바르그만-위그너 방정식

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1. 개요
2. 역사
- 2.1. 초기 연구
- 2.2. 바르그만-위그너 방정식 발표
3. 방정식의 설명
4. 로런츠 군 구조
- 4.1. 표현 방식
- 4.2. 스핀 표현
5. 구부러진 시공간에서의 공식화
참조

1. 개요

바르그만-위그너 방정식은 전하가 없는 스핀 j를 가진 입자를 설명하는 상대론적 파동 방정식으로, 디랙 방정식과 유사한 형태를 갖는다. 1948년 발렌타인 바르그만과 유진 위그너가 발표했으며, 로렌츠 군의 표현과 전자기장과의 상호작용에 대한 특징을 가진다. 이 방정식은 구부러진 시공간에서도 공식화될 수 있으며, 감마 행렬과 스피너의 공변도함수를 사용하여 표현된다.

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바르그만-위그너 방정식
개요
방정식 이름	바르그만-위그너 방정식
분야	이론물리학, 수학
유형	상대론적 파동 방정식
창시자	발렌틴 바르그만, 유진 위그너
발표 연도	1948년
수학적 정보
변수	파동 함수
연산자	스핀 연산자, 운동량 연산자
대칭성	푸앵카레 군
관련 개념	상대론적 양자역학, 군론, 표현론
활용
응용 분야	기본 입자 분류, 상대론적 양자장론
중요성	임의의 스핀을 갖는 입자를 기술하는 데 사용
관련 항목
관련 방정식	클라인-고든 방정식 디랙 방정식 프로카 방정식

2. 역사

폴 디랙은 1928년에 디랙 방정식을 발표했고, 1936년에 피에르츠와 파울리가 1939년에 동일한 방정식을 발견하기 약 10년 전에 이를 반정수 스핀 입자로 확장했다.^[5] 유진 위그너는 1937년에 비동질 로런츠 군(푸앵카레 군)의 유니터리 표현에 관한 논문을 썼으며,^[1] 에토레 마요라나와 디랙이 함수에 적용된 무한소 연산자를 사용했다고 지적하고, 표현을 기약, 계승, 유니터리로 분류했다.

1948년에 발렌타인 바르그만과 위그너는 상대론적 파동 방정식에 대한 군론적 토론에 대한 논문에서 이제 그들의 이름을 딴 방정식을 발표했다.^[2]

2. 1. 초기 연구

폴 디랙은 1928년에 처음으로 디랙 방정식을 발표했고, 이후 1936년에 피에르츠와 파울리가 1939년에 동일한 방정식을 발견하기 약 10년 전에 이를 반정수 스핀 입자로 확장했다.^[5] 유진 위그너는 1937년에 비동질 로런츠 군(푸앵카레 군)의 유니터리 표현에 관한 논문을 썼다.^[1] 위그너는 에토레 마요라나와 디랙이 함수에 적용된 무한소 연산자를 사용했다고 지적하며, 표현을 기약, 계승, 유니터리로 분류했다.

2. 2. 바르그만-위그너 방정식 발표

유진 위그너는 1937년에 비동질 로런츠 군(푸앵카레 군)의 유니터리 표현에 관한 논문을 썼다.^[1] 위그너는 에토레 마요라나와 디랙이 함수에 적용된 무한소 연산자를 사용했다고 지적하며, 표현을 기약, 계승, 유니터리로 분류했다.

1948년, 발렌타인 바르그만과 위그너는 상대론적 파동 방정식에 대한 군론적 토론에 대한 논문에서 현재 그들의 이름을 딴 방정식을 발표했다.^[2]

3. 방정식의 설명

바르그만-위그너 방정식은 행렬 곱셈에 따라 행렬 연산자를 한 번에 하나의 비스피너 첨자 로 축소하므로 디랙 방정식의 일부 속성을 그대로 가진다.^[5]

로런츠 공변성: 방정식은 로런츠 변환에 대해 불변이다. 즉, 서로 다른 관성 좌표계에서 동일한 형태로 유지된다.
클라인-고든 방정식 만족: 파동함수 의 모든 성분은 클라인-고든 방정식을 만족한다. 이는 상대론적 에너지-운동량 관계 ''E''² = (''pc'')² + (''mc''²)²^영어를 만족함을 의미한다.
두 번째 양자화 가능성: 정준 양자화를 통해 방정식을 양자장론으로 확장할 수 있다.

