스칼라곱

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 정의
- 2.1. 대수적 정의
- 2.2. 기하학적 정의
3. 성질
4. 응용
5. 일반화
참조

1. 개요

스칼라곱은 n차원 유클리드 공간의 두 벡터를 곱하여 스칼라 값을 얻는 연산이다. 대수적으로는 각 성분을 곱하여 더하는 방식으로, 기하학적으로는 두 벡터의 크기와 사이각의 코사인을 곱하는 방식으로 정의되며, 두 정의는 동일하다. 스칼라곱은 교환, 분배 법칙을 만족하며, 자기 자신과의 곱은 0보다 크거나 같다. 스칼라곱은 일, 스칼라 사영, 코사인 법칙 유도 등에 활용되며, 복소수 벡터, 내적, 함수, 행렬 등 다양한 공간으로 일반화될 수 있다.

더 읽어볼만한 페이지

벡터 - 영벡터
벡터 - 포인팅 벡터
포인팅 벡터는 전자기장이 전달하는 에너지의 방향과 속도를 나타내는 벡터량으로, 전자기장의 에너지 선속 밀도를 나타내며 포인팅 정리에 중요한 역할을 한다.
텐서 - 맥스웰 변형력 텐서
맥스웰 변형력 텐서는 전자기장의 변형력을 나타내는 텐서로, 전기장과 자기장의 함수로 정의되며 힘, 압력, 전자기장의 운동량과 관련된다.
텐서 - 변형력
변형력은 물체가 외부 힘에 저항하여 형태를 유지하려는 힘으로, 단위 면적당 작용하는 힘(응력)으로 정의되며, 수직 응력과 전단 응력으로 나뉘고, 재료의 강도 한계를 초과하면 변형이나 파괴를 일으킬 수 있으며, 구조물 안전성 평가에 사용된다.
해석기하학 - 회전 (벡터)
회전(벡터)은 벡터장의 국소적인 회전 정도를 나타내는 벡터량으로, 벡터장을 선적분한 값과 폐곡선이 둘러싸는 면적의 비의 극한으로 정의되며, 물리적 현상 기술에 중요한 역할을 한다.
해석기하학 - 이심률
이심률은 원뿔곡선의 형태를 결정하는 값으로, 초점과 준선으로부터의 거리 비율로 정의되며, 값에 따라 원, 타원, 포물선, 쌍곡선으로 구분되고, 타원과 쌍곡선의 경우 중심과 초점 사이의 거리와 반장축의 비율로 나타낼 수 있으며, 이심률이 같은 원뿔곡선은 서로 닮음이다.

스칼라곱
개요
종류	대수학 연산
정의	좌표 벡터의 대수적 연산
연산 대상	좌표 벡터
결과	스칼라
정의
유클리드 공간	유클리드 공간에서 두 벡터의 내적
복소 벡터 공간	복소 벡터 공간에서 정의되는 유사한 연산
연산
기호	a · b
계산	\|\|a\|\| \|\|b\|\| cos θ
교환 법칙	성립
활용
각도 계산	두 벡터 사이의 각도 계산에 사용
사영 계산	한 벡터를 다른 벡터에 사영시키는 데 사용
직교성 판단	두 벡터의 직교성 여부 판단에 사용
기타 명칭
다른 이름	스칼라곱 (scalar product), 내적 (inner product)
관련 연산
관련 연산	벡터곱 (vector product)

2. 정의

차원이 $n$ 인 유클리드 공간 $\mathbb R^n$ 의 두 벡터 $\mathbf a,\mathbf b\in\mathbb R^n$ 의 스칼라곱 $\mathbf a\cdot\mathbf b\in\mathbb R$ 은 두 가지로 정의할 수 있으며, 이 두 정의는 서로 동치이다.^[14] 스칼라곱의 기호에는 가운뎃점 '⋅'을 사용하며, 수의 곱셈 기호와는 다르게 생략할 수 없다.

스칼라곱은 대수적으로 또는 기하학적으로 정의될 수 있다. 기하학적 정의는 벡터의 각도와 거리(크기)의 개념에 기반한다. 이 두 정의의 등가성은 유클리드 공간에 대한 데카르트 좌표계를 갖는 것에 의존한다.

유클리드 기하학의 현대적 표현에서는 공간의 점들이 데카르트 좌표를 사용하여 정의되며, 유클리드 공간 자체는 일반적으로 실수 좌표 공간 $\mathbf{R}^n$ 과 동일시된다. 이러한 표현에서 길이와 각도의 개념은 스칼라곱을 통해 정의된다. 벡터의 길이는 벡터 자신과의 스칼라곱의 제곱근으로 정의되며, 길이가 1인 두 벡터 사이의 (비방향) 각도의 코사인은 그들의 스칼라곱으로 정의된다. 따라서 스칼라곱의 두 정의의 등가성은 유클리드 기하학의 고전적 표현과 현대적 표현의 등가성의 일부이다.

$n$ 차원 실 유클리드 공간 $\mathbb{R}^n$ 에서, 기하학적 벡터(유향선분에서 위치 개념을 제거한 것) $\mathbf{a}, \mathbf{b}$ 의 스칼라곱 $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$ 는 다음과 같이 정의된다.

