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직교 배열

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목차

1. 개요

직교 배열은 유한 집합에서 선택된 N × k 배열로, 배열의 모든 t 열의 하위 집합에서 모든 t-튜플 점이 동일한 횟수만큼 반복되는 수학적 구조이다. OA(N, k, v, t)로 표기하며, N은 실험 실행 횟수, k는 요인 횟수, v는 수준 횟수, t는 강도를 나타낸다. 직교 배열은 강도, 지수, 선형, 단순과 같은 특성을 가지며, 아다마르 행렬, 선형 부호, 라틴 방진과 밀접한 관련이 있다. 이들은 임계값 방식, 요인 실험, 품질 관리, 소프트웨어 테스팅 등 다양한 분야에 응용되며, 칼리암푸디 라다크리슈나 라오에 의해 개념이 처음 도입되었다.

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직교 배열
개요
유형수학적 배열
영어 명칭Orthogonal array
관련 항목직교 행렬
정의
표기법OA(18, 7, 3, 2)
예시(1,1)
(1,2)
(1,3)
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(3,1)
(3,2)
(3,3)
설명t-직교 배열은 모든 t-열이 모든 가능한 t-튜플이 동일한 횟수로 나타나도록 하는 배열이다.

2. 정의

자연수 t가 주어졌을 때, t-'''직교 배열'''은 특정한 조건을 만족하는 데이터로 구성된다.

t-직교 배열은 '''기본 정의''', '''선형 직교 배열''', '''혼합 수준 직교 배열''' 등으로 정의된다.

주어진 직교 배열에서, t를 직교 배열의 '''강도'''(strength영어)라고 하며, \lambda_t를 t-직교 배열의 '''지수'''(index영어)라고 한다.[28]

''t'' ≤ ''k''에 대해, '''유형 (''N, k, v, t'')의 직교 배열''' – 간단히 '''OA(''N, k, v, t'')''' –는 ''v''개의 점을 가진 집합 ''X''(''v''-집합)에서 선택된 ''N'' × ''k'' 배열로, 배열의 모든 ''t'' 열의 하위 집합에서 ''X''의 모든 ''t''-튜플 점이 동일한 횟수만큼 반복된다. 반복 횟수는 일반적으로 λ로 표시된다.

많은 응용 프로그램에서 이러한 매개변수에는 다음과 같은 이름이 지정된다.


  • ''N''은 실험 ''실행'' 횟수
  • ''k''는 ''요인'' 횟수
  • ''v''는 ''수준'' 횟수
  • ''t''는 ''강도''
  • λ는 ''지수''


강도의 정의는 다음과 같은 매개변수 관계를 이끈다.

::: ''N'' = λ''v''''t''.

직교 배열은 반복된 행이 없는 경우 ''단순''하다.

요소 종류 수가 s인 N \times k 행렬 A가 '''강도'''(strength) t와 '''지수'''(index) \lambda의 k '''인자'''(factors), s '''수준'''(levels), N-'''실시'''(runs) '''직교 배열'''이라고 하는 것은, 모든 N \times t 부분 배열에서 s 종류의 요소의 t-조합 각각이 행으로 \lambda회씩 포함되는 것이며, 이를 '''OA(N, k, s, t)'''로 나타낸다.

두 직교 배열 중 하나로부터 다른 배열을 행의 치환, 열의 치환, 인자별 수준의 치환을 조합하여 얻을 수 있을 때, 그 두 직교 배열은 동형(isomorphic)이며, 특히 행의 치환만으로 얻을 수 있는 경우 통계적으로 동등(statistically equivalent)하다고 한다.

2. 1. 기본 정의

t-직교 배열 (\Sigma, B)은 다음 데이터로 구성된다.

  • 크기가 q인 유한 집합 \Sigma. 이를 '''알파벳'''이라고 하며, 그 원소를 '''수준'''(level영어)이라고 한다.
  • 자연수 n. 이를 '''인자수'''(number of factors영어)라고 한다.
  • 부분 집합 B\subseteq \Sigma^n. 그 원소를 '''실험 실행'''(experimental run영어)이라고 한다.


t-직교 배열은 다음 조건을 만족해야 한다.

