형식적 실체

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1. 개요

형식적 실체는 체 K에 대해 수준이 무한대인 체를 의미하며, 이는 -1을 제곱수의 합으로 나타낼 수 없음을 뜻한다. 형식적 실체는 순서체로 만들 수 있으며, 표수는 0이다. 모든 실폐체는 형식적 실체에 속하며, 대수적 수체의 수준은 1, 2, 4 또는 무한대이다. 형식적 실체이면서 진정한 대수적 확대를 가지지 않는 체는 실폐체라고 불린다.

형식적 실체

정의

설명	형식적으로 실체는 순서 매김을 장착할 수 있는 체다. 이는 모든 제곱의 합이 0인 경우 각 항이 0이어야 함을 의미한다. 형식적으로 실체는 -1이 제곱의 합이 될 수 없는 체로도 정의할 수 있다.

예시

예시	실수의 체 (R) 유리수의 체 (Q) 대수적 수체 실수를 계수로 가지는 유리 함수체 (R(X)) 형식적으로 실체인 체의 형식적 제곱근을 첨가하여 얻어지는 체

특성

특성	형식적으로 실체인 체는 반드시 특성이 0이다. 특성이 0이 아닌 체는 유한한 체이며, 유한한 체에서 -1은 항상 제곱의 합으로 표현될 수 있다.

실체 폐체	형식적으로 실체인 체의 실체 폐체는 대수적으로 닫힌 체는 아니다.
양의 준순서	형식적으로 실체인 체의 제곱의 합은 그 체의 양의 준순서를 형성한다.

참고 문헌	永田雅宜 (1985). 《可換体論》. 基礎数学選書 12. 森北出版. ISBN 4-627-02120-2.

2. 정의

체 $K$ 의 수준(水準, Stufe^독일어) $\operatorname{Stufe}K$ 는 $-1$ 을 제곱수들의 합으로 나타낼 때 필요한 항의 최소 개수를 의미한다. 만약 $-1$ 을 제곱수들의 합으로 나타낼 수 없다면, 그 체의 수준은 무한대( $\infty$ )로 정의된다. 수학적으로 표현하면 다음과 같다.
: $\operatorname{Stufe}K=\min\left\{|S|\colon\sum_{s\in S}s^2=-1,\;S\subseteq K,|S|<\aleph_0\right\}\in\mathbb Z^+\cup\{\infty\}$

어떤 체 $K$ 가 형식적 실체(formally real field^영어)라는 것은 그 체의 수준이 무한대( $\operatorname{Stufe}K=\infty$ )인 경우를 말한다. 즉, 형식적 실체에서는 $-1$ 을 제곱수들의 합으로 나타낼 수 없다.

형식적 실체는 다음과 같은 여러 동치인 조건들을 만족한다.
* 수준이 무한대이다: $\operatorname{Stufe}K=\infty$ . 이는 정의 그 자체이다.
* -1은 제곱수의 합이 아니다: $K$ 의 어떤 원소들의 제곱합으로도 $-1$ 을 만들 수 없다. 즉, 임의의 자연수 $n$ 과 $K$ 의 원소 $x_1, x_2, \dots, x_n$ 에 대해 항상 $x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2 \neq -1$ 이 성립한다.
* 제곱수의 합이 0이면 각 항이 0이다: $K$ 의 원소들의 제곱합이 0이 되는 유일한 방법은 합하는 모든 원소가 0인 경우뿐이다. 즉, $K$ 의 원소들로 구성된 임의의 유한 중복집합 $S$ 에 대하여, 만약 $\textstyle\sum_{s\in S}s^2=0$ 이라면 $S$ 의 모든 원소는 0이다.
* [[순서체]]가 될 수 있다: $K$ 위에 전순서 관계를 정의하여 순서체 구조를 부여할 수 있다. 이는 형식적 실체가 양의 원소와 음의 원소를 구분하는 순서를 가질 수 있음을 의미한다.
* 표수가 2가 아니고, 제곱수의 합이 아닌 원소가 존재한다: 체의 표수가 2가 아니며(즉, $1+1 \neq 0$ ), 모든 원소가 제곱수들의 합으로 표현되지는 않는다. (이는 피타고라스 수가 무한대임을 의미하기도 한다.)

