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평행육면체

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목차

1. 개요

평행육면체는 세 쌍의 평행한 면을 가지는 3차원 도형으로, 선형 변환을 통해 정육면체로부터 생성될 수 있다. 정육면체, 정사각형 직육면체, 삼방주상이십면체, 직육면체 등이 있으며, 부피는 밑면의 넓이와 높이의 곱으로 계산된다. 고차원에서는 평행다면체로 일반화되며, n-평행육면체는 n차원 공간에서 정의된다.

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    삼각쌍뿔은 6개의 정삼각형 면, 5개의 꼭짓점, 9개의 모서리를 가진 존슨 다면체이자 델타다면체로, 두 정사면체를 밑면끼리 결합한 형태이며, 분자 기하학, 색채 이론 등 다양한 분야에 응용된다.
평행육면체
지도
기본 정보
종류육면체
면의 수6개
모서리의 수12개
꼭짓점의 수8개
면의 형태평행사변형
대칭군Ci, [2+,2+], (1×2)
쌍대다면체평행육면체
특성볼록 다면체
관련 다면체
1차원 다면체평행사변형
3차원 다면체직육면체, 마름모육면체, 직평행육면체
위상원환체

2. 성질

평행육면체는 세 쌍의 평행한 면 중 어느 한 쌍을 프리즘의 밑면으로 볼 수 있다. 평행육면체는 네 개의 평행한 모서리가 세 벌 있으며, 각 벌의 모서리 길이는 서로 같다.

평행육면체는 선형 변환을 통해 정육면체로부터 생성될 수 있다(퇴화하지 않은 경우: 전단사 선형 변환).

각 면은 점대칭을 가지므로, 평행육면체는 조노헤드론이다. 또한 평행육면체 전체는 점대칭 ''Ci''을 갖는다(삼사정계 참조). 각 면은 바깥에서 볼 때 반대편 면의 거울상이다. 면들은 일반적으로 카이랄하지만, 평행육면체 자체는 카이랄하지 않다.

공간 채우기 테셀레이션은 임의의 평행육면체의 합동인 복사본으로 가능하다. 평행육면체는 서로 다른 36가지의 전개도를 갖는다.[7]

3. 종류

차수 48

6개의 정사각형정사각형 직육면체a=b
\alpha=\beta=\gamma=90^\circD4h
차수 16
2개의 정사각형,
4개의 직사각형삼방주상이십면체a=b=c
\alpha=\beta=\gammaD3d
차수 12
6개의 마름모직육면체\alpha=\beta=\gamma=90^\circD2h
차수 8
6개의 직사각형직각 마름모 기둥a=b
\alpha=\beta=90^\circD2h
차수 8
4개의 직사각형,
2개의 마름모직각 평행사변형 기둥\alpha=\beta=90^\circC2h
차수 4
4개의 직사각형,
2개의 평행사변형사각 마름모 기둥a=b
\alpha=\betaC2h
차수 4
2개의 마름모,
4개의 평행사변형


3. 1. 정육면체

Oh영어 대칭을 가진 평행육면체는 '''정육면체'''로, 6개의 합동인 정사각형 면을 가지고 있다.

형태정육면체
제약 조건a=b=c
\alpha=\beta=\gamma=90^\circ
대칭Oh
차수 48
이미지
면6개의 정사각형



직육면체이면서, 동시에 마름면체인 경우가 정육면체이다.

3. 2. 정사각형 직육면체

D4h 대칭을 가진 평행육면체는 정사각형 직육면체로 알려져 있으며, 2개의 정사각형 면과 4개의 합동인 직사각형 면을 가진다.[1]

형태정사각형 직육면체
제약 조건
대칭D4h
이미지
면2개의 정사각형,


3. 3. 삼방주상이십면체 (등면 마름모면체)

Rhombohedron영어라고도 불리는 삼방주상이십면체는 D3d 대칭을 가지며, 6개의 합동인 마름모꼴 면으로 이루어져 있다.

