적분 방정식

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1. 개요

적분 방정식은 미지 함수와 그 적분 사이의 관계를 나타내는 수학 방정식의 한 유형이다. 선형성, 동차성, 적분 구간, 특이성 등 다양한 기준으로 분류되며, 프레드홀름, 볼테라, 비너-호프, 해머스타인 방정식 등이 주요 유형에 속한다. 적분 방정식은 초기값 문제를 해결하거나, 고유값 방정식의 일반화로 이해될 수 있으며, 복사 전달, 전산 전자기학, 역문제, 금융 공학, 점탄성, 유체 역학 등 다양한 분야에서 활용된다.

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적분 방정식
개요
Fredholm 적분 방정식의 예
분야	수학, 해석학
유형	함수 방정식
관련 항목	미분 방정식, 적분, 볼테라 방정식, 프레드홀름 이론
상세 정보
정의	적분 기호 아래에 미지 함수가 나타나는 방정식
일반적인 형태	y(x) = f(x) + λ ∫[a,b] K(x, t)y(t) dt
변수	y(x): 미지 함수 f(x): 알려진 함수 K(x, t): 커널 함수 λ: 상수
풀이 방법	해석적 방법 수치적 방법
응용 분야	물리학 공학 경제학

2. 적분 방정식의 분류

적분 방정식은 미지 함수와 그 함수의 적분이 함께 나타나는 방정식으로, 다양한 형태로 분류할 수 있다. 이러한 분류는 방정식의 기본적인 속성을 파악하는 데 중요한 역할을 한다.^[22]

적분 방정식은 다음과 같이 분류된다.

선형성: 선형 및 비선형 적분 방정식으로 나뉜다.
미지 함수의 위치: 제1종, 제2종, 제3종 적분 방정식으로 나뉜다.
적분 구간: 프레드홀름 적분 방정식과 볼테라 적분 방정식으로 나뉜다.
동차성: 동차 적분 방정식과 비동차 적분 방정식으로 나뉜다.
특이성: 정칙 및 특이 적분 방정식으로 나뉜다.

각 분류에 대한 자세한 내용은 해당 하위 섹션을 참고하면 된다.

2. 1. 선형성

적분 방정식은 미지 함수와 그 적분들이 방정식에 어떻게 나타나는지에 따라 선형과 비선형으로 분류된다.^[22]

'''선형 적분 방정식''': 미지 함수 ''u(x)''와 그 적분들이 방정식에 선형적으로 나타나는 경우이다.^[22] 예를 들어 다음과 같은 형태이다.^[22]

:

u(x) = f(x) + \lambda\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)}K(x,t) \cdot u(t)dt

:여기서 ''u(x)''는 미지 함수, ''f(x)''는 알려진 함수, ''K(x,t)''는 커널 함수, ''λ''는 선형대수학의 고유값과 같은 역할을 하는 미지 계수 또는 매개변수이다.^[22]

'''비선형 적분 방정식''': 미지 함수 ''u(x)'' 또는 그 적분 중 하나가 방정식에 비선형적으로 나타나는 경우이다.^[22] 예를 들어, ''u(t)'' 대신 $u^2(x)$ , $\cos(u(x))$ , 또는 $e^{u(x)}$ 등이 사용된 방정식이 있다. 다음은 비선형 적분 방정식의 예시이다.^[22]

:

u(x) = f(x) + \int_{\alpha(x)}^{\beta(x)}K(x,t) \cdot u^2(t)dt

:특정 종류의 비선형 적분 방정식에는 특별한 이름이 붙여지기도 한다.^[11]

제2종 비선형 볼테라 적분 방정식: $u(x) = f(x) + \lambda \int_a^x K(x,t) \, F(x, t, u(t)) \, dt,$ (여기서 ''F''는 알려진 함수)^[11]
제2종 비선형 프레드홀름 적분 방정식: $f(x)=F(x, \int_a^{b} K(x,y,f(x),f(y)) \, dy)$ .^[11]
유리존 방정식: $f(x)=g(x)+ \int_a^{b} k(x,y,f(y)) \, dy$ .^[11]
해머스타인 방정식: $f(x)=g(x)+ \int_a^{b} k(x,y) \, G(y,f(y)) \, dy$ .^[11]

