분해체

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 정의
- 2.1. 구성
3. 성질
4. 예
참조

1. 개요

분해체는 체 K와 K[x]의 다항식 p(x)에 대해, p(x)가 L[x]에서 선형 인수로 인수분해되는 K의 체 확장 L이다. 분해체는 주어진 다항식이 분해되는 최소 차수의 체 확장이며, 그러한 분해체는 동형을 제외하고 유일하게 존재한다. 분해체는 정규 확대이며, 갈루아 폐포를 구성하는 데 사용될 수 있다. 복소수체, 이차체, 유한체 등 다양한 체에서 분해체의 예를 찾을 수 있다.

더 읽어볼만한 페이지

체론 - 체 (수학)
체는 사칙연산이 자유롭고, 0이 아닌 모든 원소가 곱셈에 대한 역원을 갖는 가환환으로, 수학, 물리학, 공학 등 다양한 분야에서 기본적인 역할을 하는 대수 구조이다.
체론 - 대수학의 기본 정리
대수학의 기본 정리는 모든 비상수 복소 다항식이 복소수를 근으로 갖는다는 정리이며, 복소수체의 대수적 폐포를 정의하고 다항식의 근의 개수와 표현, 실계수 다항식의 인수분해 등에 대한 정보를 제공한다.

분해체
개요
종류	체론
정의	어떤 체의 다항식의 모든 근을 포함하는 가장 작은 체
상세 정보
관련 개념	근체, 갈루아 이론

2. 정의

$K$ 가 체이고, $K$ 의 다항식 환 $K[x]$ 에 속하는 다항식 $p(x)$ 가 주어졌다고 하자. 이때 $p(x)$ 의 $K$ 에 대한 '''분해체'''(splitting field) $L$ 은 다음 두 조건을 만족하는 $K$ 의 체 확대 $L/K$ 이다.

# 다항식 $p(x)$ 는 $L$ 위에서 완전히 인수분해되어, $L[x]$ 에서 $p(x) = c \prod_{i=1}^{\deg p} (x - a_i)$ 꼴로 표현된다. 여기서 $c \in K$ 는 $p(x)$ 의 최고차항 계수이고, 각 $a_i \in L$ 는 $p(x)$ 의 근이다. (근 $a_i$ 들은 서로 같을 수도 있다.)

# $L$ 은 위의 1번 성질을 만족하는 $K$ 의 확대체 중에서 차수가 가장 작은, 즉 최소 확대체이다. 이는 $L$ 이 $K$ 에 모든 근 $a_1, \dots, a_{\deg p}$ 를 첨가하여 생성된 체, 즉 $L = K(a_1, \dots, a_{\deg p})$ 임을 의미한다.

이러한 성질을 만족하는 분해체 $L$ 은 항상 존재하며, 동형을 제외하면 유일하다. 만약 $p(x)$ 가 분리가능 다항식이라면, $K$ 위에서 $L$ 의 자기동형사상으로 이루어진 군, 즉 $p(x)$ 의 갈루아 군 $\mathrm{Gal}(L/K)$ 은 분해체의 구조를 이해하는 데 중요한 역할을 한다.

하나의 다항식이 아닌 다항식 집합 $P \subseteq K[x]$ 의 분해체는 $P$ 에 속하는 모든 다항식이 $L$ 위에서 완전히 인수분해되는 가장 작은 체 확대 $L/K$ 를 의미한다.

2. 1. 구성

체

K

와 기약 다항식

p\in K[x]

가 주어졌을 때, 다음과 같은 체의 확대

L/K

를 만들 수 있다.

:

L\cong K[x]/(p(x))

여기서

(p(x))

는

p(x)

에 의해 생성되는

K[x]

의 소 아이디얼이다.

