전해석 함수

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 값의 분포
5. 영점
6. 증가도
- 6.1. 테일러 급수의 최대항
7. 종수
8. 점근값
9. 플라그멘–린델뢰프 지시 함수
10. 폴리아 정리
11. 크라프트-블루멘탈 이론
12. 응용
참조

1. 개요

전해석 함수는 복소 평면 전체에서 해석적인 함수로, 무한 번 미분 가능하며 테일러 급수로 표현할 수 있다. 전해석 함수는 다항 함수와 초월 전해석 함수로 분류되며, 특이점에 따라 복소해석 함수를 분류하기도 한다. 전해석 함수는 리우빌 정리, 피카르 정리, 바이어슈트라스 인수분해 정리 등의 성질을 갖는다. 또한 전해석 함수의 증가도, 영점, 점근값, 지시 함수 등을 통해 함수의 특성을 분석할 수 있으며, 폴리아 정리와 크라프트-블루멘탈 이론도 전해석 함수 연구에 기여한다. 전해석 함수는 바이어슈트라스 시그마 함수, 프레넬 적분, 야코비 세타 함수 등 다양한 함수에 적용되며, 대수학의 기본 정리 증명, 리만 제타 함수 연구, 유리형 함수 연구 등 수학의 여러 분야에 응용된다.

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전해석 함수

2. 정의

함수 $f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ 가 복소 평면 $\mathbb{C}$ 위의 모든 점에서 해석적이면 $f$ 를 '''전해석 함수'''라고 한다. 그러므로 전해석 함수는 복소 평면 위의 모든 점에서 무한 번 미분 가능한 함수이고, 테일러 급수로 나타낼 수 있으며, 코시-리만 방정식을 만족하는 복소 함수이다.

전해석 함수를 급수로 나타냈을 때 유한 급수인 것이 '''다항 함수'''이고, 무한 급수로 나타나는 것이 '''초월 전해석 함수'''이다. 모든 전해석 함수 $f(z)$ 는 단일 멱급수로 표현될 수 있다.

$\ f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n z^n\$

이 멱급수는 복소 평면의 모든 곳에서 수렴하며, 따라서 콤팩트 집합 위에서 균등하게 수렴한다. 수렴 반경은 무한대이며, 이는 다음을 의미한다.

$\ \lim_{n\to\infty} |a_n|^{\frac{1}{n}} = 0\$

이 기준을 만족하는 모든 멱급수는 전해석 함수를 나타낸다.

멱급수의 계수가 모두 실수인 경우, 함수는 실수 인수에 대해 실수 값을 가지며, $z$ 의 복소 켤레수에서의 함수 값은 $z$ 에서의 값의 복소 켤레가 된다.

전해석 함수의 실수부가 한 점의 근방에서 알려져 있다면, 전체 복소 평면에서 실수부와 허수부가 모두 알려져 있으며, 허수 상수를 알 수 있다. 예를 들어, 실수부가 0의 근방에서 알려져 있다면, 실수 변수 $r$ 에 대한 다음 도함수로부터 $n>0$ 에 대한 계수를 찾을 수 있다.

$\begin{align}\operatorname\mathcal{Re} \left\{\ a_n\ \right\} &= \frac{1}{n!} \frac{d^n}{dr^n}\ \operatorname\mathcal{Re} \left\{\ f(r)\ \right\} && \quad \mathrm{ at } \quad r = 0 \\\operatorname\mathcal{Im}\left\{\ a_n\ \right\} &= \frac{1}{n!} \frac{d^n}{dr^n}\ \operatorname\mathcal{Re} \left\{\ f\left( r\ e^{-\frac{i\pi}{2n}} \right)\ \right\} && \quad \mathrm{ at } \quad r = 0\end{align}$

바이어슈트라스 인수분해 정리는 임의의 전해석 함수가 영점 (또는 "근")을 포함하는 곱으로 표현될 수 있음을 주장한다.

복소 평면의 전해석 함수는 정역을 형성한다. 또한 복소수에 대한 가환 단위적 결합 대수를 형성한다.

