베스-추미노-위튼 모형

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1. 개요

베스-추미노-위튼 모형은 콤팩트 리만 곡면과 매끄러운 함수에 대해 정의되는 2차원 등각장론으로, 천-사이먼스 이론과 밀접한 관련이 있다. 이 모형은 리만 곡면과 리 군, 그리고 레벨(level)이라고 불리는 정수를 사용하여 정의되며, 작용(action)은 비선형 시그마 모형으로 표현된다. 베스-추미노-위튼 모형은 아핀 리 대수를 대칭 대수로 가지며, 천-사이먼스 이론과의 관계, D막, 장방정식, 스펙트럼, 장과 상관 함수, 게이지 WZW 모형 등 다양한 성질을 갖는다. 이 모형은 끈 이론, 양자 홀 효과, 블랙홀 등 다양한 분야에 응용되며, 율리우스 베스, 브루노 추미노, 세르게이 노비코프, 에드워드 위튼 등에 의해 발견되었다.

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베스-추미노-위튼 모형
핵심 정보
유형	2차원 등각 장론
관련 정보
관련 항목	베스-추미노 모형

2. 정의

G^영어를 콤팩트하고 단일 연결된 리 군으로 하고, '''g'''를 그 단순 리 대수로 한다. ''γ''를 G^영어 값을 갖는 복소 평면상의 장으로 한다. 또한, ''γ''를 리만 구면 '''S²''' 상에서 정의하고자 한다. 이것은 무한원점을 추가함으로써 복소 평면을 콤팩트화한 것이다.

베스-추미노-위튼(WZW) 모형은 γ로 정의되는 비선형 시그마 모형으로, 다음과 같은 작용을 갖는다.

: $S_k(\gamma)= - \, \frac {k}{8\pi} \int_{S^2} d^2x\,\mathcal{K} (\gamma^{-1} \partial^\mu \gamma \, , \,\gamma^{-1} \partial_\mu \gamma) + 2\pi k\, S^{\mathrm{WZ}}(\gamma).$

여기서

$\partial_\mu$ 는 편미분
합은 유클리드 계량의 인덱스를 넘는 일반적인 아인슈타인 표기법을 사용
$\mathcal{K}$ 는 '''g''' 위의 킬링 형식

따라서 첫 번째 항은 장론의 표준적인 역학적 항이다.

S^{WZ}

항은 '''베스-추미노 항''' (Wess–Zumino term)이라고 불리며, 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

S^{\mathrm{WZ}}(\gamma) = - \, \frac{1}{48\pi^2} \int_{B^3} d^3y\,\epsilon^{ijk} \mathcal{K} \left(\gamma^{-1} \, \frac {\partial \gamma} {\partial y^i} \, , \,\left[\gamma^{-1} \, \frac {\partial \gamma} {\partial y^j} \, , \,\gamma^{-1} \, \frac {\partial \gamma} {\partial y^k}\right]\right)

여기서

[,]는 교환자
''ε^ijk''는 완전 반대칭 텐서
적분은 좌표 ''yⁱ'' (''i'' = 1, 2, 3)에 대해 단위 구 $B^3$ 를 넘는다.

이 적분에서는 장 γ는 단위 구의 내부에서 정의되도록 확장된다. 호모토피군 π₂(''G'')가 항상 임의의 콤팩트한 단일 연결된 리 군 위에서는 0이 되므로, 이 확장은 언제든지 가능하다. 원래 γ는 2차원 구면

S^2 = \partial B^3

에서 정의했다.

2. 1. 리 군 위의 제르브

다음이 주어졌다고 하자.

콤팩트 단일 연결 단순 리 군 $G$ . 그 리 대수가 $\mathfrak g$ 라고 하자.

그렇다면, 리 대수 코호몰로지에 의하여,

:

\operatorname H^3(G;\mathbb Z) \cong \mathbb Z

임을 보일 수 있다. 그 생성원을

[\mu]

라고 하자. 기하학적으로, 이는

G

위의 표준적인 제르브를 이룬다.

구체적으로,

\mathfrak g

의 킬링 형식

:

B \colon \operatorname{Sym}^2\mathfrak g \to \mathbb R

및 3차 형식

:

\tilde\mu|_1 \in \bigwedge^3\mathfrak g^*

:

\tilde\mu|_1 \colon x\wedge y\wedge z\mapsto B(x,[y,z])

을 정의하고, 이를 왼쪽 평행 이동을 통해

G

전체에 다음과 같이 정의할 수 있다.

:

\tilde\mu = B(\theta\wedge [\theta\wedge\theta]) \in \Omega^3(G)

여기서

\theta\in\Omega^1(G;\mathfrak g)

는

G

의 마우러-카르탕 형식이다. 그렇다면, 3차 코호몰로지가 1차원이므로, 그 드람 코호몰로지는 항상

[\mu]

에 비례한다.

:

[\mu]=\alpha [\tilde\mu]

그렇다면,

[\mu]

의 표준적인 대표원인 3차 미분 형식을

:

\mu=\alpha\tilde\mu

로 정의할 수 있다.

