리우빌 정리 (복소해석학)

1. 개요

리우빌 정리는 복소해석학의 중요한 정리로, 복소 평면 전체에서 유계이고 정칙인 함수는 상수 함수라는 것을 의미한다. 이 정리는 테일러 급수 전개와 코시 적분 공식을 사용하여 증명할 수 있으며, 대수학의 기본 정리, 극점이 없는 타원 함수의 부재, 상수 함수가 아닌 복소 평면 위 정칙 함수의 상은 조밀하다는 사실 등을 증명하는 데 활용된다. 리우빌 정리는 피카르 소정리로 일반화되며, 콤팩트 리만 곡면 위의 모든 정칙 함수는 상수 함수라는 결과도 도출된다. 이 정리는 1844년 오귀스탱 루이 코시에 의해 처음 증명되었으며, 조제프 리우빌은 극점이 없는 타원 함수가 상수 함수임을 증명하는 데 활용했다.

2. 정의

리우빌 정리에 따르면, 복소 평면 $\backslash mathbb\; C$ 위의 함수 $f\backslash colon\; \backslash mathbb\; C\; \backslash to\; \backslash mathbb\; C$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

* $f$는 상수 함수이다.
* $f$는 (복소 평면 전체에서) 유계 정칙 함수이다.

더 간결하게 말하면, 리우빌 정리는 모든 유계인 전해석 함수는 상수여야 함을 나타낸다.

3. 증명

리우빌 정리는 여러 가지 방법으로 증명할 수 있다. 테일러 급수를 이용한 증명 외에, 조화 함수의 평균값 성질을 이용한 증명이 있다.

조화 함수를 이용한 증명에서는 두 점이 주어졌을 때, 주어진 점을 중심으로 하고 반지름이 같은 두 개의 공을 선택한다. 반지름이 충분히 크면, 두 공은 부피의 임의로 작은 비율을 제외하고 일치한다. $f$가 유계이므로, 두 공에 대한 평균은 임의로 가까워지고, 따라서 $f$는 임의의 두 점에서 같은 값을 갖는다. 이 증명은 조화 함수 $f$가 단지 위 또는 아래로 유계인 경우에도 적용될 수 있다. 더 자세한 내용은 조화 함수#리우빌 정리 문서를 참고하라.

3.1. 테일러 급수를 이용한 증명

상수 함수가 유계 정칙 함수인 것은 자명하다. 유계 정칙 함수 $f(z)\; =\; \backslash sum\_\{k=0\}^\backslash infty\; a\_k\; z^k$에 대해, 코시 적분 공식을 이용하면 다음 부등식을 얻는다.
:$|a\_k\; |=\backslash left|\backslash frac1\{2\backslash pi\; i\}\backslash int\_\{|\backslash zeta|=r\}\backslash frac\{f(\; \backslash zeta\; )\}\{\backslash zeta^\{k+1\}\}\backslash ,d\backslash zeta\backslash right|\backslash le\; \backslash frac\{1\}\{2\; \backslash pi\}\; \backslash int\_\{|\backslash zeta|=r\}\; \backslash frac\{\; |\; f\; (\; \backslash zeta\; )\; |\; \}\{\; |\; \backslash zeta\; |^\{k+1\}\; \}\; \backslash ,\; |d\backslash zeta|\backslash le\backslash frac\{\backslash sup\_\{\backslash mathbb\; C\}f\}\{r^k\}$
$r$은 임의의 양의 실수이므로,
:$|a\_k|\backslash le\backslash lim\_\{r\; \backslash rightarrow\; \backslash infty\}\; \backslash frac\{\backslash sup\_\{\backslash mathbb\; C\}f\}\{r^k\}=0\backslash qquad(k>0)$
이다. 즉,
:$a\_k=0\backslash qquad(k>0)$
이며, $f$는 상수 함수이다.

4. 따름정리

리우빌 정리는 다양한 분야에서 응용된다. 예를 들어 대수학의 기본 정리를 쉽게 증명할 수 있고, 극점이 없는 타원 함수는 상수 함수임을 보일 수 있다. 또한, 상수 함수가 아닌 복소 평면 위 정칙 함수의 상은 조밀 집합이 된다는 것을 증명할 수 있다.

리우빌 정리는 복소 바나흐 공간의 유계 선형 작용소의 스펙트럼 집합이 공집합이 아님을 보이는 데에도 적용된다. 이 증명은 이스라엘 겔판트가 제시하였다.

4.1. 대수학의 기본 정리

대수학의 기본 정리를 리우빌 정리를 사용하여 쉽게 증명할 수 있다. 상수가 아닌 다항식 $p(z)$가 복소수 근을 갖지 않는다고 가정하자. $p(z)$는 근을 갖지 않으므로, $1/p(z)$는 복소 평면 위에서 유계인 정칙 함수이다. 따라서, 리우빌 정리에 의하여 $1/p(z)$는 상수 함수가 되는데, 이는 $p(z)$가 상수가 아니라는 가정에 모순된다.

4.2. 극점이 없는 타원 함수의 부재

리우빌 정리에 따라서, 극점이 없는 타원 함수는 상수 함수이다. 극점이 없고 주기가 $\backslash omega\_1,\backslash omega\_2\backslash in\backslash mathbb\; C$인 타원 함수는 콤팩트 집합 $\backslash \{s\_1\backslash omega\_1+s\_2\backslash omega\_2|s\_1,s\_2\backslash in[0,1]\backslash \}$ 위에서 최댓값을 가져 유계 함수이므로, 리우빌 정리가 적용된다.

4.3. 상수 함수가 아닌 복소 평면 위 정칙 함수의 상은 조밀

정칙 함수 $f\backslash colon\backslash mathbb\; C\backslash to\backslash mathbb\; C$의 상 $f(\backslash mathbb\; C)\backslash subset\backslash mathbb\; C$은 하나의 점만을 포함하거나, 아니면 $\backslash mathbb\; C$의 조밀 집합이다. 만약 정칙 함수 $f$에 대하여, 모든 $z\backslash in\backslash mathbb\; C$에 대하여 항상 $|f(z)-w\_0|>r$라고 가정하면,
:$z\backslash mapsto\backslash frac1\{f(z)-w\_0\}$
는 복소 평면 위의 유계 정칙 함수이므로, $f$는 상수 함수이다.

만약 $f$가 비상수 전체 함수라면, 그 치역은 $\backslash Complex$에서 조밀 집합이다. $f$의 치역이 조밀하지 않다면, 복소수 $w$와 실수 $r\; >\; 0$이 존재하여, $w$를 중심으로 하고 반지름이 $r$인 열린 원반에는 $f$의 치역에 속하는 원소가 없다. 이때 다음을 정의한다.

:$g(z)\; =\; \backslash frac\{1\}\{f(z)\; -\; w\}.$

그러면 $g$는 유계 전체 함수이다. 왜냐하면 모든 $z$에 대해,

:$|g(z)|=\backslash frac\{1\}$