이차 형식 종수

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 정의
- 2.1. 질량
- 2.2. 스피너 종수
3. 성질
- 3.1. 추가 설명
4. 스미스-민코프스키-지겔 질량 공식
5. 이항 이차 형식
6. 역사
참조

1. 개요

이차 형식 종수는 대수적 정수환 위의 유한 생성 자유 가군 위의 이차 형식들을 분류하는 개념이다. 두 이차 형식이 모든 국소 자리에서 동치일 경우 같은 종수에 속한다고 정의하며, 이는 하세-민코프스키 정리를 일반화한 것이다. 이차 형식 종수의 질량은 종수에 속하는 이차 형식의 수를 대칭군의 크기를 고려하여 센 것이며, 스미스-민코프스키-지겔 질량 공식으로 계산할 수 있다. 또한, 스피너 종수와 같은 세분화된 분류도 존재하며, 이항 이차 형식의 경우 군 구조를 갖는다. 이차 형식 종수의 개념은 카를 프리드리히 가우스에 의해 처음 도입되었으며, 헨리 존 스티븐 스미스, 헤르만 민코프스키, 카를 루트비히 지겔 등에 의해 발전되었다.

더 읽어볼만한 페이지

이차 형식 - 밀너 환
밀너 환은 체 위의 가역원군으로 정의되는 등급환으로, 각 등급 성분인 밀너 K군은 대수적 K-이론, 고차 류체론, 갈루아 코호몰로지, 에탈 코호몰로지, 이차 형식 등 여러 수학 분야와 연결되는 심오한 추측들과 연관된다.
이차 형식 - 클리퍼드 대수
클리퍼드 대수는 가환환 위의 가군과 이차 형식으로부터 정의되는 단위 결합 대수로서, 보편 성질이나 텐서 대수의 몫대수를 통해 정의 및 구성되며, 물리학, 컴퓨터 비전, K이론 등 다양한 분야에서 응용되는 대수적 구조이다.
대수적 수론 - 아이디얼
아이디얼은 유사환에서 환의 원소와의 곱셈에 대해 닫혀 있는 부분군으로, 왼쪽, 오른쪽, 양쪽 아이디얼로 나뉘며 가환환에서는 세 개념이 일치하고, 환 준동형사상의 핵으로 나타나 잉여환을 정의하는 데 사용되며, 아이디얼 수 개념에서 유래하여 추상대수학의 주요 개념으로 확장되었다.
대수적 수론 - 밀너 환
밀너 환은 체 위의 가역원군으로 정의되는 등급환으로, 각 등급 성분인 밀너 K군은 대수적 K-이론, 고차 류체론, 갈루아 코호몰로지, 에탈 코호몰로지, 이차 형식 등 여러 수학 분야와 연결되는 심오한 추측들과 연관된다.

이차 형식 종수

2. 정의

대역체 $K$ 의 대수적 정수환 $\mathcal O_K$ 위의 유한 생성 자유 가군 $\mathcal O_K^n$ 위의 두 이차 형식 $Q$ , $Q'$ 이 다음 조건을 만족시킨다면, 같은 '''종수'''에 속한다고 한다.

$K$ 의 모든 (유한 또는 무한) 자리 $\mathfrak p$ 에서, $Q\otimes_{\mathcal O_K}\mathcal O_{K_{\mathfrak p}}$ 는 $Q'\otimes_{\mathcal O_K}\mathcal O_{K_{\mathfrak p}}$ 와 동치이다. (여기서 $K_{\mathfrak p}$ 는 $\mathfrak p$ 에서의 국소체를 뜻하며, $\mathcal O_{K_{\mathfrak p}}$ 는 그 대수적 정수환이다. 만약 $\mathfrak p$ 가 아르키메데스 자리라면, $\mathcal O_{K_{\mathfrak p}}=K_{\mathfrak p}$ 이다.)

이는

\mathcal O_K^n

위의 이차 형식들의 동치류들의 집합 위의 동치 관계를 정의한다.

이는 하세-민코프스키 정리와 유사하게, 각 유한 · 무한 소수에서의 "정수환"에서 동치인 것이다. 그러나 유리수 계수의 경우와 달리 같은 종수에 속하는 두 정수 계수 이차 형식이 서로 동치이지 않을 수 있다.