  • \Sigma^n의 n개 좌표 가운데 임의의 t개를 골랐을 때, 수준의 모든 t-순서쌍은 (선택한 레벨 및 좌표에 상관없이) 같은 수 \lambda_t번 만큼 등장한다. 즉, 임의의 단사 함수 f\colon\{1,2,\dots,t\}\to\{1,\dotsc,n\} 및 임의의 x\in\Sigma^t에 대하여, 자연수 \lambda_t=|\{ b\in B\colon\forall 1\le i\le t\colon x_i=b_{f(i)}\}|\in\mathbb N는 f 및 x의 선택에 의존하지 않는다.


여기서, t를 직교 배열의 '''강도'''(strength영어)라고 하며, \lambda_t를 t-직교 배열의 '''지수'''(index영어)라고 한다.

OA(18, 7, 3, 2). 임의의 두 열은 각 순서쌍을 행으로 두 번 포함한다.

2. 2. 선형 직교 배열

단순 직교 배열 의 행 전체가 유한체 '''F''' 상의 선형 공간으로 간주될 때, 이 직교 배열은 '''선형'''(linear)이라고 하며, 그 선형 공간의 차원 을 선형 직교 배열의 차원(dimension)이라고 부른다. 그 선형 공간의 기저를 추출하여 세로로 결합한 행렬을 '''생성 행렬'''(generator matrix)이라고 한다.[3] 생성 행렬이 주어지면, 그 행 공간에 의해 통계적으로 동등한 차이를 제외하고 유일하게 직교 배열을 구성할 수 있으므로, 생성 행렬을 사용하여 선형 직교 배열을 매우 짧게 나타낼 수 있다.

행렬 의 행 전체가 '''F''' 상의 선형 공간을 이룰 때, 가 직교 배열인 것은 임의의 열이 '''F''' 상 선형 독립인 것과 동치이다. 특히 '''F''' 상 선형 독립인 행으로 구성되고, 임의의 열이 '''F''' 상 선형 독립인 행렬은 직교 배열 의 생성 행렬이 된다.[4]

2. 3. 혼합 수준 직교 배열

혼합 수준 직교 배열에서는 열(인자)마다 다른 수의 수준을 가질 수 있다.[3]

00000
11110
00111
11001
01012
10102
01103
10013



이 배열의 강도는 2이다.


  • 처음 네 열의 모든 쌍은 순서쌍 (0, 0), (0, 1), (1, 0) 및 (1, 1)을 두 번 포함한다.
  • 열 4와 5 – 또는 다른 열 중 하나와 열 5 –는 ''i'' = 0 또는 1이고 ''j'' = 0, 1, 2 또는 3인 각 순서쌍 (''i'', ''j'')을 한 번 포함한다.

따라서 OA(8, 5, 2441, 2)로 표시할 수 있다. 식 2441는 네 개의 요인이 2개의 수준을 가지고 있고 하나는 4개의 수준을 가짐을 나타낸다.

이 예와 같이 강도 ''t''의 혼합 수준 직교 배열에는 단일 ``지수`` 또는 반복 숫자 λ가 없다. ''t'' 열의 각 하위 배열은 서로 다른 λ를 가질 수 있다.

3. 성질

상수 \lambda_t에 대한 t-직교 배열 (\Sigma,B\subseteq\Sigma^n)이 주어졌다고 하자.

다음과 같은 조건들이 주어진다.


  • t'\le t 인 임의의 자연수
  • 단사 함수 f\colon\{1,2,\dotsc,t'\}\to\{1,2,\dotsc,n\}
  • 임의의 x\in\Sigma^{t'}


위에 주어진 조건들에 대하여, 다음 식이 성립한다.

:|\{b\in B\colon \forall 1\le i\le t'\colon x_i=b_{f(i)}\}|=\lambda_{t'}=\lambda_t|\Sigma|^{t-t'}

즉, \lambda_0=\lambda_t|\Sigma|^t 를 정의하면, 임의의 t-직교 배열은 임의의 t'\le t에 대하여 t'-직교 배열을 이루며, 그 상수는 \lambda_{t'}=\lambda_0|\Sigma|^{-t'}이다. 여기서, \lambda_0는 B의 크기와 같다.

