진동

3. 감쇠 진동 (Damped Oscillations)

조화 진동자에서 알 수 있듯이, 모든 실제 진동 시스템은 열역학적으로 비가역적이다. 즉, 마찰이나 전기 저항과 같은 소산 과정 때문에 진동자에 저장된 에너지 일부가 환경의 열로 지속적으로 변환된다. 이를 감쇠라고 하며, 시스템에 순 에너지원이 없는 한 진동은 시간에 따라 감쇠하는 경향이 있다. 이 감쇠 과정에 대한 가장 간단한 설명은 조화 진동자의 진동 감쇠로 설명할 수 있다.

감쇠 진동자는 위치의 1차 미분, 즉 속도에 의존하는 저항력이 도입될 때 생성된다. 속도에 대한 선형 의존성을 가정하고, 뉴턴의 제2법칙에 의해 생성된 미분 방정식에 임의 상수 b를 사용하여 이 저항력을 추가하면 다음과 같다.

$$m\backslash ddot\{x\}\; +\; b\backslash dot\{x\}\; +\; kx\; =\; 0$$

이 방정식은 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

$$\backslash ddot\{x\}\; +\; 2\; \backslash beta\; \backslash dot\{x\}\; +\; \backslash omega\_0^2x\; =\; 0,$$

여기서 $2\; \backslash beta\; =\; \backslash frac\; b\; m$이다.

이는 다음과 같은 일반 해를 생성한다.

$$x(t)\; =\; e^\{-\; \backslash beta\; t\}\; \backslash left(C\_1e^\{\backslash omega\; \_1\; t\}\; +\; C\_2\; e^\{-\; \backslash omega\_1t\}\backslash right),$$

여기서 $\backslash omega\_1\; =\; \backslash sqrt\{\backslash beta^2\; -\; \backslash omega\_0^2\}$이다.

괄호 밖의 지수 함수는 감쇠 함수이고 β는 감쇠 계수이다. 감쇠 진동자에는 세 가지 범주가 있다.

• β < ω₀ 인 과소 감쇠
• β > ω₀ 인 과감쇠
• β = ω₀ 인 임계 감쇠

4. 강제 진동 (Driven Oscillations)

진동계는 외부 힘의 영향을 받을 수 있다. 예를 들어, 교류 회로가 외부 전원에 연결되는 경우가 있는데, 이 경우 진동은 강제 진동이라고 한다.

가장 간단한 예는 사인파 구동력을 가진 용수철-질량계이다. 이 경우 운동 방정식은 다음과 같다.

:$$\backslash ddot\{x\}\; +\; 2\; \backslash beta\backslash dot\{x\}\; +\; \backslash omega\_0^2\; x\; =\; f(t),$$

여기서 $f(t)\; =\; f\_0\; \backslash cos(\backslash omega\; t\; +\; \backslash delta).$이다. 이 방정식의 해는 다음과 같다.

:$$x(t)\; =\; A\; \backslash cos(\backslash omega\; t\; -\; \backslash delta)\; +\; A\_\{tr\}\; \backslash cos(\backslash omega\_1\; t\; -\; \backslash delta\_\{tr\}),$$

여기서 $A\; =\; \backslash sqrt\{\backslash frac\; \{f\_0^2\}\; \{(\backslash omega\_0^2\; -\; \backslash omega\; ^2)^2\; +\; 4\; \backslash beta^2\; \backslash omega^2\}\}$ 이고 $\backslash delta\; =\; \backslash tan^\{-1\}\backslash left(\backslash frac\; \{2\; \backslash beta\; \backslash omega\}\; \{\backslash omega\_0^2\; -\; \backslash omega^2\}\backslash right)$ 이다.

위 식에서 두 번째 항은 미분 방정식의 과도 해이다. 과도 해는 시스템의 초기 조건을 사용하여 찾을 수 있다.

공명은 감쇠된 강제 진동자에서 ω = ω₀, 즉 구동 주파수가 시스템의 고유 주파수와 같을 때 발생한다. 이 경우 진폭의 분모가 최소화되어 진동의 진폭이 최대화된다.