K[x]

는 주 아이디얼 정역이고, 주 아이디얼 정역에서 0이 아닌 모든 소 아이디얼은 극대 아이디얼이다. 극대 아이디얼에 대한 몫환은 체를 이루므로,

L

은 체가 된다. 또한,

a=x+(p(x))\in L

은

p

의 근이 된다. 따라서

p

는

L

에서 적어도 하나의 근을 가지며, 집합

\{1,a,a^2,\dotsc,a^{\deg p-1}\}\subseteq L

은

L

의

K

-기저를 형성한다. 하지만 이렇게 구성된

L/K

가 항상

p

의 분해체가 되는 것은 아니다.

p

의 모든 근을 포함하지 않을 수 있기 때문이다.

다항식의 근을 찾는 것은 고대 그리스 시대부터 중요한 문제였다. 그러나

x^2 + 1

과 같은 일부 다항식은 실수 체

\mathbb{R}

에서는 근을 갖지 않는다. 이러한 다항식에 대한 분해체를 구성하면, 다항식의 근을 포함하는 새로운 체를 찾을 수 있다.

이제, 체

K

에 대한

n

차 다항식

p(X) \in K[X]

의 분해체

L

을 구성하는 일반적인 과정을 살펴보자. 이 과정은

K=K_0 \subseteq K_1 \subseteq \cdots \subseteq K_{r-1} \subseteq K_r=L

형태의 체의 사슬을 만드는 방식으로 진행된다. 여기서 각

K_i

는

K_{i-1}

의 확장으로,

p(X)

의 새로운 근을 포함하도록 만들어진다.

p(X)

는 최대

n

개의 근을 가지므로, 이 구성은 최대

n

단계의 확장을 필요로 한다. 각 단계

K_i

를 구성하는 과정은 다음과 같다.

#

p(X)

를

K_i

상에서 기약 다항식 인자들의 곱

f_1(X)f_2(X) \cdots f_k(X)

로 인수분해한다.

# 인수분해된 인자 중에서 1차식이 아닌(즉, 비선형) 기약 인자

f(X)

를 하나 선택한다. (만약 모든 인자가 1차식이면,

p(X)

는 이미

K_i

에서 완전히 분해된 것이므로 과정을 멈춘다.)

#

K_i

의 체 확장

K_{i+1}

을 몫환

K_{i+1} = K_i[X]/(f(X))

로 구성한다. 여기서

(f(X))

는

f(X)

에 의해 생성된

K_i[X]

의 아이디얼을 나타낸다.

#

p(X)

가

K_{i+1}

에서 완전히 1차식들의 곱으로 인수분해될 때까지 이 과정(1~3단계)을 반복한다.

몫환 구성에 사용되는 기약 인자

f(X)

는 여러 개 있을 경우 임의로 선택할 수 있다. 어떤 인자를 선택하느냐에 따라 중간 단계의 체 확대열(

K_1, K_2, \dots

)은 달라질 수 있지만, 최종적으로 얻어지는 분해체

L

은 동형의 의미에서 유일하다.

f(X)

가 기약 다항식이므로, 아이디얼

(f(X))

는

K_i[X]

의 극대 아이디얼이 된다. 따라서 몫환

K_{i+1} = K_i[X]/(f(X))

은 실제로 체, 즉 해당 극대 아이디얼에 대한 잉여류 체가 된다. 또한, 환

K_i[X]

에서 몫환

K_{i+1}

으로 가는 자연스러운 사영(projection)을

\pi : K_i[X] \to K_i[X]/(f(X))

라고 하면,

:

f(\pi(X)) = \pi(f(X)) = f(X)\ \bmod\ f(X) = 0

이 성립한다. 이는

\pi(X)

가

f(X)

의 근임을 의미하며,

f(X)

는

p(X)

의 인수였으므로

\pi(X)

는

p(X)

의 새로운 근이 된다.

각 단일 확장

[K_{i+1} : K_i]

의 차수는 선택된 기약 인자

f(X)

의 차수와 같다. 따라서 전체 확장

[L : K]

의 차수는 각 단계의 차수들의 곱

[K_r : K_{r-1}] \cdots [K_2 : K_1] [K_1 : K_0]

로 주어지며, 이 값은 최대

n!

이다.

