점대칭

3. 예시

2차원 예시

도형	이미지
육각형 평행사변형
팔각형

3차원에서 점대칭은 회전축에 수직인 회전 평면에 대한 반사와 합성된 180도 회전으로 설명할 수 있다.

3. 1. 2차원

• 정짝수각형
• 타원(원 포함)
• 평행사변형(직사각형 및 마름모 포함)

3. 2. 3차원

• 타원체(구를 포함)
• 정사면체 이외의 정다면체
• 정짝수각기둥
• 정홀수각반기둥

4. 공식

유클리드 공간 '''R'''^''n''에서 벡터 '''a'''의 점 '''p'''에 대한 반사는 다음과 같이 표현된다.

:$\backslash mathrm\{Ref\}\_\backslash mathbf\{p\}(\backslash mathbf\{a\})\; =\; 2\backslash mathbf\{p\}\; -\; \backslash mathbf\{a\}.$

'''p'''가 원점인 경우, 점 반사는 벡터 '''a'''의 부정을 의미한다.

유클리드 기하학에서, 점 ''P''에 대한 점 ''X''의 '''반전'''은 ''P''가 ''X''와 ''X''*를 끝점으로 하는 선분의 중점이 되도록 하는 점 ''X''*이다. 즉, ''X''에서 ''P''로의 벡터는 ''P''에서 ''X''*로의 벡터와 같다.

''P''에서의 반전에 대한 공식은 다음과 같다.

:'''x'''* = 2'''p''' − '''x'''

여기서 '''p''', '''x''' 및 '''x'''*는 각각 ''P'', ''X'' 및 ''X''*의 위치 벡터이다.

5. 균등 스케일링 및 닮음 변환과의 관계

점대칭의 중심 ''P''가 원점일 때, 점대칭은 스케일 인수가 -1인 균등 스케일링(선형 변환의 한 예시)과 같다. ''P''가 원점이 아닐 때, 점대칭은 닮음 중심이 P와 일치하고 스케일 인수가 -1인 닮음 변환(아핀 변환의 한 예시)과 같다.

6. 점 반사군

두 점 반사의 합성은 평행 이동이다.^[2] 구체적으로, '''p'''에서의 점 반사에 이어 '''q'''에서의 점 반사를 수행하면 벡터 2('''q''' − '''p''')만큼 평행 이동한다.

모든 점 반사와 평행 이동으로 구성된 집합은 유클리드 군의 리 부분군이다. 이 집합은 '''R'''^''n''과 차수 2의 순환군의 반직접 곱인데, 순환군은 '''R'''^''n''에 부정을 통해 작용한다. 이는 유클리드 군의 부분군 중 무한대 직선을 점별로 고정하는 부분군과 정확히 일치한다.

''n'' = 1인 경우, 점 반사군은 선의 전체 등거리 변환군이다.

7. 수학에서의 점 반사

• 구의 중심에 대한 점대칭은 대척점 사상을 생성한다.^[1]
• 대칭 공간은 각 점에 대해 등거리 반사를 갖는 리만 다양체이다.^[2] 대칭 공간은 리 군과 리만 기하학 연구에서 중요한 역할을 한다.^[2]

8. 해석 기하학에서의 점 반사

점 P(x, y)와 점 C(x_c, y_c)에 대한 반사점 P'(x', y')이 주어졌을 때, 점 C(x_c, y_c)는 선분 PP'의 중점이다.

:$\backslash begin\{cases\}x\_c=\backslash frac\{x+x\text{'}\}\{2\}\; \backslash \backslash \; y\_c=\backslash frac\{y+y\text{'}\}\{2\}\backslash end\{cases\}$

따라서 반사점의 좌표를 구하는 방정식은 다음과 같다.

:$\backslash begin\{cases\}x\text{'}=2x\_c-x\; \backslash \backslash \; y\text{'}=2y\_c-y\backslash end\{cases\}$

특히 점 C의 좌표가 (0, 0)인 경우가 있다. (원점에 대한 반전 참조)

:$\backslash begin\{cases\}x\text{'}=-x\; \backslash \backslash \; y\text{'}=-y\backslash end\{cases\}$

9. 성질

짝수 차원 유클리드 공간에서 점 ''P''에서의 반전은 ''P''에서 교차하는 임의의 ''N''개의 서로 직교하는 평면 각각에서 180°(''π'') 회전 ''N''번 한 것과 같다. 이러한 회전은 서로 교환 가능하다. 따라서 짝수 차원 공간에서 점대칭은 방향을 보존하는 등거리 변환 또는 직접 등거리 변환이다.

홀수 차원 유클리드 공간에서 점대칭은 ''P''에서 교차하는 임의의 ''N''개의 서로 직교하는 평면 각각에서 180°(''π'') 회전 ''N''번 한 후, 이 회전 평면들로 span된 2''N''차원 부분 공간에서 반사한 것과 같다. 따라서 방향을 보존하지 않고 "반전"하며, 이는 간접 등거리 변환이다.