이에 따라, 임의의 \Sigma^n 속에서 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

:\operatorname{Pow}(\Sigma^n) = 0-직교 배열 ⊇ 1-직교 배열 ⊇ 2-직교 배열 ⊇ … ⊇ n-직교 배열 = \{\varnothing,\Sigma^n\}

4. 표기법

''t'' ≤ ''k''에 대해, '''유형 (''N, k, v, t'')의 직교 배열''' – 간단히 '''OA(''N, k, v, t'')''' –는 ''v''개의 점을 가진 집합 ''X''(''v''-집합)에서 항목을 선택한 ''N'' × ''k'' 배열이다. 배열의 모든 ''t'' 열의 하위 집합에서 ''X''의 모든 ''t''-튜플 점이 동일한 횟수(λ)만큼 반복된다.

많은 응용 프로그램에서 이러한 매개변수는 다음과 같은 이름으로 불린다.


  • ''N''은 실험 ''실행'' 횟수
  • ''k''는 ''요인'' 횟수
  • ''v''는 ''수준'' 횟수
  • ''t''는 ''강도''
  • λ는 ''지수''


강도의 정의에 따라 다음과 같은 매개변수 관계가 성립한다.

::: ''N'' = λ''v''''t''.

직교 배열은 반복된 행이 없는 경우 ''단순''하다고 한다.

혼합 수준 직교 배열에서 열의 기호는 서로 다른 수의 점을 가진 서로 다른 집합에서 선택할 수 있다.[3] 예를 들면 다음과 같다.

00000
11110
00111
11001
01012
10102
01103
10013



이 배열의 강도는 2이다.


  • 처음 네 열의 모든 쌍은 순서쌍 (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)을 두 번 포함한다.
  • 열 4와 5 – 또는 다른 열 중 하나와 열 5 –는 ''i'' = 0 또는 1이고 ''j'' = 0, 1, 2 또는 3인 각 순서쌍 (''i'', ''j'')을 한 번 포함한다.


따라서 OA(8, 5, 2441, 2)로 표시할 수 있다. 2441는 네 개의 요인이 2개의 수준을 가지고 있고 하나는 4개의 수준을 가짐을 나타낸다.

강도 ''t''의 혼합 수준 직교 배열에는 단일 ''지수'' 또는 반복 숫자 λ가 없다. ''t'' 열의 각 하위 배열은 서로 다른 λ를 가질 수 있다.

"대칭"과 "비대칭"이라는 용어는 때때로 "고정 레벨"과 "혼합 레벨"에 사용되는데, 여기서 대칭성은 배열의 "모양"이 아니라 모든 요인이 동일한 수의 레벨을 갖는 속성을 나타낸다.

OA(''N, k, v, t'') 표기법은 축약될 수 있으며, 예를 들어 OA(''k, v'')[4]로 간단히 쓸 수 있다. 반대로 혼합 레벨 배열에 대해서는 OA(''N, k, v1···vk, t'')로 확장할 수 있는데, 여기서 열 ''i''는 ''vi'' 레벨을 갖는다. 이 표기법은 일반적으로 ''v'' 값이 반복될 때 단축되므로, OA(8, 5, 2441, 2)로 쓰며, OA(8, 5, 2·2·2·2·4, 2)로 쓰지 않는다. 고정 레벨 배열의 경우 OA(''N, k, v, t'')를 OA(''N, vk, t'')로 단축할 수 있다.

OA 표기법은 지수 λ를 명시적으로 포함하지 않지만, λ는 ''N'' = λ''v''''t'' 관계식을 통해 다른 매개변수로부터 구할 수 있다. 강도 ''t'' = 2이고 지수 λ=1인 배열의 클래스를 나타낼 때, OA(''N, k, v, 2'') 표기법만으로는 λ를 자체적으로 결정하기에 충분하지 않다. 이 문제는 일반적으로 OA(''v2, k, v,'' 2)로 표기하여 해결한다. 매개변수 λ를 명시적으로 포함하는 표기법은 이러한 문제가 없지만, 혼합 레벨 배열을 나타내기 위해 쉽게 확장되지 않는다.

일부 저자는 OA(''N, k, v, t'')를 ''N'' × ''k''가 아닌 ''k'' × ''N''으로 정의하기도 한다. 이러한 경우 배열의 강도는 열이 아닌 ''t''개의 ''행''의 하위 집합으로 정의된다.