최소 결합을 통해 전자기장을 통합할 수 있는 디랙 방정식과 달리, 바르그만-위그너 형식은 전자기장 상호작용을 통합할 때 본질적인 모순과 어려움을 겪는다. 즉, 로 변경하는 것은 불가능하다.^[8]^[6] 여기서 는 입자의 전하이고, 는 전자기 4-포텐셜이다. 따라서 입자의 전자기 영향을 조사하기 위해서는 파동 방정식 자체에 상호 작용을 포함하는 대신 입자에 대한 전자기 4전류와 다중극 모멘트를 유도하는 간접적인 방법을 사용해야 한다.^[7]

3. 1. 기본 형태

전하 없는 스핀 자유 입자에 대해 바르그만-위그너 방정식은 각각 디랙 방정식과 비슷한 수학적 형식을 갖는 개의 결합된 선형 편미분 방정식들의 집합이다. 전체 방정식 집합은 다음과 같다.^[5]^[4]^[3]

:

\begin{align}& \left (-\gamma^\mu \hat{P}_\mu + mc \right )_{\alpha_1 \alpha_1'}\psi_{\alpha'_1 \alpha_2 \alpha_3 \cdots \alpha_{2j}} = 0 \\& \left (-\gamma^\mu \hat{P}_\mu + mc \right )_{\alpha_2 \alpha_2'}\psi_{\alpha_1 \alpha'_2 \alpha_3 \cdots \alpha_{2j}} = 0 \\& \qquad \vdots \\& \left (-\gamma^\mu \hat{P}_\mu + mc \right )_{\alpha_{2j} \alpha'_{2j}}\psi_{\alpha_1 \alpha_2 \alpha_3 \cdots \alpha'_{2j}} = 0 \\\end{align}

이들은 다음 패턴을 따른다: 에 대해

:

\left (-\gamma^\mu \hat{P}_\mu + mc \right )_{\alpha_r \alpha'_r}\psi_{\alpha_1 \cdots \alpha'_r \cdots \alpha_{2j}} = 0

(일부 저자, 예를 들어 Loide 및 Saar^[4]는 를 사용하여 2를 제거한다. 또한 스핀 양자수는 일반적으로 양자 역학에서 로 표시되지만 이 맥락에서는 가 문헌에서 더 일반적이다.)

전체 파동함수 는 성분

:

\psi_{\alpha_1 \alpha_2 \alpha_3 \cdots \alpha_{2j}} (\mathbf{r},t)

을 가지고 랭크-2 ''j'' 4성분 스피너장이다. 각 첨자는 1, 2, 3 또는 4의 값을 취하므로 전체 스피너장 은 개의 성분이 있다. 하지만 완전히 대칭적인 파동함수에서는 로 줄어든다. 또한, 들은 감마 행렬이고,

:

\hat{P}_\mu = i\hbar \partial_\mu

은 4-운동량 연산자이다.

각 방정식 을 구성하는 연산자는 행렬로 인해 행렬이며, 항은 단위 행렬에 스칼라곱이다.(일반적으로 단순화를 위해 작성되지 않음) 명시적으로 감마 행렬의 디랙 표현에서는 다음과 같다.^[5]

:

\begin{align}

\gamma^\mu \hat{P}_\mu + mc & = -\gamma^0 \frac{\hat{E}}{c} - \boldsymbol{\gamma}\cdot(-\hat{\mathbf{p}}) + mc \\ [6pt]

& = -\begin{pmatrix}I_2 & 0 \\0 & -I_2 \\\end{pmatrix}\frac{\hat{E}}{c}+\begin{pmatrix}0 & \boldsymbol{\sigma}\cdot\hat{\mathbf{p}} \\

\boldsymbol{\sigma}\cdot\hat{\mathbf{p}} & 0 \\

\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}I_2 & 0 \\0 & I_2 \\\end{pmatrix}mc \\ [8pt]& =\begin{pmatrix}

\frac{\hat{E}}{c}+mc & 0 & \hat{p}_z & \hat{p}_x - i\hat{p}_y \\

0 & -\frac{\hat{E}}{c}+mc & \hat{p}_x + i\hat{p}_y & -\hat{p}_z \\

\hat{p}_z & -(\hat{p}_x - i\hat{p}_y) & \frac{\hat{E}}{c}+mc & 0 \\
(\hat{p}_x + i\hat{p}_y) & \hat{p}_z & 0 & \frac{\hat{E}}{c}+mc \\

\end{pmatrix} \\\end{align}

여기서 는 파울리 행렬의 벡터이고, ''E''는 에너지 연산자이고, 는 3-운동량 연산자 이고, 는 단위 행렬을 나타내며, 두 번째 줄의 0은 실제로 영 행렬 블록이다.