: $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = \| \boldsymbol{a} \| \| \boldsymbol{b} \| \cos \theta$

여기서 $\theta$ 는 벡터를 유향선분으로 보았을 때 $\mathbf{a}, \mathbf{b}$ 가 이루는 각도이며, $\| \boldsymbol{a} \|$ 는 '''벡터의 크기''' (대응하는 유향선분의 길이)이다. 이는 즉, 유향선분 $\mathbf{b}$ 를 $\mathbf{a}$ 방향으로 정사영한 것의 크기와 $\mathbf{a}$ 의 크기의 곱이다. 이를 $\mathbb{R}^n$ 에서의 '''내적''' 또는 '''표준 내적'''이라고 한다.

벡터 자신과의 스칼라곱의 제곱근

: $\| \boldsymbol{a} \| := \sqrt{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{a}}$

를 '''벡터의 노름'''이라고 한다. 구체적으로 벡터를 $\mathbf{a} = [a_x, a_y, a_z]$ 로 성분 표시하면

: $\| \boldsymbol{a} \| = \sqrt{a_x{}^2+a_y{}^2+a_z{}^2}$

로 쓸 수 있다. 이것은 벡터 $\mathbf{a}$ 의 "크기"이다.

내적과 노름을 사용하면, 두 벡터 $\mathbf{a} = [a_x, a_y, a_z], \mathbf{b} = [b_x, b_y, b_z]$ 가 이루는 각도는

: $\cos \theta = \frac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{\| \boldsymbol{a} \| \| \boldsymbol{b} \|} = \frac{a_x b_x+a_y b_y+a_z b_z}{\sqrt{\left( a_x{}^2+a_y{}^2+a_z{}^2 \right) \left( b_x{}^2+b_y{}^2+b_z{}^2 \right)}}$

에서 구할 수 있다. 반대로 벡터의 각도를 이 식으로 정의하면, 그 각도는 벡터를 유향선분으로 간주했을 때 그들이 이루는 각도 자체와 일치한다.

따라서 내적은 (노름을 통해) 일반적인 유클리드 공간에서의 길이, 각도와 일치하는 계량을 모순 없이 정의하는 것이다. 즉, $\mathbb{R}^3$ 에서 유클리드 기하학을 생각하는 것과 내적을 정의하는 것이 등가임을 알 수 있다.

2. 1. 대수적 정의

두 벡터의 좌표가 각각

\mathbf a=(a_1,a_2,\dots,a_n)

와

\mathbf b=(b_1,b_2,\dots,b_n)

라면, 이 둘의 스칼라곱은 같은 위치의 성분을 곱한 뒤 모두 합하여 얻는 값이다.^[3]

:

\mathbf a\cdot\mathbf b=a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n

예를 들어, 두 3차원 벡터

(1,3,-2),(4,2,1)

의 스칼라곱은 다음과 같다.

:

(1,3,-2)\cdot(4,2,1)=1\times4+3\times2+(-2)\times1=8

이 경우 스칼라곱의 정의는 벡터의 좌표에 의존하여 정의하지만,

\mathbb R^n

에 기존의 좌표계가 아닌 새로운 좌표계를 주더라도, 이 좌표계가 정규 직교 좌표계라면, 스칼라곱을 나타내는 공식은 바뀌지 않는다. 즉, 임의의 정규 직교 좌표계 아래 스칼라곱은 위치가 같은 두 좌표의 곱을 합한 것과 같다.

만약 벡터가 열벡터로 식별된다면, 내적은 다음과 같이 행렬 곱셈으로도 쓸 수 있다.^[3]

:

\mathbf a \cdot \mathbf b = \mathbf a^{\mathsf T} \mathbf b,

여기서

\mathbf a{^\mathsf T}

는

\mathbf a

의 전치 행렬을 나타낸다.

위의 예시를 행렬 곱셈으로 표현하면 다음과 같다.

:

\begin{bmatrix}1 & 3 & -5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}4 \\ -2 \\ -1\end{bmatrix} = 3 \, .

만약

\mathbf{e}_1,\cdots,\mathbf{e}_n

이

\mathbf{R}^n

의 표준 기저 벡터라면, 다음과 같이 쓸 수 있다.

\begin{align}\mathbf a &= [a_1 , \dots , a_n] = \sum_i a_i \mathbf e_i \\\mathbf b &= [b_1 , \dots , b_n] = \sum_i b_i \mathbf e_i.\end{align}

벡터

\mathbf{e}_i

는 정규 직교 기저로, 크기가 1이고 서로 직각을 이룬다. 즉,

\mathbf e_i \cdot \mathbf e_i = 1

이고,

i\neq j

일 경우,

\mathbf e_i \cdot \mathbf e_j = 0

이다. 따라서

\mathbf e_i \cdot \mathbf e_j = \delta_ {ij} ,

로 쓸 수 있다. 여기서

\delta_{ij}

는 크로네커 델타이다.

기하학적 정의에 의해, 임의의 벡터

\mathbf{e}_i

와 벡터

\mathbf{a}

에 대해, 다음 관계가 성립한다.

\mathbf a \cdot \mathbf e_i = \left\| \mathbf a \right\| \left\| \mathbf e_i \right\| \cos \theta_i = \left\| \mathbf a \right\| \cos \theta_i = a_i ,

여기서

a_i

는 벡터

\mathbf{a}

의

\mathbf{e}_i

방향의 성분이다.

