프로이덴탈 마방진

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1. 개요

프로이덴탈 마방진은 실수 리 대수를 구성하는 방법으로, 요르단 대수와 합성 대수를 사용하여 정의된다. 이 방법은 1950년대 말 한스 프로이덴탈과 자크 티츠에 의해 독립적으로 발견되었으며, 로젠펠트 사영 평면과 밀접한 관련이 있다. 프로이덴탈 마방진은 분할된 형태를 포함하여 다양한 형태의 합성 대수를 사용하여 일반화될 수 있으며, 에르미트 대칭 공간과 전균질 벡터 공간과도 연관된다.

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베유 대수는 체 K 위의 리 대수 g에 대하여 정의되는 미분 등급 대수이며, g의 쌍대 공간과 그 등급 이동으로 생성되는 외대수와 대칭 대수의 텐서곱으로 표현되고, 리 군의 분류 공간의 주다발의 무한소 형태를 나타내는 완전열과 관련이 있다.
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프로이덴탈 마방진
개요
유형	수학적 마방진
고안자	한스 프로이덴탈
관련 개념	리 대수 킬링 형식 조르단 대수 구성 대수
구성 요소
구성	3x3 행렬
원소	실수, 복소수, 사원수, 팔원수 등의 나눗셈 대수
특징
성질	행, 열, 대각선의 합이 동일 특정한 리 대수와 관련
활용	예외적인 리 대수의 연구 및 분류
역사
발표 시기	1950년대
개발 동기	리 대수의 기하학적 해석 및 분류
관련 연구
연구 분야	수학 물리학 끈 이론
주요 연구자	한스 프로이덴탈 Barton, C. H. Sudbery, A.
참고 문헌
논문	"Magic squares and matrix models of Lie algebras" (last1 = Barton)
서적	"The octonions" (last1 = Baez) "Introduction to exceptional Lie groups and algebras" (이름=Pierre \| 언어=en]])

2. 정의

다음 두 데이터가 주어졌다고 하자.

(항등원 1_''J''^영어∈''J''을 갖는) 유한 차원 실수 요르단 대수 ''(J'', •, 1_''J'')
''J'' 위의 불변 비퇴화 대칭 쌍선형 형식 $\langle-,-\rangle \colon J \otimes_{\mathbb R}J\to \mathbb R$ . 즉, 다음이 성립해야 한다.
: $\langle A,B\bullet C\rangle = \langle A\bullet B,C\rangle\qquad\forall A,B,C\in J$
(항등원 1_''K''^영어∈''K''를 갖는) 실수 합성 대수 ''(K'',·,1_''K''). 여기서 내적을 $\langle 1_K,1_K\rangle=1$ 이 되게 규격화한다.

이제, 다음과 같은 실수 벡터 공간을 생각하자.

:

\mathfrak g(K,J) = \mathfrak{der}(K;\mathbb R) \oplus \mathfrak{der}(J;\mathbb R) \oplus (\operatorname{Span}_{\mathbb R}\{1_K\})^\perp \otimes_{\mathbb R} (\operatorname{Span}_{\mathbb R}\{1_J\})^\perp

여기서

$\mathfrak{der}(-;\mathbb R)$ 는 쌍선형 이항 연산에 대한 미분 리 대수이다.
$(-)^\perp$ 은 내적에 대한 직교 여공간이다.

이 가운데,

\mathfrak{der}(K;\mathbb R) \oplus \mathfrak{der}(J;\mathbb R)

는 이미 실수 리 대수를 이루며, 이는

(\operatorname{Span}_{\mathbb R}\{1_K\})^\perp \otimes_{\mathbb R} (\operatorname{Span}_{\mathbb R}\{1_J\})^\perp

위의 표준적인 리 대수 표현을 갖는다. 즉, 만약

\mathfrak g(K,J)

전체가 실수 리 대수를 이루려면, 야코비 항등식을 만족시키는,

(\operatorname{Span}_{\mathbb R}\{1_K\})^\perp \otimes_{\mathbb R} (\operatorname{Span}_{\mathbb R}\{1_J\})^\perp

위의 리 괄호가 존재하면 족하다.

이제, 다음과 같은 괄호를 정의하자.

:

[a\otimes A,b\otimes B] = \frac{\langle A,B\rangle_J}{4\langle 1_J,1_J\rangle_J}\mathsf D_{a,b} - \langle a,b\rangle_K [A\bullet,B\bullet] + \frac12(a\cdot b-b\cdot a)\otimes\operatorname{proj}_{(\operatorname{Span}_{\mathbb R}\{1_J\})^\perp}(A\bullet B)\qquad(a,b\in (\operatorname{Span}\{1_K\})^\perp,\;A,B\in (\operatorname{Span}\{1_J\})^\perp)

여기서

$(A\bullet) \colon J\to J$ 는 $A$ 에 의한 요르단 곱셈이며, 그 교환자는 미분을 이룬다 ( $[A\bullet,B\bullet] \in \mathfrak{der}(J;\mathbb R)$ ).
$\mathsf D_{a,b} = [a\cdot, b\cdot] + [a\cdot, \cdot b] + [\cdot a,\cdot b] \in\mathfrak{der}(K;\mathbb R)$ 는 $K$ 위의 미분이다.

이제, 만약 다음 두 조건 가운데 하나 이상이 성립한다면,

\mathfrak g(K,J)

는 실수 리 대수를 이룬다.^[5]

$(K,\cdot)$ 가 실수 결합 대수이다.
$J$ 에서 다음 항등식이 성립한다.
: $2 \langle 1_J,1_J\rangle\operatorname{proj}_{(\operatorname{Span}_{\mathbb R}\{1_J\})^\perp} \left(A\bullet (A\bullet A)\right)= 3\langle A,A\rangle A\qquad\forall A\in(\operatorname{Span}_{\mathbb R}\{1_J\})^\perp$

맥락과 동기에 관해서는 역사를 참조하십시오. 이것들은 원래 1958년경 프로이덴탈(Freudenthal)과 티츠(Tits)에 의해 구성되었으며, 이후 더 우아한 공식이 나왔다.^[1]

2. 1. 기본 요소

항등원 \$\$1_J \in J\$\$를 갖는 유한 차원 실수 요르단 대수 \$\$(J, \bullet, 1_J)\$\$와 \$\$J\$\$ 위의 불변 비퇴화 대칭 쌍선형 형식 \$\$\langle-,-\rangle \colon J \otimes_{\mathbb R}J\to \mathbb R\$\$가 주어졌다고 하자. 즉, 다음이 성립해야 한다.

\$\$\langle A,B\bullet C\rangle = \langle A\bullet B,C\rangle\qquad\forall A,B,C\in J\$\$

또한, 항등원 \$\$1_K \in K\$\$를 갖는 실수 합성 대수 \$\$(K,\cdot,1_K)\$\$가 주어졌다고 하자. 여기서 내적은 \$\$\langle 1_K,1_K\rangle=1\$\$이 되게 규격화한다.

이제, 다음과 같은 실수 벡터 공간을 생각하자.

\$\$\mathfrak g(K,J) = \mathfrak{der}(K;\mathbb R) \oplus \mathfrak{der}(J;\mathbb R) \oplus (\operatorname{Span}_{\mathbb R}\{1_K\})^\perp \otimes_{\mathbb R} (\operatorname{Span}_{\mathbb R}\{1_J\})^\perp\$\$

여기서

\$\$\mathfrak{der}(-;\mathbb R)\$\$는 쌍선형 이항 연산에 대한 미분 리 대수이다.
\$\$(-)^\perp\$\$은 내적에 대한 직교 여공간이다.

이 가운데, \$\$ \mathfrak{der}(K;\mathbb R) \oplus \mathfrak{der}(J;\mathbb R)\$\$는 이미 실수 리 대수를 이루며, 이는 \$\$ (\operatorname{Span}_{\mathbb R}\{1_K\})^\perp \otimes_{\mathbb R} (\operatorname{Span}_{\mathbb R}\{1_J\})^\perp\$\$ 위의 표준적인 리 대수 표현을 갖는다. 즉, 만약 \$\$\mathfrak g(K,J)\$\$ 전체가 실수 리 대수를 이루려면, 야코비 항등식을 만족시키는, \$\$ (\operatorname{Span}_{\mathbb R}\{1_K\})^\perp \otimes_{\mathbb R} (\operatorname{Span}_{\mathbb R}\{1_J\})^\perp\$\$ 위의 리 괄호가 존재하면 족하다.

