포인팅 벡터
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1. 개요
포인팅 벡터는 1883년 존 헨리 포인팅에 의해 유도되었으며, 전자기장이 공간에서 전달하는 에너지의 방향과 속도를 나타내는 벡터이다. 전기장 '''E'''와 자기장 '''H'''의 외적으로 정의되며, 국제단위계에서는 로 표현된다. 포인팅 벡터의 크기는 에너지 선속 밀도와 같으며, 방향은 에너지 전달 방향과 일치한다. 포인팅 정리는 전자기장의 에너지 보존 법칙을 나타내며, 동축 케이블과 같은 시스템에서의 전력 흐름을 분석하는 데 사용된다. 또한, 전자기장의 운동량 밀도와 복사 압력과도 관련이 있다.
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| 포인팅 벡터 |
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2. 역사
1883년 영국의 물리학자 존 헨리 포인팅(John Henry Poynting)이 처음으로 유도하였다.[20]
포인팅 벡터(S)는 전기장(E)과 자기장(H)의 외적으로 정의된다.[4][5][6] 국제단위계(SI)에서 포인팅 벡터는 다음과 같이 표현된다.
3. 정의
:
CGS 단위계에서는 대신 를 사용한다.
일반적으로 포인팅 벡터 는 다음과 같이 나타낸다.[7]
:
여기서,
이 표현은 '아브라함 형식'이라고 불리며 널리 사용된다. 포인팅 벡터는 보통 '''S''' 또는 '''N'''으로 표시된다.
간단히 말해, 포인팅 벡터 '''S'''는 전자기장이 전달하는 전력의 방향과 속도를 나타낸다.
"미시적" 버전의 맥스웰 방정식에서는, 다음과 같이 전기장 '''E'''와 자기 선속 밀도 '''B'''를 사용하여 정의한다.
:
여기서
이것은 포인팅 벡터의 일반적인 표현이다.[14]
4. 성질
포인팅 벡터의 크기는 전자기장의 에너지 선속 밀도(단위 시간 및 단위 면적 당 에너지)의 크기와 같다. 포인팅 벡터의 방향은 에너지가 전달되는 방향과 같으며, 항상 전기장 및 자기장과 수직이다.[4][5][6]
포인팅 벡터 \(\mathbf{S}\)는 보통 \(\mathbf{S}\) 또는 \(\mathbf{N}\)으로 표시되며, 전기장 벡터 \(\mathbf{E}\)와 자화장 \(\mathbf{H}\)의 외적으로 정의된다. 이를 아브라함 형식이라고도 부르며 가장 널리 사용된다.
:\(\mathbf{S} = \mathbf{E} \times \mathbf{H}\)
간단히 말해, 포인팅 벡터 \(\mathbf{S}\)는 공간에서 전자기장이 전달하는 에너지, 즉 전력의 방향과 속도를 나타낸다.
전자기장의 선형 운동량 밀도는 \(S/c^2\)로 주어지며, 여기서 \(S\)는 포인팅 벡터의 크기, \(c\)는 자유 공간에서의 빛의 속도이다. 전자기파가 표면에 가하는 복사 압력은 다음과 같이 주어진다.
:\(P_\mathrm{rad} = \frac{\langle S\rangle}{\mathrm{c}}\)
전자기장이 진동하면서 포인팅 벡터의 세기는 시간에 따라 변동한다. 이 세기의 시간 평균은 복사속 밀도라고 불린다.
:\(\boldsymbol{I} = \left\langle \boldsymbol{S} \right\rangle_T =\frac{1}{2T}\int_0^T \boldsymbol{S}\, dt\)
포인팅 벡터는 전자기장의 에너지뿐만 아니라 운동량 및 각운동량과도 연관되어 있다. (자세한 내용은 하위 섹션 참조)
4. 1. 전자기장의 운동량과 각운동량
포인팅 벡터는 전자기장의 에너지뿐만 아니라 운동량 \(\mathbf p\)와 각운동량 \(\mathbf L\)과도 다음과 같이 연관되어 있다.:\(\mathbf p = \mu_0 \epsilon_0 \int_V \mathbf{S}d\tau\)
:\(\mathbf L = \mathbf{r} \times \mathbf p = \mu_0 \epsilon_0 \int_V (\mathbf{r} \times \mathbf{S})d\tau\)
포인팅 벡터의 공간 적분 \(\int_V \boldsymbol{S}\, dV\)는 전자기장이 가진 운동량으로 해석된다.
