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코시 응집판정법

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목차

1. 개요

코시 응집 판정법은 실수열의 급수 수렴 여부를 판정하는 방법으로, 특히 급수의 항이 단조 감소하고 음이 아닌 경우에 유용하다. 이 판정법은 원래 급수의 수렴 여부를 특정 방식으로 변환된 급수의 수렴 여부로 판단하며, 급수의 합을 추정하는 데에도 사용될 수 있다. 코시 응집 판정법은 조화 급수와 같은 특정 형태의 급수의 수렴성을 판별하는 데 효과적이며, 슐뢰밀히에 의해 일반화되었다. 한국의 수학 교육과정에서는 고급 미적분학에서 다루어지며, 다양한 분야에서 활용된다.

2. 정의

aₙ영어이 실수열이고 모든 자연수 n에 대해 aₙ영어 ≥ 0, aₙ영어 ≥ aₙ₊₁영어일 때(즉, 모든 항이 양수이고 단조 감소),[5] 원래 급수 \textstyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_n}이 수렴할 필요충분조건은 응집된 급수 \textstyle{\sum_{n=0}^{\infty} 2^n a_{2^n}}가 수렴하는 것이다.

2. 1. 상세 조건

aₙ영어 ≥ 0 (모든 항이 0 이상)이고 aₙ영어 ≥ aₙ₊₁영어 (단조 감소)일 때,[5] 급수 \textstyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_n}이 수렴할 필요충분조건은 \textstyle{\sum_{n=0}^{\infty} 2^n a_{2^n}}가 수렴하는 것이다. 나아가, 원래 급수의 합의 범위는 다음과 같이 추정된다.[6]

:\sum_{n=1}^{\infty} a_n \le \sum_{n=0}^{\infty} 2^n a_{2^n} \le 2 \sum_{n=1}^{\infty} a_n

이 판정법의 특징은 극히 소수의 항만을 이용해서 전체 급수의 수렴성을 판정한다는 것이다.

2. 2. 급수의 합 추정

원래 급수의 합은 응집된 급수의 합을 이용하여 다음과 같이 추정할 수 있다.[6]

:\sum_{n=1}^{\infty} a_n \le \sum_{n=0}^{\infty} 2^n a_{2^n} \le 2 \sum_{n=1}^{\infty} a_n

첫 번째 부등식을 확인하려면, 원래 급수의 항들을 2의 거듭제곱 길이의 묶음으로 묶고, 각 묶음의 각 항을 그 묶음 내에서 가장 큰 항으로 대체하여 위에서 경계를 정한다. 항이 감소하지 않으므로, 이 항은 항상 첫 번째 항이다.

:\begin{array}{rcccccccl}\displaystyle

\sum\limits_{n=1}^{\infty} f(n) & = &f(1) & + & f(2) + f(3) & + & f(4) + f(5) + f(6) + f(7) & + & \cdots \\

& = &f(1) & + & \Big(f(2) + f(3)\Big) & + & \Big(f(4) + f(5) + f(6) + f(7)\Big) & + &\cdots \\

& \leq &f(1) & + & \Big(f(2) + f(2)\Big) & + & \Big(f(4) + f(4) + f(4) + f(4)\Big) & + &\cdots \\

& = &f(1) & + & 2 f(2) & + & 4 f(4)& + &\cdots = \sum\limits_{n=0}^{\infty} 2^{n} f(2^{n})

\end{array}

두 번째 부등식을 확인하려면, 이 두 급수를 다시 2의 거듭제곱 길이의 묶음으로 묶지만, 아래와 같이 "오프셋"하여 2 \sum_{n=1}^{\infty} f(n)의 묶음이 f(2^{n})로 ''시작''하여 \sum_{n=0}^{\infty} 2^{n} f(2^{n})의 묶음이 f(2^{n})로 ''끝''나는 묶음과 정렬되도록 하여 전자가 후자보다 항상 "앞서"도록 한다.

:\begin{array}{rcl}

\sum\limits_{n=0}^{\infty} 2^{n}f(2^{n}) & = & f(1) + \Big(f(2) + f(2)\Big) + \Big(f(4) + f(4) + f(4) +f(4)\Big) + \cdots \\

& = & \Big(f(1) + f(2)\Big) + \Big(f(2) + f(4) + f(4) + f(4)\Big) + \cdots \\

& \leq & \Big(f(1) + f(1)\Big) + \Big(f(2) + f(2)\Big) + \Big( f(3) + f(3)\Big) + \cdots = 2 \sum\limits_{n=1}^{\infty} f(n)

\end{array}

위의 논의를 그림으로 나타낸 것. 급수 \textstyle\sum f(n), \sum 2^{n}f(2^{n}), 2 \sum f(n)의 부분 합이 왼쪽에서 오른쪽으로 순서대로 겹쳐 표시되어 있다.