이제, 다음과 같은 괄호를 정의하자.

\$\$\begin{aligned}

&[a\otimes A,b\otimes B] \\\\

&= \frac{\langle A,B\rangle_J}{4\langle 1_J,1_J\rangle_J}\mathsf D_{a,b} - \langle a,b\rangle_K [A\bullet,B\bullet] + \frac12(a\cdot b-b\cdot a)\otimes\operatorname{proj}_{(\operatorname{Span}_{\mathbb R}\{1_J\})^\perp}(A\bullet B)\qquad(a,b\in (\operatorname{Span}\{1_K\})^\perp,\;A,B\in (\operatorname{Span}\{1_J\})^\perp)

\end{aligned}\$\$

여기서

\$\$(A\bullet) \colon J\to J\$\$는 \$\$A\$\$에 의한 요르단 곱셈이며, 그 교환자는 미분을 이룬다 (\$\$[A\bullet,B\bullet] \in \mathfrak{der}(J;\mathbb R)\$\$).
\$\$\mathsf D_{a,b} = [a\cdot, b\cdot] + [a\cdot, \cdot b] + [\cdot a,\cdot b] \in\mathfrak{der}(K;\mathbb R)\$\$는 \$\$K\$\$ 위의 미분이다.

이제, 만약 다음 두 조건 가운데 하나 이상이 성립한다면, \$\$\mathfrak g(K,J)\$\$는 실수 리 대수를 이룬다.^[5]

\$\$(K,\cdot)\$\$가 실수 결합 대수이다.
\$\$J\$\$에서 다음 항등식이 성립한다.

\$\$2 \langle 1_J,1_J\rangle\operatorname{proj}_{(\operatorname{Span}_{\mathbb R}\{1_J\})^\perp} \left(A\bullet (A\bullet A)\right)= 3\langle A,A\rangle A\qquad\forall A\in(\operatorname{Span}_{\mathbb R}\{1_J\})^\perp\$\$

2. 2. 리 대수 구성

실수 요르단 대수

(J,\bullet,1_J)

와 불변 비퇴화 대칭 쌍선형 형식

\langle-,-\rangle \colon J \otimes_{\mathbb R}J\to \mathbb R

, 그리고 실수 합성 대수

(K,\cdot,1_K)

가 주어졌을 때, 다음과 같은 실수 벡터 공간을 생각한다.^[5]

:

\mathfrak g(K,J) = \mathfrak{der}(K;\mathbb R) \oplus \mathfrak{der}(J;\mathbb R) \oplus (\operatorname{Span}_{\mathbb R}\{1_K\})^\perp \otimes_{\mathbb R} (\operatorname{Span}_{\mathbb R}\{1_J\})^\perp

여기서

$\mathfrak{der}(-;\mathbb R)$ 는 쌍선형 이항 연산에 대한 미분 리 대수이다.
$(-)^\perp$ 은 내적에 대한 직교 여공간이다.

\mathfrak{der}(K;\mathbb R) \oplus \mathfrak{der}(J;\mathbb R)

는 이미 실수 리 대수를 이루며,

(\operatorname{Span}_{\mathbb R}\{1_K\})^\perp \otimes_{\mathbb R} (\operatorname{Span}_{\mathbb R}\{1_J\})^\perp

위에 표준적인 리 대수 표현을 갖는다.

(\operatorname{Span}_{\mathbb R}\{1_K\})^\perp \otimes_{\mathbb R} (\operatorname{Span}_{\mathbb R}\{1_J\})^\perp

위의 리 괄호는 다음과 같이 정의된다.^[5]

:

[a\otimes A,b\otimes B] = \frac{\langle A,B\rangle_J}{4\langle 1_J,1_J\rangle_J}\mathsf D_{a,b} - \langle a,b\rangle_K [A\bullet,B\bullet] + \frac12(a\cdot b-b\cdot a)\otimes\operatorname{proj}_{(\operatorname{Span}_{\mathbb R}\{1_J\})^\perp}(A\bullet B)\qquad(a,b\in (\operatorname{Span}\{1_K\})^\perp,\;A,B\in (\operatorname{Span}\{1_J\})^\perp)

여기서

$(A\bullet) \colon J\to J$ 는 $A$ 에 의한 요르단 곱셈이며, 그 교환자는 미분을 이룬다 ( $[A\bullet,B\bullet] \in \mathfrak{der}(J;\mathbb R)$ ).
$\mathsf D_{a,b} = [a\cdot, b\cdot] + [a\cdot, \cdot b] + [\cdot a,\cdot b] \in\mathfrak{der}(K;\mathbb R)$ 는 $K$ 위의 미분이다.

만약 다음 두 조건 가운데 하나 이상이 성립한다면,

\mathfrak g(K,J)

는 실수 리 대수를 이룬다.^[5]

$(K,\cdot)$ 가 실수 결합 대수이다.
$J$ 에서 다음 항등식이 성립한다.
: $2 \langle 1_J,1_J\rangle\operatorname{proj}_{(\operatorname{Span}_{\mathbb R}\{1_J\})^\perp} \left(A\bullet (A\bullet A)\right)= 3\langle A,A\rangle A\qquad\forall A\in(\operatorname{Span}_{\mathbb R}\{1_J\})^\perp$

이 구성은 원래 1958년경 프로이덴탈과 티츠에 의해 개발되었다.^[1]

3. 성질

다음과 같은 특수한 경우가 성립한다.^[5]

: $\mathfrak g(\mathbb R,J) = \mathfrak{der}(J;\mathbb R)$ (미분 리 대수)

: $\mathfrak g(\tilde{\mathbb C},J) = \mathfrak{con}_0'(J)$

: $\mathfrak g(\tilde{\mathbb H},J) = \mathfrak{con}(J)$

: $\mathfrak g(\mathbb K,\operatorname H(n;\mathbb K')) \cong \mathfrak g(\mathbb K',\operatorname H(n;\mathbb K)) \qquad\forall n\ge2,\;\mathbb K,\mathbb K'$

여기서 $\mathfrak{con}_0'(-)$ 및 $\mathfrak{con}(-)$ 은 칸토르-쾨허-티츠 구성을 통해 $J$ 에 대응되는 리 대수들이다.

3. 1. 특수한 경우

다음과 같은 특수한 경우가 성립한다.^[5]

:

\mathfrak g(\mathbb R,J) = \mathfrak{der}(J;\mathbb R)

(미분 리 대수)

:

\mathfrak g(\tilde{\mathbb C},J) = \mathfrak{con}_0'(J)

:

\mathfrak g(\tilde{\mathbb H},J) = \mathfrak{con}(J)

:

\mathfrak g(\mathbb K,\operatorname H(n;\mathbb K')) \cong  \mathfrak g(\mathbb K',\operatorname H(n;\mathbb K)) \qquad\forall n\ge2,\;\mathbb K,\mathbb K'

여기서

\mathfrak{con}_0'(-)

및

\mathfrak{con}(-)

은 칸토르-쾨허-티츠 구성을 통해

J

에 대응되는 리 대수들이다.

3. 2. 대칭성

특히, 다음과 같은 특수한 경우가 성립한다.^[5]

$\mathfrak g(\mathbb R,J) = \mathfrak{der}(J;\mathbb R)$ (미분 리 대수)
$\mathfrak g(\tilde{\mathbb C},J) = \mathfrak{con}_0'(J)$
$\mathfrak g(\tilde{\mathbb H},J) = \mathfrak{con}(J)$

여기서

\mathfrak{con}_0'(-)

및

\mathfrak{con}(-)

은 칸토르-쾨허-티츠 구성을 통해

J

에 대응되는 리 대수들이다.

