축약 가능 공간

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 국소 축약 가능 공간
3. 성질
- 3.1. 국소 축약 가능 공간의 성질
4. 예시 및 반례
참조

1. 개요

축약 가능 공간은 위상 공간 X에 대해 항등 함수가 널호모토픽하거나 X가 한 점으로 이루어진 위상 공간과 호모토피 유형을 갖는 공간을 의미한다. 모든 축약 가능 공간은 경로 연결 공간이자 단일 연결 공간이며, 호모토피 군과 환원 호몰로지 군이 모두 자명하다. 유클리드 공간, 별 모양 영역, 화이트헤드 다양체 등이 축약 가능 공간의 예시이며, n-구는 축약 불가능 공간의 예시이다. 국소 축약 가능 공간은 모든 n ≥ 0에 대해 국소 n-연결이다.

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축약 가능 공간
정의
설명	공간 X가 한 점으로 연속적으로 줄어들 수 있다면, 즉 항등사상 idX가 상수 사상과 호모토픽하면, X를 가축 공간이라고 한다.
추가 설명	X의 모든 점 x에 대해, X에서 x로의 사상이 0-호모토픽이면 X는 가축 공간이다.
성질
호모토피 불변성	가축 공간은 호모토피 동치에 의해 보존된다. 즉, X가 가축 공간이고 X와 Y가 호모토피 동치이면 Y도 가축 공간이다.
기본군	가축 공간의 기본군은 자명하다.
호몰로지 군	가축 공간의 모든 축소 호몰로지 군은 자명하다.
특이점	가축 공간은 특이점을 가질 수 있다. 콤 (comb) 공간이 그 예이다.
예시
유클리드 공간	모든 유클리드 공간 R^n은 가축 공간이다.
볼록 집합	R^n의 모든 볼록 집합은 가축 공간이다.
별 모양 영역	R^n의 모든 별 모양 영역은 가축 공간이다.
콤 공간	콤 (comb) 공간은 가축 공간이지만 국소적으로 경로 연결되어 있지 않다.
관련 개념
0에 호모토픽	0에 호모토픽 (null-homotopic)
축소 호몰로지 군	축소 호몰로지 군 (Reduced homology)

2. 정의

위상 공간 $X$ 에 대하여 다음 두 조건은 서로 동치이며, 이를 만족시키는 공간을 '''축약 가능 공간'''이라고 한다.^[5]^[6]

항등 함수 $I_X \colon X \to X$ 가 널호모토픽하다.
$X$ 가 한 점으로 이루어진 위상 공간 $\{c\}$ 와 같은 호모토피 유형을 갖는다.

축약 가능 공간은 정확히 호모토피 유형이 점인 공간이다. 따라서 축약 가능 공간의 모든 호모토피 군은 자명군이다. 그러므로 자명하지 않은 호모토피 군을 가진 공간은 축약 가능할 수 없다. 마찬가지로, 특이 호몰로지는 호모토피 불변량이므로, 축약 가능 공간의 환원 호몰로지 군은 모두 자명하다.

비어있는 위상 공간 ''X''에 대해 다음은 모두 동치이다.

''X''는 축약 가능하다(즉, 항등 사상이 영호모토피이다).
''X''는 한 점 공간과 호모토피 동치이다.
''X''는 점으로 변형 후퇴한다. (그러나, 점으로 ''강하게'' 변형 후퇴하지 않는 축약 가능 공간이 존재한다.)
임의의 경로 연결 공간 ''Y''에 대해, 임의의 두 사상 ''f'',''g'': ''X'' → ''Y''는 호모토피적이다.
임의의 비어있지 않은 공간 ''Y''에 대해, 임의의 사상 ''f'': ''Y'' → ''X''는 영호모토피이다.

공간 ''X''에 대한 원뿔은 항상 축약 가능하다. 따라서 모든 공간은 축약 가능한 공간에 임베딩될 수 있다(이는 축약 가능한 공간의 부분 공간이 반드시 축약 가능할 필요는 없다는 것을 보여준다).

더욱이, ''X''는 만약 그리고 만약에만 ''X''의 원뿔에서 ''X''로의 변형 후퇴가 존재한다.