3. 성질

모든 전해석 함수 $f(z)$ 는 다음과 같은 단일 멱급수로 표현될 수 있다.

: $f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n z^n$

이 멱급수는 복소 평면의 모든 곳에서 수렴하며, 콤팩트 집합 위에서 균등하게 수렴한다. 수렴 반경은 무한대이다. 멱급수의 계수가 모두 실수인 경우, 함수는 실수 인수에 대해 실수 값을 가지며, $z$ 의 복소 켤레수에서의 함수 값은 $z$ 에서의 값의 복소 켤레가 된다. 전해석 함수의 실수부가 한 점의 근방에서 알려져 있다면, 전체 복소 평면에서 실수부와 허수부가 모두 알려져 있으며, 허수 상수를 더한 값까지 알 수 있다.

복소 평면의 전해석 함수는 정역을 형성한다. 또한 복소수에 대한 가환 단위적 결합 대수를 형성한다.

카소라티-바이어슈트라스 정리에 의해, 모든 초월 전해석 함수 $f$ 와 모든 복소수 $w$ 에 대해 다음이 성립한다.

: $\lim_{m\to\infty} |z_m| = \infty, \qquad \text{and} \qquad \lim_{m\to\infty} f(z_m) = w ~.$

3. 1. 리우빌 정리

리우빌 정리에 따르면, 유계 함수인 전해석 함수는 상수 함수뿐이다. 유계(bounded)는 전해석함수의 중요한 특성을 나타낸다. 이 정리에 따라 상수함수가 아닌 전해석함수는 반드시 무한점(

\infty

)을 특이점으로 갖는다. 무한 특이점은 극점 또는 본질적 특이점(essential singularity)이며, 무한 특이점에서 극(극점)을 갖는 전해석 함수는 다항함수이고, 본질적 특이점을 갖는 함수는 초월 전해석 함수이다.

리우빌의 정리는 유계 전해석 함수는 상수여야 한다고 명시하며, 대수학의 기본 정리를 증명하는 데 사용될 수 있다.

리우빌 정리의 결과로, 전체 리만 구에서 전해석인 함수는 상수이다. 따라서 비상수 전해석 함수는 복소 무한대 점에서 극점(다항식의 경우) 또는 본질적 특이점(초월 전해석 함수의 경우)과 같은 수학적 특이점을 가져야 한다.

피카르의 소정리는 모든 비상수 전해석 함수는 단일 예외를 제외하고 모든 복소수를 값으로 사용한다는, 리우빌 정리보다 더 강력한 결과이다. 예외가 존재하는 경우, 이를 함수의 결손 값이라고 한다.

리우빌의 정리는 다음 명제의 특수한 경우이다.

M,

R

은 양의 상수이고

n

은 음이 아닌 정수라고 가정할 때,

|z| \ge R,

인 모든

z

에 대해 부등식

|f(z)| \le M |z|^n

을 만족하는 전해석 함수

f

는 반드시

n

차 이하의 차수를 가진 다항식이다. 마찬가지로,

|z| \ge R,

인 모든

z

에 대해 부등식

M |z|^n \le |f(z)|

을 만족하는 전해석 함수

f

는 반드시 차수가

n

이상인 다항식이다.

전해석 함수에 관한 중요한 결과로서 리우빌의 정리가 있다.

; 정리 (리우빌): 전해석 함수가 유계이면, 상수 함수이다.

이 정리는 코시 부등식을 적용하여 증명할 수 있다. 즉,

R

이 무엇이든

M(R)

이 유계라는 것에 주의하여,

R

을 무한대로 보내면 원하는 결과를 얻는다.

3. 2. 피카르의 정리

피카르의 소정리에 따르면, 상수 함수가 아닌 전해석 함수는 많아야 하나의 값을 제외한 모든 복소수 값을 취한다. 예를 들어 지수 함수

e^z = c

는

c = 0

인 경우를 제외하고 항상 해를 갖는다. 피카르의 소정리는 리우빌 정리보다 수학적으로 더 강력하다.