3. 증명

코시 응집 판정법은 부분합을 2의 거듭제곱 항까지 묶어 비교함으로써 증명할 수 있다. 이 증명의 핵심은 니콜 오렘의 조화 급수 발산성 증명을 따른다.[1]

3. 1. 부분합 부등식

부분합에 관한 다음 부등식을 증명하면, 두 급수는 부분합의 유계성이 같아 단조수렴정리에 의해 수렴성이 같다.[1] 또 여기에 극한을 취하면 위에서의 범위 추정도 증명된다.[1]

:\sum_{n=1}^{2^{k+1}-1} a_n \le \sum_{n=0}^k 2^na_{2^n} \le 2 \sum_{n=1}^{2^k} a_n

세 부분합을 전개하고, 아래와 같이 항을 괄호로 조금씩 묶어 전개식 하나당 k|k영어 + 1개의 묶음을 만들어서, 같은 위치의 묶음끼리 비교하면 부분합에 관한 부등식은 증명된다.[1]

:\begin{matrix}

& a_1 & + & (a_2+a_3) & + & (a_4+a_5+a_6+a_7) & + & \cdots \\

\le & a_1 & + & (a_2+a_2) & + & (a_4+a_4+a_4+a_4) & + & \cdots \\

\le & (a_1+a_1) & + & (a_2+a_2) & + & (a_3+a_3+a_4+a_4) & + & \cdots \\

\end{matrix}

코시 응축 판정법은 다음의 더 강한 평가식에서 유도된다.[1]

: \sum_{n=1}^{\infty} f(n) \leq \sum_{n=0}^{\infty} 2^n f(2^n) \leq\ 2\sum_{n=1}^{\infty} f(n)

(부등식은 확대 실수에서의 것으로 간주해야 한다.)[1] 이 증명의 핵심 부분은 니콜 오렘의 조화 급수 발산성 증명을 따른다.[1]

첫 번째 부등식을 보이기 위해, 원래 급수를 2의 거듭제곱 개수만큼의 항으로 묶어 다시 쓴다.[1] 묶인 각각의 합은, 수열의 비증가성에 의해, 최댓값을 갖는 첫 번째 항의 값으로 대체된 합으로 위에서 억제된다.[1]

:\begin{array}{rcccccccl}\displaystyle

\sum\limits_{n=1}^{\infty} f(n) & = &f(1) & + & f(2) + f(3) & + & f(4) + f(5) + f(6) + f(7) & + & \cdots \\

& = &f(1) & + & \Big(f(2) + f(3)\Big) & + & \Big(f(4) + f(5) + f(6) + f(7)\Big) & + &\cdots \\

& \leq &f(1) & + & \Big(f(2) + f(2)\Big) & + & \Big(f(4) + f(4) + f(4) + f(4)\Big) & + &\cdots \\

& = &f(1) & + & 2 f(2) & + & 4 f(4)& + &\cdots \\

&= &\sum\limits_{n=0}^{\infty} 2^{n} f(2^{n})

\end{array}

두 번째 부등식을 보이기 위해, 급수를 2의 거듭제곱 개수만큼의 항으로 다시 묶는다.[1] 단, 이 때 다음과 같이 1항씩 묶는 방법을 어긋나게 하여, \textstyle\sum_{n=0}^{\infty}2^{n}f(2^{n})의 각 괄호 안에서 "마지막"에 위치했던 \textstyle f(2^{n})이, \textstyle2\sum_{n=1}^{\infty}f(n)의 각 괄호 내에서는 "처음"에 위치하도록 한다.[1]

:\begin{array}{rcl}

\sum\limits_{n=0}^{\infty} 2^{n}f(2^{n}) & = & f(1) + \Big(f(2) + f(2)\Big) + \Big(f(4) + f(4) + f(4) +f(4)\Big) + \cdots \\

& = & \Big(f(1) + f(2)\Big) + \Big(f(2) + f(4) + f(4) + f(4)\Big) + \cdots \\

& \leq & \Big(f(1) + f(1)\Big) + \Big(f(2) + f(2) + f(3) + f(3)\Big) + \cdots \\

&= &2 \sum\limits_{n=1}^{\infty} f(n)

\end{array}

3. 2. 단조 수렴 정리

부분합에 관한 다음 부등식을 증명하면, 두 급수는 부분합의 유계성이 같아 단조수렴정리에 의해 수렴성이 같다는 것을 보일 수 있다.