점곱의 기하학적 버전의 분배 법칙을 적용하면,

\mathbf a \cdot \mathbf b = \mathbf a \cdot \sum_i b_i \mathbf e_i = \sum_i b_i ( \mathbf a \cdot \mathbf e_i ) = \sum_i b_i a_i= \sum_i a_i b_i ,

가 되는데, 이는 정확히 점곱의 대수적 정의와 일치한다.

2. 2. 기하학적 정의

스칼라곱은 길이와 각도를 통해 다음과 같이 기하학적으로 정의할 수 있다.

:

\mathbf a\cdot\mathbf b=\begin{cases}\Vert\mathbf a\Vert\Vert\mathbf b\Vert\cos\measuredangle(\mathbf a,\mathbf b)&\mathbf a\ne\mathbf0\land\mathbf b\ne\mathbf0\\0&\mathbf a=\mathbf0\lor\mathbf b=\mathbf0\end{cases}

여기서

$\Vert\mathbf a\Vert$ 는 $|\mathbf a|$ 로 표기하기도 하며, 벡터 $\mathbf a$ 의 노름을 뜻한다. 이는 $\mathbf a$ 의 길이 또는 크기를 나타낸다. $\Vert\mathbf b\Vert$ 역시 마찬가지이다.
$\measuredangle(\mathbf a,\mathbf b)$ 는 두 벡터 $\mathbf a,\mathbf b$ 사이의 각도이다. 이는 두 벡터가 모두 0이 아닐 때에만 정의되며, 보통 $[0,\pi]$ 에서 값을 취한다.
$\cos\measuredangle(\mathbf a,\mathbf b)$ 는 코사인이며, 직각 삼각형의 이웃변과 빗변의 길이의 비 또는 테일러 급수 전개식을 통해 정의할 수 있다.

예를 들어, 두 벡터의 길이가 모두 2이고, 둘 사이의 각도의 코사인 값이 1/2이라면, 이 두 벡터의 스칼라곱은 2 × 2 × 1/2 = 2이다.

이 정의에서 스칼라곱은 두 벡터의 길이와 위치 관계에만 의존하므로, 좌표계와 무관하다. 또한, 두 벡터를 똑같은 등거리 변환에 의해 변환시켰을 때, 두 벡터의 스칼라곱은 변하지 않는다.

몇 가지 특수한 각도의 경우는 다음과 같다.

$\measuredangle(\mathbf a,\mathbf b)=0$ (두 벡터의 방향이 같은 경우): $\cos\measuredangle(\mathbf a,\mathbf b)=1$ 이므로, 내적은 단순히 두 벡터의 길이의 곱이다.

: $\mathbf a\cdot\mathbf b=\Vert\mathbf a\Vert\Vert\mathbf b\Vert$

$\measuredangle(\mathbf a,\mathbf b)=90^\circ=\pi/2$ (두 벡터가 서로 수직인 경우): $\cos\measuredangle(\mathbf a,\mathbf b)=0$ 이므로, 내적은 0이다.

: $\mathbf a\cdot\mathbf b=0$

$\measuredangle(\mathbf a,\mathbf b)=180^\circ=\pi$ (두 벡터의 방향이 서로 반대인 경우): $\cos\measuredangle(\mathbf a,\mathbf b)=-1$ 이므로, $\mathbf a$ 와 $\mathbf b$ 의 내적은 다음과 같다.

: $\mathbf a\cdot\mathbf b=-\Vert\mathbf a\Vert\Vert\mathbf b\Vert$

이 정의로부터 두 벡터 사이의 각도를 구하는 공식은 다음과 같다.

:

\cos\measuredangle(\mathbf a,\mathbf b)=\frac{\mathbf a\cdot\mathbf b}{\Vert\mathbf a\Vert\Vert\mathbf b\Vert}\qquad(\mathbf a\ne\mathbf0,\;\mathbf b\ne\mathbf 0)

차원 실 유클리드 공간

\mathbb{R}^n

의 기하학적 벡터(유향선분에서 위치 개념을 제거한 것) 에 대해, 를

:

\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = \| \boldsymbol{a} \|  \| \boldsymbol{b} \| \cos \theta

로 정의하면 이는 하나의 실수를 정의한다. 단, 는 벡터를 유향선분으로 보았을 때 가 이루는 각도이며, 는 '''벡터의 크기''' (대응하는 유향선분의 길이)이다. 이는 즉, 유향선분 를 방향으로 정사영한 것의 크기와 의 크기의 곱이다.

3. 성질

임의의 벡터 $\mathbf a,\mathbf b,\mathbf c\in\mathbb R^n$ 및 스칼라 $k\in\mathbb R$ 에 대하여, 다음 성질들이 성립한다.^[15]

교환 법칙:
: $\mathbf a\cdot\mathbf b=\mathbf b\cdot\mathbf a$
분배 법칙:
: $(\mathbf a+\mathbf b)\cdot\mathbf c=\mathbf a\cdot\mathbf c+\mathbf b\cdot\mathbf c$
: $\mathbf a\cdot(\mathbf b+\mathbf c)=\mathbf a\cdot\mathbf b+\mathbf a\cdot\mathbf c$
스칼라 곱셈의 보존:
: $(k\mathbf a)\cdot\mathbf b=\mathbf a\cdot(k\mathbf b)=k\mathbf a\cdot\mathbf b$

위 네 가지 성질에 따라, 스칼라곱은 대칭 쌍선형 형식이다.