리만 대칭 공간, 즉 콤팩트 및 비콤팩트 모두 마방진 구성을 사용하여 균일하게 분류할 수 있다. 기약 콤팩트 대칭 공간은 유한 피복까지, 콤팩트 단순 리 군, 그라스만 다양체, 라그랑지안 그라스만 다양체, 또는

(\mathbf A \otimes \mathbf B)^n,

의 부분 공간의 이중 라그랑지안 그라스만 다양체이며, 여기서 '''A'''와 '''B'''는 노름 나눗셈 대수이다. 유사한 구성을 통해 기약 비콤팩트 대칭 공간을 생성한다.

4. 구성 방법

맥락과 동기에 관해서는 역사를 참조하십시오. 이것들은 원래 1958년경 프로이덴탈(Freudenthal)과 티츠/Tits^프랑스어에 의해 구성되었으며, 이후 더 우아한 공식이 나왔다.^[1]

=== 티츠의 구성 ===

티츠/Tits^프랑스어의 접근 방식은 1958년경에 발견되어 티츠 (1966)에 발표되었다.

임의의 노름이 있는 실수 나눗셈 대수 ''A'' (즉, '''R''', '''C''', '''H''' 또는 '''O''')와 연관된 Jordan 대수 ''J''₃(''A'')가 있는데, 이는 3 × 3 ''A''-Hermitian 행렬이다. 이러한 나눗셈 대수 쌍 (''A'', ''B'')에 대해 다음과 같은 Lie 대수를 정의할 수 있다.

: $L=\left (\mathfrak{der}(A)\oplus\mathfrak{der}(J_3(B))\right )\oplus \left (A_0\otimes J_3(B)_0 \right )$

여기서 $\mathfrak{der}$ 는 대수의 도함의 Lie 대수를 나타내고, 아래첨자 0은 trace-free 부분을 나타낸다. Lie 대수 ''L''은 $\mathfrak{der}(A)\oplus\mathfrak{der}(J_3(B))$ 를 부분 대수로 가지며, 이는 $A_0\otimes J_3(B)_0$ 에 자연스럽게 작용한다. ''A''='''R'''인 표의 행은 $\mathfrak{der}(J_3(B))$ 를 제공하며, 이와 유사하게 반대 방향도 성립한다.

$A_0\otimes J_3(B)_0$ 에 대한 Lie 브래킷(부분 대수가 아님)은 명확하지 않지만, 티츠는 이를 정의하는 방법을 보여주었고, 그 결과 다음 compact Lie 대수 표가 생성되었다.

	B	R	C	H	O
A	der(A/B)	0	0	$\mathfrak{sp}_1$	$\mathfrak{g}_2$
R	0	$\mathfrak{so}_3$	$\mathfrak{su}_3$	$\mathfrak{sp}_3$	$\mathfrak{f}_4$
C	0	$\mathfrak{su}_3$	$\mathfrak{su}_3\oplus\mathfrak{su}_3$	$\mathfrak{su}_6$	$\mathfrak{e}_6$
H	$\mathfrak{sp}_1$	$\mathfrak{sp}_3$	$\mathfrak{su}_6$	$\mathfrak{so}_{12}$	$\mathfrak{e}_7$
O	$\mathfrak{g}_2$	$\mathfrak{f}_4$	$\mathfrak{e}_6$	$\mathfrak{e}_7$	$\mathfrak{e}_8$

=== 빈베르크의 구성 ===

에르네스트 빈베르크는 프로이덴탈 마방진의 구성에서 리 대수가 ''A''와 ''B''에 대해 대칭적이라는 점이 티츠의 구성 방식에서는 명확하지 않다는 점을 보완하기 위해 1966년에 새로운 구성을 제시했다. 빈베르크는 요르단 대수 대신, ''A'' ⊗ ''B''를 엔트리로 갖는 추적-0의 왜-에르미트 행렬 대수, $\mathfrak{sa}_3(A\otimes B)$ 를 사용한다. 빈베르크는 다음과 같은 리 대수 구조를 정의한다.

: $\mathfrak{der}(A)\oplus\mathfrak{der}(B)\oplus\mathfrak{sa}_3(A\otimes B).$

''A''와 ''B''에 미분(derivation)이 없을 때 (예: '''R''' 또는 '''C'''), 이는 $\mathfrak{sa}_3(A\otimes B)$ 에 대한 리 (교환자) 괄호이다. 미분이 존재할 경우, 이들은 티츠의 구성에서처럼 $\mathfrak{sa}_3(A\otimes B)$ 에 자연스럽게 작용하는 부분 대수를 형성하며, $\mathfrak{sa}_3(A\otimes B)$ 에 대한 추적-0 교환자 괄호는 $\mathfrak{der}(A)\oplus\mathfrak{der}(B)$ 값을 갖는 식으로 수정된다.

=== 삼중성(Triality)을 이용한 구성 ===

피에르 라몽(Pierre Ramond)과 브루스 앨리슨(Bruce Allison)에 의해 개발되고 토니 서드버리(Anthony Sudbery)와 크리스 바튼(Chris Barton)에 의해 발전된 구성은 존 프랭크 아담스(John Frank Adams)가 개발한 형태의 삼중성을 사용한다. 이 구성은 Barton^영어과 Sudbery}}에 의해 간략화되었다. 빈버그의 구성이 분할 대수 ''A''(정확히는 그 도함수의 리 대수)의 자기 동형 사상 그룹을 기반으로 하는 반면, 바튼과 서드버리는 해당 삼중성의 자기 동형 사상 그룹을 사용한다. 삼중성은 분할 대수 ''A''의 세 개의 복사본을 가져와서 ''A''에 대한 내적을 사용하여 곱셈을 이중화하여 얻는 삼선형 맵( $A_1\times A_2\times A_3 \to \mathbf R$ )이다. 자기 동형 사상 그룹은 이 삼선형 맵을 보존하는 SO(''A''₁) × SO(''A''₂) × SO(''A''₃)의 부분 그룹이며, Tri(''A'')로 표시된다. 다음 표는 그 리 대수를 도함수의 리 대수와 비교한다.

A:	R	C	H	O
$\mathfrak{der}(A)$	0	0	$\mathfrak{sp}_1$	$\mathfrak{g}_2$
$\mathfrak{tri}(A)$	0	$\mathfrak u_1 \oplus \mathfrak u_1$	$\mathfrak{sp}_1 \oplus \mathfrak{sp}_1\oplus \mathfrak{sp}_1$	$\mathfrak{so}_8$

바튼과 서드버리는 (''A'',''B'')에 해당하는 마법의 정사각형 리 대수를 다음 벡터 공간에 대한 리 대수 구조로 식별한다.

: $\mathfrak{tri}(A)\oplus\mathfrak{tri}(B)\oplus (A_1\otimes B_1)\oplus (A_2\otimes B_2)\oplus (A_3\otimes B_3).$

리 괄호는 '''Z'''₂ × '''Z'''₂ 등급과 호환되며, '''tri'''(''A'')와 '''tri'''(''B'')는 등급 (0,0)에 있고, ''A'' ⊗ ''B''의 세 개의 복사본은 등급 (0,1), (1,0) 및 (1,1)에 있다. 괄호는 '''tri'''(''A'')와 '''tri'''(''B'')를 보존하며 다른 구성과 마찬가지로 ''A'' ⊗ ''B''의 세 개의 복사본에 자연스럽게 작용하지만, 이 세 개의 복사본 사이의 괄호는 더 제한적이다.

예를 들어 ''A''와 ''B''가 팔원수일 때, 삼중성은 SO(8)의 이중 덮개인 Spin(8)의 것이며, 바튼-서드버리 설명은 다음을 산출한다.

: $\mathfrak e_8\cong \mathfrak{so}_8\oplus\widehat{\mathfrak{so$ ^영어_8\oplus(V\otimes \widehat V)\oplus (S_+\otimes\widehat S_+)\oplus (S_-\otimes \widehat S_-)

여기서 V, S₊ 및 S₋는 $\mathfrak{so}_8$ 의 세 가지 8차원 표현(기본 표현 및 두 개의 스핀 표현)이고, 모자 달린 개체는 동형 사본이다.