피카르의 소정리는 모든 비상수 전해석 함수는 단 하나의 예외를 제외하고 모든 복소수를 값으로 취한다는 강력한 결과를 제시한다. 예외가 존재하는 경우, 이를 함수의 결손 값이라고 한다.

3. 3. 바이어슈트라스 인수분해 정리

바이어슈트라스 인수분해 정리는 임의의 전해석 함수가 영점(또는 "근")을 포함하는 곱으로 표현될 수 있음을 보여준다.^[3]

바이어슈트라스는 유한 증가도의 임의의 정함수 f에 대해, f가 복소수

a_n \ne 0

에서 0이 되지 않는다면, 차수가 ρ 이하인 다항식 P(s)와 정수 m ≤ ρ 가 존재하여,

f(s)=s^p\exp(P(s))\prod_{n=1}^\infty E\left(\frac{s}{a_n},m\right)

로 나타낼 수 있음을 보였다. 단,

E(u,m)=(1-u)e^{u+u^2/2+\dotsb+u^m/m}

이다. 인자

s^p

는 함수가 원점 0에서 위수 p의 영점을 갖는 것에 대응한다.

3. 4. 아다마르 인수분해 정리

Jacques Hadamard^프랑스어의 정규 표현(아다마르 인수분해 정리)에 따르면, 유한 차수 전해석 함수는 다음과 같은 형태를 갖는다.

:

f(z)=z^me^{P(z)}\prod_{n=1}^\infty\left(1-\frac{z}{z_n}\right)\exp\left(\frac{z}{z_n}+\cdots+\frac{1}{p} \left(\frac{z}{z_n}\right)^p\right),

여기서

z_k

는

f

의 근 중 0이 아닌 것(

z_k \neq 0

)을 나타내며,

m

은

z = 0

에서

f

의 영점의 차수(

m = 0

인 경우

f(0) \neq 0

을 의미)이고,

P

는 다항식(차수를

q

라고 함)이며,

p

는 다음 급수가 수렴하도록 하는 가장 작은 음이 아닌 정수이다.

:

\sum_{n=1}^\infty\frac{1}

4. 값의 분포

피카르의 소정리에 따르면, 상수 함수가 아닌 전해석 함수는 많아야 하나의 예외 값을 제외하고 모든 복소수를 함수값으로 가진다. 그렇지 않은 값이 있다면 그 수는 하나뿐이다. 예를 들어

e^z=c

는

c=0

인 경우를 제외하고 항상 해를 갖는다. 피카르의 소정리는 리우빌 정리보다 수학적으로 더 강한 의미를 갖는다.

정해석 함수의 값 분포에 관한 가장 중요한 결과는 피카르의 소정리인데, "상수가 아닌 정해석 함수는 많아야 하나의 예외 값을 제외하고 모든 복소수를 값으로 가진다"는 내용을 담고 있다. 이때, 함수가 가지지 않는 값이 존재하면 이를 "피카르의 예외 값"이라고 부른다.^[3] 더 정확한 결과는 함수의 증가도에 따라 달라진다.^[3]

비정수 증가도의 경우: 증가도가 정수가 아닌 경우, 피카르의 소정리에서 언급된 예외 값을 가질 수 없다. 즉, 그러한 정해석 함수는 $x$ 의 값에 관계없이 방정식 $f(s) = x$ 가 무한 개의 해를 가진다. 특히, 증가도가 정수가 아닌 임의의 정해석 함수는 무한 개의 영점을 갖는다.^[4]

정수 증가도의 경우: 증가도가 정수인 경우에는 피카르의 예외 값이 존재할 수 있다. 이와 관련된 자세한 내용은 에밀 보렐에 의해 연구되었다.^[5] 방정식 $f(s) = x$ 의 절댓값이 $r$ 보다 작은 근의 개수 $n(x, r)$ 은 $x$ 의 많아야 하나의 값을 제외하고 $\ln M(r)$ 의 크기보다 작은 증가도를 가진다.^[5]

프랑스 수학자 미유(Milloux)는 1924년에 "충전 원"(cercles de remplissages)이라고 불리는 특정 원을 정의했다. 이는 다음과 같이 설명된다.

f(z)

는 정해석 함수이고,

\epsilon

은

1 > \epsilon > 0

인 원하는 만큼 작은 양수이며,

A(r) = (\ln M(r))^{1-\epsilon}

,

q(r) = \frac{\epsilon}{6}\ln \ln M(r)

라고 하자. 여기서

r

은 충분히 크고

\ln\ln M(r) > 343/\varepsilon

을 만족한다고 가정하면,

f(z)

는 다음 두 가지 성질 중 하나를 만족한다.