2. 2. 베스-추미노-위튼 작용

리만 곡면

\Sigma

에서 리 군 G로의 매끄러운 함수

\phi

에 대한 베스-추미노-위튼 작용은 다음과 같이 정의된다.^[24]

:

\exp(\mathrm iS) = \exp(\mathrm iS_1+k\mathrm iS_2)\qquad(k\in\mathbb Z)

:

S_1 \propto \int_\Sigma -B(g^{-1}(\theta,\theta))

여기서 k는 준위(level)라고 불리는 정수이다.

S_1

의 양의 실수 스칼라배는

g

의 재정의로 흡수될 수 있다.

세계면

\Sigma

에 n개의 구멍이 존재하고, 그 경계를

C_1,\dotsc,C_n

이라고 할 때,

\exp(\mathrm iS)

는 다음과 같은 1차원 복소수 힐베르트 공간의 원소이다.

:

\exp(\mathrm iS) \in \bigotimes_{i=1}^n \mathcal L_{g\restriction C_i}

여기서

$\mathcal L$ 은 고리군 $\mathcal LG = \mathcal C^\infty(\mathbb S^1,G)$ 위의 특별한 복소수 선다발이며, 기하학적으로 이는 아핀 리 대수 $\hat{\mathfrak g}$ 의 실수 형식에 대응하는 리 군이다.
$g \restriction C_i \colon \mathbb S^1 \cong C_i \to G$ 는 $g$ 의 경곗값이다.
$\mathcal L_x$ 는 선다발 $\mathcal L$ 의, $x\in\mathcal LG$ 에서의 올이다.
$\mathcal L$ 위에는 표준적인 에르미트 내적이 주어져 있어, 위 표현은 복소수 힐베르트 공간을 이룬다.

만약

G

가 반단순 리 군일 경우에는 각 단순 성분에 다른 준위가 존재할 수 있다.

지표 표기법으로 쓰면 다음과 같다.

리 대수 $\mathfrak g$ 의 지표 $a,b,c,\dots$
$\Sigma$ 의 지표 $i,j,k,\dots$
$M_3$ 의 지표 $I,J,K,\dots$

:

S=S_1+S_2

:

S_1=-\frac{k}{8\pi}\int_{S^2}d^2x\,(Dg)^2

:

S_2=-\frac k{24\pi}\int_{B^3}d^3y\,\epsilon^{ijk}f_{abc}D_Ig^aD_Jg^bD_Kg^c

여기서

\epsilon^{IJK}

는 레비-치비타 기호,

f_{abc}

는 리 대수의 구조 상수다.

3. 작용

만약 세계면 $\Sigma$ 에 $n$ 개의 구멍이 존재하고, 그 구멍의 경계를 $C_1,\dotsc,C_n$ 이라고 할 때, 일반적으로 $\exp(\mathrm iS)$ 는 다음과 같은 1차원 복소수 힐베르트 공간의 원소이다.^[24]

: $\exp(\mathrm iS) \in \bigotimes_{i=1}^n \mathcal L_{g\restriction C_i}$

여기서

$\mathcal L$ 은 고리군 $\mathcal LG = \mathcal C^\infty(\mathbb S^1,G)$ 위의 특별한 복소수 선다발이며, 기하학적으로 이는 아핀 리 대수 $\hat{\mathfrak g}$ 의 실수 형식에 대응하는 리 군이다. (이는 고리군의 U(1)에 의한 중심 확대이다.)
$g \restriction C_i \colon \mathbb S^1 \cong C_i \to G$ 는 $g$ 의 경곗값이다. 이는 물론 고리군의 원소를 이룬다.
$\mathcal L_x$ 는 선다발 $\mathcal L$ 의, $x\in\mathcal LG$ 에서의 올이다.
$\mathcal L$ 위에는 표준적인 에르미트 내적이 주어져 있어, 위 표현은 복소수 힐베르트 공간을 이룬다.

(M_3,f,\omega)

,

(M_3',f',\omega')

두 데이터를 방향을 따라 다음과 같이 이어붙일 수 있다.

:

\tilde M_3 = M_3\cup_\Sigma M_3'

:

\tilde f\colon \tilde M_3\to G

이에 따라,

\tilde M_3

은 경계가 없는 콤팩트 3차원 유향 다양체를 이룬다. 정의에 따라서,

\mu

가 정수 계수 코호몰로지에 속하므로,

:

\int_{\tilde M_3}\tilde f^*\mu = [\tilde M_3] \frown [\mu] \in\mathbb Z

이다. (

\frown

은 호몰로지류와 코호몰로지류 사이의 교곱이다.) 이에 따라, 스토크스 정리를 사용하면,

:

\int_\Sigma(\alpha - \alpha')=\int_{M_3}\phi^*\mu - \int_{M_3'}\phi'^*\mu \in \mathbb Z

임을 알 수 있다.

따라서,

:

\exp(\mathrm iS_2) = \exp\left(2\pi\mathrm i\int_\Sigma\alpha\right)

는

(M_3,\phi,\alpha)

의 선택에 상관이 없다.

하지만,

S_2

로 인하여 오직

\exp(\mathrm iS) \in \mathbb C

만이 잘 정의될 수 있다.

3. 1. 정의

리만 곡면 Σ, 리 군 G, 복소수 k에 대해 k 레벨에서의 G-WZW 모형을 정의하면 다음과 같다. 이 모형은 작용이 장 γ:Σ → G의 함수인 비선형 시그마 모형이다.

