천의 정리
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1. 개요
천의 정리는 충분히 큰 짝수를 두 소수의 합 또는 소수와 반소수의 합으로 나타낼 수 있다는 정리이다. 이 정리는 1966년 천징룬에 의해 처음 언급되었고, 1973년에 더 자세한 증명이 발표되었다. 이 정리는 골드바흐의 추측으로 가는 중요한 발걸음이며, 체 방법을 활용한 주목할 만한 결과이다. 천의 정리는 알프레드 레니의 이전 결과를 강화한 형태이다. 이후 천의 정리는 확장 및 변형되었으며, 2002년 차이잉춘은 천의 정리를 확장한 정리를 발표했고, 2015년 토모히로 야마다는 명시적 버전의 증명을 제시했다. 2022년에는 마테오 보르디뇽이 야마다의 증명에서 오류를 발견하고 대체 증명을 제공했으며, 보르디뇽과 발레리아 스타리치코바는 일반화된 리만 가설을 가정하여 하한을 낮추는 결과를 발표했다.
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| 천의 정리 | |
|---|---|
| 개요 | |
| 이름 | 천의 정리 |
| 분야 | 수론 |
| 설명 | 모든 충분히 큰 짝수는 소수와 많아야 두 개의 소수의 곱의 합으로 표현될 수 있다. |
| 내용 | |
| 명제 | 충분히 큰 모든 짝수 n은 p + q의 형태로 표현될 수 있다. 여기서 p는 소수이고 q는 소수이거나 두 소수의 곱이다. |
| 수식 | p + n (p는 소수, n은 소수이거나 두 소수의 곱) |
| 역사 | |
| 제창자 | 천징룬 |
| 발표 년도 | 1966년 (부분적인 결과), 1973년 (완전한 증명) |
| 중요성 | |
| 골드바흐 추측과의 관계 | 골드바흐 추측에 대한 중요한 진전 |
| 응용 | 소수 분포 연구 |
| 관련 개념 | |
| 관련 개념 | 소수, 골드바흐 추측, 쌍둥이 소수 추측 |
| 참고 문헌 | |
| 참고 문헌 | 陳景潤 (1966). On the representation of a large even integer as the sum of a prime and the product of at most two primes. Kexue Tongbao, 11(9), 385–386. 陳景潤 (1973). On the representation of a larger even integer as the sum of a prime and the product of at most two primes. Sci. Sinica, 16, 157–176. Ross, P.M. (1975). On Chen's theorem that each large even number has the form (p1+p2) or (p1+p2p3). J. London Math. Soc. (2), 10(4), 500–506. doi:10.1112/jlms/s2-10.4.500 Cai, Y.C. (2002). Chen's Theorem with Small Primes. Acta Mathematica Sinica, 18(3), 597–604. doi:10.1007/s101140200168 |
| 관련 링크 | |
| 관련 링크 | MathWorld의 천의 정리 |
2. 공식화
이 정리는 다음과 같이 공식화할 수 있다.
천징룬이 이 정리를 처음으로 언급한 것은 1966년 논문에서였다.[15] 보다 상세한 증명은 1973년 논문에서 이루어졌는데, 이 정리를 증명하기 위해 체 이론(대수학의 체론과는 다른 이론)을 사용하였다.[16] 같은 논문에서 발표한 천의 두 번째 정리는 다음과 같다.[16]
- 임의의 양의 짝수 h에 대하여 p+h도 소수이거나 반소수가 되는 무한히 많은 소수 p가 존재한다.
3. 역사
1966년 중국의 수학자 천징룬이 처음으로 이 정리를 언급했으며,[1] 1973년에 더 자세한 증명이 발표되었다.[2] 1975년 P. M. 로스에 의해 천징룬의 원래 증명은 크게 단순화되었다.[3] 천징룬은 이 정리를 증명하기 위해 체 이론(Sieve theory, 대수학의 체론과는 다른 이론)을 사용하였다.[16]
천의 정리는 골드바흐의 추측으로 가는 큰 발걸음이자, 체 방법의 주목할 만한 결과로 평가받는다.