위의 행렬 연산자는 한 번에 하나의 비스피너 첨자 로 축소되므로 ( 행렬 곱셈 참조) 디랙 방정식의 일부 속성은 바르그만-위그너 방정식에도 적용된다.

방정식은 로런츠 공변한다.
해 의 모든 성분도 클라인-고든 방정식을 만족하므로 상대론적 에너지-운동량 관계를 충족한다.

::

E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2

두 번째 양자화는 여전히 가능하다.

최소 결합을 통해 전자기장을 통합할 수 있는 디랙 방정식과 달리 바르그만-위그너 형식은 전자기장 상호작용이 통합될 때 본질적인 모순과 어려움을 포함한다. 즉, 로 변경하는 것은 불가능하다. 여기서 는 입자의 전하이고 는 전자기 4-포텐셜이다.^[8]^[6] 입자의 전자기 영향을 조사하기 위한 간접적인 접근 방식은 파동 방정식 자체에 상호 작용을 포함하는 대신 입자에 대한 전자기 4전류와 다중극 모멘트를 유도하는 것이다.^[7]

3. 2. 연산자 구성

4-momentum operator^영어와 감마 행렬은 다음과 같다.^[5]^[4]^[3]

:

\hat{P}_\mu = i\hbar \partial_\mu

각 방정식

(-\gamma^\mu \hat{P}_\mu + mc)

를 구성하는 연산자는

\gamma^\mu

행렬로 인해 행렬이며,

mc

항은 단위 행렬에 스칼라곱을 한 것이다.(일반적으로 단순화를 위해 작성되지 않음) 명시적으로 감마 행렬의 디랙 표현에서는 다음과 같다.^[5]

:

\begin{align}

\gamma^\mu \hat{P}_\mu + mc & = -\gamma^0 \frac{\hat{E}}{c} - \boldsymbol{\gamma}\cdot(-\hat{\mathbf{p}}) + mc \\ [6pt]

& = -\begin{pmatrix}I_2 & 0 \\0 & -I_2 \\\end{pmatrix}\frac{\hat{E}}{c}+\begin{pmatrix}0 & \boldsymbol{\sigma}\cdot\hat{\mathbf{p}} \\

\boldsymbol{\sigma}\cdot\hat{\mathbf{p}} & 0 \\

\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}I_2 & 0 \\0 & I_2 \\\end{pmatrix}mc \\ [8pt]& =\begin{pmatrix}

\frac{\hat{E}}{c}+mc & 0 & \hat{p}_z & \hat{p}_x - i\hat{p}_y \\

0 & -\frac{\hat{E}}{c}+mc & \hat{p}_x + i\hat{p}_y & -\hat{p}_z \\

\hat{p}_z & -(\hat{p}_x - i\hat{p}_y) & \frac{\hat{E}}{c}+mc & 0 \\
(\hat{p}_x + i\hat{p}_y) & \hat{p}_z & 0 & \frac{\hat{E}}{c}+mc \\

\end{pmatrix} \\\end{align}

여기서

\boldsymbol{\sigma} = (\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3) = (\sigma_x, \sigma_y, \sigma_z)

는 파울리 행렬의 벡터이고,

E

는 에너지 연산자이고,

\mathbf{p} = (p_1, p_2, p_3) = (p_x, p_y, p_z)

는 3-운동량 연산자 이고,

I_2

는 단위 행렬을 나타내며, 두 번째 줄의 0은 실제로 영 행렬 블록이다.

3. 3. 방정식의 속성

바르그만-위그너 방정식은 다음과 같은 중요한 속성들을 갖는다.^[5]^[4]^[3]

로런츠 공변성: 방정식은 로런츠 변환에 대해 불변이다. 즉, 서로 다른 관성 좌표계에서 동일한 형태로 유지된다.
클라인-고든 방정식 만족: 파동함수 ψ의 모든 성분은 클라인-고든 방정식을 만족한다. 이는 상대론적 에너지-운동량 관계 $E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2$ 를 만족함을 의미한다.
두 번째 양자화 가능성: 정준 양자화를 통해 방정식을 양자장론으로 확장할 수 있다.