형태삼방주상이십면체
제약 조건a=b=c
\alpha=\beta=\gamma
대칭D3d
차수 12
이미지
면6개의 마름모


3. 4. 직육면체

D2h 대칭을 가진 평행육면체 중 하나는 직육면체이다. 직육면체는 6개의 직사각형 면을 가진다.('''직사각형 평행육면체''' 또는 간단히 ''직육면체''라고도 함).[3]

모든 인접한 면이 직교하는 평행육면체는 직육면체가 된다.

완벽 직육면체는 모서리, 면대각선, 공간대각선의 길이가 모두 정수인 직육면체이다. 모든 면이 직사각형인 완벽 직육면체(완벽 직육면체)가 존재하는지는 알려져 있지 않다.

3. 5. 직각 마름모 기둥

직각 마름모 기둥은 2개의 마름모 면과 4개의 합동인 직사각형 면을 가지며, D2h 대칭을 갖는다.

형태직각 마름모 기둥
제약 조건a=b
\alpha=\beta=90^\circ
대칭D2h
차수 8
이미지
면4개의 직사각형,
2개의 마름모


3. 6. 직각 평행사변형 기둥

직각 평행사변형 기둥은 C2h 대칭을 가지는 평행육면체이다. 4개의 직사각형 면과 2개의 평행사변형 면을 가진다.

형태
제약 조건α=β=90°
대칭C2h
차수 4
면4개의 직사각형,
2개의 평행사변형



3. 7. 사각 마름모 기둥

사각 마름모 기둥은 C2h 대칭을 가지는 평행육면체의 한 종류이다. 2개의 마름모 면을 가지며, 다른 면 중 인접한 두 면은 서로 같고 나머지 두 면도 서로 같다 (두 쌍은 서로 거울상이다).

4. 부피

평행육면체의 부피는 밑면(평행사변형)의 넓이와 높이의 곱으로 구할 수 있다. 또는 세 벡터의 스칼라 삼중곱 또는 행렬식을 이용하여 계산할 수 있다. 기하학적 속성(각도와 모서리 길이)만을 사용하거나, 꼭짓점 좌표를 이용하여 부피를 나타낼 수도 있다.


  • 일반적인 경우: 평행육면체의 부피는 밑넓이와 높이의 곱이며, 세 벡터의 스칼라 삼중곱(행렬식으로 표현 가능)을 이용하여 계산할 수 있다.
  • 기하학적 속성을 이용한 계산: 모서리 길이와 각도를 이용하여 부피를 계산하는 공식이 존재한다.
  • 꼭짓점 좌표를 이용한 계산: 평행육면체의 중심을 원점에 놓고 꼭짓점 좌표를 이용해 부피를 계산할 수 있다.


평행육면체의 세 모서리를 공유하는 사면체의 부피는 평행육면체 부피의 1/6이다.

4. 1. 일반적인 경우

세 벡터로 생성된 평행육면체


평행육면체는 밑면이 평행사변형인 프리즘이다. 따라서 평행육면체의 부피 V는 밑면의 넓이 B와 높이 h의 곱으로 나타낼 수 있다.

  • B = \left|\mathbf a\right| \cdot \left|\mathbf b\right| \cdot \sin \gamma = \left|\mathbf a \times \mathbf b\right| (여기서 \gamma는 벡터 \mathbf a와 \mathbf b 사이의 각도)
  • h = \left|\mathbf c\right| \cdot \left|\cos \theta\right| (여기서 \theta는 벡터 \mathbf c와 밑면의 법선 사이의 각도)


위 두 식을 곱하면, 다음을 얻는다.

V = B\cdot h = \left(\left|\mathbf a\right| \left|\mathbf b\right| \sin \gamma\right) \cdot \left|\mathbf c\right| \left|\cos \theta\right| = \left|\mathbf a \times \mathbf b\right| \left|\mathbf c\right| \left|\cos \theta\right| = \left|\left(\mathbf{a} \times \mathbf{b}\right) \cdot \mathbf{c}\right|.