중심이 원주 $|z| = r$ 위에 있고 폭이 $\pi r / q(r)$ 인 구면 띠에서 부등식 $\ln |f(z)| > A(r)$ 이 성립한다.
중심이 원주 $|z| = r$ 위에 있고 반지름이 $8\pi r / q(r)$ 인 원(이를 충전 원이라고 부른다)이 적어도 하나 존재하여, 그 원 위에서 함수 $f(z)$ 는 절댓값 $A(r)$ 이하의 값을 하나의 값 $a(r)$ 의 근방을 제외하고 모두 가진다. 이 근방은 $a(r)$ 를 중심으로 하는 반지름 $2/A(r)$ 의 원에 포함된다.

이 충전 원은 방정식

f(z) = a

의 해를 결정하는 데 유용하다.

5. 영점

고립 영점의 원리: 함수 f는 영역 U 상에서 정의된 해석 함수이며, a에서 0이 된다. 이때, f는 항등적으로 0이거나, 그렇지 않으면 a를 중심으로 하는 원판 D가 존재하여, a와 다른 임의의 s ∈ D에 대해 f(s) ≠ 0이 성립한다.^[5] 이것은 해석적 연속의 원리로부터 나온 결과이다.

전해석 함수 보간: 전해석 함수의 증가도에 제약을 두지 않는다면, 그 전해석 함수는 집적점을 갖지 않는 집합(예: 정수 전체 집합) U 상에서 임의로 고정된 값을 취할 수 있다. 다시 말해, (a_n)_n∈N이 valeur d'adhérence|촉값^프랑스어을 갖지 않는 복소수열의 단사 수열이고, (z_n)_n∈N를 임의의 값을 갖는 복소수열이라고 하면, 전해석 함수 f가 존재하여 f(a_n) = z_n (∀n ∈ N)이다.^[5] 이 결과는 라그랑주 보간법과 유사하며, 바이어슈트라스 인수분해 정리 및 미타그-레플러 정리의 결론이다.^[5] 또한, 그러한 함수 두 개의 차이는 U 상에서 0이 되는 전해석 함수가 되므로, 다음 정리들을 적용할 수 있다.

대수학의 기본 정리에 따르면 차수 n의 다항식은 복소 평면 C에서 정확히 n개의 영점을 가지므로, 다항식은 영점을 많이 가질수록 증가도도 더 빨라진다. 이 사실은 전해석 함수에서도 마찬가지이지만, 더 복잡하다. 전해석 함수의 증가도와 영점 분포 사이의 관계는 다음과 같다.

; 정리: 유한 증가도 ρ 및 정밀 증가도 ρ(r)의 함수가, 절댓값 r 이하의 영점을 n(r)개 가진다고 하면, 부등식 $n(r) < \left(1+o(1)\right)\rho \, e \, r^{\rho(r)}$ 가 성립한다.

옌센 공식은 전해석 함수론의 일부를 이룬다. 옌센 공식은 그린의 공식으로부터 증명된다.

옌센 공식:

해석 함수 f가 원판 |z| < r의 내부에 영점 a₁, a₂, …, a_n을 가지면 다음이 성립한다.

$\ln |f(0)| = -\sum_{k=1}^n \ln\left(\frac{r}$

\right)+\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\ln|f(re^{i\theta})|d\theta

이 공식으로 영점의 개수와 전해석 함수의 증가도를 연결할 수 있다. 즉, f(s)가 전해석 함수이고, 그 임의의 영점 a_k가 반지름 r의 원판 내에 포함될 때, 절댓값이 x 이하인 영점의 개수를 n(x)라고 쓰면, 다음이 성립한다.