자기 자신과의 스칼라곱은 음이 아닌 실수이다.
: $\mathbf a\cdot\mathbf a=\Vert\mathbf a\Vert^2\ge0$
영벡터와의 스칼라곱은 0이다.
: $\mathbf0\cdot\mathbf a=\mathbf a\cdot\mathbf0=0$
자기 자신과의 스칼라곱이 0인 벡터는 영벡터뿐이다.
: $\mathbf a\cdot\mathbf a=0\iff\mathbf a=\mathbf0$

위 세 가지 성질에 따라, 스칼라곱은 양의 정부호 형식이다.

$\mathbf a\cdot\mathbf b=0$ 일 필요충분조건은 $\mathbf a\perp\mathbf b$ 이다.
$\mathbf a\cdot\mathbf b>0$ 일 필요충분조건은 $\measuredangle(\mathbf a,\mathbf b)<90^\circ$ 이다.
$\mathbf a\cdot\mathbf b<0$ 일 필요충분조건은 $\measuredangle(\mathbf a,\mathbf b)>90^\circ$ 이다.

반면 스칼라곱이 만족시키지 않는 성질에는 다음이 있다.

결합 법칙은 (1차원 유클리드 공간 $\mathbb R^1=\mathbb R$ 을 제외하면) 성립하지 않는다. 이는 두 벡터의 스칼라곱이 벡터가 아닌 스칼라이므로, $(\mathbf a\cdot\mathbf b)\cdot\mathbf c$ 나 $\mathbf a\cdot(\mathbf b\cdot\mathbf c)$ 가 무의미한 수식이기 때문이다.
소거 법칙은 (1차원 유클리드 공간 $\mathbb R^1=\mathbb R$ 을 제외하면) 성립하지 않는다. 예를 들어, $\mathbb R^2$ 에서, $\mathbf a=(1,0)$ , $\mathbf b=(1,1)$ , $\mathbf c=(1,-1)$ 이라면, $\mathbf a\cdot\mathbf b=\mathbf a\cdot\mathbf c=1$ , $\mathbf a\ne\mathbf0$ 이지만, $\mathbf b\ne\mathbf c$ 이다. 사실, $\mathbf a\cdot\mathbf b=\mathbf a\cdot\mathbf c$ 일 필요충분조건은 $\mathbf a\perp(\mathbf b-\mathbf c)$ 이다.

스칼라곱은

\mathbf{a}

,

\mathbf{b}

,

\mathbf{c}

및

\mathbf{d}

가 실수 벡터이고

\alpha

,

\beta

,

\gamma

및

\delta

가 스칼라인 경우 다음 속성을 충족한다.^[3]^[4]

; 교환 법칙 :

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a} ,

이는 정의에서 파생된다(

\theta

는

\mathbf{a}

와

\mathbf{b}

사이의 각도이다):^[7]

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \left\| \mathbf{a} \right\| \left\| \mathbf{b} \right\| \cos \theta = \left\| \mathbf{b} \right\| \left\| \mathbf{a} \right\| \cos \theta = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a} .

교환 법칙은 대수적 정의를 통해 쉽게 증명할 수 있으며, 더 일반적인 공간에서(각도의 개념이 기하학적으로 직관적이지 않을 수 있지만 유사한 곱을 정의할 수 있음) 두 벡터 사이의 각도는 다음과 같이 정의할 수 있다.

\theta = \operatorname{arccos}\left( \frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{\left\|\mathbf{a}\right\| \left\|\mathbf{b}\right\|} \right).

; 쌍선형 (양쪽 인수에 대해 가법적, 분배적 및 스칼라-곱셈적) :

(\alpha \mathbf{a} + \beta\mathbf{b})\cdot (\gamma\mathbf{c}+\delta\mathbf{d}) =

=\alpha(\mathbf{a}\cdot(\gamma\mathbf{c}+\delta\mathbf{d})) + \beta(\mathbf{b}\cdot(\gamma\mathbf{c}+\delta\mathbf{d})) =

=\alpha\gamma(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}) + \alpha\delta(\mathbf{a}\cdot\mathbf{d}) +\beta\gamma(\mathbf{b}\cdot\mathbf{c}) +\beta\delta(\mathbf{b}\cdot\mathbf{d}) .

; 결합 법칙을 따르지 않음 : 스칼라

\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}

와 벡터

\mathbf{c}

사이의 스칼라곱이 정의되지 않기 때문에, 결합 법칙에 관련된 표현식

(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})\cdot\mathbf{c}

또는

\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\cdot\mathbf{c})

는 모두 정의되지 않는다.^[8] 그러나 이전에 언급된 스칼라 곱셈 속성은 때때로 "스칼라와 스칼라곱에 대한 결합 법칙"^[9]이라고 불리거나 "스칼라곱은 스칼라 곱셈에 대해 결합적이다"라고 말할 수 있다.

c (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) = (c\mathbf{a})\cdot\mathbf{b} = \mathbf{a}\cdot(c\mathbf{b})

이기 때문이다.^[10]

; 직교 : 두 개의 영이 아닌 벡터

\mathbf{a}

와

\mathbf{b}

는

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0

인 경우에만 ''직교''한다.