세 벡터의 혼합곱은 스칼라 삼중곱이라고 하며, 행렬식으로 나타낼 수 있다. 따라서 \mathbf a=(a_1,a_2,a_3)^\mathsf{T}, ~\mathbf b=(b_1,b_2,b_3)^\mathsf{T}, ~\mathbf c=(c_1,c_2,c_3)^\mathsf{T}에 대해 부피는 다음과 같다.

V = \left| \det \begin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3

\end{bmatrix} \right| .

위 식을 증명하는 또 다른 방법은 벡터 \mathbf c의 \mathbf a\times\mathbf b 방향의 스칼라 성분을 사용하는 것이다.

\begin{align}

V = \left|\mathbf a\times\mathbf b\right| \left|\operatorname{scal}_{\mathbf a \times \mathbf b} \mathbf c\right|

= \left|\mathbf a\times\mathbf b\right| \frac{\left|\left(\mathbf a\times \mathbf b\right) \cdot \mathbf c\right|}{\left|\mathbf a\times \mathbf b\right|}

= \left|\left(\mathbf a\times \mathbf b\right) \cdot \mathbf c\right|.

\end{align}

부피를 나타내는 또 다른 방법은 기하학적 속성(각도와 모서리 길이)만을 사용하는 것이다.

V = abc\sqrt{1+2\cos(\alpha)\cos(\beta)\cos(\gamma)-\cos^2(\alpha)-\cos^2(\beta)-\cos^2(\gamma)},

여기서 \alpha = \angle(\mathbf b, \mathbf c), \beta = \angle(\mathbf a,\mathbf c), \gamma = \angle(\mathbf a,\mathbf b) 이고, a,b,c 는 모서리 길이이다.

평행육면체의 세 모서리가 만나는 임의의 사면체의 부피는 그 평행육면체 부피의 1/6과 같다.

하나의 면을 수평면에 놓으면, 부피는 수평면(각각 평행사변형)의 면적에 높이를 곱한 것과 같다. 여기서 높이는 한 변의 길이가 아니라 수평면에 수직인 축을 따라 측정되는 값이다.

평행육면체의 중심을 좌표 원점에 놓았을 때 8개 꼭짓점의 좌표를 '''ui'''로 나타내면, 부피는 다음 식으로 나타낼 수 있다. 이 경우, 도형의 위치 각도는 문제되지 않는다.

:V=\sqrt{\frac 1 {8}\begin{vmatrix}\sum_{i = 1}^8 \mathbf{u_i}\otimes\mathbf{u_i} \end{vmatrix}}= \sqrt{\frac 1 {8}\begin{vmatrix}\sum_{i = 1}^8 \mathbf{u_i} \mathbf{u_i}^{\top} \end{vmatrix}}=\sqrt{\frac 1 {8}\begin{vmatrix}

\sum_{i = 1}^8 \begin{pmatrix}u_x \\ u_y \\ u_z\end{pmatrix}_i

\begin{pmatrix}u_x & u_y& u_z\end{pmatrix} _i\end{vmatrix}}



::=\sqrt{\frac 1 {8}\begin{vmatrix}

\sum_{i = 1}^8 \begin{pmatrix}u_xu_x & u_xu_y & u_xu_z \\ u_yu_x & u_yu_y & u_yu_z

\\ u_zu_x & u_zu_y & u_zu_z \end{pmatrix}_i\end{vmatrix}}



::=\sqrt{\frac 1 {8}\begin{vmatrix}

\sum_{i = 1}^8 u_{ix}u_{ix}& \sum_{i = 1}^8 u_{ix}u_{iy}& \sum_{i = 1}^8 u_{ix}u_{iz}\\ \sum_{i = 1}^8 u_{iy}u_{ix}& \sum_{i = 1}^8 u_{iy}u_{iy}& \sum_{i = 1}^8 u_{iy}u_{iz}

\\ \sum_{i = 1}^8 u_{iz}u_{ix} & \sum_{i = 1}^8 u_{iz}u_{iy}& \sum_{i = 1}^8 u_{iz}u_{iz} \end{vmatrix}}


4. 2. 기하학적 속성을 이용한 계산

평행육면체는 밑면이 평행사변형인 프리즘이다. 따라서 평행육면체의 부피 V는 밑면의 넓이 B와 높이 h의 곱으로 나타낼 수 있다.