일부 시스템은 환경으로부터의 에너지 전달에 의해 여기될 수 있다. 이러한 전달은 일반적으로 시스템이 어떤 유체 흐름에 내장되어 있는 경우에 발생한다. 예를 들어, 공기역학에서 플러터 현상은 항공기 날개(평형 상태에서)의 임의로 작은 변위가 공기 흐름에 대한 날개의 받음각을 증가시키고 그 결과 양력 계수를 증가시켜 더 큰 변위를 초래할 때 발생한다. 충분히 큰 변위에서 날개의 강성이 진동을 가능하게 하는 복원력을 제공한다.

5. 결합 진동 (Coupled Oscillations)

단일 자유도를 갖는 단진자와 그 모델링 시스템에서 더 복잡한 시스템은 더 많은 자유도를 갖습니다. 예를 들어, 두 개의 질량과 세 개의 용수철(각 질량은 고정점과 서로 연결됨)이 있는 경우가 있습니다. 이러한 경우 각 변수의 동작은 다른 변수에 영향을 미칩니다. 이는 개별 자유도의 진동의 ''결합''으로 이어집니다. 예를 들어, 공통 벽에 장착된 두 개의 단진자 시계(주파수가 동일함)는 동기화되는 경향이 있습니다. 이 현상은 1665년 크리스티안 호이겐스에 의해 처음 관찰되었습니다.^[2] 복합 진동의 외관상의 움직임은 일반적으로 매우 복잡하게 보이지만, 운동을 정규 모드로 분해하면 더욱 경제적이고 계산적으로 간단하며 개념적으로 더 깊은 설명을 제공합니다.

가장 단순한 형태의 결합 진동자는 3개의 용수철과 2개의 질량 시스템으로, 질량과 용수철 상수는 동일합니다. 이 문제는 두 질량 모두에 대해 뉴턴의 제2법칙을 유도하는 것으로 시작됩니다.

:$$\backslash begin\{cases\}$$

m_1 \ddot{x}_1 = -(k_1 + k_2)x_1 + k_2 x_2 \\

m_2\ddot{x}_2 = k_2 x_1 - (k_2+k_3)x_2

\end{cases}

그런 다음 방정식을 행렬 형태로 일반화합니다.

:$$F\; =\; M\backslash ddot\{x\}\; =\; kx,$$

여기서 , $x\; =\; \backslash begin\{bmatrix\}\; x\_1\; \backslash \backslash \; x\_2\; \backslash end\{bmatrix\}$, 그리고 입니다.

$m\_1=m\_2=m$ , $k\_1=k\_2=k\_3=k$ 의 값을 행렬에 대입할 수 있습니다.

:$$\backslash begin\{align\}$$

M = \begin{bmatrix} m & 0 \\ 0 & m \end{bmatrix}, \;\; k=\begin{bmatrix} 2k & -k \\ -k & 2k \end{bmatrix}

\end{align}

이제 이러한 행렬을 일반 해에 대입할 수 있습니다.

:$$\backslash begin\{align\}$$

\left(k-M \omega^2\right) a &= 0 \\

\begin{bmatrix} 2k-m \omega^2 & -k \\ -k & 2k - m \omega^2 \end{bmatrix} &= 0

\end{align}

이 행렬의 행렬식은 이차 방정식을 생성합니다.

:$$\backslash begin\{align\}$$

&\left(3k-m \omega^2\right)\left(k-m \omega^2\right)= 0 \\

&\omega_1 = \sqrt{\frac km} , \;\; \omega_2 = \sqrt{\frac {3k} m}

\end{align}

질량의 시작점에 따라 이 시스템은 2가지 가능한 주파수(또는 두 가지의 조합)를 갖습니다. 질량이 같은 방향으로 변위를 시작하면 가운데 용수철이 절대 늘어나지 않기 때문에 주파수는 단일 질량 시스템의 주파수가 됩니다. 두 질량이 반대 방향으로 시작하면 두 번째 더 빠른 주파수가 시스템의 주파수입니다.^[1]

더 특별한 경우는 에너지가 두 가지 진동 형태 사이에서 번갈아 나타나는 결합 진동자입니다. 잘 알려진 것은 윌버포스 진자로, 진동은 수직 용수철의 신장과 그 용수철 끝의 물체의 회전 사이에서 번갈아 나타납니다.