몫환

K_{i+1} = K_i[X]/(f(X))

의 원소들은 어떤 형태를 가질까?

f(X)

의 차수를

d = \deg f

라고 하고,

\alpha = \pi(X) \in K_{i+1}

라고 하자. 그러면

K_{i+1}

의 원소들은 다음과 같은 형태로 표현될 수 있다.

:

c_{d-1}\alpha^{d-1} + c_{d-2}\alpha^{d-2} + \cdots + c_1\alpha + c_0

여기서 계수

c_j

들은 모두

K_i

에 속한다. 이는

K_{i+1}

을

K_i

위의 벡터 공간으로 간주했을 때,

\{1, \alpha, \alpha^2, \dots, \alpha^{d-1}\}

가 그 기저를 이룬다는 의미이다. 즉,

K_{i+1}

의 원소는

\alpha

에 대한 차수가

d

보다 작은 다항식으로 생각할 수 있다.

K_{i+1}

에서의 덧셈은 일반적인 다항식 덧셈 규칙을 따른다. 곱셈은

f(X)

를 법(modulus)으로 하는 다항식 곱셈으로 정의된다. 즉,

K_{i+1}

의 두 원소

g(\alpha)

와

h(\alpha)

의 곱은

g(\alpha)h(\alpha) = r(\alpha)

로 계산되는데, 여기서

r(X)

는

K_i[X]

에서 다항식

g(X)h(X)

를

f(X)

로 나눈 나머지이다.

나머지

r(X)

는 다항식의 나눗셈을 통해 계산할 수 있다. 또는 곱셈 과정에서

\alpha

의 차수가

d

이상이 될 때마다 축약 규칙을 적용하여 계산할 수도 있다. 일반성 손실 없이

f(X)

가 모닉 다항식(최고차항 계수가 1인 다항식)이라고 가정하자.

:

f(X) = X^d + b_{d-1} X^{d-1} + \cdots + b_1 X + b_0

여기서

b_j \in K_i

이다.

\alpha

는

f(X)

의 근이므로

f(\alpha) = 0

이다. 즉,

:

\alpha^d = -(b_{d-1} \alpha^{d-1} + \cdots + b_1 \alpha + b_0)

이 관계식을 이용하면

\alpha

의

d

차 이상의 거듭제곱을

d-1

차 이하의

\alpha

에 대한 다항식으로 낮출 수 있다. 예를 들어,

m \ge d

일 때,

:

\alpha^m = \alpha^d \alpha^{m-d} = -(b_{d-1} \alpha^{d-1} + \cdots + b_1 \alpha + b_0) \alpha^{m-d} = -(b_{d-1} \alpha^{m-1} + \cdots + b_1 \alpha^{m-d+1} + b_0 \alpha^{m-d})

와 같이 차수를 계속 낮출 수 있다.

예를 들어,

K_i = \mathbb{Q}

( 유리수 체)이고, 기약 다항식

f(X) = X^7 - 2

를 생각해보자. 그러면

K_{i+1} = \mathbb{Q}[X]/(X^7 - 2)

가 된다. 이 체의 원소

g(\alpha) = \alpha^5 + \alpha^2

와

h(\alpha) = \alpha^3 + 1

의 곱을 계산해보자. 여기서

\alpha

는

\alpha^7 - 2 = 0

, 즉

\alpha^7 = 2

를 만족한다.

:

g(\alpha)h(\alpha) = (\alpha^5 + \alpha^2)(\alpha^3 + 1) = \alpha^8 + \alpha^5 + \alpha^5 + \alpha^2 = \alpha^8 + 2\alpha^5 + \alpha^2

여기서

\alpha^8 = \alpha^7 \cdot \alpha = 2\alpha

이므로,

:

g(\alpha)h(\alpha) = 2\alpha + 2\alpha^5 + \alpha^2 = 2\alpha^5 + \alpha^2 + 2\alpha

가 된다. 최종 결과는

\alpha

에 대한 7차 미만의 다항식으로 표현되었다.

3. 성질

체 K 위의 다항식 집합 p(X)에 대한 분해체 L은 K의 정규 확대이다. 즉, L은 K 위의 어떤 다항식들의 집합에 대해 동시에 그 다항식들을 모두 일차식의 곱으로 분해할 수 있는 확대체이다.