\sum_k\ln \frac{r}

= \int_0^r n(u)\frac{du}{u} (=:W(r))

따라서 0에서 0이 아닌 전해석 함수 f에 대해, 옌센 공식을 다음과 같은 형태로 쓸 수 있다.

W(r)+\ln |f(0)| < \ln M(r)

유한 증가도 ρ의 전해석 함수에 대해서는 n(r) < r^ρ+ε가 증명될 수 있다.

보렐 정리: 전해석 함수의 영점열의 수렴 지수는 그 전해석 함수의 증가도 이상이다.

6. 증가도

전해석 함수는 어떤 증가 함수만큼 빠르게 성장할 수 있다. 즉, 모든 증가 함수 $g:[0,\infty)\to[0,\infty)$ 에 대해 모든 실수 $x$ 에 대해 $f(x)>g(|x|)$ 를 만족하는 전해석 함수 $f$ 가 존재한다. 이러한 함수 $f$ 는 다음과 같은 형태로 찾을 수 있다.

$f(z)=c+\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{z}{k}\right)^{n_k}$

여기서 $c$ 는 상수이고, $n_k$ 는 엄격하게 증가하는 양의 정수열이다. 이러한 수열은 전해석 함수 $f(z)$ 를 정의하며, 거듭제곱을 적절하게 선택하면 모든 실수 $x$ 에 대해 부등식 $f(x)>g(|x|)$ 를 만족시킬 수 있다.

전해석 함수 $f(z)$ 의 '''차수'''(무한대에서)는 다음과 같이 상극한을 사용하여 정의된다.

$\rho = \limsup_{r\to\infty}\frac{\ln \left (\ln\| f \|_{\infty, B_r} \right ) }{\ln r},$

여기서 $B_r$ 은 반지름이 $r$ 인 원판이고, $\|f \|_{\infty, B_r}$ 는 $B_r$ 에서 $f(z)$ 의 상한 노름을 나타낸다. 차수는 음이 아닌 실수 또는 무한대이다(모든 $z$ 에 대해 $f(z) = 0$ 인 경우 제외). 즉, $f(z)$ 의 차수는 다음과 같은 모든 $m$ 의 하한이다.

$f(z) = O \left (\exp \left (|z|^m \right ) \right ), \quad \text{as } z \to \infty.$

만약 $0<\rho < \infty,$ 이면, '''''형'''''''도 정의할 수 있다.

$\sigma=\limsup_{r\to\infty}\frac{\ln \| f\|_{\infty, B_r}} {r^\rho}.$

만약 차수가 1이고 형이 $\sigma$ 이면, 그 함수는 "지수형 $\sigma$ "라고 한다. 만약 차수가 1보다 작으면 지수형 0이라고 한다.

만약 $f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n z^n,$ 이면, 차수와 형은 다음과 같은 공식으로 구할 수 있다.

$\begin{align}\rho &=\limsup_{n\to\infty} \frac{n\ln n}{-\ln|a_n|} \\[6pt](e\rho\sigma)^{\frac{1}{\rho}} &= \limsup_{n\to\infty} n^{\frac{1}{\rho}} |a_n|^{\frac{1}{n}}\end{align}$

$f^{(n)}$ 이 $f$ 의 $n$ 계 도함수를 나타낸다고 하자. 그러면 우리는 임의의 점 $z_0$ 에서의 도함수와 관련하여 이러한 공식을 다시 진술할 수 있다.

$\begin{align}\rho &=\limsup_{n\to\infty}\frac{n\ln n}{n\ln n-\ln|f^{(n)}(z_0)|}=\left(1-\limsup_{n\to\infty}\frac{\ln|f^{(n)}(z_0)|}{n\ln n}\right)^{-1} \\[6pt](\rho\sigma)^{\frac{1}{\rho}} &=e^{1-\frac{1}{\rho}} \limsup_{n\to\infty}\frac{|f^{(n)}(z_0)|^{\frac{1}{n}}}{n^{1-\frac{1}{\rho}}}\end{align}$

정의에 따라 정함수는 무한대 점에만 고립 특이점을 가진다. 정함수 $f$ 에 대해 $M_f(r)=\max_$

에 의해 구해지며, 또한 정함수의 형태는 공식

\sigma_f=\frac1{\rho e}\limsup_{n \to \infty}n|a_n|^{\rho/n}

에 의해 결정할 수 있다.

