코시 주요값은 특이점을 포함하는 적분의 값을 정의하는 방법으로, 리만 적분이나 르베그 적분으로 계산할 수 없는 경우에 사용된다. 특이점의 유형에 따라 유한 구간, 무한대, 복소 함수 적분에서 다르게 정의되며, 힐베르트 변환과 분포 이론에서 중요한 역할을 한다. 코시 주요값은 다양한 기호로 표기될 수 있으며, 문맥에 따라 그 의미를 파악해야 한다.
함수 f\colon\mathbb R\to\mathbb R가 x_0 근처에서 발산한다고 하자. a에서의 적분:\int_a^b f(x)\;\mathrm dx이 리만 적분 또는 르베그 적분으로서 존재하지 않을 수 있다. 그러나 가끔 다음과 같은 극한이 존재할 수 있다.:\mathcal P\int_a^b f(x)\;\mathrm dx\;\stackrel{\text{def}}=\;\lim_{\epsilon\to0+}\int_a^{x_0-\epsilon}f(x)\;\mathrm dx+\int_{x_0+\epsilon}^bf(x)\;\mathrm dx이렇게 적분을 규칙화하여 얻는 값을 '''코시 주요값'''이라 한다.적분 함수 의 특이점 유형에 따라, 코시 주요값은 다음 규칙에 따라 정의된다.유한 수 에서의 특이점에 대해:\lim_{ \; \varepsilon \to 0^+ \;} \, \, \left[ \, \int_a^{b-\varepsilon} f(x) \, \mathrm{d}x ~ + ~ \int_{b+\varepsilon}^c f(x) \, \mathrm{d}x \, \right]여기서 a < b < c 이고 는 함수 의 동작이 다음과 같은 어려운 점이다.\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = \pm\infty \quad 임의의 a < b 에 대해\int_b^c f(x)\,\mathrm{d}x = \mp\infty \quad 임의의 c > b 에 대해.(''플러스 또는 마이너스''를 참조)이는 다음과 같이 정의할수 있다.:\lim_{\varepsilon\rightarrow 0+} \left(\int_a^{b-\varepsilon} f(x)\,dx+\int_{b+\varepsilon}^c f(x)\,dx\right)무한대에서의 특이점(\infty)에 대해 코시 주요값은 다음과 같이 정의된다:\lim_{a\to\infty} \, \int_{-a}^a f(x)\,\mathrm{d}x 여기서 \int_{-\infty}^0 f(x) \,\mathrm{d}x = \pm\infty 이고 \int_0^\infty f(x) \,\mathrm{d}x = \mp\infty 이다.복소함수 적분: 함수 f(z)가 경로 C 위에 극(pole)을 가질 때, 코시 주요값은 다음과 같이 정의된다.[1]:\operatorname{p.\!v.} \int_{C} f(z) \,\mathrm{d}z = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_{C( \varepsilon)} f(z)\, \mathrm{d}z .여기서 C(ε)은 극점 주위 반경 ε의 디스크 내의 부분이 제거된, 동일한 경로이다. 함수 f(z)가 ε가 아무리 작아지더라도 C(ε)에 대해 적분 가능하다면, 위 극한값이 코시 주요값이다.르베그 적분 가능한 함수, 즉 절댓값으로 적분 가능한 함수의 경우, 이 정의는 적분의 표준 정의와 일치한다.함수 f(z)가 유리형 함수인 경우, 소호츠키-플레멜 정리는 C에 대한 적분의 주요값을 경로를 약간 위아래로 이동시켜 얻은 적분의 평균값과 관련시키므로, 잔류 정리를 해당 적분에 적용할 수 있다.주요값 적분은 힐베르트 변환에 대한 논의에서 중요한 역할을 한다.[2] 2. 1. 유한 구간에서의 특이점 함수 f\colon\mathbb R\to\mathbb R가 x_0 근처에서 발산한다고 하자. a에서의 적분:\int_a^b f(x)\;\mathrm dx이 리만 적분 또는 르베그 적분으로서 존재하지 않을 수 있다. 