2. 2. 미지 함수의 위치

'''제1종 적분 방정식''': 미지 함수가 적분 기호 아래에만 나타나는 적분 방정식이다.^[11]

::

f(x) = \int_a^b K(x,t)\,u(t)\,dt

.^[11]

'''제2종 적분 방정식''': 미지 함수가 적분 기호 밖에도 나타나는 적분 방정식이다.^[11]
'''제3종 적분 방정식''': 다음과 같은 선형 적분 방정식이다.^[11]

::

g(t)u(t) + \lambda \int_a^b K(t,x)u(x)  \, dx = f(t)

:여기서 ''g(t)''는 구간 ''[a,b]''에서 적어도 한 번 0이 되거나,^[2]^[3] ''g(t)''가 ''(a,b)''에서 유한 개의 점에서 0이 된다.^[4]

2. 3. 적분 구간

프레드홀름 적분 방정식은 모든 적분에서 적분 한계가 고정된 상수인 경우를 말한다.^[22] 예를 들어 적분이

\mathbb{R}^n

의 고정된 부분 집합에 대해 취해지는 경우가 있다.^[11]

제1종 프레드홀름 방정식: $f(x) = \int_a^b K(x,t)\,u(t)\,dt$
제2종 프레드홀름 방정식: $u(x) = f(x)+ \lambda \int_a^b K(x,t) \, u(t) \, dt$

볼테라 적분 방정식은 적분 한계 중 적어도 하나가 변수인 경우를 말한다.^[22] 따라서, 적분은 적분 변수에 따라 변하는 도메인에 대해 취해진다.^[11]

제1종 볼테라 적분 방정식: $f(x) = \int_a^x K(x,t) \, u(t) \, dt$
제2종 볼테라 적분 방정식: $u(x) = f(x) + \lambda \int_a^x K(x,t)\,u(t)\,dt$

고차원에서는 프레드홀름-볼테라 적분 방정식(VFIE)과 같은 적분 방정식도 존재한다.^[11] VFIE는 다음과 같은 형식을 갖는다.

:

u(t,x) = g(t,x)+(\mathcal{T}u)(t,x)

여기서

x \in \Omega

이고

\Omega

는 조각별 매끄러운 경계를 가진

\mathbb{R}^d

의 닫힌 유계 영역이다.^[11]

2. 4. 동차성

방정식에 알려진 함수 항(상수항)이 없는 경우를 동차 적분 방정식이라고 한다.^[22] 방정식에 알려진 함수 항(상수항)이 있는 경우는 비동차 적분 방정식이라고 한다.^[22]

2. 5. 특이성

모든 적분이 정상 적분(proper integral)인 경우 적분 방정식은 정칙이라고 한다.^[15]

적분이 부적절 적분(improper integral)인 경우 적분 방정식은 특이(singular) 또는 약특이(weakly singular)라고 한다.^[15] 이는 적분 구간의 한쪽 끝이 무한대이거나, 적분 구간 내에서 커널(kernel)이 무한대가 되는 특이점(singularity)을 갖기 때문이다.^[22]

예시는 다음과 같다.^[22]

Fourier transform|푸리에 변환^영어 : $F(\lambda) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i\lambda x} u(x) \, dx$
Laplace transform|라플라스 변환^영어 : $L[u(x)] = \int_{0}^{\infty} e^{-\lambda x} u(x) \, dx$

이 두 적분 방정식은 각각 커널

K(x,t)=e^{-i\lambda x}

및

K(x,t)=e^{-\lambda x}

를 갖는 제1종 프레드홀름 적분 방정식인 ''u(x)''의 푸리에 변환과 라플라스 변환이다.^[22]

커널이 무한대가 되는 특이 적분 방정식의 또 다른 예는 다음과 같다.^[22]

:

x^2= \int_0^x \frac{1}{\sqrt{x-t}} \, u(t) \, dt.

