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피타고라스 체

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목차

1. 개요

피타고라스 체는 체의 원소를 제곱수의 합으로 나타낼 때, 제곱수의 합으로 표현되는 원소의 개수가 1개 이하인 체를 의미한다. 즉, 피타고라스 체는 제곱수들의 집합이 덧셈에 대해 모노이드를 이루는 체이다. 피타고라스 체는 피타고라스의 정리와 유사한 기하학적 성질을 가지며, 피타고라스 폐포를 가질 수 있다. 피타고라스 체의 피타고라스 수는 1이며, 유클리드 체, 제곱 폐체, 대수적으로 닫힌 체 등이 피타고라스 체의 예시이다. 피타고라스 체와 관련된 여러 정리와 성질들이 존재하며, 기하학적 모델을 구성하는 데 사용될 수 있다. 또한 초피타고라스 체는 제곱 집합이 팬을 이루는 형식적 실수체로 정의되며, 피타고라스 체의 부분집합이다.

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  • 체론 - 분해체
    분해체는 체 K 위의 다항식 p(X)가 일차 인자의 곱으로 완전 인수분해되고 그 근들에 의해 K 위에서 생성되는 체 확대 L을 의미하며, 동형을 제외하고 유일하고 갈루아 군과 관련이 있다.
  • 체론 - 체 (수학)
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피타고라스 체

2. 정의

체 K의 원소 가운데 일부는 유한 개의 제곱수들의 합으로 나타낼 수 있고, 일부는 유한 개의 제곱수들의 합으로 나타낼 수 없다. a\in K를 제곱수들의 합으로 나타낼 때 필요한 최소 개의 제곱수의 수를 P(a)라고 쓰자.

:p(a)=\min_{A\subseteq K}^{\sum_{b\in A}b^2=b}|A|\in\mathbb N\cup\{\infty\}

체 K의 '''피타고라스 수'''(피타고라스 수/Pythagorean number영어) p(K)는 K의 원소에 대하여, 위 함수의 최댓값이다.

:p(K)=\max_{a\in K}p(a)\in\mathbb N\cup\{\infty\}

즉, 피타고라스 수가 유한한 체 K에서, 모든 제곱수의 합은 p(K)개 이하의 제곱수들의 합으로 나타낼 수 있다.

피타고라스 수가 1인 체를 '''피타고라스 체'''(피타고라스 체}})라고 한다. 즉, 피타고라스 체는 제곱수들의 집합이 덧셈에 대하여 모노이드를 이루는 체이다. 즉, 다음 조건이 성립하면 K를 피타고라스 체라고 한다.

:\forall a,b\in K\exists c\in K\colon a^2+b^2=c^2

기하학적으로, 이는 피타고라스의 정리와 유사하다. 즉, 만약 K\subseteq\mathbb R라면, 직각 삼각형에서 사이에 직각이 있는 두 변의 길이가 K에 속한다면, 나머지 변도 K에 속해야 한다.

체 K의 대수적 폐포 \bar K가 주어졌다고 하자. 그렇다면 \bar K 속에, K를 포함하는 최소의 피타고라스 체 K^{\operatorname{py/Pythagorean field영어가 존재한다. 이를 K의 '''피타고라스 폐포'''(피타고라스 폐포/Pythagorean closure영어)라고 한다.

3. 성질

임의의 체 K에 대하여, 피타고라스 수와 수준 s(K) 사이에 다음과 같은 부등식이 성립한다.[16]

:p(K)\le s(K)+1

모든 양의 정수 n에 대하여, 피타고라스 수가 n인 형식적 실체가 존재한다.[17]

형식적 실체가 아닌 체의 경우, 피타고라스 수는 다음 세 가지 가운데 하나이다.[17]


  • \infty
  • 2^n\qquad n\in\mathbb N
  • 2^n-1\qquad n\in\mathbb N

유클리드 체 (모든 음이 아닌 원소가 제곱인 순서 체)는 순서 피타고라스 체이지만 그 역은 성립하지 않는다.[3] 제곱 폐체는 피타고라스 체이지만 그 역은 성립하지 않는다(\mathbf{R}은 피타고라스 체이다). 그러나, 형식적으로 실체가 아닌 피타고라스 체는 제곱 폐체이다.[4]

피타고라스 체의 비트 링은 체가 형식적으로 실체가 아니면 차수가 2이고, 그렇지 않으면 비틀림이 없다.[1] 체 F에 대해 정확한 수열은 비트 링을 포함한다.