천의 정리는 1947년 알프레드 레니의 연구 결과를 강화한 것이다. 레니는 어떤 짝수도 소수와 최대 ''K''개의 소수의 곱의 합으로 나타낼 수 있도록 하는 유한한 ''K''가 존재함을 보였다.[4][5]
4. 확장 및 변형
천의 정리는 다음과 같이 요약할 수 있다.
천징룬은 1966년 논문에서 이 정리를 처음 발표했고,[15] 1973년 논문에서 체 이론을 사용하여 더 자세한 증명을 제시했다.[16] 같은 논문에서 천징룬은 다음의 두 번째 정리를 발표했다.[16]
- 임의의 양의 짝수 ''h''에 대하여, ''p'' + ''h''가 소수이거나 반소수인 무한히 많은 소수 ''p''가 존재한다.
천의 1973년 논문은 거의 동일한 증명을 가진 두 가지 결과를 제시했다.[2] 골드바흐 추측에 관한 정리 I은 위에 언급되었다. 정리 II는 쌍둥이 소수 추측에 관한 것으로, ''h''가 양의 짝수 정수이면 ''p'' + ''h''가 소수이거나 두 소수의 곱으로 표현되는 소수 ''p''가 무한히 많다는 내용이다.
4. 1. 최근의 결과
2002년 중국의 차이잉춘(蔡迎春|Cài Yíngchūn중국어)은 천의 정리를 확장한 다음 정리를 발표하였다.[17][6]- 어떤 자연수 N이 존재하여 N보다 큰 모든 짝수 n은 소수 혹은 반소수와 n0.95보다 크지 않은 소수의 합으로 쓸 수 있다.
토모히로 야마다(Tomohiro Yamada)는 2015년에 첸의 정리에 대한 다음 명시적 버전의 증명을 주장했다:[7]
:보다 큰 모든 짝수는 소수와 최대 두 개의 소수의 곱의 합으로 표현될 수 있다.
2022년, 마테오 보르디뇽(Matteo Bordignon)은 야마다의 증명에서 여러 오류를 발견하고, 하한에 대한 대체 증명을 제공했다:[8]
:보다 큰 모든 짝수는 소수와 최대 두 개의 소인수를 가진 제곱 인수가 없는 수의 합으로 표현될 수 있다.
또한 2022년에, 보르디뇽과 발레리아 스타리치코바(Valeriia Starichkova)는 디리클레 L-함수에 대한 일반화된 리만 가설(GRH)을 가정하면 하한을 까지 낮출 수 있음을 보였다.[9] 2024년, 보르디뇽과 스타리치코바는[10] 이 결과를 개선하여 하한을 까지 낮췄다.
참조
[1]
논문
On the representation of a large even integer as the sum of a prime and the product of at most two primes
[2]
논문
On the representation of a larger even integer as the sum of a prime and the product of at most two primes
[3]
논문
On Chen's theorem that each large even number has the form (p1+p2) or (p1+p2p3)
[4]
웹사이트
University of St Andrews - Alfréd Rényi
http://www-groups.dc[...]
[5]
논문
On the representation of an even number as the sum of a prime and an almost prime
[6]
논문
Chen's Theorem with Small Primes
[7]
arXiv
Explicit Chen's theorem
2015-11-11
[8]
논문
An Explicit Version of Chen's Theorem
Cambridge University Press (CUP)
2022-02-08
[9]
arXiv
An explicit version of Chen's theorem assuming the Generalized Riemann Hypothesis
2022
[10]
논문
An explicit version of Chen’s theorem assuming the Generalized Riemann Hypothesis
2024
[11]
논문
On the representation of a large even integer as the sum of a prime and the product of at most two primes
[12]
논문
On the representation of a larger even integer as the sum of a prime and the product of at most two primes
[13]
논문
On Chen's theorem that each large even number has the form (p1+p2) or (p1+p2p3)
[14]
논문
Chen's Theorem with Small Primes
[15]
간행물
On the representation of a large even integer as the sum of a prime and the product of at most two primes
[16]
간행물
On the representation of a larger even integer as the sum of a prime and the product of at most two primes
[17]
논문
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