하나의 '''Z'''₂ 등급과 관련하여, 처음 세 개의 덧수는 $\mathfrak{so}_{16}$ 을 주고 마지막 두 개는 그 스핀 표현 Δ₊¹²⁸ 중 하나를 형성한다(윗첨자는 차원을 나타낸다). 이것은 잘 알려진 대칭 분해 E8이다.

바튼-서드버리 구성은 이것을 마법의 정사각형의 다른 리 대수로 확장한다. 특히 마지막 행(또는 열)의 예외적인 리 대수의 경우, 대칭 분해는 다음과 같다.

: $\mathfrak f_4\cong \mathfrak{so}_9\oplus \Delta^{16}$

: $\mathfrak e_6\cong (\mathfrak{so}_{10}\oplus \mathfrak u_1)\oplus \Delta^{32}$

: $\mathfrak e_7\cong (\mathfrak{so}_{12}\oplus \mathfrak{sp}_1)\oplus \Delta_+^{64}$

: $\mathfrak e_8\cong \mathfrak{so}_{16}\oplus \Delta_+^{128}.$

4. 1. 티츠의 구성

티츠의 접근 방식은 1958년경에 발견되어 티츠/Tits^프랑스어 (1966)에 발표되었다.

임의의 노름이 있는 실수 나눗셈 대수 ''A'' (즉, '''R''', '''C''', '''H''' 또는 '''O''')와 연관된 Jordan 대수 ''J''₃(''A'')가 있는데, 이는 3 × 3 ''A''-Hermitian 행렬이다. 이러한 나눗셈 대수 쌍 (''A'', ''B'')에 대해 다음과 같은 Lie 대수를 정의할 수 있다.

:

L=\left (\mathfrak{der}(A)\oplus\mathfrak{der}(J_3(B))\right )\oplus \left (A_0\otimes J_3(B)_0 \right )

여기서

\mathfrak{der}

는 대수의 도함의 Lie 대수를 나타내고, 아래첨자 0은 trace-free 부분을 나타낸다. Lie 대수 ''L''은

\mathfrak{der}(A)\oplus\mathfrak{der}(J_3(B))

를 부분 대수로 가지며, 이는

A_0\otimes J_3(B)_0

에 자연스럽게 작용한다. ''A''='''R'''인 표의 행은

\mathfrak{der}(J_3(B))

를 제공하며, 이와 유사하게 반대 방향도 성립한다.

A_0\otimes J_3(B)_0

에 대한 Lie 브래킷(부분 대수가 아님)은 명확하지 않지만, 티츠는 이를 정의하는 방법을 보여주었고, 그 결과 다음 compact Lie 대수 표가 생성되었다.

	B	R	C	H	O
A	der(A/B)	0	0	$\mathfrak{sp}_1$	$\mathfrak{g}_2$
R	0	$\mathfrak{so}_3$	$\mathfrak{su}_3$	$\mathfrak{sp}_3$	$\mathfrak{f}_4$
C	0	$\mathfrak{su}_3$	$\mathfrak{su}_3\oplus\mathfrak{su}_3$	$\mathfrak{su}_6$	$\mathfrak{e}_6$
H	$\mathfrak{sp}_1$	$\mathfrak{sp}_3$	$\mathfrak{su}_6$	$\mathfrak{so}_{12}$	$\mathfrak{e}_7$
O	$\mathfrak{g}_2$	$\mathfrak{f}_4$	$\mathfrak{e}_6$	$\mathfrak{e}_7$	$\mathfrak{e}_8$

4. 2. 빈베르크의 구성

에르네스트 빈베르크는 프로이덴탈 마방진의 구성에서 리 대수가 ''A''와 ''B''에 대해 대칭적이라는 점이 티츠의 구성 방식에서는 명확하지 않다는 점을 보완하기 위해 1966년에 새로운 구성을 제시했다. 빈베르크는 요르단 대수 대신, ''A'' ⊗ ''B''를 엔트리로 갖는 추적-0의 왜-에르미트 행렬 대수,

\mathfrak{sa}_3(A\otimes B)

를 사용한다. 빈베르크는 다음과 같은 리 대수 구조를 정의한다.

:

\mathfrak{der}(A)\oplus\mathfrak{der}(B)\oplus\mathfrak{sa}_3(A\otimes B).

''A''와 ''B''에 미분(derivation)이 없을 때 (예: '''R''' 또는 '''C'''), 이는

\mathfrak{sa}_3(A\otimes B)

에 대한 리 (교환자) 괄호이다. 미분이 존재할 경우, 이들은 티츠의 구성에서처럼

\mathfrak{sa}_3(A\otimes B)

에 자연스럽게 작용하는 부분 대수를 형성하며,

\mathfrak{sa}_3(A\otimes B)

에 대한 추적-0 교환자 괄호는

\mathfrak{der}(A)\oplus\mathfrak{der}(B)

값을 갖는 식으로 수정된다.

4. 3. 삼중성(Triality)을 이용한 구성

피에르 라몽(Pierre Ramond)과 브루스 앨리슨(Bruce Allison)에 의해 개발되고 토니 서드버리(Anthony Sudbery)와 크리스 바튼(Chris Barton)에 의해 발전된 구성은 존 프랭크 아담스(John Frank Adams)가 개발한 형태의 삼중성을 사용한다. 이 구성은 Barton^영어과 Sudbery}}에 의해 간략화되었다. 빈버그의 구성이 분할 대수 ''A''(정확히는 그 도함수의 리 대수)의 자기 동형 사상 그룹을 기반으로 하는 반면, 바튼과 서드버리는 해당 삼중성의 자기 동형 사상 그룹을 사용한다. 삼중성은 분할 대수 ''A''의 세 개의 복사본을 가져와서 ''A''에 대한 내적을 사용하여 곱셈을 이중화하여 얻는 삼선형 맵(

A_1\times A_2\times A_3 \to \mathbf R

)이다. 자기 동형 사상 그룹은 이 삼선형 맵을 보존하는 SO(''A''₁) × SO(''A''₂) × SO(''A''₃)의 부분 그룹이며, Tri(''A'')로 표시된다. 다음 표는 그 리 대수를 도함수의 리 대수와 비교한다.

A:	R	C	H	O
$\mathfrak{der}(A)$	0	0	$\mathfrak{sp}_1$	$\mathfrak{g}_2$
$\mathfrak{tri}(A)$	0	$\mathfrak u_1 \oplus \mathfrak u_1$	$\mathfrak{sp}_1 \oplus \mathfrak{sp}_1\oplus \mathfrak{sp}_1$	$\mathfrak{so}_8$

바튼과 서드버리는 (''A'',''B'')에 해당하는 마법의 정사각형 리 대수를 다음 벡터 공간에 대한 리 대수 구조로 식별한다.

: $\mathfrak{tri}(A)\oplus\mathfrak{tri}(B)\oplus (A_1\otimes B_1)\oplus (A_2\otimes B_2)\oplus (A_3\otimes B_3).$

리 괄호는 '''Z'''₂ × '''Z'''₂ 등급과 호환되며, '''tri'''(''A'')와 '''tri'''(''B'')는 등급 (0,0)에 있고, ''A'' ⊗ ''B''의 세 개의 복사본은 등급 (0,1), (1,0) 및 (1,1)에 있다. 괄호는 '''tri'''(''A'')와 '''tri'''(''B'')를 보존하며 다른 구성과 마찬가지로 ''A'' ⊗ ''B''의 세 개의 복사본에 자연스럽게 작용하지만, 이 세 개의 복사본 사이의 괄호는 더 제한적이다.

예를 들어 ''A''와 ''B''가 팔원수일 때, 삼중성은 SO(8)의 이중 덮개인 Spin(8)의 것이며, 바튼-서드버리 설명은 다음을 산출한다.

