크 등을 계산하는 데 사용되며, 고차 도함수는 변위 함수의 근사치를 개선하는 데 기여한다.

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위치벡터
위치 벡터 정보
정의	기하학에서 위치 벡터 또는 반지름 벡터는 유클리드 공간에서 임의의 원점 O에 상대적인 점 P의 위치를 결정하는 벡터이다.
표현	P의 위치 벡터는 OP로 표시된다. 서로 다른 원점을 사용하면 P의 위치 벡터가 달라진다.
사용	위치 벡터는 점 P의 위치를 원점 O에 연결하는 선형 함수로 사용할 수 있다.
형식적 정의
설명	n차원 공간에서 점 P의 위치 벡터는 n개의 숫자로 구성된 순서쌍으로 표현될 수 있다. 이 순서쌍은 일반적으로 공간의 원점을 기준으로 한 직교 좌표계를 사용하여 정의된다. 위치 벡터는 공간의 원점에서 점 P까지의 변위를 나타낸다고 생각할 수 있다. P의 위치 벡터가 주어지면 P의 데카르트 좌표를 읽을 수 있다. 따라서, 위치 벡터는 점 P의 위치와 좌표를 나타내는 데 사용될 수 있다.
응용
미분 기하학	공간 곡선은 위치 벡터를 매개변수로 사용한다. 이 매개변수는 좌표계와 독립적이며 곡선의 고유한 속성(예: 호 길이)을 사용하여 정의할 수 있다.
물리학	물리학에서 위치 벡터는 시간에 따라 변할 수 있으며, 이는 이동하는 점, 입자 등의 위치를 나타낸다.
좌표계 변환
변환	유클리드 공간에서 좌표계 간의 변환은 변환의 속성으로 설명할 수 있다. 벡터는 벡터 변환으로 설명할 수 있다.
속성	벡터는 좌표의 변환 후에도 동일하게 유지되는 속성을 나타낸다. 위치 벡터는 좌표계의 원점을 변경하면 변경되지만, 벡터의 변환 속성은 유지된다.

2. 정의

3차원 공간 곡선에서 위치 벡터 '''r'''은 스칼라 ''t''로 매개변수화된다. '''r''' = '''a'''에서 빨간색 선은 곡선의 접선이고 파란색 평면은 곡선에 수직이다. 3차원 공간에서는 세 개의 차원 좌표 세트와 해당 기본 벡터를 사용하여 공간의 한 점의 위치를 정의할 수 있으며, 어떤 것이든 당면한 작업에 가장 간단한 것을 사용할 수 있다.

일반적으로 친숙한 데카르트 좌표계를 사용하거나 때로는 구면 좌표계 또는 원통 좌표계를 사용한다.

:'''r'''(''t'')

::≡ '''r'''(''x'',''y'',''z'') ≡ ''x''(''t'')'''e'''_''x'' + ''y''(''t'')'''e'''_''y'' + ''z''(''t'')'''e'''_''z''

::≡ '''r'''(''r'',''θ'',''ϕ'') ≡ ''r''(''t'')'''e'''_''r''(''θ''(''t''), ''ϕ''(''t''))

::≡ '''r'''(''r'',''ϕ'',''z'') ≡ ''r''(''t'')'''e'''_''r''(''ϕ''(''t'')) + ''z''(''t'')'''e'''_''z'',

여기서 ''t''는 매개변수 방정식이며, 직사각형 또는 원형 대칭 때문입니다. 이러한 서로 다른 좌표와 해당 기본 벡터는 동일한 위치 벡터를 나타낸다. 보다 일반적인 곡선 좌표를 대신 사용할 수 있으며, 연속체 역학 및 일반 상대성 이론과 같은 맥락에서 사용됩니다(후자의 경우 추가적인 시간 좌표가 필요하다).

선형대수학은 ''n''차원 위치 벡터의 추상화를 가능하게 한다. 위치 벡터는 기저 벡터의 선형 결합으로 표현될 수 있다.^[3]^[4]

:'''r''' = Σ''x''_''i'''''e'''_''i'' = ''x''₁'''e'''₁ + ''x''₂'''e'''₂ + … + ''x''_n'''e'''_''n''.

모든 위치 벡터의 집합은 위치 공간(위치 벡터가 원소인 벡터 공간)을 형성한다. 공간에서 다른 위치 벡터를 얻기 위해 더하고(벡터 덧셈), 길이를 스케일링(스칼라 곱셈)할 수 있기 때문이다. 각 ''x_i'' (''i'' = 1, 2, …, ''n'')가 임의의 값을 가질 수 있고, 값의 모음이 공간의 점을 정의하기 때문에 "공간"의 개념은 직관적이다.