이 조건들이 서로 동치라는 것은 비교적 쉽게 증명될 수 있다. 특히, 순서체가 될 수 있는 체는 반드시 형식적 실체여야 한다. 반대로 형식적 실체는 항상 순서체가 될 수 있는데, 이는 Zorn의 보조정리를 이용하여 양의 원뿔의 존재성을 보이는 방식으로 증명된다.

형식적 실체의 표수는 반드시 0이다. 왜냐하면 $1 = 1^2$ 은 제곱수이고, 형식적 실체에서는 제곱수들의 합이 0이 되려면 모든 항이 0이어야 하므로, $1^2 + 1^2 + \dots + 1^2$ (1을 유한 번 더한 것) 형태의 합은 절대 0이 될 수 없기 때문이다. 만약 표수가 $p > 0$ 인 소수라면 1을 $p$ 번 더하면 0이 되므로, 이는 형식적 실체의 조건과 모순된다. 따라서 형식적 실체는 표수 0을 가져야 한다.

3. 성질

모든 체 $K$ 의 수준(Stufe)은 항상 무한대이거나 2의 거듭제곱이다.
: $\operatorname{Stufe}K\in\{\infty,1,2,4,8,\dots\}$
만약 $K$ 의 표수가 2라면, 그 수준은 항상 1이다.
: $\operatorname{char}K=2\implies\operatorname{Stufe}K=1$
만약 $K$ 의 표수가 0보다 크다면, 그 수준은 항상 1 또는 2이다.
: $\operatorname{char}K>0\implies\operatorname{Stufe}K\in\{1,2\}$
만약 $K$ 에서 모든 원소가 제곱근을 갖는다면, $K$ 의 수준은 항상 1이다.
: $\left(\forall a\in K\exists b\in K\colon b^2=a\right)\implies\operatorname{Stufe}K=1$

지겔 정리(Siegel’s theorem^영어)에 따르면, 대수적 수체의 수준은 1, 2, 4, 또는 ∞이다.

체 $K$ 의 수준은 피타고라스 수 $\operatorname{Pyth}K$ 와 다음과 같은 부등식을 만족시킨다.
: $\operatorname{Pyth}K\le\operatorname{Stufe}K+1$
형식적 실수가 아닌 체의 경우, 다음이 성립한다.
: $\operatorname{Stufe}K<\infty\implies\operatorname{Stufe}K\le\operatorname{Pyth}K\le\operatorname{Stufe}K+1$

체 $F$ 가 형식적 실체라는 것은 다음 동등한 조건 중 하나를 만족하는 경우이다.
* $-1$ 은 $F$ 에서 제곱수의 합으로 나타낼 수 없다. 즉, $F$ 의 수준(Stufe)은 무한대이다. 이는 $F$ 의 표수가 0이어야 함을 의미한다. 왜냐하면 표수 $p$ 인 체에서는 $-1$ 이 1을 $p-1$ 번 더한 것과 같기 때문이다. 이 조건은 일계 논리에서 각 변수의 수에 대해 하나의 문장으로 표현될 수 있다: $\forall x_1 (-1 \ne x_1^2)$ , $\forall x_1 x_2 (-1 \ne x_1^2 + x_2^2)$ , ...
* $F$ 의 표수는 2가 아니며, $F$ 에서 제곱수의 합으로 나타낼 수 없는 원소가 존재한다.
* $F$ 의 원소들의 제곱의 합이 0과 같다면, 합에 포함된 각 원소는 반드시 0이어야 한다.

이 세 조건이 동등하다는 것은 쉽게 알 수 있다. 또한, 순서체는 이 세 조건을 만족해야 한다.

정의에 따라 형식적 실체에서 $1^2 + 1^2 + \dots + 1^2$ 형태의 원소가 0이 될 수 없으므로( $1 = 1^2$ 은 제곱수), 형식적 실체의 표수는 반드시 0이다.

모든 순서체는 형식적 실체이다. 순서체에서는 모든 제곱수가 양수이고 그 합도 양수이지만, $-1$ 은 양수가 아니기 때문이다. 역으로, 아르틴과 슈라이어는 모든 형식적 실체 $F$ 에 적절한 순서 $\le$ 를 부여하여 순서체 $(F, \le)$ 로 만들 수 있음을 증명했다. 이는 $F$ 의 제곱원의 합 전체가 이루는 부분 집합 $S$ 는 전양의 원뿔(prepositive cone)을 이루므로, 초른의 보조정리에 의해 $S$ 를 포함하고 $-1$ 을 포함하지 않는 극대 전양의 원뿔로서 양수뿔 $P$ 를 얻을 수 있기 때문이다. 이때 순서 $\le$ 를
: $a \le b \iff b - a \in P$
로 정의하면 $(F, \le)$ 는 순서체가 된다.