V=K^n

위의 이차 형식

Q

및

V

속의 두

\mathcal O_K

-자유 가군

L,L'\subset V

가 주어졌을 때,

(L,Q|_L)

와

(L',Q|_{L'})

이 같은 종수에 속한다는 것은 각 자리

\mathfrak p\in\operatorname{Places}(K)

에 대하여 다음 조건을 만족시키는

f_{\mathfrak p}\in\operatorname O(V\otimes_KK_{\mathfrak p},Q;K_{\mathfrak p})

가 존재한다는 것과 같다.

:

L\otimes_KK_{\mathfrak p}=f_{\mathfrak p}(L'\otimes_KK_{\mathfrak p})\subset V\otimes_KK_{\mathfrak p}

2. 1. 질량

대역체 K의 대수적 정수환 \mathcal O_K 위의 n차원 자유 가군 \mathcal O_K^n 위의 이차 형식 종수 \mathcal G의 '''질량'''(mass^영어)은 다음과 같다.

:m(\mathcal G)=\sum_{Q\in\mathcal G}\frac1

여기서

\sum_{Q\in\mathcal G}는 종수 g에 속한 모든 이차 형식의 동치류 Q에 대한 합이다.
\operatorname O(n,Q;\mathbb O_K)=\{f\in\operatorname{GL}(n;\mathcal O_K)\colon Q\circ f=Q\}는 Q에 대한 직교군이다. 즉, (\mathcal O_K^n, Q)의 자기 동형군이다.
|\cdots|는 집합의 크기이다.

즉, 질량은 종수에 속한 이차 형식의 수를 대칭군의 크기를 고려하여 센 것이다.

2. 2. 스피너 종수

대역체

K

가 주어졌다고 하자.

\mathcal O_K^n

위의 두 이차 형식

:

Q,Q'\colon\mathcal O_K^n\to\mathcal O_K

및

:

g\in\operatorname O(n,Q;K)

:

f_{\mathfrak p}\in\operatorname{\Omega}(n,Q;K)\qquad(\mathfrak p\in\operatorname{Places}(K))

에 대하여,

:

Q(v)=Q'\left(g(f_{\mathfrak p}(v))\right)\qquad\forall v\in K_{\mathfrak p}^n

가 성립한다면,

Q

와

Q'

이 같은 '''스피너 종수'''에 속한다고 한다. 여기서

\operatorname{\Omega}(V,Q;K)=\ker\operatorname{sn}\subseteq\operatorname O(V,Q;K)

는 스피너 노름

:

\operatorname{sn}\colon\operatorname O(V,Q;K)\to K^\times/(K^\times)^2

의 핵이다.

3. 성질

대역체 $K$ 의 대수적 정수환 $\mathcal O_K$ 위의 유한 생성 자유 가군 $\mathcal O_K^n$ 위의 두 이차 형식 $Q$ , $Q'$ 이 같은 '''종수'''에 속한다는 것은 $K$ 의 모든 (유한 또는 무한) 자리 $\mathfrak p$ 에서, $Q\otimes_{\mathcal O_K}\mathcal O_{K_{\mathfrak p}}$ 와 $Q'\otimes_{\mathcal O_K}\mathcal O_{K_{\mathfrak p}}$ 가 동치인 것이다. (여기서 $K_{\mathfrak p}$ 는 $\mathfrak p$ 에서의 국소체를 뜻하며, $\mathcal O_{K_{\mathfrak p}}$ 는 그 대수적 정수환이다. 만약 $\mathfrak p$ 가 아르키메데스 자리라면, $\mathcal O_{K_{\mathfrak p}}=K_{\mathfrak p}$ 이다.) 이는 $\mathcal O_K^n$ 위의 이차 형식들의 동치류들의 집합 위의 동치 관계를 정의한다.

이는 하세-민코프스키 정리와 유사하게, 각 유한 · 무한 소수에서의 "정수환"에서 동치인 것이나, 유리수 계수의 경우와 달리 같은 종수에 속하는 두 정수 계수 이차 형식이 서로 동치이지 않을 수 있다.

$V=K^n$ 위의 이차 형식 $Q$ 및 $V$ 속의 두 $\mathcal O_K$ -자유 가군 $L,L'\subset V$ 가 주어졌을 때, $(L,Q|_L)$ 와 $(L',Q|_{L'})$ 이 같은 종수에 속한다는 것은 각 자리 $\mathfrak p\in\operatorname{Places}(K)$ 에 대하여

: $L\otimes_KK_{\mathfrak p}=f_{\mathfrak p}(L'\otimes_KK_{\mathfrak p})\subset V\otimes_KK_{\mathfrak p}$

가 되는

: $f_{\mathfrak p}\in\operatorname O(V\otimes_KK_{\mathfrak p},Q;K_{\mathfrak p})$

가 존재한다는 것과 같다.