:\sum_{n=1}^{2^{k+1}-1} a_n \le \sum_{n=0}^k 2^na_{2^n} \le 2 \sum_{n=1}^{2^k} a_n

여기에 극한을 취하면 위에서의 범위 추정도 증명된다. 세 부분합을 전개하고, 아래와 같이 항을 괄호로 조금씩 묶어 전개식 하나당 k|k영어 + 1개의 묶음을 만들어서, 같은 위치의 묶음끼리 비교하면 부분합에 관한 부등식이 증명된다. (예를 들어 셋째 열에서, aₙ|an영어이 감소함에 따라 a₄ + a₅ + a₆ + a₇|a4 + a5 + a6 + a7영어 ≤ a₄ + a₄ + a₄ + a₄|a4 + a4 + a4 + a4영어 ≤ a₃ + a₃ + a₄ + a₄|a3 + a3 + a4 + a4영어)

:\begin{matrix}

& a_1 & + & (a_2+a_3) & + & (a_4+a_5+a_6+a_7) & + & \cdots \\

\le & a_1 & + & (a_2+a_2) & + & (a_4+a_4+a_4+a_4) & + & \cdots \\

\le & (a_1+a_1) & + & (a_2+a_2) & + & (a_3+a_3+a_4+a_4) & + & \cdots \\

\end{matrix}

4. 예시

코시 응집판정법은 분모에 n을 포함하는 급수의 수렴성을 판정하는 데 유용하다.

:\sum_{n=m}^{\infty} \frac{1}{n^{p_0} (\ln n)^{p_1} (\ln\ln n)^{p_2} \cdots (\underbrace{\ln\ln\cdots\ln}_k n)^{p_k}}

위 급수가 수렴할 필요충분조건은 1이 아닌 지수가 있고, 처음으로 오는 1이 아닌 지수가 1보다 크다는 것이다. 즉, 사전식 순서대로 (p_0, ..., p_k) > (1, ..., 1)일 때 수렴하고, (p_0, ..., p_k) \leq (1, ..., 1)일 때 발산한다.[1]

a=1일 때, 축약 변환을 하면 다음 급수를 얻는다.

:\sum n^{-b} (\log n)^{-c}

로그는 "왼쪽으로 이동"한다. 따라서 a=1일 때, b>1에 대해 수렴하고 b<1에 대해 발산한다. b=1일 때는 c의 값에 따라 수렴 여부가 결정된다.[1]

4. 1. 조화 급수

조화급수 ∑1/n는 코시 응집판정법을 적용하면 ∑1로 변환되는데, 이는 명백히 발산한다.[1] 따라서 조화 급수는 발산한다.

4. 2. 일반화된 베르트랑 급수

코시 응집판정법은 일반화된 베르트랑 급수의 수렴성을 판정하는 데 유용하게 사용될 수 있다. 일반화된 베르트랑 급수는 다음과 같은 형태를 가진다.[1]

:\sum_{n\geq N} \frac{1}{n \cdot \log n \cdot \log\log n \cdots \log^{\circ (k-1)} n \cdot(\log^{\circ k} n)^\alpha} \quad\quad (N=\lfloor \exp^{\circ k} (0) \rfloor+1)

여기서 f^{\circ m}은 함수 f의 m번째 반복을 나타내며, 다음과 같이 정의된다.[1]

: f^{\circ m} (x) := \begin{cases}

f(f^{\circ(m-1)}(x)), & m=1, 2, 3,\ldots; \\

x, & m = 0.

\end{cases}

합의 하한 N은 수열의 모든 항이 양수가 되도록 선택된다.[1]

이 급수는 \alpha > 1일 때 수렴하고, 0 < \alpha \leq 1일 때 발산한다.[1]

이러한 급수는 임의로 천천히 수렴하거나 발산하는 무한 합의 예시를 제공한다. 예를 들어, k = 2이고 \alpha = 1인 경우, 부분 합은 10^{10^{100}}(구골플렉스) 항을 더해야 10을 넘지만, 급수는 발산한다.[1]

5. 적분과의 비교

"응축" 변환 f(n) \rarr 2^{n} f(2^{n})는 적분에서 변수 치환 x \rarr e^{x}을 통해 f(x)\,\mathrm{d}x \rarr e^{x} f(e^{x})\,\mathrm{d}x가 되는 것과 유사하다.