그러나 가끔 다음과 같은 극한이 존재할 수 있다.:\mathcal P\int_a^b f(x)\;\mathrm dx\;\stackrel{\text{def}}=\;\lim_{\epsilon\to0+}\int_a^{x_0-\epsilon}f(x)\;\mathrm dx+\int_{x_0+\epsilon}^bf(x)\;\mathrm dx이렇게 적분을 규칙화하여 얻는 값을 '''코시 주요값'''이라 한다.적분 함수 의 특이점 유형에 따라, 코시 주요값은 다음 규칙에 따라 정의된다.유한 수 에서의 특이점에 대해:\lim_{ \; \varepsilon \to 0^+ \;} \, \, \left[ \, \int_a^{b-\varepsilon} f(x) \, \mathrm{d}x ~ + ~ \int_{b+\varepsilon}^c f(x) \, \mathrm{d}x \, \right]여기서 a < b < c 이고 는 함수 의 동작이 다음과 같은 어려운 점이다.\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = \pm\infty \quad 임의의 a < b 에 대해\int_b^c f(x)\,\mathrm{d}x = \mp\infty \quad 임의의 c > b 에 대해.(''플러스 또는 마이너스''를 참조)이는 다음과 같이 정의할수 있다.:\lim_{\varepsilon\rightarrow 0+} \left(\int_a^{b-\varepsilon} f(x)\,dx+\int_{b+\varepsilon}^c f(x)\,dx\right) 2. 2. 무한대에서의 특이점 함수 f\colon\mathbb R\to\mathbb R가 x_0 근처에서 발산한다고 할 때, a에서의 적분:\int_a^b f(x)\;\mathrm dx은 리만 적분 또는 르베그 적분으로서 존재하지 않을 수 있다. 그러나 특정한 극한값이 존재할 수 있는데, 이를 '''코시 주요값'''이라고 한다. 코시 주요값은 실수 함수뿐만 아니라 복소 함수의 선적분에도 유사하게 정의될 수 있다.[1]적분 함수 의 특이점 유형에 따라 코시 주요값은 다르게 정의된다.무한대에서의 특이점(\infty)에 대해 코시 주요값은 다음과 같이 정의된다:\lim_{a\to\infty} \, \int_{-a}^a f(x)\,\mathrm{d}x 여기서 \int_{-\infty}^0 f(x) \,\mathrm{d}x = \pm\infty 이고 \int_0^\infty f(x) \,\mathrm{d}x = \mp\infty 이다.코시 주요값은 경로 적분의 복소수 값 함수 f(z) : z = x + i\, y \;, (여기서 x , y \in \mathbb{R} \;,)의 컨투어 적분으로, 컨투어 위에 극점을 갖는 것으로 정의할 수도 있다. C(\varepsilon)을 극점 주위 반경 의 디스크 내의 부분이 제거된, 동일한 컨투어로 정의한다. 함수 f(z)가 가 아무리 작아지더라도 C(\varepsilon)에 대해 적분 가능하다면, 코시 주요값은 다음과 같은 극한이다:[1]\operatorname{p.\!v.} \int_{C} f(z) \,\mathrm{d}z = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_{C( \varepsilon)} f(z)\, \mathrm{d}z .르베그 적분 가능 함수, 즉 절댓값으로 적분 가능한 함수인 경우, 이러한 정의는 적분의 표준 정의와 일치한다.함수 f(z)가 ''메로모픽''인 경우, 소호츠키-플레멜 정리는 에 대한 적분의 주요값을 컨투어를 약간 위아래로 이동시켜 얻은 적분의 평균값과 관련시키므로, 잔류 정리를 해당 적분에 적용할 수 있다.주요값 적분은 힐베르트 변환에 대한 논의에서 중요한 역할을 한다.[2] 2. 3. 복소함수 적분 함수 f(z)가 경로 C 위에 극(pole)을 가질 때, 코시 주요값은 다음과 같이 정의된다.[1]:\operatorname{p.\!v.} \int_{C} f(z) \,\mathrm{d}z = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_{C( \varepsilon)} f(z)\, \mathrm{d}z .여기서 C(ε)은 극점 주위 반경 ε의 디스크 내의 부분이 제거된, 동일한 경로이다. 