(경계가 없는) 콤팩트 리만 곡면(세계면)

\Sigma

및 매끄러운 함수(스칼라장)

\phi\colon \Sigma\to G

가 주어졌다고 하자.

이에 대하여, 다음과 같은 추가 데이터를 생각하자.

$\partial M_3 = \Sigma$ 가 되는 3차원 유향 경계다양체 $M_3$
$f\restriction\sigma = \phi$ 가 되는 연속 함수 $f\colon M_3\to G$
$\mathrm d\omega = f^*\mu$ 가 되는 2차 미분 형식 $\omega\in\Omega^2(M_3)$

물론, 위와 같은 데이터는 유일하지 않다.

이제,

\Sigma

에 임의의 리만 계량

g

를 부여하자.

G

의 '''베스-추미노-위튼 작용'''은 다음과 같다.

:

\exp(\mathrm iS) = \exp(\mathrm iS_1+k\mathrm iS_2)\qquad(k\in\mathbb Z)

:

S_1 \propto \int_\Sigma -B(g^{-1}(\theta,\theta))

(

S_1

의 양의 실수 스칼라배는

g

의 재정의로 흡수될 수 있다.)

k

는 '''준위'''(level^영어)라고 불리는 정수이다.

이를 작용으로 하는 고전 장론을 '''고전적 베스-추미노-위튼 모형'''이라고 한다.

이 작용은 지표로 다음과 같이 표기된다. 우선, 다음과 같은 지표를 정의하자.

리 대수 $\mathfrak g$ 의 지표 $a,b,c,\dots$
$\Sigma$ 의 지표 $i,j,k,\dots$
$M_3$ 의 지표 $I,J,K,\dots$

그렇다면, 베스-추미노-위튼 작용은 다음과 같다.

:

S=S_1+S_2

:

S_1=-\frac{k}{8\pi}\int_{S^2}d^2x\,(Dg)^2

:

S_2=-\frac k{24\pi}\int_{B^3}d^3y\,\epsilon^{ijk}f_{abc}D_Ig^aD_Jg^bD_Kg^c

여기서

\epsilon^{IJK}

는 레비-치비타 기호,

f_{abc}

는 리 대수의 구조 상수다.

이 작용은 다음과 같다.

:

S_k(\gamma)= -\frac{k}{8\pi} \int_{\Sigma} d^2x\, \mathcal{K} \left (\gamma^{-1} \partial^\mu \gamma, \gamma^{-1} \partial_\mu \gamma \right ) + 2\pi k S^{\mathrm WZ}(\gamma).

여기서

\Sigma

는 평평한 유클리드 계량을 갖추고 있고,

\partial_\mu

는 편미분,

\mathcal{K}

는

G

의 리 대수에 대한 킬링 형식이다. 이 작용의 '''베스-추미노 항'''은 다음과 같다.

:

S^{\mathrm WZ}(\gamma) = -\frac{1}{48\pi^2} \int_{\mathbf{B}^3} d^3y\, \epsilon^{ijk} \mathcal{K} \left( \gamma^{-1} \partial_i \gamma, \left[\gamma^{-1} \partial_j \gamma, \gamma^{-1} \partial_k \gamma \right]\right).

여기서

\epsilon^{ijk}

는 완전 반대칭 텐서이고,

[.,.]

는 리 괄호이다. 베스-추미노 항은 경계가

\partial \mathbf{B}^3 = \Sigma

인 3차원 다양체

\mathbf{B}^3

에 대한 적분이다.

만약

G

가 반단순 리 군일 경우에는 각 단순 성분에 다른 준위가 존재할 수 있다.

3. 2. 베스-추미노 항의 위상수학적 성질

베스-추미노 항은 3차원 다양체에 대한 적분으로 정의되는데, 이 다양체의 경계는 2차원 세계면이어야 한다. 이러한 확장이 가능하려면 호모토피 군

\pi_2(G)

가 자명해야 하며, 이는 모든 콤팩트 리 군

G

에 대해 성립한다.

주어진 사상

\gamma:\Sigma \to G

의 3차원 다양체로의 확장은 유일하지 않다. 베스-추미노-위튼 모형이 잘 정의되려면,

e^{iS_k(\gamma)}

는 확장 선택에 의존하지 않아야 한다. 베스-추미노 항은

\gamma

의 작은 변형에 불변이며, 그 호모토피류에만 의존한다. 가능한 호모토피류는 호모토피 군

\pi_3(G)

에 의해 결정된다.

모든 콤팩트 연결 단순 리 군

G

에 대해

\pi_3(G)=\mathbb{Z}

이므로,

\gamma

의 서로 다른 확장은 정수만큼 다른

S^{\mathrm WZ}(\gamma)

값을 생성한다. 따라서 레벨

k

가 정수일 때,

e^{iS_k(\gamma)}

는 동일한 값을 갖게 된다.

:

k \in \mathbb{Z}.

레벨의 정수 값은 아핀 리 대수의 표현론에서도 중요한 역할을 한다. 레벨이 양의 정수이면, 아핀 리 대수는 유니타리 최고 무게 표현을 갖는다.

