라이프니츠 대수

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1. 개요

라이프니츠 대수는 가환환 K에 대해 정의되는 대수 구조로, 왼쪽 및 오른쪽 라이프니츠 대수로 구분된다. 왼쪽 라이프니츠 대수는 K-가군 L과 K-가군 준동형 [-,-]: L⊗K L → L을 포함하며, 야코비 항등식을 만족한다. 오른쪽 라이프니츠 대수는 연산 순서만 다를 뿐 왼쪽 라이프니츠 대수와 동치이다. 모든 리 대수는 라이프니츠 대수이며, 라이프니츠 대수가 리 대수가 되기 위한 필요충분조건은 [a, a] = 0을 만족하는 것이다. 1965년 알렉산드르 블로흐에 의해 "D-대수"로 처음 도입되었고, 1993년 장루이 로데가 대수적 K이론 연구 중 재발견하여 라이프니츠의 이름을 따 명명했다.

라이프니츠 대수

영어	Leibniz algebra
다른 이름	로데이 대수

분야

수학 분야	선형대수학, 추상대수학
연구	대수적 구조
참고	리 대수

역사적 배경

창시자	장루이 로데이

성질

정의	[[x, z], y]
곱셈	쌍선형 연산 x, y
관련 개념	리 대수, 결합 대수

참고 문헌

학술 논문	Barnes (2011a) Barnes (2011b) Patsourakos (2007) Ayupov, Omirov (1998)

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
- 3.1. 리 대수와의 관계
4. 역사
- 4.1. 알렉산드르 블로흐의 초기 연구 (1965)
- 4.2. 장루이 로데의 재발견과 대수적 K이론과의 연관성 (1993)

2. 정의

가환환 K 위의 왼쪽 및 오른쪽 라이프니츠 대수는 야코비 항등식을 사용하여 정의되며, 이항 연산의 표기 순서를 바꾸면 서로 동치가 된다.

왼쪽 라이프니츠 대수는 $[a,[b,c]] = a,b],c] + [b,[a,c$ 를 만족하고, 오른쪽 라이프니츠 대수는 $a,b],c] = [a,[c,b + [[a,c],b]$ 를 만족한다.

$(A,[-,-])$ 가 왼쪽 라이프니츠 대수라면, $[x,y]^{\operatorname{op}} = [y,x]$ 를 정의하여 $(A,[-,-]^{\operatorname{op}})$ 오른쪽 라이프니츠 대수를 얻을 수 있다.

2.1. 왼쪽 라이프니츠 대수

가환환 $K$ 가 주어졌다고 하자. $K$ 위의 왼쪽 라이프니츠 대수 $(K,[-,-])$ 는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

* $K$ -가군 $L$
* $K$ -가군 준동형 $[-,-]\colon L\otimes_KL\to L$ . 편의상 $[-,-]\colon a\otimes_Kb\mapsto [a,b]$ 로 표기하자.

이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

:(야코비 항등식) 임의의 $a,b,c\in L$ 에 대하여, $[a,[b,c]] = a,b],c] + [b,[a,c$

즉, 만약

: $\operatorname{ad}_xy = [x,y]$

를 정의하면, 야코비 항등식은 다음과 같다.

: $[\operatorname{ad}_a,\operatorname{ad}_b]c = \operatorname{ad}_{[a,b]}c$

2.2. 오른쪽 라이프니츠 대수

가환환 $K$ 위의 오른쪽 라이프니츠 대수는 다음을 만족한다.

* 임의의 $a,b,c\in L$ 에 대하여, $a,b],c] = [a,[c,b + [[a,c],b]$ 이다. (여기서 $\operatorname{ad}_xy = [x,y]$ 이다.)

이는 야코비 항등식을 만족한다.

* $[\operatorname{ad}_a,\operatorname{ad}_b]c = \operatorname{ad}_{[a,b]}c$ (여기서 $\operatorname{ad}_xy = [y,x]$ 이다.)

2.3. 동치 관계

가환환 $K$ 위의 왼쪽 라이프니츠 대수와 오른쪽 라이프니츠 대수는 사실상 동치이며, 이항 연산의 표기에서 두 항의 순서를 바꾼 것에 불과하다. 즉, $(A,[-,-])$ 가 왼쪽 라이프니츠 대수라면, 다음과 같이 정의한다.

: $[x,y]^{\operatorname{op}} = [y,x]$

그러면 $(A,[-,-]^{\operatorname{op}})$ 은 오른쪽 라이프니츠 대수가 된다.

3. 성질

임의의 가환환 $K$ 에 대하여, 모든 $K$ -리 대수는 항상 $K$ -라이프니츠 대수이다. 반대로, $K$ -라이프니츠 대수 $L$ 이 리 대수가 될 필요충분조건은 다음과 같다.

: $[a,a]=0\qquad\forall a\in L$

3.1. 리 대수와의 관계

4. 역사

라이프니츠 대수는 1965년 알렉산드르 블로흐(Alexandr M. Bloch)가 "D-대수"(D-алгебра^러시아어)라는 이름으로 처음 도입하였다. 1993년 장루이 로데가 대수적 K이론을 연구하던 중 이 개념을 재발견하였으며, 고트프리트 빌헬름 라이프니츠의 이름을 따 “라이프니츠 대수”(algèbre de Leibniz^프랑스어)라는 용어를 사용하기 시작했다.

4.1. 알렉산드르 블로흐의 초기 연구 (1965)

1965년에 알렉산드르 블로흐(Алекса́ндр М. Блох^러시아어)가 "D-대수"(D-алгебра^러시아어)라는 이름으로 도입하였다.

4.2. 장루이 로데의 재발견과 대수적 K이론과의 연관성 (1993)

1965년에 알렉산드르 블로흐가 도입하였으며, 블로흐는 이를 “D-대수”(D-алгебра^러시아어)라고 불렀다. 이 개념은 한동안 잊혀져 있다가, 1993년에 장루이 로데가 대수적 K이론을 연구하던 도중 이 개념을 재발견하였으며, 고트프리트 빌헬름 라이프니츠의 이름을 딴 “라이프니츠 대수”(algèbre de Leibniz^프랑스어)라는 용어를 도입하였다.