함수 f(z)가 ε가 아무리 작아지더라도 C(ε)에 대해 적분 가능하다면, 위 극한값이 코시 주요값이다.르베그 적분 가능한 함수, 즉 절댓값으로 적분 가능한 함수의 경우, 이 정의는 적분의 표준 정의와 일치한다.함수 f(z)가 유리형 함수인 경우, 소호츠키-플레멜 정리는 C에 대한 적분의 주요값을 경로를 약간 위아래로 이동시켜 얻은 적분의 평균값과 관련시키므로, 잔류 정리를 해당 적분에 적용할 수 있다.주요값 적분은 힐베르트 변환에 대한 논의에서 중요한 역할을 한다.[2] 3. 예시 1/x 함수를 a에서 b까지 적분할 때 (a<0), 르베그 적분으로는 존재하지 않지만, 코시 주요값으로는 존재한다. 이 값은 다음과 같이 계산된다.:\mathcal P\int_a^b f(x)\;\mathrm dx=\lim_{\epsilon\to0}\left[\log(b/\epsilon)-\log(-a/\epsilon)\right]=\log(-b/a)정의되지 않은 표현:\int_{-1}^1\frac{\mathrm{d}x}{x}, \text{ (결과는 } {-\infty}+\infty \text{)}의 코시 주요값은 다음과 같이 0이다.:\lim_{a \to 0+}\left(\int_{-1}^{-a}\frac{\mathrm{d}x}{x} + \int_a^1\frac{\mathrm{d}x}{x}\right)=0,그러나 적분 구간이 조금 다르면 결과도 달라진다.:\lim_{a \to 0+}\left(\int_{-1}^{-2 a}\frac{\mathrm{d}x}{x}+\int_{a}^1\frac{\mathrm{d}x}{x}\right)=\ln 2.마찬가지로, 정의되지 않은 표현:\int_{-\infty}^\infty\frac{2x\,\mathrm{d}x}{x^2+1} \text{ (결과는 } {-\infty}+\infty \text{)}의 주요값은 다음과 같이 0이지만,:\lim_{a \to \infty}\int_{-a}^a\frac{2x\,\mathrm{d}x}{x^2+1}=0,적분 구간이 다르면 결과가 달라진다.:\lim_{a\to\infty}\int_{-2a}^a\frac{2x\,\mathrm{d}x}{x^2+1}=-\ln 4.이와 같이 이상적분에서 적분 구간에 따라 값이 달라질 수 있으므로 주의해야 한다. 3. 1. 1/x 함수의 적분 `1/x 함수를`a`에서`b`까지 적분할 때 (a<0), 르베그 적분으로는 존재하지 않지만, 코시 주요값으로는 존재한다. 이 값은 다음과 같이 계산된다.:\mathcal P\int_a^b f(x)\;\mathrm dx=\lim_{\epsilon\to0}\left[\log(b/\epsilon)-\log(-a/\epsilon)\right]=\log(-b/a)정의되지 않은 표현:\int_{-1}^1\frac{\mathrm{d}x}{x}, \text{ (결과는 } {-\infty}+\infty \text{)}의 코시 주요값은 다음과 같이 0이다.:\lim_{a \to 0+}\left(\int_{-1}^{-a}\frac{\mathrm{d}x}{x} + \int_a^1\frac{\mathrm{d}x}{x}\right)=0,그러나 적분 구간이 조금 다르면 결과도 달라진다.:\lim_{a \to 0+}\left(\int_{-1}^{-2 a}\frac{\mathrm{d}x}{x}+\int_{a}^1\frac{\mathrm{d}x}{x}\right)=\ln 2.마찬가지로, 정의되지 않은 표현:\int_{-\infty}^\infty\frac{2x\,\mathrm{d}x}{x^2+1} \text{ (결과는 } {-\infty}+\infty \text{)}의 주요값은 다음과 같이 0이지만,:\lim_{a \to \infty}\int_{-a}^a\frac{2x\,\mathrm{d}x}{x^2+1}=0,적분 구간이 다르면 결과가 달라진다.:\lim_{a\to\infty}\int_{-2a}^a\frac{2x\,\mathrm{d}x}{x^2+1}=-\ln 4.이와 같이 이상적분에서 적분 구간에 따라 값이 달라질 수 있으므로 주의해야 한다. 3. 