결합 진동자는 두 가지 관련 있지만 서로 다른 현상을 설명하는 일반적인 방법입니다. 한 가지 경우는 두 가지 진동이 서로 상호 영향을 미치는 경우로, 일반적으로 두 가지 모두 ''타협 주파수''로 진동하는 단일 동기화된 진동 상태가 발생합니다. 또 다른 경우는 외부 진동이 내부 진동에 영향을 미치지만 내부 진동은 외부 진동에 영향을 미치지 않는 경우입니다. 이 경우 아놀드 텅으로 알려진 동기화 영역은 예를 들어 혼돈 역학과 같이 매우 복잡한 현상으로 이어질 수 있습니다.

6. 작은 진동 근사 (Small Oscillation Approximation)

물리학에서 보존력의 집합과 평형점을 갖는 계는 평형점 근처에서 조화 진동자로 근사할 수 있다. 예를 들어, 다음과 같은 퍼텐셜을 갖는 레너드-존스 퍼텐셜이 있다.

:$$U(r)\; =\; U\_0\; \backslash left[\; \backslash left(\backslash frac\{r\_0\}\; r\; \backslash right)^\{12\}\; -\; \backslash left(\backslash frac\{r\_0\}\; r\; \backslash right)^6\; \backslash right]$$

이 함수의 평형점은 다음과 같이 구할 수 있다.

:$$\backslash begin\{align\}$$

\frac{dU}{dr} &= 0 = U_0 \left[-12 r_0^{12} r^{-13} + 6r_0^6r^{-7}\right] \\

\Rightarrow r &\approx r_0

\end{align}

그런 다음 이계도함수를 구하여 유효 퍼텐셜 상수로 사용한다.

:$$\backslash begin\{align\}$$

\gamma_\text{eff} &= \left.\frac{d^2U}{dr^2} \right|_{r=r_0} = U_0 \left[ 12(13) r_0^{12} r^{-14} - 6 (7) r_0^6 r^{-8} \right] \\[1ex]

&= \frac{114 U_0}{r^2}

\end{align}

계는 평형점 근처에서 진동을 한다. 이러한 진동을 만드는 힘은 위의 유효 퍼텐셜 상수에서 유도된다.

:$$F=\; -\; \backslash gamma\_\backslash text\{eff\}(r-r\_0)\; =\; m\_\backslash text\{eff\}\; \backslash ddot\; r$$

이 미분 방정식은 단순 조화 진동자의 형태로 다시 쓸 수 있다.

:$$\backslash ddot\; r\; +\; \backslash frac\; \{\backslash gamma\_\backslash text\{eff\}\}\; \{m\_\backslash text\{eff\}\}\; (r-r\_0)\; =\; 0$$

따라서, 작은 진동의 진동수는 다음과 같다.

:$$\backslash omega\_0\; =\; \backslash sqrt\; \{\; \backslash frac\; \{\backslash gamma\_\backslash text\{eff\}\}\; \{m\_\backslash text\{eff\}\}\}\; =\; \backslash sqrt\; \{\backslash frac\; \{114\; U\_0\}\; \{r^2\; m\_\backslash text\{eff\}\}\}$$

또는 일반적인 형태^[3]

:$$\backslash omega\_0\; =\; \backslash sqrt\{\backslash left.\backslash frac\; \{d^2U\}\; \{dr^2\}\; \backslash right\backslash vert\_\{r=r\_0\}\}$$

이 근사는 계의 퍼텐셜 곡선을 살펴봄으로써 더 잘 이해할 수 있다. 퍼텐셜 곡선을 언덕으로 생각하면, 곡선의 어느 곳에 공을 놓더라도 공은 퍼텐셜 곡선의 기울기 방향으로 굴러 내려온다. 이것은 퍼텐셜 에너지와 힘 사이의 관계 때문이다.