$\mathcal O_K$ 계수의 이차 형식들에 대하여 정의되는 동치 관계들은 다음과 같다.

: $\mathcal O_K$ -동치 → 같은 스피너 종수에 속함 → 같은 종수에 속함 → $K$ -동치 (= 모든 자리에 대하여 $K_{\mathfrak p}$ -동치)

왼쪽으로 갈 수록 더 섬세한 동치 관계이며, 오른쪽으로 갈 수록 더 엉성한 동치 관계이다.

이차 형식을 이차 형식 $Q\colon V\to K$ 가 주어진 벡터 공간 $V=\mathcal O_K^n$ 속의 격자들로 생각한다면, 이들의 정의에 등장하는 대칭군은 다음과 같다.

: $\operatorname O(n,Q;K)$ → $\operatorname O(n,Q;K)\times\prod_{\mathfrak p}'\operatorname\Omega(n,Q;K_{\mathfrak p})$ → $\prod_{\mathfrak p}'\operatorname O(n,Q;K_{\mathfrak p})$ → $\operatorname{GL}(n;K)$

종수를 정의하는 동치 관계는 아델 이론을 사용하여 아델 직교군

: $\operatorname O(V_{\mathbb A},Q)=\prod_{\mathfrak p\in\operatorname{Places}(K)}'\operatorname O(V\otimes_KK_{\mathfrak p},Q;K_{\mathfrak p})$

로 생각할 수 있다. (여기서 $\textstyle\prod'$ 은 여유한 개의 원소가 1임을 뜻한다.)

$\operatorname O(V_{\mathbb A})$ 는 $V$ 위에 다음과 같이 작용한다. 하세-민코프스키 정리에 의하여 다음 두 집합 사이에 자연스러운 전단사 함수가 존재한다.

$K^n$ 속의 $\mathcal O_K$ -격자 $L\subset K^n$
각 자리에 대한 격자들의 열 $(L_{\mathfrak p}\subseteq K_{\mathfrak p}^n)_{\mathfrak p\in\operatorname{Places}(K)}$ 가운데, 여유한 개의 $\mathfrak p$ 에 대하여 $L_{\mathfrak p}=\mathcal O_{K_{\mathfrak p}}^n\subset K_{\mathfrak p}^n$ 인 것.

따라서,

(g_{\mathfrak p})_{\mathfrak p\in\operatorname{Places}(K)}\in \operatorname O(V_{\mathbb A},Q)

는

L\mapsto(L_{\mathfrak p})_{\mathfrak p\in\operatorname{Places}(K)}

위에 다음과 같이 성분별로 작용한다.

:

(L_{\mathfrak p})_{\mathfrak p\in\operatorname{Places}(K)}\mapsto\left(g_{\mathfrak p}(L_{\mathfrak p})\right)_{\mathfrak p\in\operatorname{Places}(K)}

이차 형식의 경우, 주어진 판별식을 갖는 형식의 동치류 집합 ''C''에 군 구조가 존재한다. 속(genera)은 ''일반적 지표''에 의해 정의된다. 주 속, 즉 주 형식을 포함하는 속은 정확히 부분군 ''C''²이며, 속은 ''C''²의 잉여류이다. 따라서 이 경우 모든 속은 동일한 수의 형식 클래스를 포함한다.

3. 1. 추가 설명

같은 종수에 속한 이차 형식들은 같은 판별식을 갖는다. 따라서, 주어진 종수에 속하는 이차 형식의 동치류의 수는 유한하다.

주어진 종수에 속하는 스피너 종수의 수는 항상 2의 거듭제곱이다.^[1]

4. 스미스-민코프스키-지겔 질량 공식

대역체 $K$ 의 대수적 정수환 $\mathcal O_K$ 위의 $n$ 차원 자유 가군 $\mathcal O_K^n$ 위의 이차 형식 종수 $\mathcal G$ 의 '''질량'''(mass^영어)은 다음과 같다.