이 방정식은 아벨 적분 방정식이라고 하는 제1종의 더 일반적인 약특이 볼테라 적분 방정식의 특수한 형태이다.^[15]

:

g(x)=\int_a^{x} \frac{f(y)}{\sqrt{x-y}} \, dy

적분이 코시 주요값(Cauchy principal value)과 같은 특수 정규화(regularization)에 의해 정의되는 경우 적분 방정식을 강특이(strongly singular)라고 한다.^[15]

2. 6. 적분-미분 방정식

적분-미분 방정식은 미분 연산자와 적분 연산자를 하나의 방정식으로 결합한 것이다.^[22] 볼테라 적분-미분 방정식과 지연 유형 방정식 등 다양한 버전이 있다.^[11] 예를 들어, 볼테라 연산자를 사용하면 볼테라 적분-미분 방정식을 다음과 같이 쓸 수 있다.^[11]

3. 주요 적분 방정식 유형

적분 방정식에는 여러 유형이 있으며, 그 중에서도 특히 중요한 몇 가지 유형은 다음과 같다.

볼테라 적분 방정식: 적분 구간의 한쪽 끝점이 변수인 방정식이다.
비너-호프 적분 방정식: 원래 복사 전달 문제와 관련하여 연구되었으며, 최근에는 경계가 조각별로 매끄러운 평면 문제에 대한 경계 적분 방정식을 푸는 것과 관련이 있다.
해머스타인 방정식: 비선형 제1종 볼테라 적분 방정식의 일종이다.^[11]

3. 1. 볼테라 적분 방정식

볼테라 적분 방정식은 적분 구간의 한쪽 끝점이 변수인 방정식이다. 선형 제1종 볼테라 적분 방정식은 (\mathcal{V}y)(t)=g(t) 로 주어지며, 1차원 및 고차원에서의 유일성 및 존재성 정리가 존재한다.^[11] 볼테라 적분 연산자 \mathcal{V} : C(I) \to C(I)는 다음과 같이 정의된다.^[11]

:(\mathcal{V} \phi)(t) := \int_{t_0}^t K(t,s) \, \phi(s) \, ds

여기서 t \in I = [t_0 , T]이고 ''K(t,s)''는 커널이라고 하며 구간 D := \{(t,s) : 0 \leq s \leq t \leq T \leq \infty\}에서 연속이어야 한다.^[11]

선형 제2종 볼테라 적분 방정식은 y(t)=g(t)+(\mathcal{V} y)(t)으로 주어진다.^[11] 2종 볼테라 적분 방정식은 u(t,x) = g(t,x)+\int_0^x \int_0^y K(x,\xi, y, \eta) \, u(\xi, \eta) \, d\eta \, d\xi로 표현할 수 있다.^[11] 여기서 (x,y) \in \Omega := [0,X] \times [0,Y], g \in C( \Omega), K \in C(D_2) 이고 D_2 := \{(x, \xi,y,\eta): 0 \leq \xi \leq x \leq X, 0 \leq \eta \leq y \leq Y\}이다.^[11]

프레드홀름-볼테라 적분 연산자 \mathcal{T} : C(I \times \Omega) \to C(I \times \Omega)는 다음과 같이 정의된다.^[11]

:(\mathcal{T}u)(t,x) := \int_0^t \int_\Omega K(t,s,x,\xi) \, G(u(s, \xi)) \, d\xi \, ds.

커널 ''K''가 K(t,s,x,\xi) = k(t-s)H(x, \xi)로 표현될 수 있는 경우, ''K''는 양의 메모리 커널이라고 한다.^[11]

3. 1. 1. 특수 볼테라 방정식

다양한 분야에서 사용되는 특수한 형태의 볼테라 방정식은 다음과 같이 정의된다.^[11]

:y(t)=g(t)+(V_\alpha y)(t)

여기서 t \in I = [t_0 , T]이고, 함수 ''g(t)''는 구간 I에서 연속이며, 볼테라 적분 연산자 (V_\alpha t)는 다음과 같다.^[11]

:(V_\alpha t)(t) := \int_{t_0}^t (t-s)^{-\alpha} \cdot k(t,s,y(s)) \, ds

여기서 (0 \leq \alpha < 1)이다.