K를 포함하는 대수적으로 닫힌 체 A가 주어졌을 때, 다항식 집합 p의 근들을 K에 첨가하여 생성되는 체는 K와 A 사이에 유일하게 존재하는 p의 분해체 L이다. 만약 K가 복소수체의 부분체라면, 대수학의 기본정리에 의해 근들이 복소수체 안에 존재하므로 분해체의 존재는 명확하다. 하지만 일반적인 경우에는 대수적 폐포의 존재 증명과 분해체의 존재 증명이 서로 의존할 수 있어, 순환 논법을 피하기 위해 각각 독립적인 증명이 필요하다.

분해체 L은 다항식 p를 일차 인자들의 곱으로 분해하는 K의 확대체 중에서 확대 차수가 가장 작은 특징을 가진다. 구체적으로, L에서 다항식 p는 다음과 같이 표현된다.

$p(X) = c\prod_{i=1}^{\deg(p)} (X - a_i) \qquad (c \in K, a_i \in L[X])$

여기서 a_i는 p의 근들이며, L은 K에 이 근들을 모두 첨가하여 얻어지는 체, 즉 L = K(a₁, ..., a_deg(p))이다. 이러한 분해체는 동형을 제외하고 유일하게 존재한다.

K의 분리 가능 확대 K'가 주어졌을 때, K'의 '''갈루아 폐포''' L은 분해체의 한 종류로 볼 수 있다. 갈루아 폐포는 K'를 포함하면서 K의 갈루아 확대가 되는 체 중에서 가장 작은 체를 의미한다. 이러한 갈루아 폐포는 K'에 속하는 모든 원소 a ∈ K'에 대해, 각 a의 K 위에서의 최소 다항식으로 얻어지는 모든 K-계수 다항식들의 분해체를 포함해야 한다. 만약 다항식 p가 분리 다항식이라면, 분해체 L에 대한 K-자기 동형 사상들의 집합은 p의 갈루아 군을 형성하며, 이는 근들의 치환군으로 이해할 수 있다.

4. 예

실수체 $\mathbb R$ 위의 기약 다항식 $x^2+1$ 의 분해체는 복소수체 $\mathbb C$ 이다. 즉, $\mathbb C\cong\mathbb R[x]/(x^2+1)$ 이다.
유리수체 $\mathbb Q$ 위의 기약 다항식 $x^3-2$ 의 분해체는 $\mathbb Q(\sqrt[3]2,\exp(2\pi i/3))$ 이다.
유리수체 $\mathbb Q$ 위의 이차식 $x^2 - 2$ 의 분해체는 이차체 $\mathbb{Q}(\sqrt2) = \{ a + b\sqrt2 \mid a, b \in \mathbb{Q} \}$ 이다.
소수 $p$ 와 그 거듭제곱 $q = p^n$ 에 대해, 소체 $\mathbb{F}_p$ 위의 다항식 $x^q - x$ 의 분해체는 유한체 $\mathbb{F}_q$ 이다.

4. 1. 복소수체

복소수체 '''C'''는 실수체 '''R'''에 대하여 기약 다항식 ''x''² + 1의 분해체이다. 즉,

:'''C''' ≅ '''R'''[''x''] / (''x''² + 1)

이다.

다항식환 '''R'''[''x'']과 기약 다항식 ''x''² + 1을 고려해 보자. 몫환 '''R'''[''x''] / (''x''² + 1)는 합동 관계 ''x''² ≡ -1에 의해 주어진다. 결과적으로, '''R'''[''x''] / (''x''² + 1)의 원소(또는 동치류)는 ''a''와 ''b''가 '''R'''에 속하는 ''a'' + ''bx'' 형태를 갖는다. 이를 알기 위해, ''x''² ≡ -1이므로, ''x''³ ≡ -''x'', ''x''⁴ ≡ 1, ''x''⁵ ≡ ''x'' 등이 성립한다. 따라서 예를 들어 ''p'' + ''qx'' + ''rx''² + ''sx''³ ≡ ''p'' + ''qx'' + ''r''(-1) + ''s''(-''x'') = (''p'' - ''r'') + (''q'' - ''s'')''x''이다.