\mathrm{SL}(2,\R)

와 같은 비콤팩트 단순 리 군의 경우,

\pi_3(\mathrm{SL}(2,\R))

는 자명하며, 레벨은 정수로 제한되지 않는다.^[5]

3. 3. 베스-추미노 항의 기하학적 해석

Wess–Zumino term^영어인 베스-추미노 항은 리 대수의 구조 상수를 사용하여 기하학적으로 해석할 수 있다. ''e_a''가 리 대수의 기저 벡터라면,

\mathcal{K} (e_a, [e_b, e_c])

는 리 대수의 구조 상수이다.^[22] 구조 상수는 완전 반대칭이므로, 이들은 리 군의 군 다양체에서 3-형식을 결정한다. 따라서 베스-추미노 항의 적분은 조화 3-형식의 당김을

\mathbf{B}^3

구로 나타낸 것이다. 조화 3-형식을 ''c''로, 당김을

\gamma^*

로 표기하면, 베스-추미노 항은 다음과 같이 표현된다.^[22]

:

S^{\mathrm WZ}(\gamma) = \int_{\mathbf{B}^3} \gamma^{*} c.

이 표현은 베스-추미노 항에 대한 위상학적 분석으로 이어진다.

기하학적으로 이 항은 다양체의 비틀림을 나타낸다.^[22] 이 비틀림의 존재는 다양체의 평행이동을 강제하며, 따라서 비틀림을 가진 곡률 텐서의 자명화를 강제한다. 이는 재정규화 흐름의 중단, 즉 재정규화군의 적외선 고정점을 의미하며, '''기하학 정지'''(geometrostasis^영어)라고 불리는 현상이다.^[22]

4. 성질

베스-추미노-위튼 모형은 다양한 물리적, 수학적 성질을 갖는다. 예를 들어 베스-추미노-위튼 모형은 천-사이먼스 이론과 관계가 있으며, D막을 포함한다.

4. 1. 장방정식

베스-추미노-위튼 이론의 오일러-라그랑주 방정식은 다음과 같다.^[24]

:

\partial(g^{-1}\bar\partial g) = 0

(편의상,

\Sigma

위의 복소구조에 대한 미분을 사용하였다.)

4. 2. 천-사이먼스 이론과의 관계

천-사이먼스 이론은 3차원 위상 양자장론이다. 경계가 있는 3차원 다양체 위에 천-사이먼스 이론을 정의하면, 그 경계에는 2차원 등각 장론인 베스-추미노-위튼 모형이 존재한다.^[24] 천-사이먼스 이론의 상태와 베스-추미노-위튼 모형의 상태는 서로 대응시킬 수 있다. 이는 AdS/CFT 대응성의 단순한 경우(AdS₃/CFT₂)로 생각할 수 있다.^[25]^[26] 에드워드 위튼은 1989년에 천-사이먼스/베스-추미노-위튼 대응성을 발견하였다.^[27]

4. 3. D막

베스-추미노-위튼 모형에서 열린 끈을 나타내려면 정칙 진동 모드와 반정칙 진동 모드 사이에 관계를 설정해야 한다. 이 관계는 대칭류를 통해 정의한다.

대칭류는 다음과 같이 정의한다.

:

J = -\partial g g^{-1}

:

\bar J= g^{-1}\bar\partial g

열린 끈의 경계 조건은

J = -\bar J

이며, 이를 풀어 쓰면 다음과 같다.

:

0 = (\partial g)g^{-1} - g^{-1}\bar\partial g= \operatorname{Ad}(g) g^{-1}\partial g

g^{-1} \bar\partial g

이를 다시 정리하면 다음과 같다.

:

(\operatorname{Ad}(g)+1)g^{-1}(\partial-\bar\partial)g+(\operatorname{Ad}(g)-1)g^{-1}(\partial+\bar\partial)g=0

킬링 형식을 사용해

G

의

g

에서의 접공간

\mathrm T_gG

를 딸림표현의 궤도에 평행한 부분 공간

\mathrm T^\parallel_gG

과 수직한 부분 공간

\mathrm T^\perp_gG

으로 나눌 수 있다.

\mathrm T^\perp_gG

에서

\operatorname{Ad}(g) = 1

이므로, 다음이 성립한다.

:

\left(g^{-1}(\partial-\bar\partial)g\right)^\perp = 0

이는 접벡터

g^{-1}(\partial-\bar\partial)g

가 딸림표현 궤도, 즉 리 군의 켤레류 모양을 한 D막에 해당함을 의미한다.^[28]

양자 이론에서 확률 진폭이 잘 정의되려면 켤레류에 대응하는 무게

\lambda

가 정수 무게이어야 한다.^[24]

G

의 극대 원환면

T \le G

와 그 리 대수(보렐 부분 대수)

\mathfrak h

를 고르자. 무게

\lambda \in \mathfrak \mathfrak h^\vee

에 대해, 켤레류는 다음과 같이 대응된다.

:

\{g \exp(2\pi\lambda/k) g^{-1} \colon g \in G\}

D막이 이 켤레류에 존재하기 위한 필요 충분 조건은

\lambda

가 정수 무게인 것이다. 즉,

G

의 모든 근

\alpha

에 대하여

\langle\alpha,\lambda\rangle\in\mathbb Z

를 만족해야 한다.