; 소거 법칙이 없음

: 일반적인 숫자 곱셈과 달리,

ab=ac

인 경우

a

가 0이 아니면

b

는 항상

c

와 같지만, 스칼라곱은 소거 법칙을 따르지 않는다. 만약

\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}

이고

\mathbf{a}\neq\mathbf{0}

이면, 분배 법칙에 의해

\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}-\mathbf{c}) = 0

이다. 위의 결과는 이것이 단지

\mathbf{a}

가

(\mathbf{b}-\mathbf{c})

에 수직하다는 것을 의미하며, 이는 여전히

(\mathbf{b}-\mathbf{c})\neq\mathbf{0}

을 허용하고, 따라서

\mathbf{b}\neq\mathbf{c}

를 허용한다.

; 곱의 법칙 :

\mathbf{a}

와

\mathbf{b}

가 벡터 값의 미분 가능한 함수인 경우,

\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}

의 도함수(프라임으로 표시됨

{}'

)는 규칙

(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})' = \mathbf{a}'\cdot\mathbf{b} + \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}'

에 의해 주어진다.

점곱에 관하여

'''a''' · '''a''' ≥ 0,
'''a''' · '''a''' = 0 이 되는 것과 '''a'''의 성분이 모두 0인 것은 동치이다.
'''a''' · '''b''' = '''b''' · '''a''',
임의의 실수 ''k'', ''l''에 대해, (''k'''''a'''₁ + ''l'''''a'''₂) · '''b''' = ''k''('''a'''₁ · '''b''') + ''l''('''a'''₂ · '''b''')

의 성질이 만족된다. 그러므로 점곱은 내적의 일종이며, 벡터의 노름은 노름의 일종이다.

4. 응용

물리학에서 스칼라곱은 두 벡터를 통해 스칼라 값을 구하는데 사용된다. 예를 들어 일은 힘과 변위의 스칼라곱으로, 일률은 힘과 속도의 스칼라곱으로 계산된다.^[11]^[12]

4. 1. 스칼라 사영

벡터 '''a'''의 벡터 '''b''' 위의 스칼라 사영(scalar projection^영어)은 '''a'''를 '''b'''에 수직 사영하여 얻는 벡터의 길이이다. 스칼라 사영은 단위 벡터와의 스칼라곱으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

\mathbf a_\mathbf b=\mathbf a\cdot\frac\mathbf b{\Vert\mathbf b\Vert}

유클리드 벡터

\mathbf{b}

방향으로의 유클리드 벡터

\mathbf{a}

의 스칼라 투영 (또는 스칼라 성분)은 다음과 같이 주어진다.

a_b = \left\| \mathbf a \right\| \cos \theta ,

여기서

\theta

는

\mathbf{a}

와

\mathbf{b}

사이의 각도이다.

내적의 기하학적 정의에 따르면, 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.^[6]

a_b = \mathbf a \cdot \widehat{\mathbf b} ,

여기서

\widehat{\mathbf b} = \mathbf b / \left\| \mathbf b \right\|

는

\mathbf{b}

방향의 단위 벡터이다.

4. 2. 코사인 법칙

삼각형의 세 변

a,b,c

와

c

가 마주보는 각

\theta

에 대한 코사인 법칙은 스칼라곱의 성질을 통해 유도할 수 있다. 벡터

\mathbf a,\mathbf b,\mathbf c

가 그림과 같다고 하면, 코사인 법칙은 다음과 같이 증명된다.

:

\begin{align}c^2&=\mathbf c\cdot\mathbf c\\&=(\mathbf a-\mathbf b)\cdot(\mathbf a-\mathbf b)\\&=\mathbf a\cdot\mathbf a-\mathbf b\cdot\mathbf a-\mathbf a\cdot\mathbf b+\mathbf b\cdot\mathbf b\\&=\mathbf a\cdot\mathbf a-2\mathbf a\cdot\mathbf b+\mathbf b\cdot\mathbf b\\&=a^2-2ab\cos\theta+b^2\end{align}

각도

\theta

로 분리된 두 벡터

{\color{red}\mathbf{a}}

와

{\color{blue}\mathbf{b}}

가 주어지면 (위 그림 참조), 세 번째 변

{\color{orange}\mathbf{c}} = {\color{red}\mathbf{a}} - {\color{blue}\mathbf{b}}

를 갖는 삼각형을 형성한다.

a

,

b

및

c

는 각각

{\color{red}\mathbf{a}}

,

{\color{blue}\mathbf{b}}

, 및

{\color{orange}\mathbf{c}}

의 길이를 나타낸다. 이 자체와의 내적은 다음과 같다.