3. 2. 비너-호프 적분 방정식

원래 이러한 방정식은 복사 전달 문제와 관련하여 연구되었으며, 최근에는 경계가 조각별로 매끄러운 평면 문제에 대한 경계 적분 방정식을 푸는 것과 관련이 있다.

3. 3. 해머스타인 방정식

해머스타인 방정식은 다음과 같은 형태의 비선형 제1종 볼테라 적분 방정식이다.^[11]

:''g''(''t'') = ∫₀^''t'' ''K''(''t'',''s'') ''G''(''s'',''y''(''s'')) d''s''

특정 정규성 조건 하에서, 이 방정식은 다음과 같은 제2종 음함수 볼테라 적분 방정식과 동등하다.^[11]

:''G''(''t'',''y''(''t'')) = ''g''₁(''t'') - ∫₀^''t'' ''K''₁(''t'',''s'') ''G''(''s'',''y''(''s'')) d''s''

여기서

:''g''₁(''t'') := ''g''′(''t'')/''K''(''t'',''t'') , ''K''₁(''t'',''s'') := - (1/''K''(''t'',''t'')) ∂''K''(''t'',''s'')/∂''t''

이다.

그러나 이 방정식은 연산자 형태로도 표현될 수 있으며, 다음과 같은 비선형 볼테라-해머스타인 연산자를 정의하게 한다.^[11]

:(ℋ''y'')(''t'') := ∫₀^''t'' ''K''(''t'',''s'') ''G''(''s'',''y''(''s'')) d''s''

여기서 ''G'':''I'' × ℝ → ℝ는 매끄러운 함수이고, 커널 ''K''는 연속적이거나 (즉, 유계) 약 특이점일 수 있다.^[11] 해당 제2종 볼테라 적분 방정식은 제2종 볼테라-해머스타인 적분 방정식이라고 하며, 간단히 해머스타인 방정식이라고도 하며, 다음과 같이 표현할 수 있다.^[11]

:''y''(''t'') = ''g''(''t'') + (ℋ''y'')(''t'')

특정 응용 분야에서 함수 ''G''의 비선형성은 다음과 같은 형태로 반선형으로 취급될 수 있다.^[11]

:''G''(''s'',''y'') = ''y'' + ''H''(''s'',''y'')

이 경우, 다음과 같은 반선형 볼테라 적분 방정식을 얻는다.^[11]

:''y''(''t'') = ''g''(''t'') + (ℋ''y'')(''t'') = ''g''(''t'') + ∫₀^''t'' ''K''(''t'',''s'')[''y''(''s'') + ''H''(''s'',''y''(''s''))] d''s''

이 형태에서, 반선형 해머스타인 적분 방정식에 대한 존재성과 유일성 정리를 제시할 수 있다.^[11]

반선형 해머스타인 방정식이 유일한 해 ''y'' ∈ C(''I'')를 갖고, ''H'':''I'' × ℝ → ℝ이 립시츠 연속 함수라고 가정하면, 이 방정식의 해는

:''y''(''t'') = ''y''_l(''t'') + ∫₀^''t'' ''R''(''t'',''s'') ''H''(''s'',''y''(''s'')) d''s''

의 형태로 나타낼 수 있으며, 여기서 ''y''_l(''t'')는 위 방정식의 선형 부분의 유일한 해를 나타내며 다음과 같이 주어진다.

:''y''_l(''t'') = ''g''(''t'') + ∫₀^''t'' ''R''(''t'',''s'') ''g''(''s'') d''s''

여기서 ''R''(''t'',''s'')는 레졸벤트 커널을 나타낸다.

우리는 또한 니미츠키 연산자 또는 치환 연산자 𝒩라고 불리는 다른 연산자를 사용하여 해머스타인 방정식을 다음과 같이 쓸 수 있다.^[11]

:(𝒩ϕ)(''t'') := ''G''(''t'',ϕ(''t''))

4. 초기값 문제(IVP)를 적분 방정식으로 변환

초기값 문제(IVP)는 적분 방정식을 통해 더 쉽게 풀 수 있고, 존재 및 유일성 정리를 증명하는 데 더 적합하다는 장점이 있다.^[15] 다음은 초기값 문제를 적분 방정식으로 변환하는 예시이다.^[22]

: $u'(t) = 2tu(t), \, \, \,\,\, \,\, x \geq 0$

초기 조건은 다음과 같다.