OA(''N, k, v, t'') 표기법은 Rao가 도입한 것과 동일하다.[5]

5. 예

OA(16, 5, 4, 2)는 16개의 런으로 구성된 강도 2, 4-레벨 디자인이며, 지수 1을 갖는 직교 배열의 예시는 다음과 같다.

11111
12222
13333
14444
21423
22314
23241
24132
31234
32143
33412
34321
41342
42431
43124
44213



OA(27, 5, 3, 2)는 지수 λ = 3을 갖는 직교 배열의 예시이며, 보기 편의를 위해 전치 행렬로 작성되었다.[8]

000000000111111111222222222
000111222000111222000111222
012012012012012012012012012
000111222222000111111222000
012120201012120201012120201


5. 1. 자명한 직교 배열

임의의 유한 집합 \Sigma에 대하여, \Sigma^n 속의 유일한 n-직교 배열은 B=\varnothing 및 B=\Sigma^n이며, 이 경우 각각 \lambda_n=0 및 \lambda_n=1이다.[1]

5. 2. 라틴 방진

q \times q 라틴 방진은 (λ2, λ1, λ0) = (1, q, q2)인 2-직교 배열이다. 2-직교 배열과 라틴 방진의 관계는 2-블록 설계와 2-슈타이너 계의 관계와 같다.

예를 들어, 3×3 라틴 방진은 다음과 같다.

123
231
312



이는 다음 표의 9개 행으로 구성되는 2-직교 배열을 이룬다.

111
122
133
212
223
231
313
321
332


5. 3. 2-직교 배열의 예

알파벳 \Sigma=\{\mathsf A,\mathsf B,\mathsf C,\mathsf D\} 상에서, 다음 표의 16개 행으로 구성된 부분 집합 B\subsetneq\Sigma^5는 지수 (\lambda_2,\lambda_1,\lambda_0)=(1,4,16)을 갖는 2-직교 배열을 이룬다.

AAAAA
ABBBB
ACCCC
ADDDD
BADBC
BBCAD
BCBDA
BDACB
CABCD
CBADC
CCDAB
CDCBA
DACDB
DBDCA
DCABD
DDBAC



알파벳 \Sigma=\{\mathsf A,\mathsf B,\mathsf C\} 상에서, 다음 표의 27개 행으로 구성된 부분 집합 B\subsetneq\Sigma^5는 지수 (\lambda_2,\lambda_1,\lambda_0)=(3,9,27)을 갖는 2-직교 배열을 이룬다.[29]

AAAAA
AABAB
AACAC
ABABB
ABBBC
ABCBA
ACACC
ACBCA
ACCCB
BAACA
BABCB
BACCC
BBAAB
BBBAC
BBCAA
BCABC
BCBBA
BCCBB
CAABA
CABBB
CACBC
CBACB
CBBCC
CBCCA
CCAAC
CCBAA
CCCAB



OA(16, 5, 4, 2)의 예시는 16개 런으로 구성된 강도 2, 4-레벨 디자인이며, 지수는 1이다.

11111
12222
13333
14444
21423
22314
23241
24132
31234
32143
33412
34321
41342
42431
43124
44213



OA(27, 5, 3, 2)의 예시는 지수 λ = 3을 가지며, 보기 편의를 위해 전치 행렬로 작성되었다.[8]

000000000111111111222222222
000111222000111222000111222
012012012012012012012012012
000111222222000111111222000
012120201012120201012120201


6. 구성 방법

직교 배열은 아다마르 행렬이나 부호를 이용하여 구성할 수 있다.

아다마르 행렬을 이용하는 방법은 OA(4λ, 4λ − 1, 2, 2)가 존재할 필요충분조건이 4λ 차수의 아다마르 행렬이 존재하는 것을 이용한다. 표준화된 형태(첫 번째 행과 열의 모든 항목이 +1)의 차수 4m 아다마르 행렬 H가 주어졌을 때, 첫 번째 행을 삭제하고 전치하면 원하는 직교 배열을 얻을 수 있다.[19]

부호를 이용하는 방법에서는 ''C'' ⊆ ('''F'''''q'')''n''를 최소 거리 ''d''를 갖는 차원 ''m''의 선형 부호라고 할 때, ''C''⊥ (벡터 부분 공간 ''C''의 직교 여집합)는 OA(''q''''n-m'', n, q, ''d'' − 1)이다.[21] 여기서 λ = ''q''''n'' − ''m'' − ''d'' + 1이다.[21]

6. 1. 아다마르 행렬

OA(4λ, 4λ − 1, 2, 2)가 존재할 필요충분조건은 4λ 차수의 아다마르 행렬이 존재하는 것이다.[18] 표준화된 형태(첫 번째 행과 열의 모든 항목이 +1)의 차수 4m 아다마르 행렬 H를 가정하고, 첫 번째 행을 삭제하고 전치하면 원하는 직교 배열을 얻을 수 있다.[19]

아래는 8차 표준화 아다마르 행렬이다(±1 항목은 부호로만 표시).