: $\mathfrak e_8\cong \mathfrak{so}_8\oplus\widehat{\mathfrak{so$ ^영어_8\oplus(V\otimes \widehat V)\oplus (S_+\otimes\widehat S_+)\oplus (S_-\otimes \widehat S_-)

여기서 V, S₊ 및 S₋는 $\mathfrak{so}_8$ 의 세 가지 8차원 표현(기본 표현 및 두 개의 스핀 표현)이고, 모자 달린 개체는 동형 사본이다.

하나의 '''Z'''₂ 등급과 관련하여, 처음 세 개의 덧수는 $\mathfrak{so}_{16}$ 을 주고 마지막 두 개는 그 스핀 표현 Δ₊¹²⁸ 중 하나를 형성한다(윗첨자는 차원을 나타낸다). 이것은 잘 알려진 대칭 분해 E8이다.

바튼-서드버리 구성은 이것을 마법의 정사각형의 다른 리 대수로 확장한다. 특히 마지막 행(또는 열)의 예외적인 리 대수의 경우, 대칭 분해는 다음과 같다.

: $\mathfrak f_4\cong \mathfrak{so}_9\oplus \Delta^{16}$

: $\mathfrak e_6\cong (\mathfrak{so}_{10}\oplus \mathfrak u_1)\oplus \Delta^{32}$

: $\mathfrak e_7\cong (\mathfrak{so}_{12}\oplus \mathfrak{sp}_1)\oplus \Delta_+^{64}$

: $\mathfrak e_8\cong \mathfrak{so}_{16}\oplus \Delta_+^{128}.$

5. 예시

프로이덴탈 마방진을 구성하는 실수 리 대수들은 다음과 같다.

$J$ ╲ $K$	$\mathbb R$	$\mathbb C$	$\mathbb H$	$\tilde{\mathbb C}$	$\tilde{\mathbb H}$
$\operatorname H(n;\mathbb R)$	$\mathfrak o(n;\mathbb R)$	$\mathfrak{su}(n)$	$\mathfrak{usp}(2n)$	$\mathfrak{sl}(n;\mathbb R)$	$\mathfrak{sp}(2n;\mathbb R)$
$\operatorname H(n;\mathbb C)$	$\mathfrak{su}(n)$	$\mathfrak{su}(n)^{\oplus2}$	$\mathfrak{su}(2n)$	$\mathfrak{sl}(n;\mathbb C)$	$\mathfrak{su}(n,n)$
$\operatorname H(n;\mathbb H)$	$\mathfrak{usp}(2n)$	$\mathfrak{su}(2n)$	$\mathfrak o(4n)$	$\mathfrak{su}^*(2n)$	$\mathfrak o^*(4n)$
$\operatorname H(n;\tilde{\mathbb C})$	$\mathfrak{sl}(n;\mathbb R)$	$\mathfrak{sl}(n;\mathbb C)$	$\mathfrak{su}^*(2n)$	$\mathfrak{sl}(n;\mathbb R)^{\oplus2}$	$\mathfrak {sl}(2n;\mathbb R)$
$\operatorname H(n;\tilde{\mathbb H})$	$\mathfrak{sp}(2n;\mathbb R)$	$\mathfrak{su}(n,n)$	$\mathfrak o^*(4n)$	$\mathfrak{sl}(2n;\mathbb R)$	$\mathfrak o(2n,2n)$

여기서

$\tilde{\mathbb C} = \mathbb R[\mathrm i]/(\mathrm i^2 - 1)$ 은 분할 복소수(split-complex number^영어)의 실수 가환 결합 대수이다.
$\tilde{\mathbb H} = \mathbb R\langle \mathrm i,\mathrm j\rangle/(\mathrm i^2 + 1, \mathrm j^2 -1,\mathrm i\mathrm j+\mathrm j\mathrm i)$ 는 분할 사원수의 실수 결합 대수이다. 이는 사실 $\operatorname{Mat}(2;\mathbb R)$ (2×2 실수 정사각 행렬의 대수)와 실수 결합 대수로서 동형이다.
$\operatorname H(n;K)$ 는 $K$ 계수 $n\times n$ 에르미트 행렬들의 요르단 대수이다.

3×3 행렬의 경우, (분할) 팔원수의 3×3 행렬 공간

\operatorname H(3;\mathbb O)

및

\operatorname H(3;\tilde{\mathbb O})

는 요르단 대수가 되므로, 프로이덴탈 마방진에 이를 추가할 수 있다.

$J$ ╲ $K$	$\mathbb R$	$\mathbb C$	$\mathbb H$	$\mathbb O$	$\tilde{\mathbb C}$	$\tilde{\mathbb H}$	$\tilde{\mathbb O}$
$\operatorname H(3;\mathbb R)$	$\mathfrak{so}(3)$	$\mathfrak{su}(3)$	$\mathfrak{usp}(6)$	$\mathfrak f_4$	$\mathfrak{sl}(3;\mathbb R)$	$\mathfrak{sp}(6;\mathbb R)$	$\mathfrak f_{4(4)}$
$\operatorname H(3;\mathbb C)$	$\mathfrak{su}(3)$	$\mathfrak{su}(3)^{\oplus2}$	$\mathfrak{su}(6)$	$\mathfrak e_6$	$\mathfrak{sl}(3;\mathbb C)$	$\mathfrak{su}(3,3)$	$\mathfrak e_{6(2)}$
$\operatorname H(3;\mathbb H)$	$\mathfrak{usp}(6)$	$\mathfrak{su}(6)$	$\mathfrak{so}(12)$	$\mathfrak e_7$	$\mathfrak{su}^*(6)$	$\mathfrak o^*(12)$	$\mathfrak e_{7(-5)}$
$\operatorname H(3;\mathbb O)$	$\mathfrak f_4$	$\mathfrak e_6$	$\mathfrak e_7$	$\mathfrak e_8$	$\mathfrak e_{6(-26)}$	$\mathfrak e_{7(-25)}$	$\mathfrak e_{8(-24)}$
$\operatorname H(3;\tilde{\mathbb C})$	$\mathfrak{sl}(3;\mathbb R)$	$\mathfrak{sl}(3;\mathbb C)$	$\mathfrak{su}^*(6)$	$\mathfrak e_{6(-26)}$	$\mathfrak{sl}(3;\mathbb R)^{\oplus2}$	$\mathfrak{sl}(6;\mathbb R)$	$\mathfrak e_{6(6)}$
$\operatorname H(3;\tilde{\mathbb H})$	$\mathfrak{sp}(6;\mathbb R)$	$\mathfrak{su}(3,3)$	$\mathfrak o^*(12)$	$\mathfrak e_{7(-25)}$	$\mathfrak{sl}(6;\mathbb R)$	$\mathfrak o(6,6)$	$\mathfrak e_{7(7)}$
$\operatorname H(3;\tilde{\mathbb O})$	$\mathfrak f_{4(4)}$	$\mathfrak e_{6(2)}$	$\mathfrak e_{7(-5)}$	$\mathfrak e_{8(-24)}$	$\mathfrak e_{6(6)}$	$\mathfrak e_{7(7)}$	$\mathfrak e_{8(8)}$

2×2인 경우, 팔원수의 경우 약간의 해설이 필요하다. 이 경우,

: $\mathfrak g(\mathbb K,\operatorname H(2;\mathbb O))\qquad(\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C,\mathbb H\})$

는 잘 정의되지만, 반대로

: $\mathfrak g(\mathbb O,\operatorname H(2;\mathbb K))\qquad(\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C,\mathbb H\})$

는 잘 정의되지 않는다. 이 경우, 대칭성을 사용하여 둘째 대수를 첫째와 같게 임의로 정의할 수 있다. 사실, 이러한 경우 항상

: $\mathfrak g(\mathbb K,\operatorname H(2;\mathbb K')) \cong \mathfrak o(\mathbb K\oplus\mathbb K')\qquad(\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C,\mathbb H\},\;\mathbb K'\in\{\mathbb R,\mathbb C,\mathbb H,\mathbb O\})$ ^[5]

임을 보일 수 있다. (계량 부호수는 $\mathbb K$ 와 $\mathbb K'$ 의 고유 내적으로부터 유도된다.) 이를 통해, $\mathbb K=\mathbb K'=\mathbb O$ 인 경우 등의 칸을 채워 넣을 수 있다.

