체 (수학)

3. 성질

체는 환론, 범주론, 모형 이론 등 다양한 관점에서 연구될 수 있다.

• 모든 체는 유클리드 정역이며, 따라서 주 아이디얼 정역, 유일 인수 분해 정역, 데데킨트 정역, 정역이다.^[1]
• 체는 덧셈과 곱셈, 두 연산을 갖춘 집합으로 정의할 수 있다. 체는 덧셈에 대해 아벨 군이고, 0을 제외한 원소들은 곱셈에 대해 아벨 군을 이루며, 곱셈은 덧셈에 대해 분배 법칙을 따른다.
• 체의 곱셈군의 모든 유한 부분군은 순환군이다.
• 모든 체는 '''체의 표수'''로 분류된다. 표수는 0이거나 소수이다.^[9]
• (단위원 1을 n회 더한 것)를 만족하는 양의 정수가 없다면, 체는 표수 0을 갖는다.^[11]
• 위 방정식을 만족하는 양의 정수가 있다면, 그러한 가장 작은 양의 정수는 소수이며, 이 경우 체는 해당 소수를 표수로 갖는다.
• 모든 체 ''F''는 고유한 부분체가 없는 소수체를 포함한다. ''F''의 표수가 소수 ''p''이면, 소수체는 유한체$\backslash mathbb\; F\_p$와 동형이다. 그렇지 않으면 소수체는 '''Q'''와 동형이다.^[14]

3. 1. 환론적 성질

• $R$는 체이다.
• $R$는 정확히 두 개의 아이디얼을 갖는다. (이는 물론 영 아이디얼 $(0)$과 전체 아이디얼 $(1)$이다.)
• $R$의 영 아이디얼이 극대 아이디얼이다.

3. 2. 범주론적 성질

3. 3. 모형 이론적 성질

3. 4. 덧셈군과 곱셈군

• 및 . 특히 을 알면 모든 원소의 덧셈 역원을 추론할 수 있다.^[9]
• 만약 이면 또는 는 이어야 한다. 왜냐하면 이면 이기 때문이다. 이는 모든 체가 정역임을 의미한다.

• 만약 이라면

3. 5. 표수

3. 6. 부분체와 소체

4. 분류

모든 체는 체의 표수로 일차적으로 분류된다. 표수는 0이거나 소수이다.

모든 체는 다음과 같은 체의 확대로 나타낼 수 있다.

:$K/K\_\{\backslash text\{tr\}\}/K\_0$

• $K\_0$는 유한체 $\backslash mathbb\; F\_p$ ($\backslash operatorname\{char\}K>0$인 경우) 또는 유리수체 $\backslash mathbb\; Q$ (표수가 0인 경우)와 동형이다.
• $K\_\{\backslash text\{tr\}\}/K\_0$는 순수 초월 확대이다. 즉, $K\_\{\backslash text\{tr\}\}$는 유리 함수체 $K\_0(\backslash \{x\_i\backslash \}\_\{i\backslash in\; I\})$와 동형이다. 이러한 초월 확대는 기수인 초월 차수 $|I|$로서 완전히 분류된다.
• $K/K\_\{\backslash text\{tr\}\}$는 대수적 확대이다. 즉, $K$는 대수적 폐포 $\backslash bar\; K\_\{\backslash text\{tr\}\}$의 부분체이다. 이러한 대수적 확대는 일차적으로 차수 $\backslash dim\_\{K\_\{\backslash text\{tr\}\}\}K$로서 분류되나, 일반적인 분류는 모든 대수다양체의 (유리 함수체의) 분류와 동치이므로 일반적으로 불가능하다고 여겨진다.

5. 예

• 유리수 전체 '''Q'''는 체이다.
• 실수 전체 '''R'''나 복소수 전체 '''C'''도 체이다.
• {0, 1}에 대해 아래 표와 같이 연산을 정의하면, 이는 이원체(GF(2))라고 불리는 체가 되며, '''F'''₂ 등으로 표기한다. 이 체는 부호 이론 등에 응용되고 있다.

