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제곱근 3

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목차

1. 개요

제곱근 3(\sqrt{3})은 대수적 정수이며, 유리수체 \mathbb Q 위의 기약 다항식은 x2 - 3이다. 1.732050807...의 값을 가지며, 연분수 [1; 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, …]로 표현할 수 있다. 변의 길이가 2인 정삼각형의 높이, 빗변이 2인 30-60-90 삼각형의 긴 변, 변의 길이가 1인 정육각형의 높이, 단위 정육면체의 공간 대각선 길이와 같다. 또한, 삼각함수와 관련하여 tan 60° = √3, sin 60° = √3/2, cos 30° = √3/2 관계를 갖는다. 전력 공학에서 3상 전력 시스템의 선간 전압과 상전압의 관계, 특수 함수의 근, 그리고 테오도로스의 상수 등으로 활용된다.

2. 수학적 성질

2. 1. 표현

\sqrt{3}은 단순 연분수 [1; 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, …]로 표현될 수 있다. 이를 풀어서 쓰면 다음과 같다.

:\sqrt{3}=1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}

{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{\ddots}}}}}}}

또한, 행렬을 이용하여 다음과 같이 표현할 수도 있다.

:\begin{bmatrix}1 & 2 \\1 & 3 \end{bmatrix}^n = \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}일 때, n\to\infty이면,

: \sqrt{3} = 2 \cdot \frac{a_{22}}{a_{12}} -1

다중근호를 이용한 표현은 다음과 같다.

\sqrt{3}= \sqrt[3]{3+\sqrt[3]{3+\sqrt[3]{3+\sqrt[3]{3+\sqrt[3]{3+\sqrt[3]{3+\sqrt[3]{3+\sqrt[3]{3+\dots}}}}}}}}

대수적으로, \sqrt{3}은 대수적 정수이다. \sqrt{3}의 유리수체 \mathbb Q 위의 기약 다항식은 x^2 - 3이다.

2. 2. 대수적 성질


:\sqrt{3}=1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}

{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{\ddots}}}}}}}

2. 3. 삼각함수와의 관계

변의 길이가 1인 정삼각형을 내각을 이등분하여 한 변과 직각을 이루도록 두 개의 동일한 부분으로 자르면, 직각 삼각형의 빗변은 길이가 1이고, 변의 길이는 '''\frac{1}{2}'''와 '''\frac{\sqrt{3}}{2}'''이다. 이것으로부터 \tan{60^\circ}=\sqrt{3}, \sin{60^\circ}=\frac {\sqrt{3}}{2}, 그리고 \cos{30^\circ}=\frac {\sqrt{3}}{2}이다.

제곱근 3은 또한 3°, 12°, 15°, 21°, 24°, 33°, 39°, 48°, 51°, 57°, 66°, 69°, 75°, 78°, 84°, 그리고 87°의 사인값을 포함하여 다양한 다른 삼각 상수에 대한 대수식에서도 나타난다.[3]

3. 기하학적 성질

한 변의 길이가 1인 단위 정육면체의 공간 대각선 길이는 \sqrt{3}이다.


빌린스키 십이면체의 특정 투영은 대각선 비율이 \sqrt{3}인 마름모이다.


\sqrt{3}은 기하학에서 다양한 방식으로 나타난다.

  • 변의 길이가 2인 정삼각형의 높이는 \sqrt{3}이다. 이는 빗변의 길이가 2인 30-60-90 삼각형의 긴 직각변 길이와 같다.
  • 변의 길이가 1인 정삼각형을 이등분하여 만든 직각 삼각형은 빗변의 길이가 1이고, 다른 두 변의 길이는 각각 \frac{1}{2}과 \frac{\sqrt{3}}{2}이다. 이를 통해 \tan{60^\circ}=\sqrt{3}, \sin{60^\circ}=\frac {\sqrt{3}}{2}, \cos{30^\circ}=\frac {\sqrt{3}}{2} 임을 알 수 있다.
  • 변의 길이가 1인 정육각형에서 마주보는 평행한 변 사이의 거리(정육각형의 높이)는 \sqrt{3}이다.
  • 테오도로스의 상수로도 불리는 \sqrt{3}은 한 변의 길이가 1인 단위 정육면체의 공간 대각선 길이이다. 즉, 정육면체의 한 꼭짓점에서 가장 먼 다른 꼭짓점까지의 거리이다.
  • 지름이 1인 원에 외접하는 정삼각형의 한 변의 길이는 \sqrt{3}이다.
  • 물고기 부레(Vesica piscis)는 두 개의 동일한 원이 각자의 중심을 다른 원의 둘레 위에 두고 겹쳐질 때 생기는 모양으로, 이 도형의 긴 축과 짧은 축의 길이 비율은 1:\sqrt{3}이다.
  • 빌린스키 십이면체는 모든 면이 마름모인 다면체인데, 이를 특정 방향에서 투영하면 대각선의 길이 비율이 \sqrt{3}인 마름모 모양이 나타난다.

4. 기타 활용

(내용 없음)

4. 1. 전력 공학

전력 공학에서, 3상 전력 시스템에서 두 상 사이의 전압은 선-중성선 전압의 '''\sqrt{3}'''배와 같다. 이는 임의의 두 상이 120° 떨어져 있고, 원의 두 점이 120도 떨어져 있으면 반지름의 '''\sqrt{3}'''배만큼 떨어져 있기 때문이다(위의 기하학 예시 참조).

4. 2. 특수 함수

대부분의 J_\nu^{(n)}(x) (여기서 ''n'' < 18이고 J_\nu(x)는 \nu차 베셀 함수)의 ''n''번째 도함수의 근은 초월수임이 알려져 있다. 유일한 예외는 \pm\sqrt{3}인데, 이는 J_1^{(3)}(x)와 J_0^{(4)}(x) 모두의 대수적 근이다.[4]

5. 테오도로스의 상수

테오도로스의 상수로 불리는 \sqrt{3}은 단위 정육면체의 공간 대각선 길이와 같다.


  • \sqrt{3} \approx 1.732050807...


단위 정육면체의 공간 대각선 길이는 √3이다.

:\sqrt{3}=1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{\ddots}}}}}}}

참조

[1] 웹사이트 Computations | Łukasz Komsta https://web.archive.[...] WordPress 2013-12
[2] 학술지 Archimedes and the measurement of the circle: a new interpretation https://link.springe[...] 2022-11-15
[3] 웹사이트 Sin and Cos in Surds http://www.jdawisema[...] 2022-11-15
[4] 학술지 Transcendentality of zeros of higher dereivatives of functions involving Bessel functions 1995


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