$J$ ╲ $K$	$\mathbb R$	$\mathbb C$	$\mathbb H$	$\mathbb O$	$\tilde{\mathbb C}$	$\tilde{\mathbb H}$	$\tilde{\mathbb O}$
$\operatorname H(2;\mathbb R)$	$\mathfrak o(2;\mathbb R)=\mathfrak u(1)$	$\mathfrak o(3;\mathbb R)=\mathfrak{su}(2)$	$\mathfrak o(5;\mathbb R)=\mathfrak{usp}(4)$	$\mathfrak o(9;\mathbb R)$	$\mathfrak o(2,1)=\mathfrak{sl}(2;\mathbb R)$	$\mathfrak o(3,2)=\mathfrak{sp}(4;\mathbb R)$	$\mathfrak o(5,4)$
$\operatorname H(2;\mathbb C)$	$\mathfrak o(3;\mathbb R)=\mathfrak{su}(2)$	$\mathfrak o(4;\mathbb R)=\mathfrak{su}(2)^{\oplus2}$	$\mathfrak o(6;\mathbb R)=\mathfrak{su}(4)$	$\mathfrak o(10;\mathbb R)$	$\mathfrak o(3,1)=\mathfrak{sl}(2;\mathbb C)$	$\mathfrak o(4,2)=\mathfrak{su}(2,2)$	$\mathfrak o(6,4)$
$\operatorname H(2;\mathbb H)$	$\mathfrak o(5;\mathbb R)=\mathfrak{usp}(4)$	$\mathfrak o(6;\mathbb R)=\mathfrak{su}(4)$	$\mathfrak o(8;\mathbb R)$	$\mathfrak o(12;\mathbb R)$	$\mathfrak o(5,1)=\mathfrak{su}^*(4)$	$\mathfrak o(6,2)=\mathfrak o^*(8)$	$\mathfrak o(8,4)$
$\operatorname H(2;\mathbb O)$	$\mathfrak o(9;\mathbb R)$	$\mathfrak o(10;\mathbb R)$	$\mathfrak o(12;\mathbb R)$	$\mathfrak o(16;\mathbb R)$	$\mathfrak o(9,1)$	$\mathfrak o(10,2)$	$\mathfrak o(12,4)$
$\operatorname H(2;\tilde{\mathbb C})$	$\mathfrak o(2,1)=\mathfrak{sl}(2;\mathbb R)$	$\mathfrak o(3,1)=\mathfrak{sl}(2;\mathbb C)$	$\mathfrak o(5,1)=\mathfrak{su}^*(4)$	$\mathfrak o(9,1)$	$\mathfrak o(2,2)=\mathfrak{sl}(2;\mathbb R)^{\oplus2}$	$\mathfrak o(3,3)=\mathfrak{sl}(4;\mathbb R)$	$\mathfrak o(5,5)$
$\operatorname H(2;\tilde{\mathbb H})$	$\mathfrak o(3,2)=\mathfrak{sp}(4;\mathbb R)$	$\mathfrak o(4,2)=\mathfrak{su}(2,2)$	$\mathfrak o(6,2)=\mathfrak o^*(8)$	$\mathfrak o(10,2)$	$\mathfrak o(3,3)=\mathfrak{sl}(4;\mathbb R)$	$\mathfrak o(4,4)$	$\mathfrak o(6,6)$
$\operatorname H(2;\tilde{\mathbb O})$	$\mathfrak o(5,4)$	$\mathfrak o(6,4)$	$\mathfrak o(8,4)$	$\mathfrak o(12,4)$	$\mathfrak o(5,5)$	$\mathfrak o(6,6)$	$\mathfrak o(8,8)$

1×1 행렬의 경우, $\mathbb R=\operatorname H(1;\mathbb R)=\operatorname H(1;\mathbb C)=\operatorname H(1;\mathbb H)$ 이므로, 더 이상 대칭성이 성립하지 않는다. 이는 행렬이 “너무 작아서” 있어야 하는 일부 미분들이 자명하게 작용하기 때문이다.^[5]

5. 1. 3x3 마방진

3×3 행렬의 경우, (분할) 팔원수의 3×3 행렬 공간

\operatorname H(3;\mathbb O)

및

\operatorname H(3;\tilde{\mathbb O})

는 요르단 대수가 되므로, 프로이덴탈 마방진에 이를 추가할 수 있다.

$J$ ╲ $K$	$\mathbb R$	$\mathbb C$	$\mathbb H$	$\mathbb O$	$\tilde{\mathbb C}$	$\tilde{\mathbb H}$	$\tilde{\mathbb O}$
$\operatorname H(3;\mathbb R)$	$\mathfrak{so}(3)$	$\mathfrak{su}(3)$	$\mathfrak{usp}(6)$	$\mathfrak f_4$	$\mathfrak{sl}(3;\mathbb R)$	$\mathfrak{sp}(6;\mathbb R)$	$\mathfrak f_{4(4)}$
$\operatorname H(3;\mathbb C)$	$\mathfrak{su}(3)$	$\mathfrak{su}(3)^{\oplus2}$	$\mathfrak{su}(6)$	$\mathfrak e_6$	$\mathfrak{sl}(3;\mathbb C)$	$\mathfrak{su}(3,3)$	$\mathfrak e_{6(2)}$
$\operatorname H(3;\mathbb H)$	$\mathfrak{usp}(6)$	$\mathfrak{su}(6)$	$\mathfrak{so}(12)$	$\mathfrak e_7$	$\mathfrak{su}^*(6)$	$\mathfrak o^*(12)$	$\mathfrak e_{7(-5)}$
$\operatorname H(3;\mathbb O)$	$\mathfrak f_4$	$\mathfrak e_6$	$\mathfrak e_7$	$\mathfrak e_8$	$\mathfrak e_{6(-26)}$	$\mathfrak e_{7(-25)}$	$\mathfrak e_{8(-24)}$
$\operatorname H(3;\tilde{\mathbb C})$	$\mathfrak{sl}(3;\mathbb R)$	$\mathfrak{sl}(3;\mathbb C)$	$\mathfrak{su}^*(6)$	$\mathfrak e_{6(-26)}$	$\mathfrak{sl}(3;\mathbb R)^{\oplus2}$	$\mathfrak{sl}(6;\mathbb R)$	$\mathfrak e_{6(6)}$
$\operatorname H(3;\tilde{\mathbb H})$	$\mathfrak{sp}(6;\mathbb R)$	$\mathfrak{su}(3,3)$	$\mathfrak o^*(12)$	$\mathfrak e_{7(-25)}$	$\mathfrak{sl}(6;\mathbb R)$	$\mathfrak o(6,6)$	$\mathfrak e_{7(7)}$
$\operatorname H(3;\tilde{\mathbb O})$	$\mathfrak f_{4(4)}$	$\mathfrak e_{6(2)}$	$\mathfrak e_{7(-5)}$	$\mathfrak e_{8(-24)}$	$\mathfrak e_{6(6)}$	$\mathfrak e_{7(7)}$	$\mathfrak e_{8(8)}$

5. 2. 2x2 마방진

2×2인 경우, 팔원수의 경우 약간의 해설이 필요하다. 이 경우,

:

\mathfrak g(\mathbb K,\operatorname H(2;\mathbb O))\qquad(\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C,\mathbb H\})

는 잘 정의되지만, 반대로

:

\mathfrak g(\mathbb O,\operatorname H(2;\mathbb K))\qquad(\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C,\mathbb H\})

는 잘 정의되지 않는다. 이 경우, 대칭성을 사용하여 둘째 대수를 첫째와 같게 임의로 정의할 수 있다. 사실, 이러한 경우 항상

:

\mathfrak g(\mathbb K,\operatorname H(2;\mathbb K')) \cong \mathfrak o(\mathbb K\oplus\mathbb K')\qquad(\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C,\mathbb H\},\;\mathbb K'\in\{\mathbb R,\mathbb C,\mathbb H,\mathbb O\})

^[5]

임을 보일 수 있다. (계량 부호수는

\mathbb K

와

\mathbb K'

의 고유 내적으로부터 유도된다.) 이를 통해,

\mathbb K=\mathbb K'=\mathbb O

인 경우 등의 칸을 채워 넣을 수 있다.