하지만, 디랙 방정식과 달리 바르그만-위그너 방정식은 전자기장과의 상호작용을 직접적으로 포함할 때 모순이 발생한다. 최소 결합(

P_\mu \rightarrow P_\mu - eA_\mu

)을 통해 전자기장을 도입하는 것이 불가능하며, 여기서

e

는 입자의 전하,

A_\mu

는 전자기 4-포텐셜이다.^[8]^[6] 따라서 입자의 전자기적 효과를 연구하기 위해서는 파동 방정식 자체에 상호작용을 포함하는 대신, 입자의 전자기 4전류와 다중극 모멘트를 유도하는 간접적인 방법을 사용해야 한다.^[7]

3. 4. 전자기장과의 상호작용

디랙 방정식과 달리 바르그만-위그너 형식은 최소 결합을 통해 전자기장을 통합할 때 본질적인 모순과 어려움이 따른다. 즉,

P_\mu \rightarrow P_\mu - eA_\mu

로 변경하는 것은 불가능하다.^[8]^[6] 여기서

e

는 입자의 전하이고

A_\mu = (A_0, \mathbf{A})

는 전자기 4-포텐셜이다.

따라서 입자의 전자기 영향을 조사하기 위한 간접적인 접근 방식이 필요한데, 이는 파동 방정식 자체에 상호 작용을 포함하는 대신 입자에 대한 전자기 4전류와 다중극 모멘트를 유도하는 것이다.^[7]

4. 로런츠 군 구조

바르그만-위그너 방정식에서 로런츠 군의 표현은 다음과 같다.^[8]

하위 섹션에서 로런츠 군의 표현 방식과 스핀 표현에 대한 내용이 자세하게 다루어지고 있으므로, 여기서는 로런츠 군 표현에 대한 간략한 언급만 남긴다.

4. 1. 표현 방식

로런츠 군의 표현은 다음과 같다.^[8]

:

D^\mathrm{BW} = \bigotimes_{r=1}^{2j} \left[ D_r^{(1/2,0)}\oplus D_r^{(0,1/2)}\right]\,.

여기서 각

D_r

은 기약 표현이다. 이 표현은

j

= 1/2, 0이 아닌 한 명확한 스핀을 가지지 않는다. 기약

(A, B)

항과 이에 따른 스핀 함량을 찾기 위해 클렙슈-고르단 분해를 수행할 수 있다. 이러한 중복성은

D^{BW}

표현 하에서 변환되는 명확한 스핀

j

의 입자가 장 방정식을 충족할 것을 필요로 한다.

표현

D^{(j, 0)}

및

D^{(0, j)}

는 각각 개별적으로 스핀

j

입자를 나타낼 수 있다. 그러한 표현의 상태 또는 양자 장은 클라인-고든 방정식을 제외하고는 어떤 장 방정식도 만족하지 않는다.

4. 2. 스핀 표현

표현 및 는 각각 개별적으로 스핀 입자를 나타낼 수 있다.^[8] 그러한 표현의 상태 또는 양자 장은 클라인-고든 방정식을 제외하고는 어떤 장 방정식도 만족하지 않는다.

5. 구부러진 시공간에서의 공식화

일반 상대성 이론에서 바르그만-위그너 방정식을 다루기 위해서는 국소 민코프스키 공간에서의 감마 행렬과 스피너의 공변도함수 개념을 곡선형 시공간으로 확장해야 한다. 이러한 설정을 바탕으로 바르그만-위그너 방정식은 다음과 같이 표현된다.^[1]

: $\begin{align}& (-i\hbar\gamma^\mu \mathcal{D}_\mu + mc)_{\alpha_1 \alpha_1'}\psi_{\alpha'_1 \alpha_2 \alpha_3 \cdots \alpha_{2j}} = 0 \\& (-i\hbar\gamma^\mu \mathcal{D}_\mu + mc)_{\alpha_2 \alpha_2'}\psi_{\alpha_1 \alpha'_2 \alpha_3 \cdots \alpha_{2j}} = 0 \\& \qquad \vdots \\& (-i\hbar\gamma^\mu \mathcal{D}_\mu + mc)_{\alpha_{2j} \alpha'_{2j}}\psi_{\alpha_1 \alpha_2 \alpha_3 \cdots \alpha'_{2j}} = 0 \,.\\\end{align}$

여기서 $\gamma^\mu$ 는 곡선형 시공간에서의 감마 행렬, $\mathcal{D}_\mu$ 는 스피너의 공변도함수, $m$ 은 질량, $c$ 는 광속, $\hbar$ 는 플랑크 상수, $\psi$ 는 스피너 장을 나타낸다.

5. 1. 감마 행렬과 민코프스키 계량

국소 민코프스키 공간에서 감마 행렬은 다음 반교환 관계를 만족한다.

:

[\gamma^i, \gamma^j]_+ = 2\eta^{ij} I_4

여기서 η^''ij''^영어는 민코프스키 계량으로 diag(−1, 1, 1, 1)이다. 라틴 문자 첨자 ''i'', ''j''^영어는 0, 1, 2, 3이다. 곡선형 시공간에서는 다음과 같이 비슷하다.