++++++++
++++−−−−
++−−++−−
++−−−−++
+−+−+−+−
+−+−−+−+
+−−++−−+
+−−+−++−



위 행렬로부터 다음의 OA(8, 7, 2, 2)를 생성할 수 있다.[20]

+++++++
+++−−−−
+−−++−−
+−−−−++
−+−+−+−
−+−−+−+
−−++−−+
−−+−++−


6. 2. 부호

''C'' ⊆ ('''F'''''q'')''n''를 최소 거리 ''d''를 갖는 차원 ''m''의 선형 부호라고 할 때, ''C''⊥ (벡터 부분 공간 ''C''의 직교 여집합)는 OA(''q''''n-m'', n, q, ''d'' − 1)이다.[21] 여기서 λ = ''q''''n'' − ''m'' − ''d'' + 1이다.[21]

7. 응용

직교 배열은 다양한 분야에서 응용된다.


  • '''비밀 공유''': 임계값 방식을 사용하여 비밀을 여러 플레이어에게 분산하고, 특정 수 이상의 플레이어가 모여야만 비밀을 복원할 수 있도록 한다.
  • '''요인 실험''': 여러 요인의 영향을 효율적으로 평가하기 위해 사용된다. 각 요인의 수준 조합을 체계적으로 구성하여 최소한의 실험으로도 각 요인의 주효과를 파악할 수 있다.
  • '''품질 관리''': 다구치 겐이치가 개발한 방법으로, 제품 및 공정의 품질을 개선하는 데 사용된다.
  • '''소프트웨어 테스트''': 블랙 박스 테스트 기법의 일종으로, 입력 값이 많아 모든 경우의 수를 테스트하기 어려울 때 직교 배열을 사용하여 효율적으로 테스트 케이스를 구성하고 시스템의 결함을 찾는다. 사용자 인터페이스 테스트, 시스템 테스트, 회귀 테스트, 성능 테스트 등 다양한 테스트에 활용된다.

7. 1. 임계값 방식 (비밀 공유)

(t, n)-임계값 방식은 t명 이상의 플레이어가 모이면 비밀을 복원할 수 있지만, t명 미만으로는 복원할 수 없는 비밀 공유 방식이다.[22]

OA영어(vt, n+1, v, t)를 사용하여 완전한 (t, n)-임계값 방식을 구성할 수 있다.[22]

:''A''를 직교 배열이라고 가정한다. 처음 n개의 열은 플레이어에게 몫을 제공하는 데 사용되고, 마지막 열은 공유할 비밀을 나타낸다. 딜러가 비밀 ''S''를 공유하려는 경우 마지막 항목이 ''S''인 ''A''의 행만 방식에 사용된다. 딜러는 이러한 행 중 하나를 무작위로 선택하고, 이 행의 열 ''i''의 항목을 플레이어 ''i''에게 몫으로 제공한다.

7. 2. 요인 실험

요인 실험은 여러 ''요인''(관수량, 항생제, 비료 등)을 각 실험 단위에 유한개의 ''수준''으로 적용하는 통계적으로 구조화된 실험이며, 이는 양적 또는 질적일 수 있다.[23] ''완전 요인 실험''에서는 요인의 모든 수준 조합을 테스트해야 한다. ''분할'' 요인 설계에서는 처리 조합의 하위 집합만 사용된다.

직교 배열은 분할 요인 설계를 하는 데 사용될 수 있다. 열은 다양한 요인을 나타내고, 항목은 요인이 관찰되는 수준이다. 실험 실행은 직교 배열의 행, 즉 요인 수준의 특정 조합이다. 배열의 강도는 분할 설계의 해상도를 결정한다. 이러한 설계 중 하나를 사용할 때는 설계에서 허용하는 한 처리 단위와 시험 순서를 무작위화해야 한다. 예를 들어, 적절한 크기의 직교 배열을 사용 가능한 배열에서 무작위로 선택하고, 실행 순서를 무작위화하는 것이 권장된다.