5. 1. 적분 판정법과의 관계

적분 판정법에 따르면, 단조 함수 $f$에 대해 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}f(n)$이 수렴하는 것과 $\displaystyle\int_{1}^{\infty}f(x)\,\mathrm{d}x$가 수렴하는 것은 동치이다. 여기서 변수 치환 $x\rarr 2^x$을 적용하면, 적분은 $\displaystyle \log 2\ \int_{0}^{\infty}\!2^{x}f(2^{x})\,\mathrm{d}x$로 변환된다. 이 적분의 수렴성은 응축된 급수 $\sum\limits_{n=0}^{\infty} 2^{n}f(2^{n})$의 수렴성과 동치이다. 따라서, 원래 급수 $\sum\limits_{n=1}^{\infty} f(n)$의 수렴성은 응축된 급수 $\sum\limits_{n=0}^{\infty} 2^{n}f(2^{n})$의 수렴성과 필요충분조건 관계를 갖는다.

"응축" 변환 $f(n) \rarr 2^{n} f(2^{n})$은 적분에서 변수 치환 $x \rarr e^{x}$을 통해 $f(x)\,\mathrm{d}x \rarr e^{x} f(e^{x})\,\mathrm{d}x$가 되는 것과 유사하다.

6. 슐뢰밀히의 일반화

오스카 슐뢰밀히는 코시 응집 판정법을 일반화했다.[2] 이 일반화는 정수열 u(n)영어을 이용하여 응집된 급수를 정의하며, 코시 응집 판정법을 특수한 경우로 포함한다.[4]

6. 1. 추가 조건

오스카 슐뢰밀히가 제시한 코시 응집 판정법의 일반화는 다음과 같다.[2]

u(n)|''u''(''n'')영어을 정수의 양의 단조 증가 수열로 정의하고, 연속적인 유한 차분의 비율이 유계라고 가정한다. 즉, 다음을 만족하는 양의 실수 N이 존재한다.

::{\Delta u(n) \over \Delta u(n{-}1)} \ =\ {u(n{+}1)-u(n) \over u(n)-u(n{-}1)} \ <\ N \ \text{ for all } n.

이때 f(n)이 코시 수렴 판정법과 동일한 전제 조건을 충족하는 경우, 급수 \sum_{n=1}^{\infty} f(n)의 수렴은 다음 급수의 수렴과 동치이다.[4]

::\sum_{n=0}^{\infty} {\Delta u(n)}\, f(u(n)) \ =\ \sum_{n=0}^{\infty} \Big(u(n{+}1)-u(n)\Big) f(u(n)).

u(n) = 2^n을 취하면, \Delta u(n) = u(n{+}1)-u(n) = 2^n이 되어, 코시 응집 판정법이 특수한 경우로 나타난다.

6. 2. 일반화된 응집 급수

오스카 슐뢰밀히는 코시 응집 판정법을 일반화했다.[2] ''u''(''n'')을 양의 정수로 이루어진 단조 증가 수열이라 하고, 연속적인 유한 차분의 비율이 어떤 양의 실수 ''N''에 대해 다음과 같이 유계라고 하자.

:{\Delta u(n) \over \Delta u(n-1)} = {u(n+1)-u(n) \over u(n)-u(n-1)} < N \text{ for all } n.

이때 f(n)이 코시 수렴 판정법과 동일한 전제 조건을 충족하는 경우, 급수 \sum_{n=1}^{\infty} f(n)의 수렴은 다음 급수의 수렴과 동치이다.[4]

:\sum_{n=0}^{\infty} {\Delta u(n)} f(u(n)) = \sum_{n=0}^{\infty} (u(n+1)-u(n)) f(u(n)).

u(n) = 2^n을 취하면, \Delta u(n) = u(n+1)-u(n) = 2^n이 되어, 코시 응집 판정법이 이 일반화된 판정법의 특수한 경우가 된다.

참조

[1] 서적 Principles of Mathematical Analysis https://archive.org/[...] McGraw-Hill
[2] 간행물 Extending tests for convergence of number series http://people.brande[...] 2012
[3] 서적 Principles of Mathematical Analysis https://archive.org/[...] McGraw-Hill
[4] 문서 http://people.brande[...]
[5] 서적 Principles of mathematical analysis http://www.mcgraw-hi[...] McGraw-Hill 2014-10-06
[6] 서적 Analysis I Springer 2016


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