5. 포인팅 정리
'''포인팅 정리'''(Poynting's theorem영어)는 전자기장을 포함한 계에서의 에너지 보존 법칙이다. 전자기장이 한 일의 양은 전자기장이 잃게 되는 에너지의 양과 같다는 것을 의미한다.
포인팅 정리의 적분형은 다음과 같다.
:
포인팅 정리의 미분형은 다음과 같다.
:
6. 동축 케이블에서의 전력 흐름 (예시)
반지름이 ''R''1인 내부 도체와 내부 반지름이 ''R''2인 외부 도체 사이에서, 동축 케이블은 상대 유전율 ''ε''r을 갖는 이상적인 유전체로 채워져 있다. 이때, 비자성(투자율 ''μ'' = ''μ''0)이고 손실이 없는(완벽한 도체) 도체를 가정하며, 이는 일반적인 실제 동축 케이블에 대한 좋은 근사치이다.
중심 도체는 전압 ''V''를 가지며, 오른쪽으로 전류 ''I''가 흐르므로, 총 전력 흐름은 ''P'' = ''V'' · ''I''가 된다. 포인팅 벡터를 통해 동축 케이블 내부의 전기장 및 자기장 관점에서 전력 흐름을 분석할 수 있다.
전기장은 각 도체 내부에서 0이지만, 도체 사이()에서는 방사형 방향으로 존재하며, (가우스 법칙에 의해) 다음과 같은 형태를 가진다.
:
''W''는 에서 까지 전기장을 적분하여 구할 수 있으며, 이는 전압 ''V''의 음수와 같다.
:
따라서:
:
자기장은 ''θ'' 방향 성분만 0이 아니며, ''R''1과 ''R''2 사이의 모든 반지름에서 중심 도체를 감싸는 벡터장이다. 도체 내부에서 자기장은 0일 수도 있지만, 이 영역에서는 전기장이 0이므로 포인팅 벡터는 영향을 주지 않는다. 동축 케이블 외부에서는 자기장이 0인데, 이는 중심 도체의 +''I''와 외부 도체의 −''I''로 인해 순 전류가 0이 되고, 전기장 또한 0이기 때문이다. ''R''1에서 ''R''2 영역에서 암페어 법칙을 적용하면, 반지름 ''r''에서 다음과 같다.
:
방사형 방향의 전기장과 접선 방향의 자기장으로부터, 이들의 외적으로 주어지는 포인팅 벡터는 동축 케이블 방향( ''Z'' 방향) 성분만 0이 아니다. ''r''만의 함수인 '''S'''(r)은 다음과 같다.
:
여기서 ''W''는 위에서 구한 중심 도체 전압 ''V''의 함수이다. 동축 케이블을 따라 흐르는 총 전력은 도체 사이의 케이블 전체 단면 '''A'''에 대해 적분하여 계산할 수 있다.
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''W''에 대한 식을 대입하면:
:
즉, 포인팅 벡터를 동축 케이블 단면으로 적분하여 얻은 전력은 전압과 전류의 곱과 정확히 일치한다.
''P'' = ''V'' · ''I'' 결과가 해석적으로 계산될 수 있는 다른 예로는 직교 좌표계를 사용하는 평행판 전송선[8]과 쌍극 원통 좌표계를 사용하는 2선 전송선[9]이 있다.
7. 평면파
등방성 무손실 매질에서 전파하는 평면파에서 순간 포인팅 벡터는 항상 전파 방향을 가리키는 동시에 크기가 빠르게 진동한다. 평면파에서 자기장 '''H'''(''r'',''t'')의 크기는 전기장 벡터 '''E'''(''r'',''t'')의 크기를 매질의 고유 임피던스인 ''η''로 나눈 값과 같다는 점을 고려하면 간단하게 알 수 있다.
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