모든 실폐체는 형식적 실체이다. 형식적 실체이면서 더 이상 형식적 실체인 대수적 확대를 가지지 않는 체는 실폐체이다. 형식적 실체 $K$ 와 $K$ 를 포함하는 대수적으로 닫힌 체 Ω가 주어졌을 때, $K$ 를 포함하는 Ω 내의 실폐체가 존재한다. 이를 $K$ 의 실폐포(real closure^영어)라고 하며, 유일하게 존재한다. 실폐체는 유일한 방식으로 순서를 정할 수 있으며, 음이 아닌 원소는 정확히 제곱수이다.

4. 순서체와의 관계

순서체는 반드시 형식적 실체이다. 순서체에서는 모든 제곱 원소가 양수이고, 제곱수들의 합 역시 양수이다. 반면, -1은 양수가 아니므로 제곱수의 합으로 표현될 수 없다. 따라서 순서체는 형식적 실체의 조건(-1이 제곱수의 합이 아님)을 만족한다.

역으로, 모든 형식적 실체는 적절한 전순서를 부여하여 순서체로 만들 수 있다. 이는 에밀 아르틴과 오토 슈라이어가 증명한 아르틴-슈라이어 정리이다. 증명의 핵심 아이디어는 다음과 같다. 형식적 실체 F에서 제곱수들의 합으로 이루어진 집합 S는 전 양수뿔(prepositive cone)을 이룬다. 초른의 보조정리를 이용하면, S를 포함하면서 -1은 포함하지 않는 극대 전 양수뿔, 즉 양수뿔 P ⊂ F를 찾을 수 있다. 이 양수뿔 P를 사용하여 체 F에 순서 $\le$ 를 다음과 같이 정의할 수 있다.
$a \le b \iff b - a \in P$
이렇게 정의된 순서 $\le$ 에 대해 $(F, \le)$ 는 순서체가 된다.

5. 예

대표적인 체의 수준은 다음과 같다. 체의 수준이 무한대(∞)인 경우, 그 체는 형식적 실체이다.

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좌우로 밀어서 보기

체	수준
대수적으로 닫힌 체	1
실폐체	∞
유리수체 $\mathbb Q$	∞
유한체 $\mathbb F_q$ , $q\equiv3\pmod4$	2
유한체 $\mathbb F_q$ , $q\not\equiv3\pmod4$	1
비아르키메데스 국소체 $K$ , 이산 값매김환 $\mathcal O_K$ 의 잉여류체 $\mathbb F_{p^n}$ 의 표수가 홀수인 경우	$p$
2진수체 $\mathbb Q_2$	4
가우스 유리수 $\mathbb Q(\sqrt{-1})$	1
이차 수체 $\mathbb Q(\sqrt{-2})$	2
이차 수체 $\mathbb Q(\sqrt{-7})$	4

* 실수체 R나 유리수체 Q는 수준이 ∞이므로 형식적 실체이다.
* 반면, 복소수체 C는 수준이 1이므로 형식적 실체가 아니다. 실제로,

-1 = i^2

와 같이 -1이 C의 원소인 i의 제곱으로 표현될 수 있다.

6. 실폐체

자신 외에 다른 형식적 실 대수적 확대를 갖지 않는 형식적 실체를 실폐체(real closed field)라고 한다. 즉, 형식적 실체 R가 실폐체라는 것은, R를 포함하는 형식적 실 대수적 확대체 E가 있다면 반드시 E = R이라는 의미이다.

실폐체는 다음과 같은 중요한 성질을 가진다.
* 임의의 홀수 차수 다항식은 적어도 하나의 근을 가진다.
* 모든 양의 원소는 제곱근을 가지며, 이는 그 체의 유일한 순서에서 음이 아닌 원소가 정확히 제곱수라는 것과 같다.
* 유일한 방식으로 순서를 정하여 순서체로 만들 수 있다.

임의의 형식적 실체 K에 대해, K를 포함하는 대수적으로 닫힌 체 Ω 안에는 K를 포함하는 실폐체인 부분체(또는 체 확대)가 존재한다. 이러한 실폐체를 K의 실폐포(real closure)라고 부른다.