  • B = \left|\mathbf a\right| \cdot \left|\mathbf b\right| \cdot \sin \gamma = \left|\mathbf a \times \mathbf b\right| (여기서 \gamma는 벡터 \mathbf a와 \mathbf b 사이의 각도)
  • h = \left|\mathbf c\right| \cdot \left|\cos \theta\right| (여기서 \theta는 벡터 \mathbf c와 밑면의 법선 사이의 각도)


위 두 식을 곱하면 다음을 얻는다.

:V = B\cdot h = \left(\left|\mathbf a\right| \left|\mathbf b\right| \sin \gamma\right) \cdot \left|\mathbf c\right| \left|\cos \theta\right| = \left|\mathbf a \times \mathbf b\right| \left|\mathbf c\right| \left|\cos \theta\right| = \left|\left(\mathbf{a} \times \mathbf{b}\right) \cdot \mathbf{c}\right|.

세 벡터의 혼합곱은 스칼라 삼중곱이라고 하며, 행렬식으로 나타낼 수 있다. 따라서 \mathbf a=(a_1,a_2,a_3)^\mathsf{T}, ~\mathbf b=(b_1,b_2,b_3)^\mathsf{T}, ~\mathbf c=(c_1,c_2,c_3)^\mathsf{T}에 대해 부피는 다음과 같다.

:V = \left| \det \begin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3

\end{bmatrix} \right| .

벡터 \mathbf c의 \mathbf a\times\mathbf b 방향의 스칼라 성분을 사용하여 위 식을 증명할 수도 있다.

:\begin{align}

V = \left|\mathbf a\times\mathbf b\right| \left|\operatorname{scal}_{\mathbf a \times \mathbf b} \mathbf c\right|

= \left|\mathbf a\times\mathbf b\right| \frac{\left|\left(\mathbf a\times \mathbf b\right) \cdot \mathbf c\right|}{\left|\mathbf a\times \mathbf b\right|}

= \left|\left(\mathbf a\times \mathbf b\right) \cdot \mathbf c\right|.

\end{align}

부피는 기하학적 속성(각도와 모서리 길이)만을 사용하여 다음과 같이 나타낼 수도 있다.

:V = abc\sqrt{1+2\cos(\alpha)\cos(\beta)\cos(\gamma)-\cos^2(\alpha)-\cos^2(\beta)-\cos^2(\gamma)},[1]

여기서 \alpha = \angle(\mathbf b, \mathbf c), \beta = \angle(\mathbf a,\mathbf c), \gamma = \angle(\mathbf a,\mathbf b) 이고, a,b,c 는 모서리 길이이다.

평행육면체의 세 개의 만나는 모서리를 공유하는 임의의 사면체의 부피는 그 평행육면체 부피의 1/6과 같다.

4. 3. 꼭짓점 좌표를 이용한 계산



평행육면체의 부피 V는 밑면의 넓이 B와 높이 h의 곱으로 나타낼 수 있다.

  • B = \left|\mathbf a\right| \cdot \left|\mathbf b\right| \cdot \sin \gamma = \left|\mathbf a \times \mathbf b\right| (여기서 \gamma는 벡터 \mathbf a와 \mathbf b 사이의 각도)
  • h = \left|\mathbf c\right| \cdot \left|\cos \theta\right| (여기서 \theta는 벡터 \mathbf c와 밑면의 법선 사이의 각도)


따라서, 다음과 같은 식을 얻는다.

