테니스 공 정리
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1. 개요
테니스 공 정리는 구 표면을 두 개의 동일 면적 구성 요소로 분할하는 매끄러운 곡선은 적어도 네 개의 변곡점을 갖는다는 정리이다. 테니스 공의 솔기나 대원은 이 정리를 만족하는 예시이며, 곡선 단축 흐름을 이용하여 증명할 수 있다. 이 정리는 4-정점 정리, 뫼비우스의 정리와 유사하며, 스포츠 과학 및 수학 교육에서 활용될 수 있다.
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| 테니스 공 정리 | |
|---|---|
| 기본 정보 | |
| 이름 | 테니스 공 정리 |
| 분야 | 미분기하학 |
| 설명 | 구의 면적을 동일하게 나누는 매끄러운 곡선은 적어도 4개의 변곡점을 가진다. |
| 관련 개념 | |
| 관련 개념 | 구 |
2. 명제
정확하게, 구 표면에서의 2번 미분가능한 곡선()위의 변곡점은 다음과 같은 특성을 가진 점 이다. 를 접하는 대원이 인 곡선의 교차점의 를 포함하는 연결 성분이라고 하자. (대부분의 곡선에서 는 자체일 뿐만 아니라, 그 대원의 호일 수도 있다.) 그리고 가 변곡점이 되기 위해, 의 모든 근방은 이 대원으로부터 분리된 두 반구에 모두 속하는 곡선의 점을 포함해야 된다. 이 정리는 구를 두 개의 동일 면적 구성 요소로 분할하는 모든 곡선이 이 의미에서 적어도 네 개의 변곡점을 갖는다고 말한다.
테니스공과 야구공의 솔기는 4개의 반원의 호로 구성된 곡선으로 수학적으로 모델링할 수 있으며, 정확하게 이러한 호들이 만나는 4개의 변곡점이 있다. 대원도 구의 표면을 이등분하고 곡선의 각 지점에 하나씩 무한히 많은 변곡점을 갖는다. 그러나 곡선이 구의 표면적을 균등하게 나눈다는 조건은 정리에서 필요한 부분이다. 대원이 아닌 원과 같이 면적을 동일하게 나누지 않는 다른 곡선에는 변곡점이 전혀 없을 수 있다.
곡선 단축 흐름을 이용하여 테니스 공 정리를 증명할 수 있다. 주어진 곡선에 이 흐름을 적용하면 곡선의 매끄러움과 면적 이등분 속성을 보존하며, 변곡점의 개수는 늘어나지 않는다. 곡선 단축 흐름은 곡선을 대원으로 수렴시키며, 푸리에 급수로 근사할 수 있다. 곡선 단축은 다른 대원을 바꾸지 않기 때문에 푸리에 급수의 첫 번째 항은 0이 되고, 슈트름 정리에 의해 곡선이 대원에 가까워질수록 최소 4개의 변곡점을 갖는다. 따라서 원래 곡선에도 최소한 4개의 변곡점이 존재한다.
닫힌 반구에 포함되지 않는 구 위의 단순하고 매끄러운 곡선은 최소 4개의 변곡점을 가진다. 중심 대칭인 구 위의 곡선은 최소 6개의 변곡점을 가진다.
3. 예시
4. 곡선 단축에 의한 증명
5. 관련 정리
Segre의 정리는 3차원 공간에 존재하는 구면 곡선과 접촉 평면에 관한 정리이다. 특히, 반구에 포함되지 않은 곡선의 경우에는 구의 중심을 지나는 접평면을 가지는 점이 최소 4개 존재한다.
이 정리는 평면의 모든 매끄러운 단순 폐곡선이 4개의 정점 (곡률의 극값)을 갖는다는 4-정점 정리 와 유사하다. 또한 사영면의 모든 수축 불가능한 부드러운 곡선에는 최소한 3개의 변곡점이 있다는 뫼비우스의 정리와 유사하다.
5. 1. 관련 한국 사례
5. 1. 1. 스포츠 과학
테니스 공 정리의 일반화는 닫힌 반구에 포함되지 않은 구의 단순하고 부드러운 곡선에 적용된다. 원래의 테니스 공 정리에서와 같이 이러한 곡선에는 최소한 4개의 변곡점이 있어야 한다. 구의 곡선이 점대칭이면 적어도 6개의 변곡점이 있어야 한다.
또한, 밀접하게 관련된 세그레(Segre)의 정리는 3차원 공간에 존재하는 구에 대한 단순한 닫힌 구면 곡선에 관한 것이다. 이러한 곡선의 경우, ''o''는 정점이 아닌 3차원 볼록 껍질의 구 위의 매끄러운 곡선의 점이라 하면, 곡선에서 최소 4개의 점은 ''o''를 지나는 접평면을 가진다. 특히, 반구에 포함되지 않은 곡선의 경우에는, ''o''가 구의 중심에 있다고 적용할 수 있다. 구면 곡선위의 모든 변곡점은 구의 중심을 지나는 접평면을 가지고 있다.
이 정리는 평면의 모든 매끄러운 단순 폐곡선이 4개의 정점 (곡률의 극값)을 갖는다는 4-정점 정리와 유사하다. 또한 사영면의 모든 수축 불가능한 부드러운 곡선에는 최소한 3개의 변곡점이 있다는 뫼비우스의 정리와 유사하다.
5. 1. 2. 수학 교육
테니스 공 정리는 기하학 및 위상수학 교육에서 흥미로운 예시로 활용될 수 있다. 곡선, 변곡점, 곡률 등 핵심 개념 이해를 돕는 시각 자료로 활용될 수 있다.
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