원주상의 최댓값과 정급수 전개의 계수에는 관계가 있음을 보았지만, 마찬가지 관계가 예를 들어 함수의 실수부만과 관련하여 어떻게 되는지를 물을 수 있다. 이 관계는 일반적으로 보렐-카라테오도리의 보조정리에 의해 주어진다.

보렐-카라테오도리의 정리: 함수 $f(z)$ 는 원점 중심, 반경 $R$ 의 닫힌 구체 $B(0, R)$ 에서 해석적이고, 그 실수부의 반경 $r$ 의 원상에서 취하는 최댓값을 $A(r)$ 이라고 하면, $∀r ∈ (0, R)$ 에 대해, 다음의 부등식 $M(r) \le \frac{2r}{R-r}A(R)+\frac{R+r}{R-r}|f(0)|$ 을 얻는다. 또한 $A(R) \ge 0$ 이면 $\max_{|z|=r}\left|f^{(n)}(z)\right| \le \frac{2^{n+2}n!R}{(R-r)^{n+1}}(A(R)+|f(0)|)$ 을 얻는다.

정함수의 도함수는 그 정급수의 형식적 미분에 의해 얻어진다. 코시-아다마르 공식을 적용하면, 정함수의 도함수 또한 정함수가 됨을 알 수 있다. 도함수의 증가도가 어떻게 되는가라는 질문이 자연스럽게 생기는데, 그 증가도는 위의 공식에 의해 계산할 수 있으며, 다음이 보여진다.

; 명제: 정함수의 도함수의 증가도는 원래 정함수의 증가도와 같다.

또한 정함수는 무한히 미분 가능하므로, 임의의 차수의 도함수에 대해서도 증가도는 모두 같다.

정함수의 증가를 보다 세밀하게 비교하기 위해,

\liminf_{r \to\infty}\frac{\ln \ln M_f(r)}{\ln r}

로 정의되는 '''하 증가도''' (''inferior order'')를 생각한다.

; 명제: 정함수의 도함수의 하 증가도는 원래 정함수의 하 증가도와 같다.

유한 증가도

\rho

의 정함수

f

에 대해, 함수

\rho(r)

가 존재하여, 다음의 성질

$\rho(r)$ 는 정의되어 있고 연속이며, 각 점에서 좌미분과 우미분이 가능하다.
$\lim_{r \to\infty}\rho(r)=\rho;$
$\lim_{r \to\infty}\rho'(r)r\ln r=0;$
$\limsup_{r \to\infty}\frac{\ln M_f(r)}{r^{\rho(r)}}=1$

을 만족할 때,

f

의 '''정밀 증가도''' (''precise order'')가 정의된다.

에밀 보렐은, 자신의 정함수 연구에서, 정함수의 증가도를

\rho=\lim_{r \to\infty}\frac{\ln \ln M(r)}{\ln r}

로 줌으로써, 정함수의 '''정규 증가''' (''regular growth'')를 정의했다. 정의에 따라, 이것은 상 증가도와 하 증가도가 일치할 때의 그 값이며, 함수의 정규 증가는 그러한 증가도를 갖는다는 의미로 말한다.

정함수 $f$ 가 증가도 $\rho$ 가 되기 위한 필요충분조건은, 그 정규 증가가 충분히 큰 $n$ 과 임의의 $\epsilon > 0$ 에 대해 $|a_n|^{1/n}< n^{-1/{\rho+\epsilon}}$ 을 만족하고, 정수열 $n_p$ 가 존재하여 $\lim_{n \to\infty}\frac{n_{p+1}}{n_p}=1$ 및 $|a_{n_p}|^{1/n_p}> n_p^{-1/{\rho+\epsilon_p}}$ 가 $\lim_{n \to\infty}\epsilon_p=0$ 와 함께 성립하는 것이다.