V = B\cdot h = \left(\left|\mathbf a\right| \left|\mathbf b\right| \sin \gamma\right) \cdot \left|\mathbf c\right| \left|\cos \theta\right| = \left|\mathbf a \times \mathbf b\right| \left|\mathbf c\right| \left|\cos \theta\right| = \left|\left(\mathbf{a} \times \mathbf{b}\right) \cdot \mathbf{c}\right|.

세 벡터의 혼합곱은 스칼라 삼중곱이라고 하며, 행렬식으로 나타낼 수 있다. \mathbf a=(a_1,a_2,a_3)^\mathsf{T}, ~\mathbf b=(b_1,b_2,b_3)^\mathsf{T}, ~\mathbf c=(c_1,c_2,c_3)^\mathsf{T}에 대해 부피는 다음과 같다.

V = \left| \det \begin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3

\end{bmatrix} \right| .

벡터 \mathbf c의 \mathbf a\times\mathbf b 방향의 스칼라 성분을 사용하여 위 식을 증명할 수도 있다.

\begin{align}

V = \left|\mathbf a\times\mathbf b\right| \left|\operatorname{scal}_{\mathbf a \times \mathbf b} \mathbf c\right|

= \left|\mathbf a\times\mathbf b\right| \frac{\left|\left(\mathbf a\times \mathbf b\right) \cdot \mathbf c\right|}{\left|\mathbf a\times \mathbf b\right|}

= \left|\left(\mathbf a\times \mathbf b\right) \cdot \mathbf c\right|.

\end{align}

기하학적 속성(각도와 모서리 길이)만을 사용하여 부피를 나타내는 방법도 있다.

V = abc\sqrt{1+2\cos(\alpha)\cos(\beta)\cos(\gamma)-\cos^2(\alpha)-\cos^2(\beta)-\cos^2(\gamma)},

여기서 \alpha = \angle(\mathbf b, \mathbf c), \beta = \angle(\mathbf a,\mathbf c), \gamma = \angle(\mathbf a,\mathbf b) 이고, a,b,c 는 모서리 길이이다.

평행육면체의 세 모서리가 만나는 꼭짓점을 공유하는 임의의 사면체의 부피는 그 평행육면체 부피의 1/6과 같다.

평행육면체의 중심을 좌표 원점에 놓았을 때, 8개 꼭짓점의 좌표를 '''ui'''로 나타내면 부피는 다음 식으로 나타낼 수 있다.

:V=\sqrt{\frac 1 {8}\begin{vmatrix}\sum_{i = 1}^8 \mathbf{u_i}\otimes\mathbf{u_i} \end{vmatrix}}= \sqrt{\frac 1 {8}\begin{vmatrix}\sum_{i = 1}^8 \mathbf{u_i} \mathbf{u_i}^{\top} \end{vmatrix}}=\sqrt{\frac 1 {8}\begin{vmatrix}

\sum_{i = 1}^8 \begin{pmatrix}u_x \\ u_y \\ u_z\end{pmatrix}_i

\begin{pmatrix}u_x & u_y& u_z\end{pmatrix} _i\end{vmatrix}}



::=\sqrt{\frac 1 {8}\begin{vmatrix}

\sum_{i = 1}^8 \begin{pmatrix}u_xu_x & u_xu_y & u_xu_z \\ u_yu_x & u_yu_y & u_yu_z

\\ u_zu_x & u_zu_y & u_zu_z \end{pmatrix}_i\end{vmatrix}}



::=\sqrt{\frac 1 {8}\begin{vmatrix}

\sum_{i = 1}^8 u_{ix}u_{ix}& \sum_{i = 1}^8 u_{ix}u_{iy}& \sum_{i = 1}^8 u_{ix}u_{iz}\\ \sum_{i = 1}^8 u_{iy}u_{ix}& \sum_{i = 1}^8 u_{iy}u_{iy}& \sum_{i = 1}^8 u_{iy}u_{iz}

\\ \sum_{i = 1}^8 u_{iz}u_{ix} & \sum_{i = 1}^8 u_{iz}u_{iy}& \sum_{i = 1}^8 u_{iz}u_{iz} \end{vmatrix}}


5. 표면적

평행육면체의 표면적은 이를 둘러싸는 평행사변형들의 넓이의 합이다.