• ''p''를 소수라고 할 때, 집합 {0, 1, …, ''p'' - 1}에 연산을 정의하여 유한체를 만들 수 있다. 이 체는 '''F'''_''p'', '''Z'''/''p'''''Z''' 또는 GF(''p'') 등으로 표기한다.
• 대수적 수론에서는 대수적 수체들을 다루며, 주요 예로는 이차 수체와 원분체가 있다.
• 대수기하학에서는 대수다양체 위의 유리 함수체를 다룬다.
• 체 ''k'' 위의 유리 함수 전체 ''k''(''x''₁, …, ''x''_n)도 체이다.
• 체 ''k'' 위의 형식적 로랑 급수 전체 ''k''((''x''₁, …, ''x''_n''))도 체이다.
• 대수적 수 전체 나 대수적인 실수의 전체 ∩ '''R'''도 체이다.
• 소수 ''p''에 대해 ''p''진수 전체 '''Q'''_''p''도 체이다.
• 자, 컴퍼스로 작도 가능한 복소수(작도 가능 수) 전체나 실수(작도 가능 실수) 전체도 체이다.
• 초실수체 $\{\}^*\backslash mathbb\; R$는 비표준 해석학에서 쓰이는 체이며, 비아르키메데스 체의 예이다.
• 초현실수의 모임은 집합을 이루지 않으므로, 엄밀히 말해서는 체가 아니다. 그러나 이를 무시하면, 이는 "체"를 이루는 고유 모임이 된다.
• p진수체 $\backslash mathbb\; Q\_p$는 유리수체의 확대의 하나이며, 비아르키메데스 체의 예이다.
• 주어진 체 $K$에 대하여, 유리 함수체 $K(x)$ 및 형식적 로랑 급수체 $K((x))$ 및 퓌죄 급수체 $\backslash overline\{K((x))\}$ 역시 체를 이룬다.
• 정역 $R$가 주어졌을 때, $a/b\backslash qquad(a,b\backslash in\; R,\backslash ,b\backslash ne0)$ 꼴의 비들은 분수체라는 체를 이룬다.
• 모든 소수 $p$ 및 양의 정수 $k$에 대하여, 크기가 $p^k$인 체는 유일하게 존재하며, 이를 '''유한체''' $\backslash mathbb\; F\_\{p^k\}$라고 쓴다. 이는 표수가 $p$인 체이다. $p^k$와 같은 꼴이 아닌 크기의 유한체는 존재하지 않는다.

5. 1. 유리수

5. 2. 실수와 복소수

5. 3. 작도 가능한 수

5. 4. 네 원소를 갖는 체

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유리수와 같은 친숙한 수 체계 외에도 다른 체의 예가 있다. ''O''|오^영어, ''I''|아이^영어, ''A''|에이^영어, ''B''|비^영어의 네 가지 원소로 구성된 체가 그 예시이다. 여기서 ''O''|오^영어는 덧셈 항등원(0으로 표시됨)의 역할을 하고, ''I''|아이^영어는 곱셈 항등원(1로 표시됨)의 역할을 한다. 이러한 체 공리는 직접 계산하거나 더 많은 체 이론을 사용하여 확인할 수 있다. 예를 들어, 분배 법칙에 따라 ''A''|에이^영어 ⋅ (''B''|비^영어 + ''A''|에이^영어) = ''A''|에이^영어 ⋅ ''I''|아이^영어 = ''A''|에이^영어이며, 이는 ''A''|에이^영어 ⋅ ''B''|비^영어 + ''A''|에이^영어 ⋅ ''A''|에이^영어 = ''I''|아이^영어 + ''B''|비^영어 = ''A''|에이^영어와 같다.

이 체는 네 개의 원소를 가진 유한체 또는 '''갈루아 체'''라고 하며, 또는 로 표시된다.^[8] ''O''|오^영어와 ''I''|아이^영어로 구성된 부분 집합(위 표에서 빨간색으로 강조됨)은 또는 로 알려진 이진 체이다.

6. 역사

체의 개념은 다항 방정식의 해법 문제, 대수적 수론, 대수 기하학이라는 세 가지 대수적 분야에서 발전하였다.^[17] 1770년 조제프루이 라그랑주는 세제곱 다항식의 근을 순열하여 얻는 식이 단 두 개의 값만 생성한다는 것을 관찰하여 체 개념의 첫 단계를 밟았다. 그는 스키피오 델 페로와 프랑수아 비에트의 고전적인 풀이 방법을 개념적으로 설명했다.^[18] 라그랑주는 4차 방정식에 대한 유사한 관찰과 함께 체와 군의 개념으로 이어지는 연결고리를 만들었다.^[19] 알렉상드르테오필 방데르몽드와 카를 프리드리히 가우스는 ''산술의 연구''(1801)에서 소수 방정식에 대한 연구를 통해 순환 갈루아 군을 연구했다. 가우스는 이를 통해 특정 조건을 만족하는 정n각형을 작도할 수 있음을 보였다. 파올로 루피니는 오차 방정식이 대수적으로 풀 수 없다고 주장했으나, 그의 주장은 결함이 있었고, 1824년 닐스 헨리크 아벨이 이 틈을 메웠다.^[20] 1832년 에바리스트 갈루아는 다항 방정식이 대수적으로 풀릴 수 있는 필요충분 조건을 고안하여 갈루아 이론을 확립했다. 아벨과 갈루아는 대수적 수체를 사용했지만, 체나 군의 명시적인 개념은 없었다.

