직교 여공간

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 예시
5. 응용
참조

1. 개요

직교 여공간은 내적 공간의 부분 공간에 수직인 모든 벡터들의 집합으로, 쌍선형 형식과 힐베르트 공간 등 다양한 공간에서 정의된다. 직교 여공간은 닫힌 집합이며, 원래 공간과의 관계, 차원, 그리고 소멸자와의 연관성을 갖는다. 유한 차원 공간에서는 차원 관계가 성립하며, 바나흐 공간에서는 쌍대 공간의 부분 공간으로 정의된다. 이러한 직교 여공간은 선형 시스템의 해, 데이터 압축, 신호 처리 등 다양한 분야에 응용된다.

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직교 여공간

2. 정의

내적 공간 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$ 의 부분공간 $W\subset V$ 의 '''직교 여공간''' $W^\perp\subset V$ 은 다음과 같은 부분공간이다.

: $W^\perp=\{v\in V|\forall w\in W\colon\langle v,w\rangle=0\}$

$V = (\R^5, \langle \cdot, \cdot \rangle)$ 를 일반적인 내적 $\langle \cdot, \cdot \rangle$ 가 갖춰진 내적 공간이라고 하자. 그리고 $W = \{\mathbf{u} \in V: \mathbf{A}x = \mathbf{u},\ x\in \R^2\},$ 이고

$\mathbf{A} = \begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\\2 & 6\\3 & 9\\5 & 3\\\end{pmatrix}.$

일 때, 직교 여공간 $W^\perp = \{\mathbf{v}\in V:\langle \mathbf{u},\mathbf{v}\rangle = 0 \ \ \forall \ \mathbf{u} \in W\}$ 는 다음과 같이 정의될 수 있다. $W^\perp = \{\mathbf{v} \in V: \mathbf{\tilde{A}}y = \mathbf{v},\ y \in \R^3\},$ 이고

$\mathbf{\tilde{A}} =\begin{pmatrix}$

2 & -3 & -5 \\
6 & -9 & -3 \\

1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1\end{pmatrix}.

3. 성질

내적 공간 $V$ 의 부분공간 $W$ 에 대해, $W^\perp$ 는 닫힌 집합이다.
$W^\perp\cap W=\{0\}$ 이다. 즉, $W$ 와 $W^\perp$ 의 교집합은 영벡터만으로 이루어진다.
$W\subset W^{\perp\perp}$ 이다.
$W_1\subset W_2\subset V$ 이면, $W_2^\perp\supset W_1^\perp$ 이다. 즉, 포함 관계에 대해, 더 큰 집합의 직교 여공간이 더 작은 집합의 직교 여공간을 포함한다.
$X \subseteq Y$ 이면 $X^\perp \supseteq Y^\perp$ 이다.
$W \subseteq (W^\perp)^\perp$ 이다.
$V$ 가 힐베르트 공간이면, 다음이 추가로 성립한다.
$W\subset\operatorname{cl}(W)=W^{\perp\perp}$ 이다. ( $\operatorname{cl}$ 은 폐포) 따라서 $W$ 가 닫힌 집합이라면 $W=W^{\perp\perp}$ 이다.
$V=\operatorname{cl}(W)\oplus W^\perp$ 이다. ( $\oplus$ 는 직합을 의미한다.)
만약 $L_1, \ldots, L_r$ 가 유한 차원 공간 $V$ 의 부분 공간이고, $L_* = L_1 \cap \cdots \cap L_r$ 이면, $L_*^\perp = L_1^\perp + \cdots + L_r^\perp$ 이다.
직교 여공간은 소멸자로 일반화되며, 내적 공간의 부분 집합에 대한 갈루아 연결을 제공하고, 관련된 폐포 연산자는 생성된 공간의 위상적 폐포이다.

3. 1. 일반적인 쌍선형 형식

체

\mathbb{F}

위의 쌍선형 형식

B

를 갖는 벡터 공간

V

에서,

B(\mathbf{u},\mathbf{v}) = 0

일 때

\mathbf{u}

는

\mathbf{v}

에 대해 왼쪽 직교한다고 하고,

\mathbf{v}

는

\mathbf{u}

에 대해 오른쪽 직교한다고 한다.

V

의 부분 집합

W

의 왼쪽 직교 여공간

W^\perp

는 다음과 같이 정의된다.

W^\perp = \left\{ \mathbf{x} \in V : B(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = 0 \ \ \forall \ \mathbf{y} \in W \right\}.

오른쪽 직교 여공간도 마찬가지로 정의할 수 있다.