6. 1. 테일러 급수의 최대항

f(s) = \sum_{n=0}^\infty a_n s^n

를 전해석 함수라고 하면, 멱급수 전개

f(z)= \sum_{n \ge 0}a_n z^n

으로 나타낼 수 있다. 이때, 각 항

|a_n|r^n

들의 절대값을 생각할 때, 이 수열은 어떤 번호 이후로는 단조 감소하며,

r

에 관계없이 0으로 수렴한다.

따라서, 각

r

에 대해 다른 모든 항 이상의 값을 갖는 항이 존재한다. 그 값을

B(r)

라고 하고, 그 값을 갖는 항 번호(여러 개가 있다면 가장 큰)를

\mu(r)

로 둔다. 이

B(r)

를 최대항이라고 하며,

r

에 관해 단조 증가하고 무한대로 발산한다. 또한, 코시 부등식에 의해

B(r) < M(r)

이 성립한다. 여기서

M(r)

은

|z|=r

에서

|f(z)|

의 최댓값이다.

\mu(r)

는 최대항 번호이다.
최대항 번호의 성질:

$\mu(r)$ 는 $r$ 의 단조 비감소 함수이며, $r$ 과 함께 무한대로 발산한다.

최대항과 관련된 부등식:

M(r)

,

B(r)

,

\mu(r)

사이에는 다음 두 부등식이 성립한다.

:

B(r) < M(r) < B(r)[2\mu(r+ \tfrac{r}{\mu(r)})+1]

최대항과 관련된 명제:

위 부등식으로부터, 유한 증가도의 전해석 함수에 대해 $\ln B(r)$ 와 $\ln M(r)$ 는 점근적으로 같다.
유한 증가도 $\rho$ 및 정밀 증가도 $\rho(r)$ 를 갖는 완전 정칙 전해석 함수에 대해, $\mu(r) \asymp \rho \cdot r^{\rho(r)}$ 이다.

일반적으로 다음 공식이 성립한다.

:

\ln B(r) = \ln B(r_0)+\int_{r_0}^r\frac{\mu(u)}{u}du

7. 종수

아다마르의 정규 표현(아다마르 인수분해 정리)에 따르면, 유한 차수의 전해석 함수는 다음과 같은 형태를 가진다.

$f(z)=z^me^{P(z)}\prod_{n=1}^\infty\left(1-\frac{z}{z_n}\right)\exp\left(\frac{z}{z_n}+\cdots+\frac{1}{p} \left(\frac{z}{z_n}\right)^p\right),$

여기서 $z_k$ 는 $f$ 의 근 중 0이 아닌 것( $z_k \neq 0$ )을 나타내며, $m$ 은 $z = 0$ 에서 $f$ 의 영점의 차수( $m = 0$ 인 경우 $f(0) \neq 0$ 을 의미), $P$ 는 다항식(차수를 $q$ 라고 함)이고, $p$ 는 다음 급수가 수렴하도록 하는 가장 작은 음이 아닌 정수이다.

$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}$

8. 점근값

asymptotic value^영어는 정함수가 어떤 경로를 따라 무한대로 갈 때 수렴하는 값을 말한다. 이러한 경로를 "의 결정로"라고 부른다. 정수가 아닌 정함수는 적어도 하나의 의 결정로를 갖는다.증대도가 보다 작은 정함수 는, 원점을 중심으로 하고 반지름이 한없이 커지는 무한개의 원이 존재하여, 그 위에서의 의 최소 절대값이 무한대로 발산한다. 따라서, 증대도가 보다 작은 정함수에 대해서는 유한한 점근값은 존재하지 않는다.정함수가 두 값 의 결정로를 갖는다면, 해당 두 결정로 사이에 놓인 영역에 의 결정로가 존재하거나, 혹은 이고 두 결정로 사이에 놓인 무한대로 향하는 임의의 경로가 (따라서 )의 결정로가 된다.에밀 보렐은 유한 증대도 의 정함수는 최대 개의 점근값을 갖는다고 예측했다. 이 예측은 아르포르스의 정리가 되었다.따라서, 에서 무한대를 잇는 서로 다른 점근값을 유도하는 직선이 개보다 많이 존재하는 것은 불가능하다. 결과적으로 그러한 두 직선이 이루는 각은 이상이다.

