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코시 부등식

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목차

1. 개요

코시 부등식은 복소해석학에서 정칙 함수의 도함수의 크기를 제한하는 부등식이다. 연결 열린 집합 D에 정의된 정칙 함수 f에 대해, 음이 아닌 정수 n, D의 원소 z₀, 0 < r < d(z₀, ∂D)를 만족하는 r에 대해 부등식 |f⁽ⁿ⁾(z₀)| ≤ (n! / rⁿ)sup|z-z₀|=r|f(z)|가 성립한다. 코시 적분 공식을 통해 간단히 증명되며, 콤팩트 집합 위의 부등식, 콤팩트 수렴 정칙 함수열의 성질, 리우빌 정리 등을 이끌어낸다. 프랑스 수학자 오귀스탱 루이 코시가 증명했다.

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코시 부등식

2. 정의

연결 열린집합 D\subseteq\mathbb C에 정의된 정칙 함수 f\colon D\to\mathbb C가 주어졌다고 하자. '''코시 부등식'''에 따르면, 임의의 음이 아닌 정수 n 및 z_0\in D 및 0에 대하여, 다음이 성립한다.

:|f^{(n)}(z_0)|\le\frac{n!}{r^n}\sup_

3. 증명

코시 부등식은 코시 적분 공식으로부터 다음과 같이 간단히 유도된다.

:\begin{align}|f^{(n)}(z_0)|

&=\left|\frac{n!}{2\pi i}\int_{|z-z_0|=r}\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}\mathrm dz\right|\\

&\le\frac{n!}{2\pi}\int_{|z-z_0|=r}\frac

{|z-z_0|^{n+1}}\left|\mathrm dz\right|\\

&\le\frac{n!}{2\pi r^{n+1}}\cdot\sup_{|z-z_0|=r}|f(z)|\cdot\int_{|z-z_0|=r}|\mathrm dz|\\

&=\frac{n!}{r^n}\sup_{|z-z_0|=r}|f(z)|

\end{align}

4. 따름정리

4. 1. 콤팩트 집합 위의 부등식

연결 열린집합 D\subseteq\mathbb C에 정의된 정칙 함수 f\colon D\to\mathbb C가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 음이 아닌 정수 n 및 콤팩트 집합 K\subseteq D 및 z_0\in K에 대하여, 다음이 성립한다.[1]

:|f^{(n)}(z_0)|\le\frac{n!}{d(K,\partial D)^n}\sup_{z\in D}|f(z)|

여기서

:d(K,\partial D)=\inf_{z\in K,\;z'\in\partial D}|z-z'|

이다.

이는 코시 부등식에 의하여, 임의의 0에 대하여

:|f^{(n)}(z_0)|\le\frac{n!}{r^n}\sup_

4. 2. 콤팩트 수렴 정칙 함수열의 성질

연결 열린 집합 D\subseteq\mathbb C에 정의된 정칙 함수열 f_n\colon D\to\mathbb C가 함수 f\colon D\to\mathbb C로 콤팩트 수렴한다고 하자. (이 경우 f는 정칙 함수이다.) 그렇다면, 임의의 음이 아닌 정수 k에 대하여, f_n^{(k)} 역시 f^{(k)}로 콤팩트 수렴한다.

임의의 콤팩트 집합 K\subseteq D를 취하자. 그렇다면,

:\tilde K=\{z\in D\colon d(z,K)\le d(K,\partial D)/2\}

역시 콤팩트 집합이므로, f_n은 \tilde K에서 f로 균등 수렴한다. 또한, 코시 부등식에 의하여, 임의의 z\in K에 대하여,

:|f_n^{(k)}(z)-f^{(k)}(z)|\le\frac{k!}{d(K,\partial\tilde K)^k}\sup_{z\in\tilde K}|f_n(z)-f(z)|

이다. 따라서, f_n^{(k)}는 K에서 f^{(k)}로 균등 수렴한다.

4. 3. 리우빌 정리

리우빌 정리에 따르면, 모든 유계 전해석 함수는 상수 함수이다.

유계 전해석 함수 f\colon\mathbb C\to\mathbb C가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 코시 부등식에 의하여, 임의의 z_0\in\mathbb C 및 r>0에 대하여,

:|f'(z_0)|\le\frac 1r\sup_{z\in\mathbb C}|f(z)|

이므로,

:|f'(z_0)|\le\lim_{r\to 0^+}\frac 1r\sup_{z\in\mathbb C}|f(z)|=0

이다. 즉, 임의의 z_0\in\mathbb C에 대하여, f'(z_0)=0이며, 따라서 f는 상수 함수이다.

5. 역사

프랑스의 수학자 오귀스탱 루이 코시가 증명하였다.


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