덧셈과 곱셈 연산은 우선 일반적인 다항식 덧셈과 곱셈을 사용한 다음, ''x''² + 1을 모듈로로 줄여서 수행한다. 즉, ''x''² ≡ -1, ''x''³ ≡ -''x'', ''x''⁴ ≡ 1, ''x''⁵ ≡ ''x'' 등의 사실을 활용한다. 따라서:

:(''a''₁ + ''b''₁''x'') + (''a''₂ + ''b''₂''x'') = (''a''₁ + ''a''₂) + (''b''₁ + ''b''₂)''x'',

:(''a''₁ + ''b''₁''x'')(''a''₂ + ''b''₂''x'') = ''a''₁''a''₂ + (''a''₁''b''₂ + ''b''₁''a''₂)''x'' + (''b''₁''b''₂)''x''² ≡ (''a''₁''a''₂ - ''b''₁''b''₂) + (''a''₁''b''₂ + ''b''₁''a''₂)''x'' .

만약 ''a'' + ''bx''를 (''a'', ''b'')로 식별하면, 덧셈과 곱셈은 다음과 같이 주어진다.

:(''a''₁, ''b''₁) + (''a''₂, ''b''₂) = (''a''₁ + ''a''₂, ''b''₁ + ''b''₂),

:(''a''₁, ''b''₁) ⋅ (''a''₂, ''b''₂) = (''a''₁''a''₂ - ''b''₁''b''₂, ''a''₁''b''₂ + ''b''₁''a''₂).

몫환 '''R'''[''x''] / (''x''² + 1)이 동형으로 복소수 '''C'''와 같다고 할 수 있다. 일반적인 복소수는 ''a''와 ''b''가 실수이고 ''i''² = -1인 ''a'' + ''bi'' 형태를 갖는다. 덧셈과 곱셈은 다음과 같이 주어진다.

:(''a''₁ + ''b''₁''i'') + (''a''₂ + ''b''₂''i'') = (''a''₁ + ''a''₂) + ''i''(''b''₁ + ''b''₂),

:(''a''₁ + ''b''₁''i'') ⋅ (''a''₂ + ''b''₂''i'') = (''a''₁''a''₂ - ''b''₁''b''₂) + ''i''(''a''₁''b''₂ + ''a''₂''b''₁).

만약 ''a'' + ''bi''를 (''a'', ''b'')로 식별하면, 덧셈과 곱셈은 다음과 같이 주어진다.

:(''a''₁, ''b''₁) + (''a''₂, ''b''₂) = (''a''₁ + ''a''₂, ''b''₁ + ''b''₂),

:(''a''₁, ''b''₁) ⋅ (''a''₂, ''b''₂) = (''a''₁''a''₂ - ''b''₁''b''₂, ''a''₁''b''₂ + ''b''₁''a''₂).

위 계산은 덧셈과 곱셈이 '''R'''[''x''] / (''x''² + 1)과 '''C'''에서 동일하게 동작함을 보여준다. 실제로, '''R'''[''x''] / (''x''² + 1)과 '''C''' 사이의 사상 ''a'' + ''bx'' ↦ ''a'' + ''bi''는 덧셈 및 곱셈에 대해 준동형 사상이다. 또한 사상 ''a'' + ''bx'' ↦ ''a'' + ''bi''가 단사와 전사 모두임을 알 수 있다. 즉, ''a'' + ''bx'' ↦ ''a'' + ''bi''는 전단사 준동형 사상, 즉 환 동형 사상이다. 따라서, '''R'''[''x''] / (''x''² + 1) ≅ '''C'''이다.

1847년에 오귀스탱 루이 코시는 이 방식을 사용하여 복소수를 정의했다.