:

\begin{align}\mathbf{\color{orange}c} \cdot \mathbf{\color{orange}c} & = ( \mathbf{\color{red}a} - \mathbf{\color{blue}b}) \cdot ( \mathbf{\color{red}a} - \mathbf{\color{blue}b} ) \\& = \mathbf{\color{red}a} \cdot \mathbf{\color{red}a} - \mathbf{\color{red}a} \cdot \mathbf{\color{blue}b} - \mathbf{\color{blue}b} \cdot \mathbf{\color{red}a} + \mathbf{\color{blue}b} \cdot \mathbf{\color{blue}b} \\& = {\color{red}a}^2 - \mathbf{\color{red}a} \cdot \mathbf{\color{blue}b} - \mathbf{\color{red}a} \cdot \mathbf{\color{blue}b} + {\color{blue}b}^2 \\& = {\color{red}a}^2 - 2 \mathbf{\color{red}a} \cdot \mathbf{\color{blue}b} + {\color{blue}b}^2 \\{\color{orange}c}^2 & = {\color{red}a}^2 + {\color{blue}b}^2 - 2 {\color{red}a} {\color{blue}b} \cos \mathbf{\color{purple}\theta} \\\end{align}

이는 코사인 법칙이다.

4. 3. 삼중곱

스칼라 삼중곱은 3차원 유클리드 공간

\mathbb R^3

에서 스칼라곱과 벡터곱을 사용하여 정의된다. 세 벡터

\mathbf a,\mathbf b,\mathbf c\in\mathbb R^3

의 스칼라 삼중곱은

\mathbf a\cdot(\mathbf b\times\mathbf c)\in\mathbb R

로 정의된다. 스칼라 삼중곱의 값은 세 벡터의 데카르트 좌표를 열로 하는 행렬의 행렬식이며, 세 벡터로 정의된 평행육면체의 부호가 있는 부피이다.

벡터 삼중곱은

\mathbb R^3

에서 두 번의 벡터 곱으로 정의된다. 세 벡터

\mathbf a,\mathbf b,\mathbf c\in\mathbb R^3

의 벡터 삼중곱은 다음과 같이 스칼라곱을 계수로 하는 선형 결합으로 나타낼 수 있다.^[3]^[4]

:

\mathbf a\times(\mathbf b\times\mathbf c)=(\mathbf a\cdot\mathbf c)\mathbf b-(\mathbf a\cdot\mathbf b)\mathbf c

이 항등식은 "ACB 마이너스 ABC"로 기억할 수 있으며, 물리학에서 벡터 계산을 단순화하는 데 사용되는 '라그랑주 공식'으로도 알려져 있다.

4. 4. 물리학

물리학에서 여러 개념은 스칼라곱을 통해 정의된다. 예를 들어 일은 힘과 변위의 스칼라곱이며, 일률은 힘과 속도의 스칼라곱이고,^[11]^[12] 자기 선속은 자기 선속 밀도와 면적 벡터의 스칼라곱이다. 물론 변하는 힘이나 일정하지 않은 자기 선속의 경우 적분을 사용한다.

역학에서 물체에 일정한 힘 ''F'' (N^영어)이 작용하여, ''F''와 각도 θ만큼 벗어난 방향으로 물체가 ''x'' (m^영어) 이동했을 때, 수행된 일은 ''Fx'' cos θ (N^영어·m^영어)가 된다. 이는 힘과 변위를 기하학적인 벡터로 간주했을 때의 내적이다.

5. 일반화

내적은 유클리드 공간이나 복소수 곱공간의 스칼라곱을 일반화한 개념이다. 실수 벡터 공간에서 두 벡터의 연산이 양의 정부호성, 대칭성, 쌍선형성을 만족시키거나, 복소수 벡터 공간에서 두 벡터의 연산이 양의 정부호성, 켤레 대칭성, 반쌍선형성을 만족시킬 경우, 이를 내적이라고 한다.^[16]

내적은 추상 벡터 공간에서 스칼라의 체에 대한 점곱을 일반화하며, 실수 또는 복소수의 체이다. 보통 꺽쇠 괄호를 사용하여 ` $\left\langle \mathbf{a} \, , \mathbf{b} \right\rangle$ `와 같이 표기한다. 복소수 체에서 두 벡터의 내적은 일반적으로 복소수이며, 이중선형이 아닌 세스퀴선형이다. 내적 공간은 노름 벡터 공간이며, 벡터 자신과의 내적은 실수이고 양의 정부호이다.

내적은 가중 함수를 가질 수 있다. 예를 들어 가중 함수 $r(x)>0$ 에 대한 함수 $u(x)$ 와 $v(x)$ 의 내적은 다음과 같다.

$\left\langle u , v \right\rangle_r = \int_a^b r(x) u(x) v(x) \, d x.$

'''함수의 경우'''

두 실숫값 함수

f,g\colon[a,b]\to\mathbb R

의 내적은 적분을 사용하여 다음과 같이 정의할 수 있으며, 이는 양의 정부호성, 대칭성, 쌍선형성을 만족시킨다.

:

\langle f,g\rangle=\int_a^bf(x)g(x)dx

두 복소숫값 함수

f,g\colon[a,b]\to\mathbb C

의 내적은 다음과 같으며, 이는 양의 정부호성과 켤레 대칭성과 반쌍선형성을 만족시킨다.

:

\langle f,g\rangle=\int_a^b\overline{f(x)}g(x)dx

스칼라곱은 유한 개의 좌표 벡터를 가진 벡터에 대해 정의되므로, 이러한 벡터는 이산 함수로 간주될 수 있다. 이 개념은 제곱 적분 가능 함수로 일반화될 수 있다. 벡터의 내적이 해당 구성 요소의 합을 사용하는 것처럼, 함수의 내적은 어떤 측도 공간에 대한 적분으로 정의된다.^[3]

:

\left\langle u , v \right\rangle = \int_X u v \, \text{d} \mu.

