케플러-푸앵소 다면체

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1. 개요

케플러-푸앵소 다면체는 작은 별모양 십이면체, 큰 십이면체, 큰 별모양 십이면체, 큰 이십면체의 네 종류로 이루어진 다면체이다. 이들은 정다면체의 별모양화로, 15세기에 산 마르코 대성당 바닥 모자이크에 처음 등장했다. 1619년 요하네스 케플러에 의해 처음으로 인정되었으며, 루이 푸앵소에 의해 재발견되었다. 케플러-푸앵소 다면체는 정이십면체 대칭을 가지며, 쌍대 다면체 쌍을 이룬다. 이 도형들은 현대 미술 작품에도 영향을 미쳤다.

케플러-푸앵소 다면체

개요

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큰 십이면체

종류	별모양 다면체, 정다면체
면의 모양	정오각형
면의 수	12
모서리의 수	30
꼭짓점의 수	12
카이랄성	비카이랄성
꼭짓점 배열	정십이면체
슐레플리 기호	{5, 5/2}
위토프 기호	5 \| 2 5

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콕서터 다이어그램

대칭군	Ih, H3, [5,3] (*532)
쌍대 다면체	그레이트 스타 십이면체
성질	정칙, 비볼록

개요

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작은 별모양 십이면체

종류	별모양 다면체, 정다면체
면의 모양	정오각형
면의 수	12
모서리의 수	30
꼭짓점의 수	12
카이랄성	비카이랄성
꼭짓점 배열	정십이면체
슐레플리 기호	{5/2, 5}
위토프 기호	5/2 \| 2 5

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콕서터 다이어그램

대칭군	Ih, H3, [5,3] (*532)
쌍대 다면체	큰 십이면체
성질	정칙, 비볼록

개요

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큰 이십면체

종류	별모양 다면체, 정다면체
면의 모양	정삼각형
면의 수	20
모서리의 수	30
꼭짓점의 수	12
카이랄성	비카이랄성
꼭짓점 배열	정십이면체
슐레플리 기호	{3, 5/2}
위토프 기호	3 \| 2 5

이미지 준비중입니다.

콕서터 다이어그램

대칭군	Ih, H3, [5,3] (*532)
쌍대 다면체	그레이트 스타 십이면체
성질	정칙, 비볼록

개요

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그레이트 스타 십이면체

종류	별모양 다면체, 정다면체
면의 모양	정오각형
면의 수	12
모서리의 수	30
꼭짓점의 수	20
카이랄성	비카이랄성
꼭짓점 배열	정십이면체
슐레플리 기호	{5/2, 3}
위토프 기호	5/2 \| 3 2

이미지 준비중입니다.

콕서터 다이어그램

대칭군	Ih, H3, [5,3] (*532)
쌍대 다면체	큰 이십면체
성질	정칙, 비볼록

케플러-푸앵소 다면체

다른 이름	케플러 다면체 푸앵소 다면체 별모양 정다면체
종류	4가지의 비볼록 정다면체
설명	1619년 요하네스 케플러와 1809년 루이 푸앵소가 기술함.

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1. 개요
2. 역사
3. 종류 및 특성
- 3.1. 종류
- 3.2. 특성
4. 현대 미술 및 문화에서의 응용

2. 역사

케플러-푸앵소 다면체의 역사는 르네상스 시대로 거슬러 올라간다. 15세기 이탈리아 베니스의 산마르코 대성당 바닥 모자이크에서 작은 별모양 십이면체가 발견되는데, 이는 파올로 우첼로의 작품으로 추정된다.

이탈리아 베네치아 산 마르코 대성당의 바닥 모자이크 (파올로 우첼로의 작품일 가능성이 있음)

16세기 벤첼 얌니처(Wenzel Jamnitzer)는 그의 저서 Perspectiva corporum regularium(정다면체의 관점)에서 큰 십이면체와 큰 별모양 십이면체를 묘사했다.

요하네스 케플러는 1619년에 별모양화를 통해 작은 별모양 십이면체와 큰 별모양 십이면체를 재발견하고, 이들이 정다면체임을 밝혔다. 그는 정십이면체의 면이나 모서리를 연장하여 별 오각형을 만들고, 이 도형들이 정다면체의 조건을 만족한다는 것을 증명했다.