4. 2. 유리수체

유리수체 '''Q''' 위에서의 기약 다항식 ''p''(''x'') = ''x''³ - 2를 예로 들어 분해체를 살펴보자. 이 다항식의 근은 2의 세제곱근(³√2)에 1의 세제곱근을 곱한 값들이다. 1의 세제곱근은 다음과 같다.

:ω₁ = 1

:ω₂ = -1/2 + (√3/2)''i''

:ω₃ = -1/2 - (√3/2)''i''

따라서 ''p''(''x'')의 근은 ³√2, (³√2)ω₂, (³√2)ω₃이다. ''p''(''x'')의 분해체 ''L''은 이 세 근을 모두 포함하는 '''Q'''의 가장 작은 체 확장이다.

''p''(''x'')의 서로 다른 두 근, 예를 들어 (³√2)ω₂와 ³√2를 포함하는 체는 그 비율인 ω₂도 포함해야 한다. ω₂와 ω₃는 원시 1의 세제곱근(ω₃ = 1/ω₂ = ω₂²)이다. 따라서 분해체 ''L''은 ³√2와 원시 1의 세제곱근 ω₂(또는 ω₃)를 반드시 포함해야 한다. 역으로, '''Q'''에 ³√2와 ω₂를 추가하여 만든 체는 ''p''(''x'')의 모든 근(³√2, (³√2)ω₂, (³√2)ω₃ = (³√2)(ω₂²))을 포함하게 된다.

결론적으로 ''x''³-2의 '''Q''' 위에서의 분해체 ''L''은 다음과 같다.

:''L'' = '''Q'''(³√2, ω₂) = { ''a'' + ''b''(³√2) + ''c''(³√2)² + ''d''ω₂ + ''e''(³√2)ω₂ + ''f''(³√2)²ω₂ | ''a'',''b'',''c'',''d'',''e'',''f'' ∈ '''Q''' }

이 체 ''L''은 '''Q'''의 6차 확대이다. 즉, [''L'':'''Q'''] = 6이다.

분해체를 구성하는 일반적인 과정을 이 예시에 적용해 볼 수도 있다. 먼저 ''K''₀ = '''Q'''에서 시작한다. ''p''(''x'') = ''x''³ - 2는 '''Q''' 위에서 기약이므로, ''K''₁ = '''Q'''[''X''] / (''X''³ - 2)를 구성한다. 이 체 ''K''₁은 ''p''(''x'')의 근 중 하나(이를 ''X''라 하자, ''X''³=2)를 포함하지만, 아직 분해체는 아니다. ''K''₁ 위에서 다항식 ''Y''³ - 2를 생각하면, 이는 더 이상 기약이 아니고 다음과 같이 인수분해된다.

:''Y''³ - 2 = (''Y'' - ''X'')(''Y''² + ''XY'' + ''X''²)

여기서 ''X''는 ''K''₁의 원소이다. 이제 이차 인수 ''Y''² + ''XY'' + ''X''²의 근을 추가하기 위해 과정을 계속한다. ''K''₂ = ''K''₁[''Y''] / (''Y''² + ''XY'' + ''X''²)를 구성하면, 이 체 ''K''₂가 바로 분해체 ''L''과 동형이다. ''K''₂는 '''Q''' 위에서 {1, ''X'', ''X''², ''Y'', ''XY'', ''X''²''Y''}를 기저로 가진다 (여기서 ''Y''는 ''Y''²+''XY''+''X''²=0을 만족하는 ''K''₂의 원소를 나타낸다). 이 구성은 위에서 설명한 ''L''과 비교했을 때, ''X''를 ³√2로, ''Y''를 (³√2)ω₂ (또는 (³√2)ω₃)에 해당하는 원소로 식별할 수 있다. 원본 소스에서 언급된 것처럼, ''L'' = '''Q'''(³√2, ω₂) 와 비교하여 ''X''를 ³√2로, 그리고 ''K''₂의 특정 원소를 ω₂로 식별할 수도 있다.

다른 예로, 유리수체 '''Q''' 위의 이차식 ''x''² - 2의 분해체는 이차체 '''Q'''(√2) = { ''a'' + ''b''√2 | ''a'', ''b'' ∈ '''Q''' }이다.

