리우빌 정리는 복소해석학의 중요한 정리로, 복소 평면 전체에서 유계이고 정칙인 함수는 상수 함수라는 것을 의미한다. 이 정리는 테일러 급수 전개와 코시 적분 공식을 사용하여 증명할 수 있으며, 대수학의 기본 정리, 극점이 없는 타원 함수의 부재, 상수 함수가 아닌 복소 평면 위 정칙 함수의 상은 조밀하다는 사실 등을 증명하는 데 활용된다. 리우빌 정리는 피카르 소정리로 일반화되며, 콤팩트 리만 곡면 위의 모든 정칙 함수는 상수 함수라는 결과도 도출된다. 이 정리는 1844년 오귀스탱 루이 코시에 의해 처음 증명되었으며, 조제프 리우빌은 극점이 없는 타원 함수가 상수 함수임을 증명하는 데 활용했다.
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리우빌 정리 (복소해석학)
기본 정보
복소평면에서 리우빌 정리의 기하학적 해석. 경계가 있는 전함수(전체 복소 평면에서 정의되고 해석적인 함수)는 상수 함수여야 한다.
리우빌 정리는 여러 가지 방법으로 증명할 수 있다. 테일러 급수를 이용한 증명 외에, 조화 함수의 평균값 성질을 이용한 증명이 있다.
조화 함수를 이용한 증명에서는 두 점이 주어졌을 때, 주어진 점을 중심으로 하고 반지름이 같은 두 개의 공을 선택한다. 반지름이 충분히 크면, 두 공은 부피의 임의로 작은 비율을 제외하고 일치한다. 가 유계이므로, 두 공에 대한 평균은 임의로 가까워지고, 따라서 는 임의의 두 점에서 같은 값을 갖는다.[2] 이 증명은 조화 함수 가 단지 위 또는 아래로 유계인 경우에도 적용될 수 있다. 더 자세한 내용은 조화 함수#리우빌 정리 문서를 참고하라.
3. 1. 테일러 급수를 이용한 증명
상수 함수가 유계 정칙 함수인 것은 자명하다. 유계 정칙 함수 에 대해, 코시 적분 공식을 이용하면 다음 부등식을 얻는다.[2]
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4. 따름정리
리우빌 정리는 다양한 분야에서 응용된다. 예를 들어 대수학의 기본 정리를 쉽게 증명할 수 있고,[3] 극점이 없는 타원 함수는 상수 함수임을 보일 수 있다.[4] 또한, 상수 함수가 아닌 복소 평면 위 정칙 함수의 상은 조밀 집합이 된다는 것을 증명할 수 있다.
리우빌 정리는 복소 바나흐 공간의 유계 선형 작용소의 스펙트럼 집합이 공집합이 아님을 보이는 데에도 적용된다. 이 증명은 이스라엘 겔판트가 제시하였다.[9]
4. 1. 대수학의 기본 정리
대수학의 기본 정리를 리우빌 정리를 사용하여 쉽게 증명할 수 있다. 상수가 아닌 다항식 가 복소수 근을 갖지 않는다고 가정하자. 는 근을 갖지 않으므로, 는 복소 평면 위에서 유계인 정칙 함수이다.[3] 따라서, 리우빌 정리에 의하여 는 상수 함수가 되는데, 이는 가 상수가 아니라는 가정에 모순된다.
4. 2. 극점이 없는 타원 함수의 부재
리우빌 정리에 따라서, 극점이 없는 타원 함수는 상수 함수이다. 극점이 없고 주기가 인 타원 함수는 콤팩트 집합 위에서 최댓값을 가져 유계 함수이므로, 리우빌 정리가 적용된다.[4]
4. 3. 상수 함수가 아닌 복소 평면 위 정칙 함수의 상은 조밀
정칙 함수 의 상 은 하나의 점만을 포함하거나, 아니면 의 조밀 집합이다. 만약 정칙 함수 에 대하여, 모든 에 대하여 항상 라고 가정하면,
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는 복소 평면 위의 유계 정칙 함수이므로, 는 상수 함수이다.
만약 가 비상수 전체 함수라면, 그 치역은 에서 조밀 집합이다. 의 치역이 조밀하지 않다면, 복소수 와 실수 이 존재하여, 를 중심으로 하고 반지름이 인 열린 원반에는 의 치역에 속하는 원소가 없다. 이때 다음을 정의한다.