: $m(\mathcal G)=\sum_{Q\in\mathcal G}\frac1$

여기서

$\textstyle\sum_{Q\in\mathcal G}$ 는 종수 $g$ 에 속한 모든 이차 형식의 동치류 $Q$ 에 대한 합이다.
$\operatorname O(n,Q;\mathbb O_K)=\{f\in\operatorname{GL}(n;\mathcal O_K)\colon Q\circ f=Q\}$ 는 $Q$ 에 대한 직교군이다. 즉, $(\mathcal O_K^n,Q)$ 의 자기 동형군이다.
$|\cdots|$ 는 집합의 크기이다.

즉, 질량은 종수에 속한 이차 형식의 수를 대칭군의 크기를 고려하여 센 것이다. 주어진 종수의 질량은 '''스미스-민코프스키-지겔 질량 공식'''(Smith-Minkowski-Siegel質量公式, Smith–Minkowski–Siegel mass formula^영어)으로 구체적으로 계산할 수 있다.

구체적으로,

n\ge2

일 때,

\mathbb Q^n

속의

\mathbb Z

-격자

\Lambda

가 속하는 종수의 질량은 다음과 같다.

:

m(\Lambda)=2\pi^{-n(n+1)/4}\prod_{j=1}^n\Gamma(j/2)\prod_p2m_p(\Lambda)

:

m_p(\Lambda)=\frac{p^{(rn(n-1)+s(n+1))/2}}{N(p^r)}\qquad(r\gg1)

:

N(p^r)=\operatorname{Aut}_{\mathbb F_{p^r}}(Q\otimes_{\mathbb Z}\mathbb F_{p^r})=\{M\in\operatorname{Mat}(n;\mathbb F_{p^r})\colon M^\top AM\}

여기서

$\textstyle\prod_p$ 는 모든 소수에 대한 곱이다. (이는 항상 유한하다.)
$(r\gg1)$ 은 충분히 큰 $r$ 에 대하여 등식이 성립함을 뜻한다.
$A$ 는 격자 $\Lambda$ 의 그람 행렬이다.

이 공식은 자명한 경우인

n=0,1

일 때 성립하지 않을 수 있다. 이는 다음과 같은 점에서 기인한다.

$m(\Lambda)$ 의 공식 맨 앞의 2는 특수 직교군 $\operatorname{SO}(n)$ 의 다마가와 수(Tamagawa number^영어)인데, 이는 $n<2$ 일 때 1이다.
$m_p(\Lambda)$ 의 공식 맨 앞의 2는 지표 $[\operatorname O(n):\operatorname{SO}(n)]$ 를 뜻한다. 이는 $n=0$ 일 때 1이다.

5. 이항 이차 형식

이차 형식의 경우, 주어진 판별식을 갖는 형식의 동치류 집합 ''C''에 군 구조가 존재한다. 속(genera)은 ''일반적 지표''에 의해 정의된다. 주 속, 즉 주 형식을 포함하는 속은 정확히 부분군 ''C''²이며, 속은 ''C''²의 잉여류이다. 따라서 이 경우 모든 속은 동일한 수의 형식 클래스를 포함한다.

6. 역사

카를 프리드리히 가우스가 1801년에 《산술 연구》(Disquisitiones Arithmeticae^la)에서 이항 이차 형식의 종수의 개념 및 용어(genus|게누스^la, 복수 genera|게네라^la)를 도입하였다.^[1]^[2]

1867년에 헨리 존 스티븐 스미스는 스미스-민코프스키-지겔 질량 공식을 최초로 발견하였으나, 널리 알려지지 않았다.^[3] 1885년에 헤르만 민코프스키는 박사 학위 논문^[4]에서 임의의 이차 형식의 종수의 개념을 도입하였고, 스미스-민코프스키-지겔 질량 공식을 재발견하였다.

카를 루트비히 지겔(1896~1982)은 1935년에 민코프스키가 제시한 질량 공식의 오류를 교정하여 스미스-민코프스키-지겔 질량 공식을 완성하였다.^[5]

마르틴 아이클러(Martin Eichler^de, 1912~1992)는 스피너 종수를 사용하여 부정부호 정수 계수 이차 형식을 분류하였다.

참조

_[1] 서적 Disqvisitiones arithmeticae in commissis apvd Gerh. Fleischer, Jun. 1801
_[2] 서적 On the development of the genus of quadratic forms https://web.archive.[...] 2016-04-13
_[3] 저널 On the orders and genera of quadratic forms containing more than three indeterminates
_[4] 저널 Untersuchungen über quadratische Formen. I. Bestimmung der Anzahl verschiedener Formen, welche ein gegebenes Genus enthält 1885
_[5] 저널 Über die analytische Theorie der quadratischen Formen 1935-07

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com