'''행렬의 경우'''

크기가 같은 두 실수 행렬의 '''프로베니우스 내적'''(Frobenius inner product)은 위치가 같은 두 성분의 곱들을 합한 결과이며, 대각합과 행렬 곱셈을 통해 나타낼 수도 있다.

두 복소수 행렬의 프로베니우스 내적은 다음과 같다.

:

A:B=\operatorname{tr}(A^*B)=\sum_{i,j}\overline{A_{ij}}B_{ij}

여기서

A^*

는 A의 켤레전치이다.

5. 1. 복소수 벡터의 경우

차원이

n

인 복소수 곱공간

\mathbb C^n

속의 벡터

\mathbf u,\mathbf v\in\mathbb C^n

에 대하여 스칼라곱과 비슷한 함수를 정의할 수 있으며, 이는 다음과 같다.

:

\mathbf u\cdot\mathbf v=\mathbf u^*\mathbf v=\overline{u_1}v_1+\cdots+\overline{u_n}v_n

여기서

\mathbf u^*

는

\mathbf u

의 (열벡터로서의) 켤레전치이며,

\overline{u_k}

는

u_k

의 켤레 복소수이다. 이러한 함수는 양의 정부호성을 만족시킨다. 즉, 영벡터가 아닌 복소수 벡터와 자기 자신의 스칼라곱은 항상 실수이며 0보다 크다. 그러나 실수 벡터의 스칼라곱과 달리 쌍선형성을 만족시키지 않으며, 대신 다음과 같은 반쌍선형성을 만족시킨다. 임의의

\mathbf u,\mathbf v,\mathbf w\in\mathbb C^n

및

c\in\mathbb C

에 대하여,

:

(c\mathbf u+\mathbf v)\cdot\mathbf w=\bar c\mathbf u\cdot\mathbf w+\mathbf v\cdot\mathbf w

:

\mathbf u\cdot(c\mathbf v+\mathbf w)=c\mathbf u\cdot\mathbf v+\mathbf u\cdot\mathbf w

또한 대칭성(교환 법칙) 대신 다음과 같은 켤레 대칭성을 만족시킨다.

:

\mathbf u\cdot\mathbf v=\overline{\mathbf v\cdot\mathbf u}

이 경우, 영벡터가 아닌 두 복소수 벡터의 사잇각을 나타내는 공식은 다음과 같다.

:

\cos\measuredangle(\mathbf u,\mathbf v)=\frac{\operatorname{Re}(\mathbf u\cdot\mathbf v)}{\Vert\mathbf u\Vert\Vert\mathbf v\Vert}

여기서

\operatorname{Re}(\mathbf u\cdot\mathbf v)

는 복소수

\mathbf u\cdot\mathbf v

의 실수부이다.

만약 이 함수의 정의에서 켤레 복소수를 생략한다면, 이는 쌍선형성과 대칭성을 유지하지만 양의 정부호성을 잃는다. 이는 대략

i^2=-1<0

이기 때문이다.

5. 2. 내적

내적은 유클리드 공간이나 복소수 곱공간의 스칼라곱을 일반화한 개념이다. 실수 벡터 공간

V

에서 두 벡터

u,v\in V

로부터 실수 스칼라

\langle u,v\rangle\in\mathbb R

를 얻는 연산이 양의 정부호성, 대칭성, 쌍선형성을 만족시키거나, 복소수 벡터 공간

V

의 두 벡터

u,v\in V

로부터 복소수 스칼라

\langle u,v\rangle\in\mathbb C

를 얻는 연산이 양의 정부호성, 켤레 대칭성, 반쌍선형성을 만족시킬 경우, 이를

V

위의 내적이라고 한다.^[16] 예를 들어,

\mathbb R^2

에 다음과 같은 함수를 정의하면 내적을 이룬다.

:

(a_1,a_2)\cdot(b_1,b_2)=a_1b_1-a_2b_1-a_1b_2+4a_2b_2

내적은 추상 벡터 공간에서 스칼라의 체에 대한 점곱을 일반화하며, 실수

\R

또는 복소수

\Complex

의 체이다. 보통

\left\langle \mathbf{a} \, , \mathbf{b} \right\rangle

와 같이 꺽쇠 괄호를 사용하여 표기한다.

복소수 체에서 두 벡터의 내적은 일반적으로 복소수이며, 이중선형이 아닌 세스퀴선형이다. 내적 공간은 노름 벡터 공간이며, 벡터 자신과의 내적은 실수이고 양의 정부호이다.

내적은 가중 함수를 가질 수 있다. (즉, 내적의 각 항에 값을 가중하는 함수). 구체적으로, 가중 함수

r(x)>0

에 대한 함수

u(x)

와

v(x)

의 내적은 다음과 같다.

\left\langle u , v \right\rangle_r = \int_a^b r(x) u(x) v(x) \, d x.

5. 3. 함수의 경우

두 실숫값 함수

f,g\colon[a,b]\to\mathbb R

의 내적

\langle f,g\rangle\in\mathbb R

은 급수 대신 적분을 사용하여 다음과 같이 정의할 수 있으며, 이 역시 양의 정부호성과 대칭성과 쌍선형성을 만족시킨다.