: $u(0)=1$

위 방정식의 양변을 적분하면 다음과 같다.

: $\int_{0}^{x}u'(t)dt = \int_{0}^{x}2tu(t)dt$

미적분학의 기본 정리에 의해 다음을 얻는다.

: $u(x)-u(0) = \int_{0}^{x}2tu(t)dt$

위 방정식을 재정렬하면 다음 볼테라 적분 방정식을 얻는다.

: $u(x)= 1+ \int_{0}^{x}2tu(t)dt$

이는 다음과 같은 형태이다.

: $u(x) = f(x) + \int_{\alpha(x)}^{\beta(x)}K(x,t) \cdot u(t)dt$

여기서 ''K(x,t)''는 커널이라고 하며, ''2t''와 같고, ''f(x)=1''이다.^[22]

5. 수치적 해법

많은 적분 방정식은 해석적인 해를 갖지 못하므로, 수치적 해법을 통해 근사해를 구해야 한다. 전자기 산란 문제에서 임의의 모양의 물체에 대한 전기장 적분 방정식(EFIE) 또는 자기장 적분 방정식(MFIE)의 평가가 그 예시이다.

변수를 이산화하고 적분을 구적법으로 대체하는 방법으로 수치적 해를 구할 수 있다.

: $\sum_{j=1}^n w_j K\left (s_i,t_j \right ) u(t_j)=f(s_i), \qquad i=0, 1, \dots, n.$

위 식을 풀면 n개의 방정식과 n개의 변수를 가진 시스템을 얻게 되고, 이를 통해 n개의 변수 u(t₀), u(t₁), ..., u(t_n)의 값을 구할 수 있다.

6. 고유값 방정식의 일반화로서의 적분 방정식

특정 동차 선형 적분 방정식은 연속체 극한으로서 고유값 방정식으로 볼 수 있다. 인덱스 표기법을 사용하여 고유값 방정식을 다음과 같이 쓸 수 있다.

: $\sum _j M_{i,j} v_j = \lambda v_i$

여기서 $\mathbf{M}$ 은 행렬이고, $\mathbf{v}$ 는 행렬의 고유 벡터 중 하나이며, $\lambda$ 는 관련된 고유값이다.

연속체 극한을 취하면, 즉, 이산 인덱스 $i$ 와 $j$ 를 연속 변수 $x$ 와 $y$ 로 대체하면 다음과 같다.

: $\int K(x,y) \, \varphi(y) \, dy = \lambda \, \varphi(x),$

여기서 $j$ 에 대한 합은 $y$ 에 대한 적분으로 대체되었고, 행렬 $\mathbf{M}$ 과 벡터 $\mathbf{v}$ 는 ''커널'' $K(x, y)$ 와 고유 함수 $\varphi(y)$ 로 대체되었다. (적분 제한은 $j$ 에 대한 합에 대한 제한과 유사하게 고정되어 있다.) 이것은 두 번째 유형의 선형 동차 프레드홀름 적분 방정식을 제공한다.

일반적으로 $K(x,y)$ 는 엄밀한 의미에서 함수가 아닌 분포일 수 있다. 분포 $K$ 가 점 $x=y$ 에서만 지원되는 경우, 적분 방정식은 미분 고유 함수 방정식으로 축소된다.

7. 응용 분야

적분 방정식은 복사 전달, 현, 막 또는 차축의 진동 등 다양한 문제에 응용된다. 진동 문제는 미분 방정식으로도 해결할 수 있다.