5. 대칭 대수

베스-추미노-위튼 모형의 보존류( $h=1$ 인 일차장)들의 대수는 아핀 리 대수를 이룬다.^[24] 이에 따라, 베스-추미노-위튼 모형은 아핀 리 대수로 정의되는 2차원 등각 장론을 이룬다.

그 힐베르트 공간은 다음과 같다.

: $\mathcal H_k = \bigoplus_{R\in\operatorname{IrRep}(G,k)} \overline{V_{R_k} \otimes_{\mathbb C} V_{\bar R_k}}$

여기서

$\operatorname{IrRep}(G)$ 는 $G$ 의 복소수 유한 차원 유니터리 기약 표현들의 동형류의 집합이다. 이는 일반적으로 가산 무한 집합이다.
$\operatorname{IrRep}(G,k) \subsetneq \operatorname{IrRep}(G)$ 는 $G$ 의 표현 가운데, 이에 대응하는 무게 $\lambda_R\in\mathfrak h$ 가 $\langle\phi_{\mathfrak g},\lambda_R\rangle \le k$ 를 만족시키는 것이다.^[24] 여기서 $\phi_{\mathfrak g}$ 는 $\mathfrak g$ 의 근계의 부분 순서에 대한 (유일한) 최대 원소이다. (즉, 근계 $\Delta$ 의 양근의 집합 $\Delta^+$ 에 대하여, $\forall\alpha\in\Delta^+\colon \alpha+\phi\}$ 이다.)
$R\in\operatorname{IrRep}(G)$ 및 $k\in\mathbb N$ 에 대하여, $R_k$ 는 아핀 리 대수 $\hat{\mathfrak g}$ 의 유니터리 표현이며, 이 경우 중심 원소 $\mathsf k\in\hat{\mathfrak g}$ 의 값이 $k$ 가 된다.
$\overline{\color{White}V}$ 는 복소수 내적 공간의, 힐베르트 공간으로의 완비화이다.

이는 아핀 리 대수의 표현을 가지며, 스가와라 구성을 통해 비라소로 대수의 표현을 갖는다. 이 경우 중심 전하는 다음과 같다.

:

c = \frac{k\dim G}{k+h^\vee(G)}

여기서

h^\vee(G)

는 이중 콕서터 수이다.

이는 고리군

\mathcal LG

의, 아핀 리 대수에 해당하는 복소수 선다발의 단면의 집합으로 해석할 수 있다.

예를 들어, 만약

G = \operatorname{SU}(2)

일 때, 기약 표현은 스핀에 의하여 분류되므로

:

\operatorname{IrRep}(\operatorname{SU}(2)) = \{0,1/2,1,3/2,2,\dotsc\}

:

\operatorname{IrRep}(\operatorname{SU}(2),k) = \{0,1/2,1,\dotsc,k/2\}

이다.

5. 1. 일반화된 군 대칭성

베스-추미노-위튼 모형은 군

G

의 원소에 의한 전역 변환 하에서 대칭일 뿐만 아니라 더 풍부한 대칭성을 갖는다. 이 대칭성은 종종

G(z) \times G(\bar{z})

대칭성이라고 불린다.^[7] 즉, 임의의 정칙

G

-값을 갖는 함수

\Omega(z)

와 (

\Omega(z)

와 완전히 독립적인) 다른 반정칙

G

-값을 갖는 함수

\bar{\Omega}(\bar{z})

가 주어졌을 때, 유클리드 공간 좌표

x,y

에 대해

z=x+iy

및

\bar{z} = x-iy

를 식별하면 다음 대칭성이 성립한다.

:

S_k (\gamma) = S_k (\Omega \gamma \bar{\Omega}^{-1} )

이 대칭성의 존재를 증명하는 한 가지 방법은

G

-값을 갖는 장의 곱에 관한 폴리야코프-비그만 항등식을 반복적으로 적용하는 것이다.

:

S_k (\alpha \beta^{-1}) = S_k(\alpha) + S_k(\beta^{-1}) + \frac{k}{16\pi^2}\int d^2 x \textrm{Tr}(\alpha^{-1} \partial_{\bar{z}} \alpha \beta^{-1} \partial_{z} \beta)

정칙 및 반정칙 전류

J(z) = - \frac{1}{2}k (\partial_z \gamma) \gamma^{-1}

및

\bar{J}(\bar{z}) = - \frac{1}{2} k \gamma^{-1} \partial_{\bar{z}} \gamma

는 이 대칭성과 관련된 보존 전류이다.

5. 2. 아핀 리 대수

아핀 리 대수는 베스-추미노-위튼 모형의 보존류(

h=1

인 일차장)들의 대수이다.^[24] 이에 따라, 베스-추미노-위튼 모형은 아핀 리 대수로 정의되는 2차원 등각 장론을 이룬다.

J^a(z)

를 모드로 전개하면 다음과 같다.