:$$\backslash frac\; \{dU\}\; \{dt\}\; =\; -\; F(r)$$

이러한 방식으로 퍼텐셜을 생각하면, 임의의 국소 최소값에는 공이 $r\_\backslash text\{min\}$과 $r\_\backslash text\{max\}$ 사이에서 앞뒤로 굴러가는(진동하는) "우물"이 있음을 알 수 있다. 이 근사는 케플러 궤도를 생각하는 데에도 유용하다.

7. 연속 시스템에서의 진동 - 파동 (Continuous System – Waves)

자유도의 수가 임의로 커짐에 따라 계는 연속체에 접근한다. 현이나 물의 표면이 그 예시이다. 이러한 계는 (고전적 근사에서) 무한한 수의 정규 모드를 가지며, 그 진동은 특징적으로 전파될 수 있는 파동의 형태로 발생한다.^[1]

8. 진동의 다양한 예시

진동은 같은 장소에서 물질이 주기적으로 운동하는 현상이지만, 물리학의 여러 분야에서 다양한 형태로 나타나며 기본적인 개념 중 하나로 다루어진다.

물리적으로 가장 단순한 진동은 단진동이다. 진동하는 계는 각각 고유진동수를 가지며, 진폭을 감소시키는 요인이 있으면 감쇠 진동이 된다. 외부에서 주기적으로 힘을 가하면 강제 진동이 일어나고, 강제 진동의 진동수가 계의 고유진동수와 가까워지면 공진(공명) 현상이 발생한다.

진동은 자연 현상을 이해하는 데 필수적인 개념이다. 파동은 공간적으로 퍼져나가는 진동으로 해석할 수 있으며, 파동과 진동은 상호작용하는 경우가 많다. 고전 물리학뿐만 아니라 전자기학에서는 전기 회로와 전자기장의 진동을 다룬다.

진동은 다음과 같이 여러 분야에서 다양한 예시를 찾아볼 수 있다.

8. 1. 기계적 진동

• 이중진자
• 푸코 진자
• 헬름홀츠 공명기
• 그네
• 현악기
• 소리굽쇠
• 진동하는 현
• 윌버포스 진자
• 레버 이스케이프먼트
• 진자 등 거시적인 현상은 고전역학으로 다루어진다. 자유진동 등을 참조. 또한, 진동하고 있는 물체에서는 음파가 발생한다.
• 음향 공명
• 스피커
• 마이크로폰
• 음차

8. 2. 전기적 진동

• 교류
• 전자 발진기
• 암스트롱 발진기
• 콜피츠 발진기
• 하틀리 발진기
• RLC 회로

8. 3. 전자기적 진동

8. 4. 생물학적 진동

9. 공해로서의 진동 (일본어 위키백과 참고)

물체가 진동하면 소리나 충격을 발생시키므로, 강한 진동은 구조물이나 인체에 심각한 영향을 미친다. 진동 발생 원인으로는 자동차나 공사 등 기계에 의한 진동, 지진과 같은 자연적인 원인에 의한 진동 등이 있다.

진동은 환경정책기본법에서 정의하는 공해 중 하나이며, 소음·진동관리법에 의해 규제된다. 주로 간선도로를 주행하는 자동차, 철도를 주행하는 차량, 공장의 기계 설비나 토목 건축 현장의 건설기계 등의 작동에 의해 발생하며, 주변 주택 등에 미치는 진동은 공해로 간주된다.^[1]

회전 기계 등에서는 고유진동과 일치하면 공진에 의해 더 큰 진동이 되어 파손에 이르는 경우도 있다.^[1]

10. 수학에서의 진동

참조

_[1] 서적 Classical mechanics https://www.worldcat[...] 2005
_[2] 서적 Sync: The Emerging Science of Spontaneous Order Hyperion Press
_[3] 웹사이트 23.7: Small Oscillations https://phys.librete[...] 2020-07-01
_[4] 서적 Webster Dictionary http://machaut.uchic[...] 1913