1871년 리하르트 데데킨트는 실수 또는 복소수 집합에 대해 "몸체"를 의미하는 독일어 단어 ''Körper''를 도입했다.^[21] 영어 용어 "field"는 1893년 무어(Moore)에 의해 도입되었다.^[22]

1881년 레오폴트 크로네커는 ''합리성의 영역''을 정의했는데, 이는 현대적인 용어로 유리식의 체이다. 크로네커의 개념은 모든 대수적 수의 체를 포함하지 않았지만, 체의 요소에 대한 구체적인 가정을 하지 않아 데데킨트의 개념보다 추상적이었다. 그는 체 Q(π)를 추상적으로 합리 함수 체 Q(X)로 해석했다. 이전에는 조제프 리우빌의 연구를 통해 초월수의 예가 알려졌으며, 샤를 에르미트와 페르디난트 폰 린데만은 각각 e와 π의 초월성을 증명했다.^[23]

1893년 하인리히 마틴 베버는 추상 체에 대한 첫 번째 명확한 정의를 제시했다.^[24] 베버의 개념에는 체 F_p가 포함되었다. 주세페 베로네세는 형식적 멱급수의 체를 연구했고, 이는 쿠르트 헨젤로 하여금 p-진수의 체를 도입하도록 이끌었다. 1910년 에른스트 슈타이니츠는 추상 체 이론에 대한 지식을 종합하고 공리적으로 연구했다. 갈루아 이론, 체 구성, 기본적인 개념 섹션의 대부분 정리는 슈타이니츠의 연구에서 찾을 수 있다. 1927년 에밀 아르틴과 오토 슈라이어는 체에서의 순서 개념을 연구했다.^[25] 에밀 아르틴은 1928년부터 1942년까지 갈루아 이론을 재개발하여, 원시 원소 정리에 대한 의존성을 제거했다.

7. 구성

가환환에서 체를 구성하는 방법에는 분수체 구성과 잉여체 구성 두 가지가 있다. 분수체 구성은 정역에서 유리수를 구성하는 방식과 유사하게 두 원소의 분수를 이용하여 새로운 체를 만든다. 예를 들어 정수 '''Z'''|Z^영어의 분수체는 유리수 '''Q'''|Q^영어이다. 잉여체 구성은 가환환의 극대 아이디얼을 이용한 몫환을 통해 체를 구성한다. 예를 들어, '''Z'''|Z^영어의 잉여체는 유한체 '''F'''_''p''|Fp^영어이다.

7. 1. 환으로부터의 구성

7. 2. 분수체

7. 2. 1. 잉여체

7. 3. 더 큰 체 안에서의 구성

8. 추가 구조를 갖는 체

체는 특정 분야의 요구에 맞춰 그 개념을 확장한 다양한 변형이 존재한다.

대수적으로 닫힌 체는 임의의 다항 방정식에 대해, 그 방정식의 해가 항상 그 체 안에 존재하는 체이다.^[33] 예를 들어, 대수학의 기본 정리에 의해 복소수 체는 대수적으로 닫혀있다. 반면, 유리수와 실수 체는 방정식 `x`² + 1 = 0 의 해가 존재하지 않으므로 대수적으로 닫혀있지 않다. 어떤 체 `F`를 포함하는 체가 `F`의 대수적 확대이면서 대수적으로 닫혀있다면, 이를 `F`의 ''대수적 폐포''라고 부른다. 모든 체는 대수적 폐포를 가지며, 이는 동형 사상까지 유일하다.^[34]

아르틴-슈라이어 정리에 따르면, 대수적 폐포가 원래 체의 유한 확대인 특별한 경우, 확장의 차수는 반드시 2이고, 원래 체는 실수 체와 원소적으로 동치이다. 이러한 체는 실수 닫힌 체라고도 불린다.