혼합 수준 설계는 통계적 설정에서 자연스럽게 발생한다.

직교 배열은 실험 계획법에서 인자와 수준의 할당 표에 사용된다.

일반적인 다원 배치 실험에서는 하나의 인자만을 변화시킨 조건으로 실험하기 때문에, 방대한 수의 실험을 수행해야 한다. 직교표로 할당된 실험은 여러 인자를 변화시키지만, 어떤 인자·수준의 조합도 동일한 횟수만큼 실험하도록 하여, 해당 인자의 주효과를 구할 수 있다. 최소한의 실험 횟수로 억제할 수 있다는 장점이 있다.

직교표를 사용하는 실험은 교호 작용에 중점을 두지 않고 주효과만의 실험을 수행하는 목적에 적합하다.

7. 3. 품질 관리 (다구치 메서드)

다구치 겐이치는 1950년대 초 인도 통계 연구소 방문 중에 직교 배열을 활용한 다구치 메서드를 개발했다. 그의 방법은 일본 및 인도 산업에서 성공적으로 적용되었으며, 이후 미국 산업에서도 일부 유보적인 입장을 보이면서 수용되었다.[24]

일반적인 다원 배치 실험에서는 하나의 인자만을 변화시킨 조건으로 실험하기 때문에, 방대한 수의 실험을 수행해야 한다. 반면 직교표를 활용하면 여러 인자를 동시에 변화시키면서도, 각 인자와 수준의 조합이 동일한 횟수로 실험되도록 하여 각 인자의 주효과를 구할 수 있다. 즉, 최소한의 실험 횟수로도 효율적인 실험이 가능하다는 장점이 있다. 직교표를 사용하는 실험은 교호 작용보다는 주효과만을 파악하는 데 적합하다.

7. 4. 소프트웨어 테스팅

직교 배열 테스트는 체계적인 블랙 박스 테스트 기법으로, 소프트웨어 테스트의 통계적 방법이다.[25][26] 입력 수가 비교적 적지만, 모든 가능한 입력에 대한 완전한 테스트를 수행하기에는 너무 많을 때 사용된다.[25] 이는 컴퓨터 소프트웨어 시스템 내의 결함 있는 논리와 관련된 오류를 찾는 데 특히 효과적이다.[25] 직교 배열은 사용자 인터페이스 테스트, 시스템 테스트, 회귀 테스트 및 성능 테스트에 적용될 수 있다.

단일 처리를 구성하는 요인 수준의 순열은 해당 응답이 상관 관계가 없도록 선택되므로 각 처리는 고유한 정보 조각을 제공한다. 이러한 처리에서 실험을 구성하는 데 따른 순 효과는 최소 수의 실험에서 동일한 정보 조각이 수집된다는 것이다.

8. 역사

칼리암푸디 라다크리슈나 라오가 1947년에 직교 배열의 개념을 처음 도입하였다.[30] 혼합 수준 배열로의 일반화는 1973년에 이루어졌다.[15]

참조

[1] harvnb
[2] harvnb
[3] harvnb
[4] harvnb
[5] harvnb
[6] harvnb
[7] harvnb
[8] harvnb
[9] harvnb
[10] harvnb
[11] 문서
[12] harvnb
[13] harvnb
[14] harvnb
[15] harvnb
[16] harvnb
[17] harvnb
[18] harvnb
[19] harvnb
[20] harvnb
[21] harvnb
[22] harvnb
[23] harvnb
[24] harvnb
[25] 서적 Software Engineering: A Practitioner's Approach McGraw–Hill
[26] 웹사이트 Planning Efficient Software Tests https://paportal.pha[...] Phadke Associates, Inc.
[27] 서적 Orthogonal arrays: theory and applications http://neilsloane.co[...] Springer-Verlag 1999
[28] 저널 Association schemes and coding theory 1998-10
[29] 서적 Latin squares and applications North-Holland 2015
[30] 저널 Factorial experiments derivable from combinatorial arrangements of arrays 1947


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