반사 쌍선형 형식(

B(\mathbf{u},\mathbf{v}) = 0 \implies B(\mathbf{v},\mathbf{u}) = 0 \ \ \forall \ \mathbf{u} , \mathbf{v} \in V

인 쌍선형 형식

B

)의 경우, 왼쪽 및 오른쪽 직교 여공간은 일치한다. 이는

B

가 대칭 또는 교대 형식인 경우에 해당한다.

이 정의는 가환환 위의 자유 가군에 대한 쌍선형 형식과, 켤레를 갖는 가환환 위의 자유 가군을 포함하도록 확장된 반쌍선형 형식으로 확장된다.^[1]

3. 2. 내적 공간

내적 공간

(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)

의 부분공간

W\subset V

의 '''직교 여공간'''

W^\perp\subset V

은 다음과 같이 정의되는 부분공간이다.^[2]

:

W^\perp=\{v\in V|\forall w\in W\colon\langle v,w\rangle=0\}

두 벡터

\mathbf{x}

와

\mathbf{y}

는

\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = 0

일 때 직교한다고 하며, 이는 만약에만

\| \mathbf{x} \| \le \| \mathbf{x} + s\mathbf{y} \| \ \forall

스칼라

s

일 때 발생한다.

C

가 내적 공간

H

의 임의의 부분 집합이면,

H

에서의 직교 여공간은 다음과 같은 벡터 부분 공간이다.^[3]

:

C^\perp= \{\mathbf{x} \in H : \langle \mathbf{x}, \mathbf{c} \rangle = 0 \ \ \forall \ \mathbf{c} \in C\}= \{\mathbf{x} \in H : \langle \mathbf{c}, \mathbf{x} \rangle = 0 \ \ \forall \ \mathbf{c} \in C\}

이는 항상

H

의 닫힌 부분 집합(따라서 닫힌 벡터 부분 공간)이며 다음을 만족한다.

$C^{\bot} = \left(\operatorname{cl}_H \left(\operatorname{span} C\right)\right)^{\bot}$
$C^{\bot} \cap \operatorname{cl}_H \left(\operatorname{span} C\right) = \{ 0 \}$
$C \subseteq \left(C^{\bot}\right)^{\bot}$
$\operatorname{cl}_H \left(\operatorname{span} C\right) = \left(C^{\bot}\right)^{\bot}$

C

가 내적 공간

H

의 벡터 부분 공간인 경우

:

C^{\bot} = \left\{\mathbf{x} \in H : \|\mathbf{x}\| \leq \|\mathbf{x} + \mathbf{c}\| \ \ \forall \ \mathbf{c} \in C \right\}.

C

가 힐베르트 공간

H

의 닫힌 벡터 부분 공간인 경우

:

H = C \oplus C^{\bot} \qquad \text{ and } \qquad \left(C^{\bot}\right)^{\bot} = C

여기서

H = C \oplus C^{\bot}

는

H

를

C

와

C^{\bot}

로 직교 분해한 것이며, 이는

C

가 여공간이

C^{\bot}

인

H

의 보완 부분 공간임을 나타낸다.

직교 여공간은 항상 거리 위상에서 닫혀 있다. 유한 차원 공간에서 이는 단지 벡터 공간의 모든 부분 공간이 닫혀 있다는 사실의 한 예일 뿐이다. 무한 차원 힐베르트 공간에서 일부 부분 공간은 닫혀 있지 않지만, 모든 직교 여공간은 닫혀 있다.

W

가 내적 공간의 벡터 부분 공간이면

W

의 직교 여공간의 직교 여공간은

W

의 폐포이며, 즉,

:

\left(W^\bot\right)^\bot = \overline W.

항상 성립하는 몇 가지 다른 유용한 속성은 다음과 같다.

H

를 힐베르트 공간으로 하고

X

와

Y

를 선형 부분 공간으로 하자. 그러면:

$X^\bot = \overline{X}^{\bot}$
만약 $Y \subseteq X$ 이면 $X^\bot \subseteq Y^\bot$
$X \cap X^\bot = \{ 0 \}$
$X \subseteq (X^\bot)^\bot$
만약 $X$ 가 $H$ 의 닫힌 선형 부분 공간이면 $(X^\bot)^\bot = X$
만약 $X$ 가 $H$ 의 닫힌 선형 부분 공간이면 $H = X \oplus X^\bot,$ (내적) 직합.

직교 여공간은 소멸자로 일반화되며, 내적 공간의 부분 집합에 대한 갈루아 연결을 제공하고, 관련된 폐포 연산자는 생성된 공간의 위상적 폐포이다.

3. 3. 유한 차원

내적 공간에서 부분 공간의 차원과 그 직교 여공간의 차원의 합은 전체 공간의 차원과 같다. 차원이

n

인 유한 차원 내적 공간의 경우,

k

차원 부분 공간의 직교 여공간은

(n-k)

차원 부분 공간이며, 이중 직교 여공간은 원래 부분 공간과 같다.

