진비엘 대수

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 예
5. 역사
참조

1. 개요

진비엘 대수는 가환환 K 위의 가군 A와 쌍선형 연산 ★: A⊗K A → A로 정의되며, (a ★ b) ★ c = a ★ (b ★ c) + a ★ (c ★ b)의 진비엘 항등식을 만족해야 한다. 진비엘 대수에 곱셈 ab = a★b + b★a를 부여하면 가환 결합 대수가 되며, 이는 리 대수가 라이프니츠 대수의 특수한 경우라는 사실의 코쥘 쌍대이다. 체 위의 벡터 공간 V로 생성되는 자유 진비엘 대수는 셔플 대수의 구조를 갖는다. 진비엘 대수는 1995년 장루이 로데에 의해 고안되었으며, "진비엘 대수"라는 이름은 장미셸 르메트르가 처음 사용하였다.

더 읽어볼만한 페이지

대수 구조 - 환 (수학)
환은 덧셈에 대해 아벨 군, 곱셈에 대해 모노이드를 이루며 분배 법칙이 성립하는 대수 구조로, 가환환과 비가환환으로 나뉘고 모든 비영 원소가 곱셈 역원을 갖는 비영 가환환을 체라고 한다.
대수 구조 - 계수
계수는 수학에서 다항식, 급수, 또는 식의 항에 곱해지는 곱셈 인자를 의미하며, 다항식에서는 숫자, 매개변수 등으로 나타낼 수 있고, 선형대수학, 푸리에 급수, 이항정리 등 다양한 분야에서 활용된다.
리 대수 - 베유 대수
베유 대수는 체 K 위의 리 대수 g에 대하여 정의되는 미분 등급 대수이며, g의 쌍대 공간과 그 등급 이동으로 생성되는 외대수와 대칭 대수의 텐서곱으로 표현되고, 리 군의 분류 공간의 주다발의 무한소 형태를 나타내는 완전열과 관련이 있다.
리 대수 - 아핀 리 대수
아핀 리 대수는 카츠-무디 대수의 특수한 경우로, 유한 차원 단순 리 대수에 대응하는 루프 대수의 중심 확장으로 구성되며, 딘킨 도표를 통해 분류되고, 끈 이론과 2차원 등각장론 등 다양한 분야에 응용된다.

진비엘 대수
진비엘 대수
정의	곱셈이 다음 관계를 만족시키는 대수이다. 여기서 x, y, z는 대수의 임의의 원소이다.
관계식	(x * y) * z = x * (y * z + z * y)
쌍대	진비엘 대수의 쌍대는 라이프니츠 대수이다.
어원	이 용어는 장루이 로데에 의해 만들어졌으며, 라이프니츠의 이름을 거꾸로 쓴 것이다.
참고 문헌
참고 문헌 목록	Loday 1995
추가 참고 문헌	Loday 2001, Zinbiel 2012

2. 정의

가환환 K 위의 '''진비엘 대수'''는 다음과 같은 데이터로 정의된다.

K-가군 A
K-쌍선형 이항 연산 (★): A⊗_KA → A

이 데이터는 다음과 같은 '''진비엘 항등식'''을 만족시켜야 한다.

(a ★ b) ★ c = a ★ (b ★ c) + a ★ (c ★ b)

3. 성질

진비엘 대수 $(A,\star)$ 에 다음과 같은 곱셈을 부여하면, 이는 가환 결합 대수를 이룬다.

: $ab = a\star b+b\star a$

즉, 진비엘 대수는 추가 구조를 갖춘 가환 결합 대수로 여길 수 있다. (이는 리 대수가 라이프니츠 대수의 특수한 경우라는 사실의 코쥘 쌍대이다.) 특히, 만약 $\tfrac12\in K$ 라면, 반대칭 괄호

: $[a,b] = a\star b-b\star a$

를 정의하여

: $a\star b=\frac12(ab+[a,b])$

를 정의하여, 진비엘 대수를 위와 같은 반대칭 괄호를 갖춘 가환 결합 대수로 생각할 수 있다. 이 경우, 반대칭 괄호는

: $[a,b]c+[ab,c]+를 따른다. (특히, 괄호를 모두 0으로 놓을 수 없다.)$

4. 예

체 위에서, 벡터 공간

V

로 생성되는 자유 진비엘 대수는 등급 벡터 공간으로서 상수항을 생략한 축소 텐서 대수

V \oplus V\otimes V\oplus V\otimes V\otimes V\oplus\dotsb

이다. 이에 대응되는 가환 결합 대수 구조는 셔플 대수의 것이다.

5. 역사

장루이 로데가 1995년에 고안하였다.^[4] “진비엘 대수”(algèbre de Zinbiel^프랑스어)라는 이름은 장미셸 르메트르(Jean-Michel Lemaire^프랑스어)가 최초로 사용하였으며,^[2] 라이프니츠 대수의 “라이프니츠”(Leibniz^de)의 철자를 뒤집은 것이다.

참조

_[1] harvnb
_[2] 서적 Dialgebras and related operads http://www.math.uiuc[...] Springer-Verlag
_[3] 서적 Operads and universal algebra http://www.worldscib[...] 2020-02-22
_[4] 논문 Cup-product for Leibniz cohomology and dual Leibniz algebras http://www.math.uiuc[...]

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com