2. (2x)/(x²+1) 함수의 적분 \int_{-\infty}^\infty\frac{2x}{x^2+1}dx는 일반적인 적분으로는 정의되지 않지만, 코시 주요값은 0이다.다음 식은 코시 주요값을 계산하고 있다.:\lim_{a\rightarrow\infty}\int_{-a}^a\frac{2x}{x^2+1}dx=0,하지만 적분 구간이 조금 다르면 결과도 다르게 나온다.:\lim_{a\rightarrow\infty}\int_{-2a}^a\frac{2x}{x^2+1}dx=-\ln 4 4. 응용 코시 주요값은 힐베르트 변환의 정의에 사용된다.또한, 코시 주요값은 다음과 같이 정의되는 분포(distribution)로도 응용된다.실수 \mathbb{R}상의 콤팩트 지지를 갖는 매끄러운 함수 공간인 범프 함수 집합 {C_{c}^{\infty}}(\mathbb{R})에 대해, 사상 \operatorname{p.\!v.} \left( \frac{1}{x} \right) \,:\, {C_{c}^{\infty}}(\mathbb{R}) \to \mathbb{C} 는 \left[ \operatorname{p.\!v.} \left( \frac{1}{x} \right) \right](u) = \lim_{\varepsilon \to 0^{+}} \int_{\mathbb{R} \setminus [- \varepsilon,\varepsilon]} \frac{u(x)}{x} \, \mathrm{d} x = \lim_{\varepsilon \to 0^{+}} \int_{\varepsilon}^{+ \infty} \frac{u(x) - u(- x)}{x} \, \mathrm{d} x \quad \text{for } u \in {C_{c}^{\infty}}(\mathbb{R}) 와 같이 정의되는 분포이다. 이 사상 자체를 때때로 '''주요값''' (따라서 '''p.v.''' 표기법)이라고 부르기도 한다. 이 분포는 힐베르트 변환의 정의에 사용되며, 예를 들어 부호 함수와 헤비사이드 계단 함수의 푸리에 변환에 나타난다.주요값은 함수 x의 역 분포이며, 이러한 성질을 가진 거의 유일한 분포이다. x f = 1 \quad \Leftrightarrow \quad \exists K: \; \; f = \operatorname{p.\!v.} \left( \frac{1}{x} \right) + K \delta, 여기서 K는 상수이고 \delta는 디랙 델타 분포이다.더 넓은 의미에서, 주요값은 특이 적분의 커널의 광범위한 클래스에 대해 유클리드 공간 \mathbb{R}^{n}에서 정의될 수 있다. 4. 1. 힐베르트 변환 코시 주요값은 힐베르트 변환의 정의에 사용된다. 4. 2. 분포이론 (Distribution Theory) {C_{c}^{\infty}}(\mathbb{R}) 을 실수 \mathbb{R} 상의 콤팩트 지지를 갖는 매끄러운 함수의 공간인 범프 함수의 집합이라고 하자. 그러면 다음과 같이 코시 주요값을 통해 정의되는 사상 \operatorname{p.\!v.} \left( \frac{1}{x} \right) \,:\, {C_{c}^{\infty}}(\mathbb{R}) \to \mathbb{C} 는 \left[ \operatorname{p.\!v.} \left( \frac{1}{x} \right) \right](u) = \lim_{\varepsilon \to 0^{+}} \int_{\mathbb{R} \setminus [- \varepsilon,\varepsilon]} \frac{u(x)}{x} \, \mathrm{d} x = \lim_{\varepsilon \to 0^{+}} \int_{\varepsilon}^{+ \infty} \frac{u(x) - u(- x)}{x} \, \mathrm{d} x \quad \text{for } u \in {C_{c}^{\infty}}(\mathbb{R}) 분포이다. 이 사상 자체를 때때로 '''주요값''' (따라서 '''p.v.''' 표기법)이라고 부르기도 한다. 이 분포는 힐베르트 변환의 정의에 사용되며, 예를 들어 부호 함수와 헤비사이드 계단 함수의 푸리에 변환에 나타난다.