모든 축약 가능 공간은 경로 연결되어 있고 단순 연결되어 있다. 게다가, 모든 고차 호모토피 군이 소멸하므로, 모든 축약 가능 공간은 모든 ''n'' ≥ 0에 대해 ''n''-연결되어 있다.

2. 1. 국소 축약 가능 공간

임의의 점

x\in X

와 그 열린 근방

U\ni x

에 대하여, 축약 가능 공간인 열린 근방

x\in V\subseteq U

가 존재한다. locally contractible space^영어

위상 공간 ''X''가 모든 근방 ''U''에 대해 ''x''를 포함하고, ''U''에 포함된 ''x''의 근방 ''V''가 존재하여, ''V''의 포함이 ''U''에서 영호모토피가 될 때, '''점에서의 국소 가변'''이라고 한다. 모든 점에서 국소 가변성을 가지면 '''국소 가변'''이라고 한다.

모든 점이 가변 근방의 국소 기저를 가지면, ''X''는 '''강하게 국소 가변'''이라고 한다. 빗 공간은 가변적이지만 국소 가변적이지 않다.^[5] 국소 가변 공간은 모든 ''n'' ≥ 0에 대해 국소 ''n''-연결이다. 특히 국소 단일 연결, 국소 경로 연결 및 국소 연결이다. 원은 (강하게) 국소 가변적이지만 가변적이지 않다.

강한 국소 가변성은 국소 가변성보다 엄격하게 더 강한 성질이다.

3. 성질

모든 축약 가능 공간은 경로 연결 공간이며, 단일 연결 공간이다. 축약 가능 공간의 모든 호모토피 군은 자명군이며, 환원 호몰로지 군 또한 모두 자명하다. 자명하지 않은 호모토피 군을 가진 공간은 축약 가능할 수 없다.

공간 ''X''에 대한 원뿔은 항상 축약 가능하다. 따라서 모든 공간은 축약 가능한 공간에 임베딩될 수 있다.

3. 1. 국소 축약 가능 공간의 성질

국소 축약 가능 공간은 모든 ''n'' ≥ 0에 대해 국소 ''n''-연결이다. 특히 국소 단일 연결, 국소 경로 연결 및 국소 연결이다.^[1] 강한 국소 가변성은 국소 가변성보다 엄격하게 더 강한 성질이다. 보르수크와 마주르키에비츠는 첫 번째 반례를 제시하였다.^[1]

4. 예시 및 반례

모든 유클리드 공간은 축약 가능하며, 유클리드 공간상의 모든 별 모양 영역도 축약 가능하다.^[6]
화이트헤드 다양체는 축약 가능하다.^[6]
유한 차원의 구는 축약 불가능하다.^[6]
무한 차원 힐베르트 공간의 단위 구는 축약 가능하다.(카위퍼르의 정리)^[6]
두 개의 방이 있는 집은 축약 가능하지만 직관적이지 않은 공간의 표준적인 예이다.^[6]
던스 모자는 축약 가능하지만 붕괴될 수 없다.^[6]
하와이언 이어링의 원뿔은 (원뿔이므로) 축약 가능하지만, 국소적으로 축약 가능하지 않으며 국소적으로 단일 연결되지도 않는다.^[6]
바르샤바 원은 모든 호모토피 군이 자명하지만 수축 가능하지 않은 1차원 연속체이다.^[6]
모든 다양체와 CW 복합체는 ''국소적''으로 축약 가능하지만, 일반적으로 축약 가능하지 않다.^[6]
빗 공간은 가변적이지만 국소 가변적이지 않다 (국소 연결이 아니기 때문).^[6]

참조

_[1] 서적 Topology Prentice Hall
_[2] 서적 Algebraic Topology http://pi.math.corne[...] Cambridge University Press
_[3] 서적 Topology Prentice Hall
_[4] 서적 Algebraic Topology http://www.math.corn[...] Cambridge University Press
_[5] 서적 Topology http://www.pearsonhi[...] Prentice Hall
_[6] 서적 조합적 곡면위상론 경문사

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