7. 1. 보험 계리

보험 계리 분야에서 파산 이론 등에 적분 방정식이 활용된다.^[5]

7. 2. 전산 전자기학

전산 전자기학에서 경계 요소법을 사용하는 데 적분 방정식이 활용된다.^[5]

7. 3. 역문제

역산란 변환 등 역문제 해결에 적분 방정식이 사용된다.^[5]

7. 4. 금융 공학

점프 확산 모형을 이용한 옵션 가격 결정 등 금융 공학 분야에서 적분 방정식이 활용된다.^[6]

7. 5. 복사 전달

복사 전달 현상을 모델링하는 데 적분 방정식이 사용된다.^[8]^[9]

7. 6. 갱신 이론

갱신 이론에서 적분 방정식은 중요한 역할을 한다.^[7]

7. 7. 점탄성

점탄성 물질의 거동을 분석하는 데 적분 방정식이 사용된다.^[8]^[9]

7. 8. 유체 역학

유체 역학 문제를 해결하는 데 적분 방정식을 활용한다.^[8]^[9]

8. 관련 자료 (Bibliography)

라비 P. 아갈왈, 도날 오레건, 《적분 및 적분미분 방정식: 이론, 방법 및 응용》(Integral and Integrodifferential Equations: Theory, Method and Applications). 고든 앤 브리치 과학 출판사, 2000.^[10]
헤르만 브루너, 《볼테라 적분 및 관련 함수 미분 방정식에 대한 콜로케이션 방법》(Collocation Methods for Volterra Integral and Related Functional Differential Equations). 케임브리지 대학교 출판부, 2004.^[11]
T. A. 버턴, 《볼테라 적분 및 미분 방정식》(Volterra Integral and Differential Equations). 엘스비어, 2005.^[12]
제7장 (Chapter 7) It Mod 02-14-05 - 아이라 A. 풀턴 공과대학 (Ira A. Fulton College of Engineering). 바로가기^[13]
C. 코르두네아누, 《적분 방정식과 응용》(Integral Equations and Applications). 케임브리지 대학교 출판부, 2008.^[14]
볼프강 하크부쉬, 《적분 방정식 이론과 수치적 처리》(Integral Equations Theory and Numerical Treatment). 비르크호이저, 1995.^[15]
해리 호흐슈타트, 《적분 방정식》(Integral Equations). 와일리-인터사이언스/존 와일리 & 선스, 1989.^[16]
"적분 방정식"(Integral Equation). 볼프람 수학월드(Wolfram MathWorld)에서^[17]
"적분 방정식"(Integral Equation). 적분 방정식 - 수학 백과사전(Encyclopedia of Mathematics)^[18]
압둘 J. 제리, 《응용과 함께하는 적분 방정식 입문》(Introduction to Integral Equations with Applications). 샘플링 출판, 2007.^[19]
A. C. 핍킨, 《적분 방정식 강좌》(A Course on Integral Equations). 스프링거-페어라크, 1991.^[20]
A. D. 폴레이닌, 알렉산더 V. 만지로프, 《적분 방정식 핸드북》(Handbook of Integral Equations). 채프만 & 홀/CRC, 2008.^[21]
압둘-마지드 와즈와즈, 《적분 방정식 첫 번째 강좌》(A First Course in Integral Equations). 월드 사이언티픽, 2015.^[22]

참조

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_[2] 논문 Linear Integral Equations of the Third Kind http://epubs.siam.or[...] 1973-11-01
_[3] 논문 Integral equations of the third kind for the case of piecewise monotone coefficients 2017-12-01
_[4] 논문 A Fredholm-type theory for third-kind linear integral equations 1984-05-01
_[5] 웹사이트 Lecture Notes on Risk Theory https://www.kent.ac.[...] 2010-01-01
_[6] 논문 Efficient solution of a partial integro-differential equation in finance 2008-11-01
_[7] 논문 On the Integral Equation of Renewal Theory https://www.jstor.or[...] 1941-01-01
_[8] 논문 Diffusiophoretic propulsion of an isotropic active colloidal particle near a finite-sized disk embedded in a planar fluid–fluid interface 2022-04-06
_[9] 논문 Dynamics of a microswimmer–microplatelet composite 2020-02-05
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_[29] 서적 Volterra integral and differential equations. Elsevier
_[30] 서적 Volterra integral and functional equations. Cambridge University Press

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