:

\langle f,g\rangle=\int_a^bf(x)g(x)dx

보다 일반적으로, 두 복소숫값 함수

f,g\colon[a,b]\to\mathbb C

의 내적

\langle f,g\rangle\in\mathbb C

은 다음과 같으며, 이는 양의 정부호성과 켤레 대칭성과 반쌍선형성을 만족시킨다.

:

\langle f,g\rangle=\int_a^b\overline{f(x)}g(x)dx

스칼라곱은 유한 개의 좌표 벡터를 가진 벡터에 대해 정의된다. 따라서 이러한 벡터는 이산 함수로 간주될 수 있다. 즉, 길이

n

벡터

u

는 정의역

\{k\in\mathbb{N}:1\leq k \leq n\}

를 가지는 함수이며,

u_i

는 함수/벡터

u

에 의한

i

의 이미지를 나타내는 표기법이다.

이 개념은 제곱 적분 가능 함수로 일반화될 수 있다. 벡터의 내적은 해당 구성 요소의 합을 사용하는 것처럼, 함수의 내적은 어떤 측도 공간

(X, \mathcal{A}, \mu)

에 대한 적분으로 정의된다.^[3]

:

\left\langle u , v \right\rangle = \int_X u v \, \text{d} \mu.

예를 들어,

f

와

g

가 표준 르베그 측도를 갖는

\mathbb{R}^n

의 콤팩트 집합

K

에 대한 연속 함수인 경우, 위 정의는 다음과 같다.

:

\left\langle f , g \right\rangle = \int_K f(\mathbf{x}) g(\mathbf{x}) \, \operatorname{d}^n \mathbf{x} .

위의 복소 내적과 유사하게 복소 연속 함수

\psi

와

\chi

로 더 일반화하면 다음을 얻는다.

:

\left\langle \psi, \chi \right\rangle = \int_K \psi(z) \overline{\chi(z)} \, \text{d} z.

5. 4. 행렬의 경우

크기가 같은 두 실수 행렬 A, B의 '''프로베니우스 내적'''(Frobenius inner product^영어) A:B는 위치가 같은 두 성분의 곱들을 합한 결과이며, 대각합과 행렬 곱셈을 통해 나타낼 수도 있다. 즉, 다음과 같다.

:

A:B=\operatorname{tr}(A^\operatorname TB)=\sum_{i,j}A_{ij}B_{ij}

보다 일반적으로, 두 복소수 행렬 A, B의 프로베니우스 내적은 다음과 같다.

:

A:B=\operatorname{tr}(A^*B)=\sum_{i,j}\overline{A_{ij}}B_{ij}

여기서

A^*

는 A의 켤레전치이다.

행렬의 이중 점곱은 프로베니우스 내적으로, 벡터의 점곱과 유사하다. 이는 동일한 크기의 두 행렬

\mathbf{A}

와

\mathbf{B}

의 대응하는 성분들의 곱의 합으로 정의된다.

:

\mathbf{A} : \mathbf{B} = \sum_i \sum_j A_{ij} \overline{B_{ij}} = \operatorname{tr} ( \mathbf{B}^\mathsf{H} \mathbf{A} ) = \operatorname{tr} ( \mathbf{A} \mathbf{B}^\mathsf{H} ) .

실수 행렬의 경우는 다음과 같다.

:

\mathbf{A} : \mathbf{B} = \sum_i \sum_j A_{ij} B_{ij} = \operatorname{tr} ( \mathbf{B}^\mathsf{T} \mathbf{A} ) = \operatorname{tr} ( \mathbf{A} \mathbf{B}^\mathsf{T} ) = \operatorname{tr} ( \mathbf{A}^\mathsf{T} \mathbf{B} ) = \operatorname{tr} ( \mathbf{B} \mathbf{A}^\mathsf{T} ) .

참조

_[1] 문서 The term ''scalar product'' means literally "product with a [[Scalar (mathematics)|scalar]] as a result". It is also used for other [[symmetric bilinear form]]s, for example in a [[pseudo-Euclidean space]]. Not to be confused with [[scalar multiplication]].
_[2] 웹사이트 Dot Product https://www.mathsisf[...] 2020-09-06
_[3] 서적 Linear Algebra (Schaum's Outlines) McGraw Hill
_[4] 서적 Vector Analysis (Schaum's Outlines) McGraw Hill
_[5] 서적 Vector and tensor analysis with applications Dover
_[6] 서적 Mathematical Methods for Physicists Academic Press
_[7] 웹사이트 The dot product https://mathinsight.[...] 2020-09-06
_[8] 문서 Dot Product http://mathworld.wol[...]
_[9] 서적 Linear Algebra Through Geometry https://archive.org/[...] Springer Science & Business Media
_[10] 서적 Engineering Mechanics: Statics Prentice Hall
_[11] 서적 Mathematical methods for physics and engineering https://archive.org/[...] Cambridge University Press
_[12] 서적 Understanding Physics John Wiley & Sons
_[13] 서적 Linear Algebra Dover
_[14] 서적 Linear Algebra (Schaum’s Outlines) McGraw Hill
_[15] 서적 Linear Algebra and Its Applications https://archive.org/[...] Pearson Education 2012
_[16] 서적 Linear Algebra https://archive.org/[...] Prentice-Hall 1971

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com