9. 플라그멘–린델뢰프 지시 함수

Phragmén–Lindelöf indicator function|플라그멘-린델뢰프 지시 함수^영어는 유한 증가도 정함수의 증가도 정의와 플라그멘-린델뢰프 원리가 시사하는 바에 따라, 다음 함수를 조사한다.

h(\theta)=\limsup_{r \to \infty} \frac{\ln \left|f(r e^{i\theta})\right|}{r^\rho}\quad(\theta \in [-\pi,\pi])

이 함수 를 '''플라그멘–린델뢰프 지시 함수'''라고 부른다. 이 함수는 주기가 인 주기 함수로, 실수값 이외에 또는 도 값으로 가질 수 있다.

따라서 같은 가정 하에서

증명에는 플라그멘–린데뢰프 지시 함수를 사용한다.^[4]

10. 폴리아 정리

Pólya|폴리아^de^[6]는 특정 집합 위에서 정수 값을 취하는 정해석 함수의 증가에 제한을 가하는 다음의 정리를 증명했다.

; 정리 (폴리아): 는 음이 아닌 정수 전체로 이루어진 집합 위에서 정수 값을 취하는 정해석 함수라고 하자.

: $\limsup_{r \to\infty}\frac{M_f(r)}{2^r} <1$ 이면 는 다항식이다.

다시 말해, 자연수 전체로 이루어진 집합 위에서 정수 값을 취하는 다항식이 아닌 정해석 함수로서 (증가도의 의미로) 최소의 것은 함수 이다.

이 결과는 기하 수열 위에서 정수 값을 취하는 정해석 함수에 대한 것으로 일반화할 수 있다.

11. 크라프트-블루멘탈 이론

증대도가 유한하지 않은 정칙 함수는 무한 증대도라고 한다. 유한 증대도의 경우에는 에밀 보렐에 의해 "그 위에서 증대도가 $e^{r^\rho}$ 가 되는 반지름 $r$ 의 원이 무한 개 존재한다면, 그 외의 무한 개의 원 위에서 증대도가 현저하게 낮아지는 현상이 일어날 수 있다" (그러한 정칙 함수는 '''이상 증대'''(irregular growth)라고 한다)라는 언급이 상당히 이른 시기에 주어졌지만, 같은 현상은 무한 증대도의 경우에도 존재한다.

그러한 이론은 정칙 함수의 형의 존재와 공식 $M(r)= \max_$

12. 응용

정해석 함수론은 리우빌의 정리를 통해 대수학의 기본 정리를 간결하고 우아하게 증명할 수 있게 한다.

증가도가 정수가 아닌 정함수는 무한히 많은 영점을 갖는다는 성질을 이용하여, 리만 제타 함수가 0 < ''ℜe''(''z'') < 1|0 < ''ℜe''(''z'') < 1^영어에 무한히 많은 영점을 갖는다는 것을 증명하는 데에도 정해석 함수론이 사용된다.

두 정함수의 몫인 유리형 함수의 연구에도 정해석 함수론이 응용된다. 유리형 함수는 다양한 미분 방정식 관련 문제에서 자연스럽게 나타난다.

정함수나 유리형 함수에 대한 방법론은 더 복잡한 (여러 변수에 관한 등) 해석 함수 연구에 중요한 시사점이나 직관을 제공하기도 한다.

참조

_[1] 서적 p. 377, 9.7.1 https://personal.mat[...]
_[2] 논문 Étude sur les propriétés des fonctions entières et en particulier sur une fonction considérée par Riemann
_[3] 논문 Sur un théorème de Weierstrass http://www.math.tech[...]
_[4] 논문 Approximation par des fonctions entières http://projecteuclid[...]
_[5] 서적 Real and complex analysis 2017-08
_[6] 논문 Über ganzwertige ganze Funktionen http://www.springerl[...]

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