제도 (논리학)

2. 정의

제도는 논리 체계를 추상적으로 다루는 한 방법으로, 특정 논리의 구체적인 문법이나 의미론에 얽매이지 않고 모형과 문장 사이의 만족 관계를 중심으로 정의된다. 제도 이론은 논리 체계의 본질에 대해 최소한의 가정만을 하며, 모형과 문장은 임의의 객체가 될 수 있고, 유일한 핵심 가정은 문장이 모형에서 성립하는지 여부를 결정하는 만족 관계($\backslash models$)가 존재한다는 것이다. 이 만족 관계의 개념은 타르스키의 진리 정의에서 영감을 받았지만, 실제로는 임의의 이항 관계일 수 있다.

제도의 중요한 특징은 모형, 문장, 그리고 만족 관계가 항상 특정 어휘 또는 맥락, 즉 '''서명'''(signature^영어) 안에서 정의된다는 점이다. 서명은 문장에서 사용되고 모형에서 해석되어야 하는 비논리적 기호들(상수, 함수, 관계 등)을 정의한다. 또한, '''서명 사상'''(signature morphism^영어)은 서명을 확장하거나 표기법을 변경하는 등 서명 간의 관계를 나타낸다.

서명 사상은 만족 관계가 보존되는 방식으로 문장과 모형의 변환을 유도해야 한다. 문장은 서명 사상과 같은 방향으로 변환되지만(예: 기호 대체), 모형은 서명 사상과 반대 방향으로 변환(축소)된다. 예를 들어, 서명 확장 시 더 큰 서명의 모형은 일부 정보를 '잊어버림'으로써 더 작은 서명의 모형으로 축소될 수 있다. 이러한 변환 과정에서 진리값이 변하지 않아야 한다는 것이 제도의 핵심 요구사항인 '''만족 조건'''(satisfaction condition^영어)이다. 즉, 표기법이나 문맥이 변하더라도 논리적 진리는 불변해야 한다.

2. 1. 기본 개념

• '''서명'''들의 범주 $\backslash mathbf\{Sign\}$: 논리적 어휘의 맥락을 정의하는 서명들과 이들 간의 변환(사상)을 모아놓은 구조이다.
• '''문장 함자''' $\backslash mathit\{Sen\}\; \backslash colon\; \backslash mathbf\{Sign\}\; \backslash to\; \backslash mathbf\{Set\}$: 각 서명 $\backslash Sigma$에 대해, 그 서명 아래에서 구성될 수 있는 '''문장'''들의 집합 $\backslash mathit\{Sen\}(\backslash Sigma)$을 대응시키는 규칙이다. 또한, 서명들 사이의 변환(서명 사상) $\backslash sigma\; \backslash colon\; \backslash Sigma\; \backslash to\; \backslash Sigma\text{'}$에 대해, 문장들을 변환하는 함수 $\backslash mathit\{Sen\}(\backslash sigma)\; \backslash colon\; \backslash mathit\{Sen\}(\backslash Sigma)\; \backslash to\; \backslash mathit\{Sen\}(\backslash Sigma\text{'})$ (종종 $\backslash sigma(\backslash varphi)$로 표기)를 대응시킨다. 이는 서명이 바뀌면 문장의 표현도 바뀔 수 있음을 의미한다.
• '''모형 함자''' $\backslash mathbf\{Mod\}\; \backslash colon\; \backslash mathbf\{Sign\}\; \backslash to\; \backslash mathbf\{Cat\}^\{\backslash mathrm\{op\}\}$: 각 서명 $\backslash Sigma$에 대해, 그 서명의 문장들의 의미를 해석하는 '''모형'''들의 범주 $\backslash mathbf\{Mod\}(\backslash Sigma)$를 대응시키는 규칙이다. 여기서 $\backslash mathbf\{Cat\}^\{\backslash mathrm\{op\}\}$는 작은 범주들의 반대 범주를 의미하며, 모형 함자가 방향을 뒤집는 방식으로 작동함을 나타낸다. 즉, 서명 사상 $\backslash sigma\; \backslash colon\; \backslash Sigma\; \backslash to\; \backslash Sigma\text{'}$에 대해, $\backslash Sigma\text{'}$의 모형을 $\backslash Sigma$의 모형으로 변환하는 '축약 함자' $\backslash mathbf\{Mod\}(\backslash sigma)\; \backslash colon\; \backslash mathbf\{Mod\}(\backslash Sigma\text{'})\; \backslash to\; \backslash mathbf\{Mod\}(\backslash Sigma)$ (종종 $M\text{'}|\_\{\backslash sigma\}$로 표기)를 대응시킨다. 예를 들어, 서명이 확장될 때($\backslash Sigma\; \backslash to\; \backslash Sigma\text{'}$), 더 큰 서명 $\backslash Sigma\text{'}$의 모형은 일부 정보를 '잊어버림'으로써 더 작은 서명 $\backslash Sigma$의 모형으로 축소될 수 있다.
• '''만족 관계''' $\{\backslash models\_\{\backslash Sigma\}\}\; \backslash subseteq|\{\backslash mathbf\{Mod\}(\backslash Sigma)|\; \backslash times\; \backslash mathit\{Sen\}(\backslash Sigma)\}$: 각 서명 $\backslash Sigma$마다 정의되는 이항 관계로, 모형 $M\; \backslash in\; \backslash mathbf\{Mod\}(\backslash Sigma)$이 문장 $\backslash varphi\; \backslash in\; \backslash mathit\{Sen\}(\backslash Sigma)$을 만족시키면 $M\; \backslash models\_\{\backslash Sigma\}\; \backslash varphi$라고 표기한다. 이는 모형 $M$에서 문장 $\backslash varphi$가 '참'임을 의미한다.

2. 2. 형식적 정의

이 구성 요소들은 다음의 '''만족 조건'''(satisfaction condition^영어)을 만족해야 한다. 모든 서명 사상 $\backslash sigma\; \backslash colon\; \backslash Sigma\; \backslash to\; \backslash Sigma\text{'}$, 모든 모형 $M\text{'}\; \backslash in\; \backslash mathbf\{Mod\}(\backslash Sigma\text{'})$, 그리고 모든 문장 $\backslash varphi\; \backslash in\; \backslash mathit\{Sen\}(\backslash Sigma)$에 대해 다음이 성립한다:

$$M\text{'}\; \backslash models\_\{\backslash Sigma\text{'}\}\; \backslash sigma(\backslash varphi)\; \backslash quad\; \backslash text\{iff\}\; \backslash quad\; M\text{'}|\_\{\backslash sigma\}\; \backslash models\_\{\backslash Sigma\}\; \backslash varphi$$

이 조건은 진리(truth^영어)는 표기법의 변화(서명 사상을 통한 문장 변환)나 해석의 축소(모형 축약)에 대해 불변해야 함을 의미한다. 즉, 어떤 문장이 특정 모형에서 참이라면, 서명을 바꾸고 그에 맞게 문장과 모형을 변환해도 참/거짓 여부는 그대로 유지되어야 한다는 것이다. 이는 타르스키의 진리 정의 개념과 유사하게, 논리적 진리의 일관성을 보장하는 핵심적인 요구사항이다.