:

J^a(z)  = \sum_{n \in \mathbb{Z}} J_n^a z^{-n-1}

이때,

\{J_n^a\}

에 의해 생성된 current algebra는 WZW 모형의 수준

k

와 일치하는 레벨을 갖는

G

의 리 대수에 관련된 아핀 리 대수이다.^[8] 만약

\mathfrak{g}=\mathrm{Lie}(G)

이면, 아핀 리 대수의 표기는

\hat{\mathfrak{g}}_k

이다. 아핀 리 대수의 교환 관계는 다음과 같다.

:

[J^a_n,J^b_m] = f^{ab}_c J^c_{m+n} + kn\delta^{ab}\delta_{n+m,0}

이 아핀 리 대수는 왼쪽으로 움직이는 전류

\mathcal{K}(t^a,\partial_z g g^{-1})

와 관련된 카이랄 대칭 대수이다. 동일한 아핀 리 대수의 두 번째 복사본은 오른쪽으로 움직이는 전류

\mathcal{K}(t^a, g^{-1}\partial_{\bar z} g)

와 관련되어 있다. 이 두 번째 복사본의 생성자

\bar J^a(z)

는 반해석적이다. WZW 모형의 전체 대칭 대수는 아핀 리 대수의 두 복사본의 곱이다.

5. 3. 스가와라 구성

스가와라 구성은 비라소로 대수를 아핀 리 대수의 유일한 포락 대수로 임베딩하는 방법이다. 이는 베스-추미노-위튼(WZW) 모형이 등각장론임을 보여주는 중요한 구성이다.^[8] 또한, 스가와라 구성은 상관 함수에 대한 크니즈니크-자몰로드치코프 방정식을 유도하는 데 사용된다.

스가와라 구성은 전류(current)를 사용하여 가장 간결하게 표현된다. 아핀 리 대수의 전류

J^a(z)

를 이용하여, 에너지-운동량 텐서

T(z)

를 다음과 같이 정의한다.

:

T(z) = \frac{1}{2(k + h^{\vee})} \sum_a : J^a J^a : (z),

여기서

:

는 정규 순서(normal ordering)를 나타내고,

h^{\vee}

는 쌍대 콕세터 수이다. 윅의 정리와 전류의 OPE를 이용하면,

T(z)

의 OPE가 다음과 같이 비라소로 대수의 교환 관계와 동일함을 알 수 있다.^[8]

:

T(y)T(z) = \frac{\frac{c}{2}}{(y-z)^4} + \frac{2T(z)}{(y-z)^2} + \frac{\partial T(z)}{y-z} + \mathcal{O}(1),

이때 비라소로 대수의 중심 전하(central charge)

c

는 아핀 리 대수의 레벨

k

와 다음과 같은 관계를 가진다.

:

c = \frac{k\mathrm{dim}(\mathfrak{g})}{k + h^{\vee}}.

아핀 리 대수의 생성자

J^a_n

을 사용하여 스가와라 구성을 표현하면 다음과 같다.

:

L_{n\neq 0} = \frac{1}{2(k + h^{\vee})} \sum_a \sum_{m\in\mathbb{Z}} J^a_{n-m} J^a_m,

:

L_0 = \frac{1}{2(k + h^{\vee})} \left(2\sum_a \sum_{m=1}^\infty J^a_{-m}J^a_m + J^0_aJ^0_a\right).

여기서

L_n

은 에너지-운동량 텐서

T(z)

의 모드(mode)이며,

T(z) = \sum_{n\in\mathbb{Z}} L_nz^{-n-2}

와 같이 표현된다.

6. 스펙트럼

베스-추미노-위튼 모형의 보존류(일차장)들의 대수는 아핀 리 대수를 이루며, 이에 따라 베스-추미노-위튼 모형은 2차원 등각 장론을 이룬다.

그 힐베르트 공간은 다음과 같다.

: $\mathcal H_k = \bigoplus_{R\in\operatorname{IrRep}(G,k)} \overline{V_{R_k} \otimes_{\mathbb C} V_{\bar R_k}}$

여기서

$\operatorname{IrRep}(G)$ 는 $G$ 의 복소수 유한 차원 유니터리 기약 표현들의 동형류의 집합이다. 이는 일반적으로 가산 무한 집합이다.
$\operatorname{IrRep}(G,k) \subsetneq \operatorname{IrRep}(G)$ 는 $G$ 의 표현 가운데, 이에 대응하는 무게 $\lambda_R\in\mathfrak h$ 가 $\langle\phi_{\mathfrak g},\lambda_R\rangle \le k$ 를 만족시키는 것이다.^[24] 여기서 $\phi_{\mathfrak g}$ 는 $\mathfrak g$ 의 근계의 부분 순서에 대한 (유일한) 최대 원소이다.
$R\in\operatorname{IrRep}(G)$ 및 $k\in\mathbb N$ 에 대하여, $R_k$ 는 아핀 리 대수 $\hat{\mathfrak g}$ 의 유니터리 표현이며, 이 경우 중심 원소 $\mathsf k\in\hat{\mathfrak g}$ 의 값이 $k$ 가 된다.
$\overline{\color{White}V}$ 는 복소수 내적 공간의, 힐베르트 공간으로의 완비화이다.

이는 아핀 리 대수의 표현을 가지며, 스가와라 구성을 통해 비라소로 대수의 표현을 갖는다. 이 경우

:

c = \frac{k\dim G}{k+h^\vee(G)}

이다. 여기서

h^\vee(G)

는 이중 콕서터 수이다.