극한의 존재를 증명하기 위해 \lim_{\varepsilon \to 0^{+}} \int_{\varepsilon}^{+ \infty} \frac{u(x) - u(- x)}{x} \, \mathrm{d}x 슈바르츠 함수 u(x)에 대해, 먼저 \frac{u(x) - u(-x)}{x}가 [0, \infty)에서 연속임을 관찰한다. \lim_{\,x \searrow 0\,} \; \Bigl[ u(x) - u(-x) \Bigr] ~= ~0 ~이므로, \lim_{x\searrow 0} \, \frac{u(x) - u(-x)}{x} ~=~ \lim_{\,x\searrow 0\,} \, \frac{u'(x) + u'(-x)}{1} ~=~ 2u'(0)~, u'(x)가 연속이고 로피탈의 정리가 적용되기 때문이다.그러므로 \int_0^1 \, \frac{u(x) - u(-x)}{x} \, \mathrm{d}x가 존재하고, u(x) - u(-x)에 평균값 정리를 적용하면 다음을 얻는다.: \left|\, \int_0^1\,\frac{u(x) - u(-x)}{x} \,\mathrm{d}x \,\right|\;\leq\; \int_0^1 \frac{\bigl|u(x)-u(-x)\bigr|}{x} \,\mathrm{d}x\;\leq\; \int_0^1\,\frac{\,2x\,}{x}\,\sup_{x \in \mathbb{R} }\,\Bigl|u'(x)\Bigr| \,\mathrm{d}x\;\leq\; 2\,\sup_{x \in \mathbb{R} }\,\Bigl|u'(x)\Bigr| ~. 또한,: \left| \,\int_1^\infty \frac {\;u(x) - u(-x)\;}{x} \,\mathrm{d}x \,\right| \;\leq\; 2 \,\sup_{x\in\mathbb{R}} \,\Bigl|x\cdot u(x)\Bigr|~\cdot\;\int_1^\infty \frac{\mathrm{d}x}{\,x^2\,} \;=\; 2 \,\sup_{x\in\mathbb{R}}\, \Bigl|x \cdot u(x)\Bigr| ~, 함수 \operatorname{p.v.}\;\left( \frac{1}{\,x\,} \right) \,:\, {C_{c}^{\infty}}(\mathbb{R}) \to \mathbb{C} 는 슈바르츠 함수 u에 대한 일반적인 세미노름에 의해 제한된다는 것을 알 수 있다. 따라서, 이 함수는 선형이므로 슈바르츠 공간에서 연속적인 함수를 정의하며, 따라서 유계 분포이다.이 증명은 0의 근방에서 u가 연속적으로 미분 가능하고 x\,u 가 무한대로 향할 때 유계이기만 하면 된다는 점에 유의해야 한다. 따라서, 주값은 u가 컴팩트한 지지 집합을 갖는 적분 가능하고 0에서 미분 가능하는 등 더 약한 가정에서도 정의된다.주요값은 함수 x 의 역 분포이며, 이러한 성질을 가진 거의 유일한 분포이다. x f = 1 \quad \Leftrightarrow \quad \exists K: \; \; f = \operatorname{p.\!v.} \left( \frac{1}{x} \right) + K \delta, 여기서 K 는 상수이고 \delta 는 디랙 델타 분포이다.더 넓은 의미에서, 주요값은 특이 적분의 커널의 광범위한 클래스에 대해 유클리드 공간 \mathbb{R}^{n} 에서 정의될 수 있다. 만약 K 가 원점에서 고립된 특이점을 가지지만, 그렇지 않은 경우에는 "좋은" 함수라면, 주요값 분포는 콤팩트하게 지원되는 매끄러운 함수에 대해 다음과 같이 정의된다. [\operatorname{p.\!v.} (K)](f) = \lim_{\varepsilon \to 0} \int_{\mathbb{R}^{n} \setminus B_{\varepsilon}(0)} f(x) K(x) \, \mathrm{d} x. 이러한 극한은 잘 정의되지 않을 수 있으며, 잘 정의되더라도 반드시 분포를 정의하지 않을 수 있다. 하지만, K 가 원점을 중심으로 하는 임의의 구에서 적분이 소멸되는 차수 -n 의 연속적인 동차 함수인 경우에는 잘 정의된다. 예를 들어, 이는 리이즈 변환의 경우에 해당한다.