:

\left(W^{\bot}\right)^{\bot} = W.

^[4]

행렬의 행 공간의 직교 여공간은 그 행렬의 영 공간과 같고, 열 공간의 직교 여공간은 전치 행렬의 영 공간과 같다.

\mathbf{A} \in \mathbb{M}_{mn}

이고,

\mathcal{R}(\mathbf{A})

,

\mathcal{C} (\mathbf{A})

,

\mathcal{N} (\mathbf{A})

가

\mathbf{A}

의 행 공간, 열 공간, 영 공간을 나타내는 경우,^[4]

:

\left(\mathcal{R} (\mathbf{A}) \right)^{\bot} = \mathcal{N} (\mathbf{A}) \qquad \text{ and } \qquad \left(\mathcal{C} (\mathbf{A}) \right)^{\bot} = \mathcal{N} (\mathbf{A}^{\operatorname{T}}).

3. 4. 바나흐 공간

바나흐 공간에서도 직교 여공간과 비슷한 개념을 생각할 수 있다. 이 경우 ''V''^*를 ''V''의 쌍대 공간이라고 할 때, ''W''의 직교 여공간은 소멸자와 유사하게 다음과 같이 정의되는 ''V''^*의 부분 공간이다.

:

W^\bot = \{x\in V^* : \forall y\in W, x(y) = 0\}

이는 항상 ''V''^*의 닫힌 부분 공간이다. 이중 직교 여공간 성질도 존재하는데, 이 경우 ''W''^⊥⊥는 ''V'' (''V''와 일치하지 않음)의 부분 공간이 된다. 그러나 반사 공간의 경우에는 ''V''와 ''V'' 사이의 자연스러운 동형 사상 ''i''가 존재하여 다음이 성립한다.

:

i\overline{W} = W^{\bot\bot}

이는 한-바나흐 정리의 직접적인 결과이다.

4. 예시

$\mathbb{R}^5$ 에서 일반적인 내적 $\langle \cdot, \cdot \rangle$ 이 주어진 내적 공간을 $V = (\mathbb{R}^5, \langle \cdot, \cdot \rangle)$ 라고 하자. $\mathbf{A} = \begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\\2 & 6\\3 & 9\\5 & 3\\\end{pmatrix}$ 에 대해, $W = \{\mathbf{u} \in V: \mathbf{A}x = \mathbf{u},\ x\in \mathbb{R}^2\}$ 로 정의된 $W$ 의 직교 여공간 $W^\perp$ 는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$W^\perp = \{\mathbf{v} \in V: \mathbf{\tilde{A}}y = \mathbf{v},\ y \in \mathbb{R}^3\}$ , 여기서 $\mathbf{\tilde{A}} =\begin{pmatrix}$

2 & -3 & -5 \\
6 & -9 & -3 \\

1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1\end{pmatrix}이다.

\mathbf{A}

의 모든 열 벡터가

\mathbf{\tilde{A}}

의 모든 열 벡터에 직교한다는 것은 직접 계산을 통해 확인할 수 있다.

특수 상대성 이론에서 직교 여공간은 세계선(동시 초평면)의 한 점에서 동시 초평면을 결정하는 데 사용된다.^[5] 민코프스키 공간에서 사용되는 쌍선형 형식은 사건의 유사 유클리드 공간을 결정한다. 원점과 광원뿔 위의 모든 사건은 자기 직교이다. 시간 사건과 공간 사건이 쌍선형 형식에서 0으로 평가될 때, 이들은 쌍곡선 직교이다.

5. 응용

특수 상대성 이론에서 직교 여공간은 동시 초평면을 세계선의 한 점에서 결정하는 데 사용된다. 민코프스키 공간에서 사용되는 쌍선형 형식 $\eta$ 는 사건의 유사 유클리드 공간을 결정한다.^[5] 원점과 광원뿔 위의 모든 사건은 자기 직교이다. 시간 사건과 공간 사건이 쌍선형 형식에서 0으로 평가될 때, 이들은 쌍곡선 직교이다. 이 용어는 유사 유클리드 평면에서 켤레 쌍곡선의 사용에서 유래한다. 이 쌍곡선의 켤레 지름은 쌍곡선 직교이다.

참조

_[1] 서적 Adkins & Weintraub
_[2] 서적 Adkins&Weintraub
_[3] 문서
_[4] 웹사이트 Orthogonal Complement https://www.mathwizu[...]
_[5] 서적 Relativity and Modern Physics Harvard University Press
_[6] google books Bilinear Algebra: An Introduction to the Algebraic Theory of Quadratic Forms

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