:A = 2 \cdot \left(|\mathbf a \times \mathbf b| + |\mathbf a \times \mathbf c| + |\mathbf b \times \mathbf c|\right) = 2\left(ab\sin\gamma+ bc\sin\alpha+ca\sin\beta\right).

(표기는 앞 절 참조)

6. 평행다면체 (고차원 일반화)

콕스터는 고차원에서 평행육면체의 일반화를 평행다면체라고 불렀으며, 현대 문헌에서도 고차원 또는 임의의 유한 차원에서 평행육면체라는 용어를 사용한다.[4]

''n''차원 평행다면체의 대각선은 한 점에서 교차하고 이 점을 기준으로 이등분된다. 또한, 이 점을 기준으로 한 반전은 ''n''차원 평행다면체를 변화시키지 않는다. 유클리드 공간에서 등거리 변환 군의 고정점도 참고할 수 있다.

평행다면체의 ''n''개의 수렴하는 모서리를 공유하는 임의의 ''n''-단체의 부피는 그 평행다면체의 부피의 1/''n''!과 같다.

6. 1. 정의

콕스터는 고차원에서 평행육면체의 일반화를 '''평행다면체'''라고 불렀다. 현대 문헌에서는 고차원(또는 임의의 유한 차원)에서도 평행육면체라는 용어를 자주 사용한다.[4]

특히, ''n''차원 공간에서는 ''n''차원 평행다면체 또는 간단히 ''n''-평행다면체(''n''-평행육면체)라고 한다. 따라서 평행사변형은 2-평행다면체이고, 평행육면체는 3-평행다면체이다.

''n''-평행다면체의 대각선들은 한 점에서 교차하며 이 점에 의해 이등분된다. 이 점에서의 반전은 ''n''-평행다면체를 변화시키지 않는다.

''k''-평행다면체의 한 꼭짓점에서 나오는 모서리들은 벡터 공간의 ''k''-프레임 (v_1,\ldots, v_n)을 형성하며, 이 벡터들의 0과 1 사이의 가중치를 가진 선형 결합을 취하여 이 벡터들로부터 평행다면체를 복원할 수 있다.

\R^m에 포함된 ''n''-평행다면체의 ''n''-부피(여기서 m \geq n)는 그램 행렬식을 이용하여 계산할 수 있다. 또는 부피는 벡터들의 외적의 노름이다.

V = \left\| v_1 \wedge \cdots \wedge v_n \right\| .

만약 m = n이라면, 이것은 ''n'' 벡터의 성분으로 구성된 행렬의 행렬식의 절댓값과 같다.

\R^n에서 ''n''-평행다면체 ''P''의 부피를 계산하는 공식은, ''n'' + 1개의 꼭짓점이 V_0,V_1, \ldots, V_n일 때, 다음과 같다.

\mathrm{Vol}(P) = \left|\det \left(\left[V_0\ 1\right]^\mathsf{T}, \left[V_1\ 1\right]^\mathsf{T}, \ldots, \left[V_n\ 1\right]^\mathsf{T}\right)\right|,

여기서 [V_i\ 1]은 V_i의 성분과 1을 연결하여 형성된 행 벡터이다.

마찬가지로, 평행다면체의 ''n''개의 수렴하는 모서리를 공유하는 임의의 ''n''-단체의 부피는 그 평행다면체의 부피의 1/''n''!과 같다.