:

[\gamma^\mu, \gamma^\nu]_+ = 2g^{\mu\nu}

여기서 공간 감마 행렬은 피어바인 ''b''_''i''^μ^영어와 수축되어 γ^μ 를 얻고, ''g''^μν 는 미터법 텐서이다. 그리스 문자 첨자 μ, ν^영어는 0, 1, 2, 3이다.

5. 2. 스피너의 공변도함수

스피너에 대한 공변도함수는 다음과 같이 주어진다.^[1]

:

\mathcal{D}_\mu=\partial_\mu+\Omega_\mu

스핀 접속 ω^영어에 대해 주어진 접속 Ω^영어은 다음과 같다.^[1]

:

\Omega_\mu =\frac{1}{4}\partial_\mu\omega^{ij} (\gamma_i\gamma_j-\gamma_j\gamma_i)

공변 도함수는 ψ^영어와 같이 변환된다.^[1]

:

\mathcal{D}_\mu\psi \rightarrow D(\Lambda) \mathcal{D}_\mu \psi

5. 3. 곡선형 시공간에서의 방정식

M. Kenmoku^영어에 따르면 국소 민코프스키 공간에서 감마 행렬은 반교환 관계를 충족한다.^[1]

:

[\gamma^i,\gamma^j]_{+} = 2\eta^{ij}I_4

여기서

\eta^{ij} = \operatorname{diag}(-1, 1, 1, 1)

는 민코프스키 계량이다. 라틴 문자 첨자

i, j = 0, 1, 2, 3

이다. 곡선형 시공간에서는 다음과 같이 나타낼 수 있다.^[1]

:

[\gamma^\mu,\gamma^\nu]_{+} = 2g^{\mu\nu}

여기서 공간 감마 행렬은 피어바인

b_i^\mu

와 축약하여

\gamma^\mu = b_i^\mu \gamma^i

를 얻고,

g^{\mu\nu} = b^{i\mu}b_i^\nu

는 미터법 텐서이다. 그리스 문자 첨자

\mu, \nu = 0, 1, 2, 3

이다.^[1]

스피너에 대한 공변도함수는 다음과 같이 주어진다.^[1]

:

\mathcal{D}_\mu=\partial_\mu+\Omega_\mu

스핀 접속

\omega

에 대해 주어진 접속

\Omega

는 다음과 같다.^[1]

:

\Omega_\mu =\frac{1}{4}\partial_\mu\omega^{ij} (\gamma_i\gamma_j-\gamma_j\gamma_i)

공변 도함수는

\psi

와 같이 변환된다.^[1]

:

\mathcal{D}_\mu\psi \rightarrow D(\Lambda) \mathcal{D}_\mu \psi

이 설정을 사용하면 바르그만-위그너 방정식은 다음과 같다.^[1]

:

\begin{align}& (-i\hbar\gamma^\mu \mathcal{D}_\mu + mc)_{\alpha_1 \alpha_1'}\psi_{\alpha'_1 \alpha_2 \alpha_3 \cdots \alpha_{2j}} = 0 \\& (-i\hbar\gamma^\mu \mathcal{D}_\mu + mc)_{\alpha_2 \alpha_2'}\psi_{\alpha_1 \alpha'_2 \alpha_3 \cdots \alpha_{2j}} = 0 \\& \qquad \vdots \\& (-i\hbar\gamma^\mu \mathcal{D}_\mu + mc)_{\alpha_{2j} \alpha'_{2j}}\psi_{\alpha_1 \alpha_2 \alpha_3 \cdots \alpha'_{2j}} = 0 \,.\\\end{align}

참조

_[1] 저널 On Unitary Representations Of The Inhomogeneous Lorentz Group https://web.archive.[...] 2013-02-20
_[2] 저널 Group theoretical discussion of relativistic wave equations
_[3] 저널 Wavefunctions for Particles with Arbitrary Spin https://archive.toda[...] 2012-09-17
_[4] 저널 Generalizations of the Dirac equation in covariant and Hamiltonian form
_[5] 저널 Component Minimization of the Bargman–Wigner wavefunction
_[6] 저널 The Bargmann–Wigner method in Galilean relativity http://projecteuclid[...]
_[7] 저널 Electromagnetic Properties for Arbitrary Spin Particles: Part 2 − Natural Moments and Transverse Charge Densities
_[8] 저널 Geometry of spacetime propagation of spinning particles

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