$J$ ╲ $K$	$\mathbb R$	$\mathbb C$	$\mathbb H$	$\mathbb O$	$\tilde{\mathbb C}$	$\tilde{\mathbb H}$	$\tilde{\mathbb O}$
$\operatorname H(2;\mathbb R)$	$\mathfrak o(2;\mathbb R)=\mathfrak u(1)$	$\mathfrak o(3;\mathbb R)=\mathfrak{su}(2)$	$\mathfrak o(5;\mathbb R)=\mathfrak{usp}(4)$	$\mathfrak o(9;\mathbb R)$	$\mathfrak o(2,1)=\mathfrak{sl}(2;\mathbb R)$	$\mathfrak o(3,2)=\mathfrak{sp}(4;\mathbb R)$	$\mathfrak o(5,4)$
$\operatorname H(2;\mathbb C)$	$\mathfrak o(3;\mathbb R)=\mathfrak{su}(2)$	$\mathfrak o(4;\mathbb R)=\mathfrak{su}(2)^{\oplus2}$	$\mathfrak o(6;\mathbb R)=\mathfrak{su}(4)$	$\mathfrak o(10;\mathbb R)$	$\mathfrak o(3,1)=\mathfrak{sl}(2;\mathbb C)$	$\mathfrak o(4,2)=\mathfrak{su}(2,2)$	$\mathfrak o(6,4)$
$\operatorname H(2;\mathbb H)$	$\mathfrak o(5;\mathbb R)=\mathfrak{usp}(4)$	$\mathfrak o(6;\mathbb R)=\mathfrak{su}(4)$	$\mathfrak o(8;\mathbb R)$	$\mathfrak o(12;\mathbb R)$	$\mathfrak o(5,1)=\mathfrak{su}^*(4)$	$\mathfrak o(6,2)=\mathfrak o^*(8)$	$\mathfrak o(8,4)$
$\operatorname H(2;\mathbb O)$	$\mathfrak o(9;\mathbb R)$	$\mathfrak o(10;\mathbb R)$	$\mathfrak o(12;\mathbb R)$	$\mathfrak o(16;\mathbb R)$	$\mathfrak o(9,1)$	$\mathfrak o(10,2)$	$\mathfrak o(12,4)$
$\operatorname H(2;\tilde{\mathbb C})$	$\mathfrak o(2,1)=\mathfrak{sl}(2;\mathbb R)$	$\mathfrak o(3,1)=\mathfrak{sl}(2;\mathbb C)$	$\mathfrak o(5,1)=\mathfrak{su}^*(4)$	$\mathfrak o(9,1)$	$\mathfrak o(2,2)=\mathfrak{sl}(2;\mathbb R)^{\oplus2}$	$\mathfrak o(3,3)=\mathfrak{sl}(4;\mathbb R)$	$\mathfrak o(5,5)$
$\operatorname H(2;\tilde{\mathbb H})$	$\mathfrak o(3,2)=\mathfrak{sp}(4;\mathbb R)$	$\mathfrak o(4,2)=\mathfrak{su}(2,2)$	$\mathfrak o(6,2)=\mathfrak o^*(8)$	$\mathfrak o(10,2)$	$\mathfrak o(3,3)=\mathfrak{sl}(4;\mathbb R)$	$\mathfrak o(4,4)$	$\mathfrak o(6,6)$
$\operatorname H(2;\tilde{\mathbb O})$	$\mathfrak o(5,4)$	$\mathfrak o(6,4)$	$\mathfrak o(8,4)$	$\mathfrak o(12,4)$	$\mathfrak o(5,5)$	$\mathfrak o(6,6)$	$\mathfrak o(8,8)$

5. 3. 1x1 마방진

1×1 행렬의 경우,

\mathbb R=\operatorname H(1;\mathbb R)=\operatorname H(1;\mathbb C)=\operatorname H(1;\mathbb H)

이므로, 더 이상 대칭성이 성립하지 않는다. 이는 행렬이 “너무 작아서” 있어야 하는 일부 미분들이 자명하게 작용하기 때문이다.^[5]

6. 일반화

6. 1. 분할 합성 대수

노름 나눗셈 대수 외에 '''R''' 상의 다른 합성 대수에는 분할 복소수, 분할 사원수, 분할 팔원수가 있다. 복소수, 사원수, 팔원수 대신 이것들을 사용하면 아래 표와 같은 마방진의 변형을 얻을 수 있다. (나눗셈 대수의 분할 버전은 프라임 기호로 표시됨).

A\B	R	C'	H'	O'
R
C'
H'
O'

여기서 모든 리 대수는 '''so'''₃를 제외하고 분할된 실수 형태이다. 리 괄호의 정의에서 부호 변경을 사용하여 분할된 형태 '''so'''_2,1을 생성할 수 있다. 특히 예외적인 리 대수의 경우 최대 컴팩트 부분 대수는 다음과 같다.

분할 형태
최대 컴팩트

분할 대수와 일반적인 나눗셈 대수를 결합하여 마방진의 비대칭 버전을 얻을 수도 있다. Barton과 Sudbery에 따르면, 결과적인 리 대수 표는 다음과 같다.

A\B	R	C	H	O
R
C'
H'
O'

여기에 나타나는 실수 예외 리 대수는 다시 최대 컴팩트 부분 대수로 설명할 수 있다.

리 대수
최대 컴팩트

6. 2. 임의의 체(Field)

분할된 형태의 합성 대수와 리 대수는 모든 체 '''K''' 위에서 정의될 수 있다. 이것은 다음과 같은 마방진을 생성한다.

$\mathfrak{so}_3(\mathbf K)$	$\mathfrak{sl}_3(\mathbf K)$	$\mathfrak{sp}_6(\mathbf K)$	$\mathfrak{f}_{4}(\mathbf K)$
$\mathfrak{sl}_3(\mathbf K)$	$\mathfrak{sl}_3(\mathbf K)\oplus\mathfrak{sl}_3(\mathbf K)$	$\mathfrak{sl}_6(\mathbf K)$	$\mathfrak{e}_{6}(\mathbf K)$
$\mathfrak{sp}_6(\mathbf K)$	$\mathfrak{sl}_6(\mathbf K)$	$\mathfrak{so}_{12}(\mathbf K)$	$\mathfrak{e}_{7}(\mathbf K)$
$\mathfrak{f}_{4}(\mathbf K)$	$\mathfrak{e}_{6}(\mathbf K)$	$\mathfrak{e}_{7}(\mathbf K)$	$\mathfrak{e}_{8}(\mathbf K)$

'''K'''가 대수적으로 닫혀있지 않은 경우 여기에 약간의 모호성이 있다. '''K''' = '''C'''인 경우, 이것은 지금까지 논의된 '''R'''에 대한 프로이덴탈 마방진의 복소수화이다.

6. 3. 일반적인 요르단 대수

분할 대수 ''A''에 대한 요르단 대수 ''J''₃(''A'')와 관련하여, ''A''가 결합적일 때 임의의 양의 정수 ''n''에 대해 요르단 대수 ''J_n''(''A'')가 존재한다. 이들은 일반화된 마방진의 분할 형태(임의의 체 '''K''' 위) 및 콤팩트 형태('''R''' 위)를 생성한다.

$\mathfrak{so}_n(\mathbf K)$	$\mathfrak{sl}_n(\mathbf K)\text{ 또는 }\mathfrak{su}_n$	$\mathfrak{sp}_{2n}(\mathbf K)\text{ 또는 }\mathfrak{sp}_n$
$\mathfrak{sl}_n(\mathbf K)\text{ 또는 }\mathfrak{su}_n$	$\mathfrak{sl}_n(\mathbf K)\oplus\mathfrak{sl}_n(\mathbf K)\text{ 또는 }\mathfrak{su}_n\oplus\mathfrak{su}_n$	$\mathfrak{sl}_{2n}(\mathbf K)\text{ 또는 }\mathfrak{su}_{2n}$
$\mathfrak{sp}_{2n}(\mathbf K)\text{ 또는 }\mathfrak{sp}_n$	$\mathfrak{sl}_{2n}(\mathbf K)\text{ 또는 }\mathfrak{su}_{2n}$	$\mathfrak{so}_{4n}(\mathbf K)$

''n'' = 2일 경우, J_''2''(''O'') 역시 요르단 대수이다. 콤팩트한 경우('''R''' 위) 이것은 직교 리 대수의 마방진을 생성한다.