1/x 함수를 a에서 b까지 적분할 때 (a<0), 르베그 적분으로는 존재하지 않지만, 코시 주요값으로는 존재한다. 이 값은 다음과 같이 계산된다.:\mathcal P\int_a^b f(x)\;\mathrm dx=\lim_{\epsilon\to0}\left[\log(b/\epsilon)-\log(-a/\epsilon)\right]=\log(-b/a)정의되지 않은 표현:\int_{-1}^1\frac{\mathrm{d}x}{x}, \text{ (결과는 } {-\infty}+\infty \text{)}의 코시 주요값은 다음과 같이 0이다.:\lim_{a \to 0+}\left(\int_{-1}^{-a}\frac{\mathrm{d}x}{x} + \int_a^1\frac{\mathrm{d}x}{x}\right)=0,그러나 적분 구간이 조금 다르면 결과도 달라진다.:\lim_{a \to 0+}\left(\int_{-1}^{-2 a}\frac{\mathrm{d}x}{x}+\int_{a}^1\frac{\mathrm{d}x}{x}\right)=\ln 2.마찬가지로, 정의되지 않은 표현:\int_{-\infty}^\infty\frac{2x\,\mathrm{d}x}{x^2+1} \text{ (결과는 } {-\infty}+\infty \text{)}의 주요값은 다음과 같이 0이지만,:\lim_{a \to \infty}\int_{-a}^a\frac{2x\,\mathrm{d}x}{x^2+1}=0,적분 구간이 다르면 결과가 달라진다.:\lim_{a\to\infty}\int_{-2a}^a\frac{2x\,\mathrm{d}x}{x^2+1}=-\ln 4.이와 같이 이상적분에서 적분 구간에 따라 값이 달라질 수 있으므로 주의해야 한다. 3. 1. 1/x 함수의 적분 `1/x 함수를`a`에서`b`까지 적분할 때 (a<0), 르베그 적분으로는 존재하지 않지만, 코시 주요값으로는 존재한다. 이 값은 다음과 같이 계산된다.:\mathcal P\int_a^b f(x)\;\mathrm dx=\lim_{\epsilon\to0}\left[\log(b/\epsilon)-\log(-a/\epsilon)\right]=\log(-b/a)정의되지 않은 표현:\int_{-1}^1\frac{\mathrm{d}x}{x}, \text{ (결과는 } {-\infty}+\infty \text{)}의 코시 주요값은 다음과 같이 0이다.:\lim_{a \to 0+}\left(\int_{-1}^{-a}\frac{\mathrm{d}x}{x} + \int_a^1\frac{\mathrm{d}x}{x}\right)=0,그러나 적분 구간이 조금 다르면 결과도 달라진다.:\lim_{a \to 0+}\left(\int_{-1}^{-2 a}\frac{\mathrm{d}x}{x}+\int_{a}^1\frac{\mathrm{d}x}{x}\right)=\ln 2.마찬가지로, 정의되지 않은 표현:\int_{-\infty}^\infty\frac{2x\,\mathrm{d}x}{x^2+1} \text{ (결과는 } {-\infty}+\infty \text{)}의 주요값은 다음과 같이 0이지만,:\lim_{a \to \infty}\int_{-a}^a\frac{2x\,\mathrm{d}x}{x^2+1}=0,적분 구간이 다르면 결과가 달라진다.:\lim_{a\to\infty}\int_{-2a}^a\frac{2x\,\mathrm{d}x}{x^2+1}=-\ln 4.이와 같이 이상적분에서 적분 구간에 따라 값이 달라질 수 있으므로 주의해야 한다. 3. 2. (2x)/(x²+1) 함수의 적분 \int_{-\infty}^\infty\frac{2x}{x^2+1}dx는 일반적인 적분으로는 정의되지 않지만, 코시 주요값은 0이다.다음 식은 코시 주요값을 계산하고 있다.:\lim_{a\rightarrow\infty}\int_{-a}^a\frac{2x}{x^2+1}dx=0,하지만 적분 구간이 조금 다르면 결과도 다르게 나온다.:\lim_{a\rightarrow\infty}\int_{-2a}^a\frac{2x}{x^2+1}dx=-\ln 4