위치 공간의 ''차원''은 ''n''이다 (dim(''R'') = ''n''으로도 표시). 기저 벡터 '''e'''_''i''에 대한 벡터 '''r'''의 ''좌표''는 ''x''_''i''이다. 좌표의 벡터는 좌표 벡터 또는 ''n''-튜플 (''x''₁, ''x''₂, …, ''x_n'')을 형성한다.

각 좌표 ''x_i''는 여러 매개변수 ''t''로 매개변수화될 수 있다. 하나의 매개변수 ''x_i''(''t'')는 곡선 1D 경로를 설명하고, 두 개의 매개변수 ''x_i''(''t''₁, ''t''₂)는 곡선 2D 표면을 설명하며, 세 개의 ''x_i''(''t''₁, ''t''₂, ''t''₃)는 공간의 곡선 3D 부피를 설명한다.

기저 집합 ''B'' = {'''e'''₁, '''e'''₂, …, '''e'''_''n''}의 선형 덮개는 위치 공간 ''R''과 같으며, span(''B'') = ''R''로 표시한다.

2. 1. 3차원

3차원 공간 곡선에서 위치 벡터 '''r'''은 스칼라 ''t''로 매개변수화된다. '''r''' = '''a'''에서 빨간색 선은 곡선의 접선이고 파란색 평면은 곡선에 수직이다. 3차원 공간에서는 세 개의 차원 좌표 세트와 해당 기본 벡터를 사용하여 공간의 한 점의 위치를 정의할 수 있으며, 어떤 것이든 당면한 작업에 가장 간단한 것을 사용할 수 있다.

일반적으로 친숙한 데카르트 좌표계를 사용하거나 때로는 구면 좌표계 또는 원통 좌표계를 사용한다.

:

\begin{align}\mathbf{r}(t)& \equiv \mathbf{r}(x,y,z) \equiv x(t)\mathbf{\hat{e}}_x + y(t)\mathbf{\hat{e}}_y + z(t)\mathbf{\hat{e}}_z  \\& \equiv \mathbf{r}(r,\theta,\phi) \equiv r(t)\mathbf{\hat{e}}_r\big(\theta(t), \phi(t)\big) \\& \equiv \mathbf{r}(r,\phi,z) \equiv r(t)\mathbf{\hat{e}}_r\big(\phi(t)\big) + z(t)\mathbf{\hat{e}}_z, \\\end{align}

여기서 ''t''는 매개변수 방정식이며, 직사각형 또는 원형 대칭 때문입니다. 이러한 서로 다른 좌표와 해당 기본 벡터는 동일한 위치 벡터를 나타낸다. 보다 일반적인 곡선 좌표를 대신 사용할 수 있으며, 연속체 역학 및 일반 상대성 이론과 같은 맥락에서 사용됩니다(후자의 경우 추가적인 시간 좌표가 필요하다).

2. 2. ''n'' 차원

선형대수학은 ''n''차원 위치 벡터의 추상화를 가능하게 한다. 위치 벡터는 기저 벡터의 선형 결합으로 표현될 수 있다.^[3]^[4]

:

\mathbf{r} = \sum_{i=1}^n x_i \mathbf{e}_i = x_1 \mathbf{e}_1 + x_2 \mathbf{e}_2 + \dotsb + x_n \mathbf{e}_n.

모든 위치 벡터의 집합은 위치 공간(위치 벡터가 원소인 벡터 공간)을 형성한다. 공간에서 다른 위치 벡터를 얻기 위해 더하고(벡터 덧셈), 길이를 스케일링(스칼라 곱셈)할 수 있기 때문이다. 각 ''x_i'' (''i'' = 1, 2, …, ''n'')가 임의의 값을 가질 수 있고, 값의 모음이 공간의 점을 정의하기 때문에 "공간"의 개념은 직관적이다.

위치 공간의 ''차원''은 ''n''이다 (dim(''R'') = ''n''으로도 표시). 기저 벡터 '''e'''_''i''에 대한 벡터 '''r'''의 ''좌표''는 ''x''_''i''이다. 좌표의 벡터는 좌표 벡터 또는 ''n''-튜플 (''x''₁, ''x''₂, …, ''x_n'')을 형성한다.

각 좌표 ''x_i''는 여러 매개변수 ''t''로 매개변수화될 수 있다. 하나의 매개변수 ''x_i''(''t'')는 곡선 1D 경로를 설명하고, 두 개의 매개변수 ''x_i''(''t''₁, ''t''₂)는 곡선 2D 표면을 설명하며, 세 개의 ''x_i''(''t''₁, ''t''₂, ''t''₃)는 공간의 곡선 3D 부피를 설명한다.