A\B	R	C	H	O
R	$\mathfrak{so}_2$	$\mathfrak{so}_3$	$\mathfrak{so}_5$	$\mathfrak{so}_9$
C	$\mathfrak{so}_3$	$\mathfrak{so}_4$	$\mathfrak{so}_6$	$\mathfrak{so}_{10}$
H	$\mathfrak{so}_5$	$\mathfrak{so}_6$	$\mathfrak{so}_8$	$\mathfrak{so}_{12}$
O	$\mathfrak{so}_9$	$\mathfrak{so}_{10}$	$\mathfrak{so}_{12}$	$\mathfrak{so}_{16}$

여기서 마지막 행과 열은 이전에 언급된 예외적인 리 대수의 대칭 분해에서 등방성 대수의 직교 대수 부분이다.

이러한 구성은 에르미트 대칭 공간과 밀접하게 관련되어 있으며, 전균질 벡터 공간을 참조하라.

7. 역사

자크 티츠와 한스 프로이덴탈^[8]^[9]^[10]^[11]^[12]^[13]이 1950년대 말에 각각 독자적으로 발견하였다. 그러나 티츠는 이 내용을 1966년에 와서야 출판하였다.^[14]

이 구성은 1958년경에 독립적으로 이루어졌으며, 1954년부터 1963년까지 프뢰덴탈의 11편의 논문에서 진행되었지만, 단순화된 구성은 1966년에 발표되었다.^[1]

7. 1. 로젠펠트 사영 평면

1933년 루스 모우팡이 케이ley 사영 평면 또는 "팔원수 사영 평면" '''P'''²('''O''')을 발견했다. 이 평면의 대칭군은 특이 리 군 F₄이고, ''G''₂가 팔원수의 자기 동형 군이라는 사실을 바탕으로, 로젠펠트는 1956년에 나머지 특이 리 군인 ''E''₆, ''E''₇, E₈이 팔원수 위의 특정 대수 구조에 대한 사영 평면의 동형 군이라고 제안했다.^[1]

바이팔원수 '''C''' ⊗ '''O'''
'''H''' ⊗ '''O'''
'''O''' ⊗ '''O'''

이는 원하는 대칭군을 가지고 제안된 사영 평면의 차원과 일치하는 특정 예외적 콤팩트 리만 대칭 공간이 있기 때문에 매력적인 제안이다. (dim('''P'''²('''K''' ⊗ '''K'''′)) = 2 dim('''K''')dim('''K'''′)). 이를 통해 특이 리 군을 자연적으로 발생하는 대상의 대칭으로 일관되게 구성할 수 있다.^[1] 리만 대칭 공간은 1926년 카르탄에 의해 분류되었으며, 관련 공간은 다음과 같다.

팔원수 사영 평면 – FII, 차원 16 = 2 × 8, F₄ 대칭, 케이ley 사영 평면 '''P'''²('''O''')
바이팔원수 사영 평면 – EIII, 차원 32 = 2 × 2 × 8, E₆ 대칭, 복소화된 케일리 사영 평면, '''P'''²('''C''' ⊗ '''O''')
"사원팔원수 사영 평면"^[2] – EVI, 차원 64 = 2 × 4 × 8, E₇ 대칭, '''P'''²('''H''' ⊗ '''O''')
"팔원팔원수 사영 평면"^[3] – EVIII, 차원 128 = 2 × 8 × 8, E₈ 대칭, '''P'''²('''O''' ⊗ '''O''')

팔원수는 나눗셈 대수이므로 이에 대한 사영 평면이 정의되지만, 바이팔원수, 사원팔원수 및 팔원팔원수는 나눗셈 대수가 아니므로 사영 평면의 일반적인 정의가 작동하지 않는다는 어려움이 있다.^[1] 바이팔원수의 경우 이 문제를 해결할 수 있지만, 사원팔원수와 팔원팔원수에 대해서는 이 구성이 작동하지 않으며, 해당 공간은 사영 평면의 일반적인 공리를 따르지 않는다.^[1] 그러나 이 공간의 각 점에서의 접선 공간은 평면 ('''H''' ⊗ '''O''')² 또는 ('''O''' ⊗ '''O''')²로 식별될 수 있어, 이들이 일종의 일반화된 사영 평면이라는 직관을 더욱 정당화한다.^[2]^[3]

따라서 결과적인 공간은 때때로 '''로젠펠트 사영 평면'''이라고 불리며, 더 넓게는 이러한 콤팩트 형태는 '''로젠펠트 타원 사영 평면''', 이중 비콤팩트 형태는 '''로젠펠트 쌍곡선 사영 평면'''이다. 로젠펠트의 아이디어는 에 현대적으로 제시되어 있으며, 에 간략하게 언급되어 있다.^[4]

이 공간은 Tits의 빌딩 이론을 사용하여 구성할 수 있지만, 이는 리 군에서 시작하여 기하학을 구성해야 하며, 리 군에 대한 지식과는 독립적으로 기하학을 구성하는 것이 아니다.^[1]

7. 2. 마방진의 발견

자크 티츠와 한스 프로이덴탈^[8]^[9]^[10]^[11]^[12]^[13]이 1950년대 말에 각각 독자적으로 발견하였다. 그러나 티츠는 이 내용을 1966년에 와서야 출판하였다.^[14]

매니폴드와 리 군 수준에서는 두 노름 나눗셈 대수의 사영 평면 '''P'''²('''K''' ⊗ '''K'''′)을 구성하는 것이 작동하지 않지만, 리 대수 수준에서는 해당 구성이 작동한다. 사영 평면 '''P'''²('''K''')의 무한소 등거리 변환의 리 대수를 분해하고 동일한 분석을 '''P'''²('''K''' ⊗ '''K'''′)에 적용하면, '''P'''²('''K''' ⊗ '''K'''′)이 실제로 사영 평면으로 정의될 수 있을 때 성립하는 이 분해를 "마법의 사각형 리 대수" ''M''('''K''','''K'''′)의 ''정의''로 사용할 수 있다. 이 정의는 순수하게 대수적이며, 해당 기하학적 공간의 존재를 가정하지 않아도 성립한다.

이 구성은 1958년경에 독립적으로 이루어졌으며, 1954년부터 1963년까지 프뢰덴탈의 11편의 논문에서 진행되었지만, 단순화된 구성은 1966년에 발표되었다.^[1]

참조

_[1] 논문
_[2] 논문
_[3] 논문
_[4] 웹사이트 This Week's Finds in Mathematical Physics – Week 106 http://math.ucr.edu/[...] 1997-07-23
_[5] 저널 Magic squares and matrix models of Lie algebras
_[6] 저널 The octonions http://math.ucr.edu/[...]
_[7] 서적 Introduction to exceptional Lie groups and algebras http://inspirehep.ne[...] 캘리포니아 공과대학교 1976
_[8] 저널 Beziehungen der E₇ und E₈ zur Oktavenebene. Ⅰ
_[9] 저널 Beziehungen der E₇ und E₈ zur Oktavenebene. Ⅱ
_[10] 저널 Beziehungen der E₇ und E₈ zur Oktavenebene. Ⅲ
_[11] 저널 Beziehungen der E₇ und E₈ zur Oktavenebene. Ⅳ
_[12] 저널 Beziehungen der E₇ und E₈ zur Oktavenebene. Ⅴ – Ⅸ
_[13] 저널 Beziehungen der E₇ und E₈ zur Oktavenebene. Ⅹ, Ⅺ
_[14] 저널 Algèbres alternatives, algèbres de Jordan et algèbres de Lie exceptionnelles

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