이는 고리군

\mathcal LG

의, 아핀 리 대수에 해당하는 복소수 선다발의 단면의 집합으로 해석할 수 있다.

예를 들어, 만약

G = \operatorname{SU}(2)

일 때, 기약 표현은 스핀에 의하여 분류되므로 다음과 같다.

:

\operatorname{IrRep}(\operatorname{SU}(2)) = \{0,1/2,1,3/2,2,\dotsc\}

:

\operatorname{IrRep}(\operatorname{SU}(2),k) = \{0,1/2,1,\dotsc,k/2\}

6. 1. 콤팩트하고 단일 연결된 군을 갖는 WZW 모형

리 군

G

가 콤팩트하고 단일 연결인 경우, WZW 모형은 유리적이며 대각적이다.^[8] 유리적인 이유는 스펙트럼이 [가장 높은 무게 표현]이라고 불리는 (레벨에 의존하는) 아핀 리 대수의 적분 가능한 유한 집합의 기약 표현으로부터 구성되기 때문이며, 대각적인 이유는 왼쪽으로 움직이는 대수의 표현이 오른쪽으로 움직이는 대수의 동일한 표현과 결합되기 때문이다.^[8]

예를 들어, 레벨

k\in\mathbb{N}

에서

SU(2)

WZW 모형의 스펙트럼은 다음과 같다.

:

\mathcal{S}_k = \bigoplus_{j=0,\frac12,1,\dots, \frac{k}{2}} \mathcal{R}_j\otimes \bar{\mathcal{R}}_j\ ,

여기서

\mathcal{R}_j

는 스핀

j

의 아핀 가장 높은 무게 표현이다. 이는 상태

|v\rangle

에 의해 생성되는 표현이며, 다음을 만족한다.

:

J^a_{n<0}|v\rangle = J^-_0|v\rangle=0\ ,

여기서

J^-

는

SU(2)

의 리 대수의 생성자

t^-

에 해당하는 전류이다.

γ의 구체 내부로의 확장은 유일하지 않다. 구체 내부로의 두 개의 다른 확장을 생각해보면, 평평한 3차원 공간에서 리 군 G로의 사상이며, 두 구를 경계

S^2

에서 서로 붙이는 것을 생각할 수 있다. 붙인 결과는 위상수학적인 3-구체가 되며, 각각의 구체

B^3

은

S^3

의 반구이다. γ의 각각의 구체에서의 두 개의 다른 확장은 사상

S^3\rightarrow G

가 된다. 콤팩트한 단일 연결 리 군 G에 대해, 호모토피 군 π₃(G) = '''Z'''이다.

이에 따라,

:

S^{\mathrm{WZ}}(\gamma) = S^{\mathrm{WZ}}(\gamma')+n

을 얻는다. 여기서 γ와 γ'는 두 개의 다른 구체로의 확장을 나타내며, n은 정수이며 서로 붙였을 때의 꼬임수를 나타낸다.

만약,

:

\exp \left(i2\pi k S^{\mathrm{WZ}}(\gamma) \right)=  \exp \left( i2\pi k S^{\mathrm{WZ}}(\gamma')\right)

라면, 이들 모형이 이끄는 물리 현상이 같아야 한다. 따라서, 위상수학적인 고찰은 레벨 k는 G가 콤팩트한 단일 연결 단준 리 군일 때 정수여야 한다는 결론을 낸다. 반 단순 또는 비연결 콤팩트 리 군에 대해서는, 각각의 연결되고 단순한 성분마다 정수의 레벨이 있다.

이 위상수학적 장애는 이론의 아핀 리 대수의 대칭성의 표현론으로 간주할 수 있다. 각각의 레벨이 양의 정수인 경우에, 아핀 리 대수는 어떤 절대적인 정수의 최고 무게인 유니타리 표현론을 갖는다. 그러한 표현은, 각각의 단순 근에서 형성되는 부분 대수에 관해서, 유한 차원 부분 대수로 분해되고, 대응하는 음의 근과 그 교환자는 카르탕 생성자를 형성한다.

6. 2. 다른 유형의 군을 갖는 WZW 모형

군

G

가 콤팩트하지만 단일 연결되지 않은 경우, WZW 모형은 유리적이지만 반드시 대각선은 아니다. 예를 들어, SO(3) WZW 모형은 짝수 정수 레벨

k\in 2\mathbb{Z}

에 대해 존재하며, 그 스펙트럼은 유한 개의 적분 가능한 최고 무게 표현의 비대각선 조합이다.^[8]

만약 군

G

가 콤팩트하지 않다면, WZW 모형은 비유리적이다. 게다가, 그 스펙트럼은 최고 무게 표현이 아닌 표현을 포함할 수 있다. 예를 들어,

\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})

WZW 모형의 스펙트럼은 최고 무게 표현과 아핀 리 대수의 스펙트럼 흐름 자기 동형사상 하에서의 이들의 이미지로 구성된다.^[5]

6. 3. 아핀 리 대수를 기반으로 하는 다른 이론

아핀 리 대수를 기반으로 하는 알려진 등각 장론은 WZW 모형에 국한되지 않는다.