코시 주요값은 힐베르트 변환의 정의에 사용된다.또한, 코시 주요값은 다음과 같이 정의되는 분포(distribution)로도 응용된다.실수 \mathbb{R}상의 콤팩트 지지를 갖는 매끄러운 함수 공간인 범프 함수 집합 {C_{c}^{\infty}}(\mathbb{R})에 대해, 사상 \operatorname{p.\!v.} \left( \frac{1}{x} \right) \,:\, {C_{c}^{\infty}}(\mathbb{R}) \to \mathbb{C} 는 \left[ \operatorname{p.\!v.} \left( \frac{1}{x} \right) \right](u) = \lim_{\varepsilon \to 0^{+}} \int_{\mathbb{R} \setminus [- \varepsilon,\varepsilon]} \frac{u(x)}{x} \, \mathrm{d} x = \lim_{\varepsilon \to 0^{+}} \int_{\varepsilon}^{+ \infty} \frac{u(x) - u(- x)}{x} \, \mathrm{d} x \quad \text{for } u \in {C_{c}^{\infty}}(\mathbb{R}) 와 같이 정의되는 분포이다. 이 사상 자체를 때때로 '''주요값''' (따라서 '''p.v.''' 표기법)이라고 부르기도 한다. 이 분포는 힐베르트 변환의 정의에 사용되며, 예를 들어 부호 함수와 헤비사이드 계단 함수의 푸리에 변환에 나타난다.주요값은 함수 x의 역 분포이며, 이러한 성질을 가진 거의 유일한 분포이다. x f = 1 \quad \Leftrightarrow \quad \exists K: \; \; f = \operatorname{p.\!v.} \left( \frac{1}{x} \right) + K \delta, 여기서 K는 상수이고 \delta는 디랙 델타 분포이다.더 넓은 의미에서, 주요값은 특이 적분의 커널의 광범위한 클래스에 대해 유클리드 공간 \mathbb{R}^{n}에서 정의될 수 있다.
코시 주요값은 여러 기호로 표현된다. P.V., p.v., \mathcal{P}, P_v, (CPV), \mathcal{C}, V.P., -\!\!\!\!\!\!\int f(x)\,\mathrm{d}x, 등영어[3]이 쓰인다.:PV \int f(x)dx,:\mathcal{P}\int f(x)dx 와 같이 적분 기호에 특정 기호를 붙여 사용하기도 한다. 코시 주요값의 표기법은 통일된 것이 없으므로, 문맥에 따라 어떤 의미로 사용되었는지 판단해야 한다.[3]
[1] 서적 Linear Integral Equations: Theory and technique https://books.google[...] Birkhäuser [2] 서적 Hilbert Transforms Cambridge University Press [3] 간행물 Definite Integrals
본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다. 모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다. 하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다. 따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다. 문의하기 : help@durumis.com