요하네스 케플러의 Harmonices Mundi (1619)에 있는 별 모양 십이면체 — 요하네스 케플러의 *Harmonices Mundi* (1619)에 있는 별 모양 십이면체

1809년, 루이 푸앵소는 별 오각형을 꼭짓점 주위에 결합하여 큰 이십면체와 큰 십이면체를 발견했다. 이 도형들은 푸앵소 다면체라고도 불린다.

1812년, 오귀스탱 루이 코시는 별모양화를 통해 만들 수 있는 정다면체의 목록이 완전하다는 것을 증명했다. 1858년, 조셉 베르트랑은 면 분할을 이용하여 코시의 정리를 더 우아하게 증명했다.

1859년, 아서 케일리는 케플러-푸앵소 다면체에 현재 사용되는 이름을 부여했다.

존 호턴 콘웨이는 별모양화에 대한 체계적인 용어를 개발하고, 케플러-푸앵소 다면체의 이름을 일부 수정했다.

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\| 콘웨이의 이름과 (약자)
작은 별모양 십이면체	별모양 십이면체 (sD)
큰 십이면체 (gD)
큰 별모양 십이면체 (gsD)
큰 이십면체 (gI)

3. 종류 및 특성

케플러-푸앵소 다면체는 작은 별모양 십이면체, 큰 십이면체, 큰 별모양 십이면체, 큰 이십면체의 네 가지가 있다. 이들은 면이나 꼭짓점 도형으로 오각성(별 모양 오각형)을 가지는 경우가 있다. 작은 별모양 십이면체와 큰 별모양 십이면체는 비볼록 정다각형 오각성 면을, 큰 십이면체와 큰 이십면체는 볼록 다각형 면이지만 오각성 꼭짓점 도형을 가진다.

이 다면체들에서 두 면은 각 면의 모서리가 아닌 선을 따라 교차하여, 각 면의 일부가 도형 내부를 통과할 수 있다. 이러한 교차선은 "가짜 모서리"라고도 하며, 세 선이 꼭짓점이 아닌 점에서 교차하는 경우는 "가짜 꼭짓점"이라고 한다.

케플러-푸앵소 다면체는 다음과 같은 쌍대 쌍으로 존재한다.

* 작은 별모양 십이면체와 큰 십이면체
* 큰 별모양 십이면체와 큰 이십면체

작은 별모양 십이면체와 큰 이십면체는 정이십면체의 별모양화 또는 면 분할로, 큰 십이면체와 큰 별모양 십이면체는 정십이면체의 별모양화 또는 면 분할로 볼 수 있다.

3.1. 종류

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이름	슐레플리 기호	면	모서리	꼭짓점	밀도	쌍대
작은 별모양 십이면체	{5/2, 5}	12개의 별모양 오각형 {5/2}	30	12	3	큰 십이면체
큰 별모양 십이면체	{5/2, 3}	12개의 별모양 오각형 {5/2}	30	20	7	큰 이십면체
큰 십이면체	{5, 5/2}	12개의 정오각형 {5}	30	12	3	작은 별모양 십이면체
큰 이십면체	{3, 5/2}	20개의 정삼각형 {3}	30	12	7	큰 별모양 십이면체

3.2. 특성

케플러-푸앵소 다면체는 면이나 꼭짓점 도형으로 오각성(별 모양 오각형)을 가진다. 작은 별모양 십이면체와 큰 별모양 십이면체는 별 다각형인 비볼록 정다각형 오각성 면을 가진다. 큰 십이면체와 큰 이십면체는 볼록 다각형 면을 가지지만, 오각성 꼭짓점 도형을 가진다.

이 다면체들에서 두 면은 각 면의 모서리가 아닌 선을 따라 교차할 수 있으며, 이 때문에 각 면의 일부는 도형의 내부를 통과한다. 이러한 교차선은 다면체 구조의 일부가 아니며, 때로는 "가짜 모서리"라고 불린다. 마찬가지로 세 개의 선이 어떤 면의 꼭짓점이 아닌 점에서 교차하는 경우, 이 점들은 "가짜 꼭짓점"이다.

케플러-푸앵소 다면체는 외접 구를 여러 번 덮는다. 오각별 면을 가진 도형에서는 면의 중심이, 다른 도형에서는 꼭짓점이 와인딩 포인트 역할을 한다. 이 때문에, 오일러 지표(χ = V - E + F)가 항상 2가 되지는 않는다. 슐레플리는 모든 다면체가 χ = 2를 가져야 한다고 주장하며, 작은 별모양 십이면체와 큰 십이면체를 제대로 된 다면체로 인정하지 않았다. 그러나 이 견해는 널리 받아들여지지 않았다.