기하학적으로 3차원에서 점대칭은 ''P''를 지나는 축을 중심으로 180° 회전하고, 축에 수직인 ''P''를 지나는 평면에서 반사한 것과 같다. 그 결과는 축의 방향에 의존하지 않는다. 이러한 유형의 연산 또는 그것이 생성하는 그룹의 유형에 대한 표기법은 $\backslash overline\{1\}$, ''C''_''i'', ''S''₂, 및 1×이다. 이 그룹 유형은 순수한 회전 대칭이 없는 3차원의 세 가지 대칭군 유형 중 하나이며, ''n'' = 1인 순환 대칭을 참조한다.

다음 3차원 점군은 반전을 포함한다:

• ''C''_''n''h 및 ''D''_''n''h (짝수 ''n''의 경우)
• ''S''_2''n'' 및 ''D''_''n''d (홀수 ''n''의 경우)
• ''T''_h, ''O''_h, 및 ''I''_h

10. 결정 및 분자 구조에서의 반전 중심

일부 분자는 모든 원자가 대칭을 유지하면서 반사될 수 있는 점이 존재할 때 점대칭 중심을 갖는다. 6배위 팔면체는 중심 원자가 6개의 결합된 원자가 대칭을 유지하는 점대칭 중심 역할을 하므로 점대칭 다면체의 예이다.^[3] 반면에 사면체는 중심 원자를 통한 반전이 다면체의 반전을 초래하기 때문에 비점대칭적이다. 홀수 배위수를 갖는 다면체는 점대칭적이지 않다. 점대칭 중심을 포함하는 다면체는 점대칭이라고 하며, 그렇지 않은 다면체는 비점대칭이라고 한다. 점대칭 중심의 존재 여부는 광학적 특성에 강한 영향을 미친다.^[3] 예를 들어, 점대칭이 없는 분자는 쌍극자 모멘트를 갖고 광자와 직접 상호 작용할 수 있지만, 점대칭이 있는 분자는 쌍극자 모멘트가 없고 라만 산란을 통해서만 상호 작용한다.^[4]

결정학에서 주기적 구조에 대한 점대칭 중심의 존재는 점대칭 화합물과 비점대칭 화합물을 구별한다. 점대칭이 없는 결정은 압전 효과를 나타낸다. 점대칭의 존재 또는 부재는 서로 다른 결정 대칭 간의 수학적 관계와 마찬가지로 고체의 특성에 많은 영향을 미친다.^{[6] [7]}

결정 내의 실제 다면체는 종종 결합 기하학에서 예상되는 균일성이 부족하다. 결정학에서 발견되는 일반적인 불규칙성에는 왜곡과 무질서가 포함된다. 왜곡은 비균일한 결합 길이로 인한 다면체의 뒤틀림을 포함하며, 이는 종종 이종 원자 간의 서로 다른 정전기적 상호 작용 또는 야-텔러 왜곡과 같은 전자 효과로 인해 발생한다. 왜곡은 다면체의 고유한 기하학을 변경하지 않지만, 충분히 강한 왜곡은 화합물의 점대칭성에 영향을 미칠 수 있다. 무질서는 두 개 이상의 위치에 걸쳐 분할 점유를 포함하며, 여기서 원자는 특정 다면체의 특정 비율의 결정학적 위치를 차지하고 나머지 위치의 다른 위치를 차지한다. 무질서는 점유가 이미 존재하는 점대칭 중심에 걸쳐 분할되는지 여부에 따라 특정 다면체의 점대칭성에 영향을 미칠 수도 있다.

11. 원점에 대한 반전

원점에 대한 반전은 위치 벡터의 덧셈 역전 또는 −1을 곱하는 스칼라 곱셈에 해당한다. 이 연산은 다른 모든 선형 변환과는 가환하지만, 평행 이동과는 가환하지 않다. 즉, 일반 선형군의 중심에 속한다. "점", "선", "평면"을 나타내지 않고 "반전"이라고 하면 이 반전을 의미한다. 물리학에서 원점을 통한 3차원 반사는 패리티 변환이라고도 한다.

수학에서, '''원점에 대한 반사'''는 유클리드 공간 '''R'''^''n''의 데카르트 좌표계의 원점에 대한 점 반사를 의미한다. 원점에 대한 반사는 $-1$을 곱하는 스칼라 곱셈에 해당하는 직교 변환이며, $I$가 항등 행렬일 때 $-I$로도 쓸 수 있다. 3차원에서 이는 $(x,\; y,\; z)\; \backslash mapsto\; (-x,\; -y,\; -z)$로 보내는 등의 변환이다.

12. 일상생활에서의 점대칭 (한국)

쇼기의 평수 대국에서는 대국 시작 시 대전 상대의 말 배치가 5오(五五)를 중심으로 점대칭으로 정렬된다. (비차·각행의 차이가 있으므로 선대칭은 아니다.)

참조

_[1] 웹사이트 Reflections in Lines https://new.math.uiu[...] 2024-04-27
_[2] 웹사이트 Lab 9 Point Reflection https://sites.math.w[...] 2024-04-27
_[3] 서적 Symmetry and Spectroscopy Dover Publications
_[4] 간행물 A new radiation
_[5] 간행물 C. V. Raman and the Discovery of the Raman Effect
_[6] 서적 Physical properties of crystals: their representation by tensors and matrices Clarendon Press ; Oxford University Press 1984
_[7] 서적 Symmetry relationships between crystal structures: applications of crystallographic group theory in crystal chemistry Oxford University Press 2017