4. 3. 유한체

소수 ''p''와 그 거듭제곱 ''q'' = ''p''^''n''에 대해, 소체 '''F'''_''p'' 위 다항식 ''x''^''q'' − ''x''의 분해체는 위수가 ''q''인 유일한 유한체 '''F'''_''q''이다.^[2] 이 체는 GF(''q'')로 표기하기도 한다.

다음은 유한체 위에서의 분해체 예시이다.

'''F'''₇ 위 다항식 ''x''² + 1의 분해체는 '''F'''₄₉이다. 이 다항식은 '''F'''₇에서 근을 갖지 않는데, 이는 '''F'''₇에서 -1이 제곱수가 아니기 때문이다 (더 자세히 말하면, 모듈러 산술에서 7을 4로 나눈 나머지가 1이 아니기 때문이다).^[3]
'''F'''₇ 위 다항식 ''x''² − 1의 분해체는 '''F'''₇ 자신이다. 이는 ''x''² − 1 = (''x'' + 1)(''x'' − 1) 와 같이 이미 '''F'''₇에서 1차식의 곱으로 인수분해되기 때문이다.
'''F'''₂ 위 다항식 ''f''(''x'') = ''x''³ + ''x'' + 1의 분해체를 구해보자. ''f''(''x'')는 '''F'''₂에서 근을 갖지 않으므로, '''F'''₂[''x'']에서 기약 다항식임을 쉽게 확인할 수 있다. 몫체 '''F'''₂[''x'']/(''f''(''x''))에서 ''r''을 ''f''(''x'')의 근, 즉 ''x'' + (''f''(''x''))라고 하자. 그러면 '''F'''₂(''r'')는 체이며, 이 체 위에서 ''x''³ + ''x'' + 1 = (''x'' + ''r'')(''x''² + ''ax'' + ''b'') 형태로 인수분해된다. 표수가 2이므로 덧셈과 뺄셈이 같다는 점에 유의해야 한다. 계수를 비교하면 ''a'' = ''r'', ''b'' = 1 + ''r''²임을 알 수 있다. '''F'''₂(''r'')의 원소는 ''c'' + ''dr'' + ''er''² (단, ''c'', ''d'', ''e'' ∈ '''F'''₂) 꼴로 나타낼 수 있으며, 총 8개의 원소(0, 1, ''r'', 1 + ''r'', ''r''², 1 + ''r''², ''r'' + ''r''², 1 + ''r'' + ''r''²)를 갖는다. 이차식 ''x''² + ''rx'' + 1 + ''r''²에 이 원소들을 대입해보면, ''x'' = ''r''²일 때 (''r''²)² + ''r''(''r''²) + 1 + ''r''² = ''r''⁴ + ''r''³ + 1 + ''r''² = 0이 성립한다. (''r''³ + ''r'' + 1 = 0 이므로 ''r''³ = ''r'' + 1 이고, ''r''⁴ = ''r''² + ''r'' 이다. 따라서 ''r''⁴ + ''r''³ + 1 + ''r''² = (''r''² + ''r'') + (''r'' + 1) + 1 + ''r''² = 2''r''² + 2''r'' + 2 = 0 이다. 표수가 2이므로 모든 계수가 0이 되어 등식이 성립한다.) 따라서 '''F'''₂(''r'')에서 ''x''³ + ''x'' + 1 = (''x'' + ''r'')(''x'' + ''r''²)(''x'' + (''r'' + ''r''²))로 인수분해된다. 즉, ''E'' = '''F'''₂(''r'')는 '''F'''₂ 위 다항식 ''x''³ + ''x'' + 1의 분해체이다. 이 체는 8개의 원소를 가지므로 '''F'''₈과 동형이다.