: 0 \rightarrow \operatorname{Tor} I W(F) \rightarrow W(F) \rightarrow W(F^{\mathrm{py}})

여기서 IW(F)는 F의 비트 링의 기본 아이디얼이고[5], \operatorname{Tor} IW(F)는 그 비틀림 부분군 (이는 W(F)의 닐근이다)을 나타낸다.[6]

3. 1. 동치 조건

체 ''F''가 피타고라스 체가 되기 위한 다음 조건들은 서로 동치이다.[7][8][9]

  • 일반 ''u''-불변량 ''u''(''F'')는 0 또는 1이다.
  • 만약 ''ab''가 ''F''에서 제곱수가 아니라면, ''a'', ''b''가 서로 다른 부호를 가지는 순서가 ''F''에 존재한다.
  • ''F''는 자신의 유클리드 폐포들의 교집합이다.


유클리드 체는 순서 피타고라스 체이지만 그 역은 성립하지 않는다.[3] 제곱 폐체는 피타고라스 체이지만 그 역은 성립하지 않는다(실수/'''R'''영어는 피타고라스 체이다). 그러나, 형식적으로 실체가 아닌 피타고라스 체는 제곱 폐체이다.[4] 피타고라스 체의 비트 링은 체가 형식적으로 실체가 아니면 차수가 2이고, 그렇지 않으면 비틀림이 없다.[1]

4. 예

대수적으로 닫힌 체 \bar K의 피타고라스 수는 1이다. 유한체 \mathbb F_q의 피타고라스 수는 2이다. 유리수체 \mathbb Q의 피타고라스 수는 4이다(라그랑주 네 제곱수 정리).

체피타고라스 수
대수적으로 닫힌 체 \bar K1
유한체 \mathbb F_q2
유리수체 \mathbb Q4 (라그랑주 네 제곱수 정리)


5. 기하학적 모델

피타고라스 체는 기하학에 대한 일부 힐베르트의 공리의 모델을 구성하는 데 사용될 수 있다.[10] 피타고라스 체 *F*에 대해 *F*n으로 주어진 좌표 기하학은 힐베르트의 공리, 예를 들어 사상 공리, 합동 공리 및 평행선 공리를 만족한다. 그러나 일반적으로 이 기하학은 체 *F*가 추가적인 속성을 갖지 않는 한 힐베르트의 모든 공리를 만족시킬 필요는 없다. 예를 들어, 체가 정렬되어 있다면 기하학은 힐베르트의 순서 공리를 만족하고, 체가 완전하다면 기하학은 힐베르트의 완전성 공리를 만족한다.

비아르키메데스 정렬 체의 피타고라스 폐포, 예를 들어 유리수 Q에 대한 한 변수에서의 유리 함수의 체 Q(*x*)의 피타고라스 폐포는 힐베르트의 많은 공리는 만족하지만 완전성 공리는 만족하지 않는 비아르키메데스 기하학을 구성하는 데 사용될 수 있다.[10] 데른은 이러한 체를 사용하여 데른 평면, 비-르장드르 기하학 및 준-유클리드 기하학의 예시를 구성했다.[11]

6. Diller–Dress 정리

이 정리는 ''E''/''F''가 유한 체 확장이고, ''E''가 피타고라스 체이면, ''F''도 피타고라스 체임을 나타낸다.[12] 결과적으로, 그러한 모든 체는 피타고라스 체가 아닌 '''Q'''에 대해 유한하므로, 어떤 대수적 수체도 피타고라스 체가 아니다.[13]

7. 초피타고라스 체

'''초피타고라스 체''' ''F''는 ''F''∗에서 지수 2의 부분군 ''S''가 −1을 포함하지 않는 속성을 가진 형식적 실수체이며, 이 경우 ''S''는 ''F''에 순서를 정의한다.[12] 동등한 정의는 ''F''가 제곱 집합이 팬을 이루는 형식적 실수체라는 것이다. 초피타고라스 체는 필연적으로 피타고라스 체이다.[12]

Diller-Dress 정리와 유사한 정리가 성립한다. 즉, ''E''/''F''가 유한 확대이고 ''E''가 초피타고라스 체이면 ''F''도 초피타고라스 체이다.[14] 반대 방향으로, ''F''가 초피타고라스 체이고 ''E''가 ''F''를 포함하며 ''F''의 2차 폐포에 포함된 형식적 실수체이면 ''E''는 초피타고라스 체이다.[15]

참조

[1] 서적 1973
[2] 서적 2010
[3] 서적 1998
[4] 서적 1993
[5] 서적 1973
[6] 서적 1973
[7] 서적 2005
[8] 서적 2005
[9] 서적 2005
[10] 서적 1980
[11] 서적 1900
[12] 서적 1983
[13] 서적 2005
[14] 서적 1983
[15] 서적 1983
[16] 서적 Squares Cambridge University Press 1993
[17] 서적 Introduction to quadratic forms over fields American Mathematical Society 2005


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