6. 2. 성질

콕스터(Coxeter)는 고차원에서 평행육면체의 일반화를 '''평행다면체(parallelotope)'''라고 불렀다. 현대 문헌에서는 고차원(또는 임의의 유한 차원)에서도 평행육면체라는 용어를 자주 사용한다.[4]

특히, ''n''차원 공간에서는 ''n''차원 평행다면체 또는 간단히 ''n''영어-평행다면체(''n''-평행육면체)라고 한다. 따라서 평행사변형은 2-평행다면체이고, 평행육면체는 3-평행다면체이다.

''n''-평행다면체의 대각선들은 한 점에서 교차하며 이 점에 의해 이등분된다. 이 점에서의 반전은 ''n''-평행다면체를 변화시키지 않는다. 유클리드 공간에서 등거리 변환 군의 고정점도 참조하라.

''k''-평행다면체의 한 꼭짓점에서 나오는 모서리들은 벡터 공간의 ''k''-프레임 (v_1,\ldots, v_n)을 형성하며, 이 벡터들의 0과 1 사이의 가중치를 가진 선형 결합을 취하여 이 벡터들로부터 평행다면체를 복원할 수 있다.

\R^m에 포함된 ''n''-평행다면체의 ''n''-부피(여기서 m \geq n)는 그램 행렬식을 이용하여 계산할 수 있다. 또는 부피는 벡터들의 외적의 노름이다.

V = \left\| v_1 \wedge \cdots \wedge v_n \right\| .

만약 m=n이라면, 이것은 ''n'' 벡터의 성분으로 구성된 행렬의 행렬식의 절댓값과 같다.

\R^n에서 ''n''-평행다면체 P의 부피를 계산하는 공식은, n+1개의 꼭짓점이 V_0, V_1, \ldots, V_n일 때, 다음과 같다.

\mathrm{Vol}(P) = \left|\det \left(\left[V_0\ 1\right]^\mathsf{T}, \left[V_1\ 1\right]^\mathsf{T}, \ldots, \left[V_n\ 1\right]^\mathsf{T}\right)\right|,

여기서 [V_i\ 1]은 V_i의 성분과 1을 연결하여 형성된 행 벡터이다.

마찬가지로, 평행다면체의 ''n''개의 수렴하는 모서리를 공유하는 임의의 ''n''-단체의 부피는 그 평행다면체의 부피의 1/''n''!과 같다.

6. 3. 부피 계산

\R^m에 포함된 ''n''-평행육면체의 ''n''-부피(여기서 m \geq n)는 그램 행렬식을 이용하여 계산할 수 있다. 또는 부피는 벡터들의 외적의 노름이다.

: V = \left\| v_1 \wedge \cdots \wedge v_n \right\| .

만약 m=n이라면, 이것은 n 벡터의 성분으로 구성된 행렬의 행렬식의 절댓값과 같다.

\R^n에서 n-평행육면체 P의 부피를 계산하는 공식은, n+1개의 꼭짓점이 V_0, V_1, \ldots, V_n일 때, 다음과 같다.

: \mathrm{Vol}(P) = \left|\det \left(\left[V_0\ 1\right]^\mathsf{T}, \left[V_1\ 1\right]^\mathsf{T}, \ldots, \left[V_n\ 1\right]^\mathsf{T}\right)\right|,

여기서 [V_i\ 1]은 V_i의 성분과 1을 연결하여 형성된 행 벡터이다.

마찬가지로, 평행육면체의 ''n''개의 수렴하는 모서리를 공유하는 임의의 ''n''-단체의 부피는 그 평행육면체의 부피의 1/''n''!과 같다.

참조

[1] 사전 parallelepiped
[2] 사전 ''Oxford English Dictionary'' Oxford University Press 1904
[3] 논문 Perfect Parallelepipeds Exist
[4] 논문 Embedding metric spaces in Euclidean space
[5] 백과사전 parallelepiped https://archive.org/[...]
[6] 사전 parallhlepi/pedon
[7] 간행물 1982年9月数学セミナー 1982-09


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