아서 케일리는 밀도(D)를 사용하여, 꼭짓점 도형( $d_v$ )과 면( $d_f$ )의 수정된 형태의 오일러 공식을 제시했으며, 이 공식은 (수정 인자가 모두 1인) 볼록 다면체와 케플러-푸앵소 다면체 모두에 적용된다.

: $d_v V - E + d_f F = 2D.$

케플러-푸앵소 다면체는 쌍대 쌍으로 존재한다.

* 작은 별모양 십이면체와 큰 십이면체
* 큰 별모양 십이면체와 큰 이십면체

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앞쪽의 수평 모서리	앞쪽의 수직 모서리	페트리 다각형
작은 별모양 십이면체 $\left\{\frac{5}{2}, 5\right\}$	큰 십이면체 $\left\{5, \frac{5}{2}\right\}$	육각형 $\left\{\frac{6}{1,3}\right\}$
큰 이십면체 $\left\{3, \frac{5}{2}\right\}$	큰 별모양 십이면체 $\left\{\frac{5}{2}, 3\right\}$	십각성 $\left\{\frac{10}{3,5}\right\}$

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이름 (Conway 표기)	그림	구면 타일링	별 모양 다면체 다이어그램	슐레플리 {p, q}	면 {p}
큰 십이면체 (gD)
	{5, 5/2}	12 {5}	12 {5/2}\| (5⁵)/2	{6}	3\|I_h\|작은 별모양 십이면체
작은 별모양 십이면체 (sD)
	{5/2, 5}	12 {5/2}	12 {5}\| (5/2)⁵	{6}	3\|I_h\|큰 십이면체
큰 이십면체 (gI)
	{3, 5/2}	20 {3}	12 {5/2}\| (3⁵)/2	{10/3}	7\|I_h\|큰 별모양 십이면체
큰 별모양 십이면체 (sgD = gsD)
	{5/2, 3}	12 {5/2}	20 {3}\| (5/2)³	{10/3}	7\|I_h\|큰 이십면체

3.2.1. 비볼록성

케플러-푸앵소 다면체는 면이나 꼭짓점 도형이 별 오각형(오각성)을 포함하여 비볼록성을 띤다. 작은 별모양 십이면체와 큰 별모양 십이면체는 별 다각형인 비볼록 정오각성 면을 가진다. 큰 십이면체와 큰 이십면체는 볼록 다각형 면을 가지지만 오각성 꼭짓점 도형을 가진다.

이 다면체들에서 두 면은 양쪽 면의 변이 아닌 선을 지날 수 있어서, 각 면의 부분은 도형의 내부를 지나간다. 이런 교차하는 선은 다면체 구조의 일부가 아니고 "가짜 모서리"라고도 불린다. 유사하게 이런 선 셋이 교차하는 점 중에서 면의 모퉁이가 아닌 점은 가짜 꼭짓점이다. 작은 별모양 십이면체의 경우, 각 면의 보이는 부분은 5개의 이등변삼각형으로 이루어져 있다. 이 삼각형들을 별개의 면으로 취급하면 60개의 면, 90개의 모서리, 32개의 꼭짓점을 가진 비정다면체를 얻을 수 있지만, 슐레플리 기호 {5/2, 5}로 설명될 수 없으므로 케플러-푸앵소 다면체가 아니다.

3.2.2. 오일러 지표

케플러-푸앵소 다면체는 외접하는 구를 여러 번 덮기 때문에, 오일러 지표(χ = V - E + F)가 항상 2가 되지는 않는다. 슐레플리는 모든 다면체가 χ = 2를 가져야 한다고 주장하며, 작은 별모양 십이면체와 큰 십이면체를 제대로 된 다면체로 인정하지 않았으나, 이 견해는 널리 받아들여지지 않았다.

아서 케일리는 밀도(D)를 사용하여, 꼭짓점 도형( $d_v$ )과 면( $d_f$ )의 수정된 형태의 오일러 공식을 제시했으며, 이 공식은 볼록 다면체와 케플러-푸앵소 다면체 모두에 적용된다.

: $d_v V - E + d_f F = 2D.$

3.2.3. 쌍대성

케플러-푸앵소 다면체는 쌍대 관계를 갖는 쌍으로 존재한다.