8. 1. 순서체

8. 2. 위상체

체 '''Q'''_''p''는 수론과 ''p''-진법 해석에 사용된다. '''Q'''_''p''의 대수적 폐포는 고유한 노름을 가지지만 완비적이지 않다. 그러나 이 대수적 폐포의 완비화는 대수적으로 닫혀 있으며, 복소 ''p''-진수의 체라고 불리며 '''C'''_''p''로 표시된다.^[41]

8. 2. 1. 국소체

• Q|p^영어의 유한 확장 (표수가 0인 국소체)
• Corps de séries formelles de Laurent|로랑 급수체^프랑스어 F|p((t))^영어의 유한 확장 (표수가 p^영어인 국소체).

• 거의 모든 Q|p^영어에 대해 참인 일계 논리 명제는 거의 모든 F|p((t))^영어에 대해서도 참이다. 이것의 한 가지 적용은 Q|p^영어에서 동차 다항식의 영점을 설명하는 악-코헨 정리이다.
• 두 체의 온순 분기 확장은 서로 일대일 대응 관계에 있다.
• p^영어 (Q|p^영어에서) 또는 t^영어 (F|p((t))^영어에서)의 임의의 p^영어 거듭제곱근을 추가하면, 이러한 체들의 (무한) 확장인 퍼펙토이드 체가 생성된다. 놀랍게도, 이 두 체의 갈루아 군은 동형이며, 이는 이 두 체 사이의 놀라운 평행성의 첫 번째 징후이다.^[43]

8. 3. 미분체

9. 갈루아 이론

갈루아 이론은 덧셈과 곱셈의 산술 연산에서의 대칭성을 연구하여 체의 대수적 확대를 연구한다. 이 분야에서 중요한 개념은 유한 확대인 갈루아 확대 ''F'' / ''E''^영어인데, 이는 정의에 따라 분리가능 확대와 정규 확대이다. 원시 원소 정리는 유한 분리 가능한 확대가 필연적으로 단순 확대임을 보여준다.^[45]

유한 갈루아 확대의 경우, 갈루아 군 Gal(''F''/''E'')^영어은 ''E''^영어에서 자명한 ''F''^영어의 체 자기 동형 사상의 군이다(즉, 덧셈과 곱셈을 보존하고 ''E''^영어의 원소를 자신에게 보내는 전단사 함수 ''σ'' : ''F'' → ''F''^영어). 이 군의 중요성은 갈루아 이론의 기본 정리에서 비롯되는데, 이는 Gal(''F''/''E'')^영어의 부분군 집합과 확대 ''F''/''E''^영어의 중간 확대 집합 사이에 명시적인 일대일 대응을 구성한다.^[46] 이러한 대응을 통해 군론적 속성은 체에 대한 사실로 변환된다.

10. 체의 불변량

체의 기본적인 불변량에는 표수와 소체에 대한 초월 차수가 있다. 초월 차수는 소체에 대해 대수적으로 독립인 체 내 원소의 최대 개수로 정의된다. 두 대수적으로 닫힌 체는 이 두 데이터가 일치할 경우에만 동형이다.^[49] 예를 들어, ('''Q'''_''p''^한국어의 대수적 폐포), '''C'''_''p''^영어 ('''Q'''_''p''^한국어의 완비화의 대수적 폐포)와 '''C'''^영어 (복소수체)는 (위상적인 체로서는 동형이 아니지만) 동형이다.

10. 1. 체의 모형 이론

10. 2. 절대 갈루아 군

11. 응용

체는 선형대수학, 가환대수학, 암호학, 부호 이론, 기하학, 수론 등 다양한 분야에 응용된다.

11. 1. 선형대수학과 가환대수학

11. 2. 유한체: 암호학과 부호 이론

11. 3. 기하학: 함수체

11. 4. 수론: 전역체

12. 관련 개념

사원수, 준체, 근체, 반체와 같이 체와 관련된 다양한 다른 약한 대수 구조가 있다.^[60] 하나의 원소를 갖는 체는 유한체 '''F'''_''p''^영어의 극한으로 제안되는 개념이며, 이때 ''p''^영어는 1^영어에 가깝다.^[60]

12. 1. 사체 (Division rings)

참조

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_[18] 서적
_[19] 서적
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_[21] 웹사이트 "Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (F)" http://jeff560.tripo[...]
_[22] 서적
_[23] 서적
_[24] 서적
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_[26] 서적
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_[28] 서적
_[29] 서적
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_[32] 서적
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_[34] 간행물 Mathoverflow post https://mathoverflow[...]
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_[37] 서적
_[38] 서적
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_[40] 서적
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_[58] 서적
_[59] 서적
_[60] 서적
_[61] 서적
_[62] 서적
_[63] 문서 本記事において単に体と言った場合「可換」体を意味するものとする。