4. 4. 기타 예

'''F'''_''p'' 위의 다항식 ''x''^q − ''x''의 분해체는 ''q'' = ''pⁿ''일 때 유일한 유한체 '''F'''_''q''이다.^[2] 이 체는 때때로 GF( ''q'' )로 표기하기도 한다.
표수 7의 소체 '''F'''₇ 위의 다항식 ''x''² + 1의 분해체는 위수가 49인 갈루아체 '''F'''₄₉이다. 이는 -1이 '''F'''₇에서 제곱근을 갖지 않기 때문인데, 7은 4를 법으로 하여 1과 합동이 아니므로 -1은 '''F'''₇에서 제곱수가 아니다.^[3]^[4]
'''F'''₇ 위의 다항식 ''x''² − 1의 분해체는 '''F'''₇이다. 왜냐하면 ''x''² − 1 = (''x'' + 1)(''x'' − 1)과 같이 '''F'''₇에서 이미 1차식의 곱으로 인수분해되기 때문이다.
'''F'''₂ 위의 다항식 ''f''(''x'') = ''x''³ + ''x'' + 1의 분해체를 계산하는 과정은 다음과 같다.
* ''f''(''x'')는 '''F'''₂에서 근을 갖지 않음을 쉽게 확인할 수 있다. 따라서 ''f''(''x'')는 '''F'''₂[''x'']에서 기약 다항식이다.
* 몫체 '''F'''₂[''x'']/( ''f''(''x'') )에서 ''r'' = ''x'' + (''f''(''x''))로 두자. 그러면 '''F'''₂(''r'')는 체이고, 이 체 위에서 ''x''³ + ''x'' + 1 = (''x'' + ''r'')(''x''² + ''ax'' + ''b'')로 인수분해된다. 표수가 2이므로 덧셈과 뺄셈은 같다.
* 계수를 비교하면 ''a'' = ''r'', ''b'' = 1 + ''r''²임을 알 수 있다.
* '''F'''₂(''r'')의 원소는 ''c'' + ''dr'' + ''er''² (''c'', ''d'', ''e'' ∈ '''F'''₂) 형태로 나타낼 수 있다. 구체적으로는 0, 1, ''r'', 1 + ''r'', ''r''², 1 + ''r''², ''r'' + ''r''², 1 + ''r'' + ''r''²의 8개 원소가 있다.
* 다항식 ''x''² + ''rx'' + 1 + ''r''²에 '''F'''₂(''r'')의 원소들을 대입하여 근을 찾는다. 예를 들어 ''r''²를 대입하면, (''r''²)² + ''r''(''r''²) + 1 + ''r''² = ''r''⁴ + ''r''³ + 1 + ''r''² 이다. ''f''(''r'') = ''r''³ + ''r'' + 1 = 0 이므로 ''r''³ = ''r'' + 1 이고, ''r''⁴ = ''r''² + ''r'' 이다. 따라서 ''r''⁴ + ''r''³ + 1 + ''r''² = (''r''² + ''r'') + (''r'' + 1) + 1 + ''r''² = 2''r''² + 2''r'' + 2 = 0 (표수가 2이므로) 이 성립한다. 즉, ''r''²는 ''x''² + ''rx'' + 1 + ''r''²의 근이다. 다른 근은 ''r'' + ''r''² 임을 확인할 수 있다.
* 따라서 '''F'''₂(''r'') 위에서 ''x''³ + ''x'' + 1 = (''x'' + ''r'')(''x'' + ''r''²)(''x'' + (''r'' + ''r''²)) 로 완전히 인수분해된다.
* 결론적으로 ''E'' = '''F'''₂(''r'')는 '''F'''₂ 위의 ''x''³ + ''x'' + 1의 분해체이다.
실수체 '''R''' 위의 이차 다항식 ''x''² + 1의 분해체는 복소수체 '''C'''이다.
유리수체 '''Q''' 위의 이차 다항식 ''x''² − 2의 분해체는 이차체 '''Q'''(√2) = {''a'' + ''b''√2 | ''a'', ''b'' ∈ '''Q'''}이다.

참조

_[1] 간행물 Mémoire sur la théorie des équivalences algébriques, substituée à la théorie des imaginaires
_[2] 서적 A Course in Arithmetic
_[3] 문서
_[4] 문서

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com