* 작은 별모양 십이면체와 큰 십이면체
* 큰 별모양 십이면체와 큰 이십면체

쌍대는 동일한 페트리 다각형을 가지거나, 더 정확하게는 동일한 2차원 투영을 가진 페트리 다각형을 갖는다.

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앞쪽의 수평 모서리	앞쪽의 수직 모서리	페트리 다각형
작은 별모양 십이면체 $\left\{\frac{5}{2}, 5\right\}$	큰 십이면체 $\left\{5, \frac{5}{2}\right\}$	육각형 $\left\{\frac{6}{1,3}\right\}$
큰 이십면체 $\left\{3, \frac{5}{2}\right\}$	큰 별모양 십이면체 $\left\{\frac{5}{2}, 3\right\}$	십각성 $\left\{\frac{10}{3,5}\right\}$

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이름 (Conway 표기)	그림	구면 타일링	별 모양 다면체 다이어그램	슐레플리 {p, q}	면 {p}
큰 십이면체 (gD)
	{5, 5/2}	12 {5}	12 {5/2}\| (5⁵)/2	{6}	3\|I_h\|작은 별모양 십이면체
작은 별모양 십이면체 (sD)
	{5/2, 5}	12 {5/2}	12 {5}\| (5/2)⁵	{6}	3\|I_h\|큰 십이면체
큰 이십면체 (gI)
	{3, 5/2}	20 {3}	12 {5/2}\| (3⁵)/2	{10/3}	7\|I_h\|큰 별모양 십이면체
큰 별모양 십이면체 (sgD = gsD)
	{5/2, 3}	12 {5/2}	20 {3}\| (5/2)³	{10/3}	7\|I_h\|큰 이십면체

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이름	구성 면	변	꼭짓점	꼭짓점 모양	슐레플리 기호	쌍대	밀도
작은 별모양 십이면체	별 모양 오각형 12개	30	12	5/2,5/2,5/2,5/2,5/2	{5/2,5}	큰 십이면체	3
큰 십이면체	정오각형 12개	30	12	(5,5,5,5,5)/2	{5,5/2}	작은 별모양 십이면체	3
큰 별모양 십이면체	별 모양 오각형 12개	30	20	5/2,5/2,5/2	{5/2,3}	큰 이십면체	7
큰 이십면체	정삼각형 20개	30	12	(3,3,3,3,3)/2	{3,5/2}	큰 별모양 십이면체	7

3.2.4. 별모양화와 면 분할

작은 별모양 십이면체와 큰 이십면체는 정이십면체의 별모양화 또는 면 분할로 볼 수 있다. 큰 십이면체와 큰 별모양 십이면체는 정십이면체의 별모양화 또는 면 분할로 볼 수 있다.

존 콘웨이의 명명 규칙에 따르면, 작은 별모양 십이면체는 단순히 별 모양 십이면체이고, 큰 십이면체는 큰 십이면체(great dodecahedron), 큰 별모양 십이면체는 큰 별모양 십이면체(great stellated dodecahedron)로 표현할 수 있다.

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별모양과 면 나누기
볼록 다면체	정 이십면체			정 십이면체
별모양	gI (노란 면이 있는 것)			gD	sD	gsD
면 나누기	-- gI	-- gD	-- sD	-- gsD (노란 꼭짓점이 있는 것)

교차점을 새로운 모서리와 꼭짓점으로 취급하면, 얻어지는 도형은 정다면체가 아니지만, 여전히 별모양으로 간주될 수 있다. (웬닝거 다면체 모형 목록 참조)

4. 현대 미술 및 문화에서의 응용

별 정다면체는 르네상스 시대 예술에서 처음 등장했다. 작은 별모양 십이면체는 1430년경 파올로 우첼로가 제작한 것으로 추정되는 베네치아 산 마르코 대성당 바닥 모자이크에 묘사되어 있다.

20세기 예술가 M. C. 에셔는 기하학적 형태에 관심을 가져 정다면체를 포함한 작품을 만들었다. 그의 작품 중력은 작은 별모양 십이면체를 기반으로 한다.

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1980년대 퍼즐 알렉산더의 별은 큰 이십면체의 해부를 이용했다.

노르웨이 예술가 베르비에른 산드의 조각 케플러 별은 오슬로 가르데르모엔 국제공항 근처에 전시되어 있다. 이 별은 폭이 14m이고 큰 별모양 십이면체 안에 정이십면체와 정십이면체가 있는 형태이다.