기저 집합 ''B'' = {'''e'''₁, '''e'''₂, …, '''e'''_''n''}의 선형 덮개는 위치 공간 ''R''과 같으며, span(''B'') = ''R''로 표시한다.

3. 상대 위치

점 ''P''에 대한 점 ''Q''의 상대 위치는 두 점의 위치 벡터의 차이로 정의되는 유클리드 벡터이다. 이는 대한민국의 물리학 교육 과정에서 운동을 기술하는 데 중요한 개념으로 다루어진다.

: $\Delta \mathbf{r}=\mathbf{s} - \mathbf{r}=\overrightarrow{PQ},$

여기서 $\mathbf{s}=\overrightarrow{OQ}$ 이다.

두 점 사이의 상대 방향은 단위 벡터로 정규화된 상대 위치이다. 변위 벡터는 주어진 거리에 걸쳐 주어진 방향으로 공간 점을 균일하게 평행 이동시키는 "동작"으로 정의할 수 있다. 따라서 위치 벡터는 공간 원점의 선택에 의존하고, 변위 벡터는 초기 점의 선택에 의존한다.

4. 응용

4. 1. 미분기하학

위치 벡터는 미분기하학에서 연속적이고 미분 가능한 공간 곡선을 설명하는 데 사용되며, 이 경우 독립 변수는 시간이 아니어도 되고, 예를 들어 곡선의 호 길이일 수 있다.

4. 2. 역학

위치 벡터 '''r'''(''t'')는 어떤 운동 방정식에서든 일반적으로 가장 탐구되는 양인데, 이 함수는 입자(즉, 질점)의 운동을 정의하기 때문이다. 즉, 어떤 시간 ''t''에서의 주어진 좌표계에 상대적인 위치를 정의한다.

위치 측면에서 운동을 정의하기 위해 각 좌표는 시간에 의해 매개변수화될 수 있다. 시간의 각 연속적인 값은 좌표에 의해 주어진 연속적인 공간 위치의 시퀀스에 해당하므로, 많은 연속적인 위치의 연속체 극한은 입자가 추적하는 경로이다.

1차원의 경우, 위치는 하나의 성분만 가지므로, 스칼라 좌표로 효과적으로 축소된다. 예를 들어, ''x'' 방향의 벡터 또는 반경 ''r'' 방향일 수 있다.

:

\mathbf{x} \equiv x \equiv x(t), \quad r \equiv r(t), \quad s \equiv s(t).

위치 벡터 '''r'''(''t'')는, 어떤 시간 ''t''에서의 점입자의 위치를 나타낸다.

5. 위치의 도함수

고전 입자의 운동에 관한 양: 질량 ''m'', 위치 '''r''', 속도 '''v''', 가속도 '''a'''

시간 ''t''의 함수인 위치 벡터 '''r'''에 대해, 시간에 대한 시간 미분을 계산할 수 있다.^[5]^[10] 이러한 도함수는 운동학, 제어 이론, 공학 및 기타 과학 분야 연구에 일반적으로 사용된다.

속도

::

\mathbf{v} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t},

: 여기서 d'''r'''은 무한소 작은 변위 (벡터)이다.

가속도

::

\mathbf{a} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{v}}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}}{\mathrm{d}t^2}.

저크

::

\mathbf{j} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{a}}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}^2\mathbf{v}}{\mathrm{d}t^2} = \frac{\mathrm{d}^3\mathbf{r}}{\mathrm{d}t^3}.

위치의 첫 번째, 두 번째 및 세 번째 도함수에 대한 이러한 이름은 기본적인 운동학에서 일반적으로 사용된다.^[5] 확장하여, 고차 도함수는 유사한 방식으로 계산할 수 있다. 이러한 고차 도함수에 대한 연구는 원래 변위 함수의 근사치를 개선할 수 있다. 이러한 고차 항은 무한 수열의 합으로 변위 함수를 정확하게 나타내기 위해 필요하며, 공학 및 물리학에서 여러 분석 기술을 가능하게 한다.

참조

_[1] 문서
_[2] 문서
_[3] 서적 Mathematical methods for physics and engineering https://archive.org/[...] Cambridge University Press
_[4] 서적 Linear Algebra https://archive.org/[...] McGraw Hill
_[5] 서적 Calculus Brooks/Cole
_[6] 서적 University Physics Addison-Wesley (Pearson International)
_[7] 문서
_[8] 서적 Mathematical methods for physics and engineering Cambridge University Press
_[9] 서적 Linear Algebra McGraw Hill
_[10] 서적 Calculus Brooks/Cole

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