예를 들어, SU(2) WZW 모형의 아핀 리 대수의 경우, 모듈러 불변 토러스 분할 함수는 ADE 분류를 따르며, 여기서 SU(2) WZW 모형은 A 계열에만 해당한다.^[11] D 계열은 SO(3) WZW 모형에 해당하며, E 계열은 어떠한 WZW 모형에도 해당하지 않는다.

또 다른 예시는

H_3^+

모형이다. 이 모형은 SL(2,R^영어) WZW 모형과 동일한 대칭 대수를 기반으로 하며, 이는 윅 회전에 의해 관련되어 있다. 그러나

H_3^+

은 엄밀히 말해 WZW 모형은 아닌데,

H_3^+ =SL(2,\mathbb{C})/SU(2)

는 군이 아닌 잉여류이기 때문이다.^[12]

7. 장과 상관 함수

군 $G$ 가 콤팩트하면, 베스-추미노-위튼 모형의 스펙트럼은 최고 무게 표현으로 구성되며, 모든 상관 함수는 Ward 항등식을 통해 아핀 기본 장의 상관 함수로부터 유추할 수 있다.

리만 곡면 $\Sigma$ 가 리만 구면인 경우, 아핀 기본 장의 상관 함수는 크니즈니크-자몰로드치코프 방정식을 따른다. 더 높은 종수의 리만 곡면에서는 상관 함수가 장의 위치뿐만 아니라 곡면의 모듈에 대한 미분을 포함하는 크니즈니크-자몰로드치코프-베르나르 방정식을 따른다.^[13]

7. 1. 장

단순한 표현

\rho

가

G

의 리 대수의 표현으로 주어지면, '''아핀 기본장'''

\Phi^\rho(z)

는

\rho

의 표현 공간에서 값을 갖는 장으로, 다음을 만족한다.

:

J^a(y) \Phi^\rho(z) = -\frac{\rho(t^a)\Phi^\rho(z)}{y-z} + O(1)\ .

아핀 기본장은 슈가와라 구성을 통해 얻은 비라소로 대수에 대한 기본장이기도 하다. 아핀 기본장의 컨포멀 차원은 표현

\rho

의 2차 카시미르

C_2(\rho)

(즉, 킬링 형식의 행렬

\mathcal{K}(t^a,t^b)

의 역행렬인

K_{ab}

를 사용하여 2차 카시미르 원소

K_{ab}t^at^b

의 고윳값)를 사용하여 다음과 같이 주어진다.

:

\Delta_\rho = \frac{C_2(\rho)}{2(k+h^\vee)}\ .

예를 들어,

SU(2)

WZW 모형에서, 스핀

j

의 기본장의 컨포멀 차원은 다음과 같다.

:

\Delta_j = \frac{j(j+1)}{k+2} \ .

상태-장 대응에 의해, 아핀 기본장은 '''아핀 기본 상태'''에 대응하며, 이는 아핀 리 대수의 최고 무게 표현의 최고 무게 상태이다.

7. 2. 상관 함수

군

G

가 콤팩트하면, 베스-추미노-위튼 모형(WZW)의 스펙트럼은 최고 무게 표현으로 구성되며, 모든 상관 함수는 Ward 항등식을 통해 아핀 기본 장의 상관 함수로부터 유추할 수 있다.

리만 곡면

\Sigma

가 리만 구면인 경우, 아핀 기본 장의 상관 함수는 크니즈니크-자몰로드치코프 방정식을 따른다. 더 높은 종수의 리만 곡면에서는 상관 함수가 장의 위치뿐만 아니라 곡면의 모듈에 대한 미분을 포함하는 '''크니즈니크-자몰로드치코프-베르나르 방정식'''을 따른다.^[13]

8. 게이지 WZW 모형

리 군 부분군 $H\subset G$ 가 주어졌을 때, $G/H$ 게이지 WZW 모형 (또는 코셋 모형)은 $H$ 의 $G$ 에 대한 수반 작용에 대한 몫 $G/H$ 를 목표 공간으로 하는 비선형 시그마 모형이다. 이 게이지 WZW 모형은 등각장론이며, 그 대칭 대수는 $G$ 와 $H$ WZW 모형의 두 아핀 리 대수의 몫이고, 중심 전하는 이들의 중심 전하의 차이이다. WZW 모형의 곱을 취하면, 중심 전하가 원래의 두 가지 차이인 새로운 등각장론을 얻을 수 있다.

9. 응용

SL(2,R)군의 보편 피복인 리 군 WZW 모형은 후안 말다세나와 오구리 히로시가 3차원 반 드 시터 공간 $AdS_3$ 에서의 보존 끈 이론을 설명하는 데 사용했다.^[5] $AdS_3\times S^3$ 위의 초끈은 초군 $PSU(1,1|2)$ 에서 WZW 모형으로 설명되며, 라몽-라몽 플럭스가 켜져 있으면 변형된 형태로 설명된다.^[14]^[10]

WZW 모형과 그 변형은 정수 양자 홀 효과의 평평한 구간 전이를 설명하기 위해 제안되었다.^[15]

$SL(2,\mathbb{R})/U(1)$ 게이지 WZW 모형은 위튼의 2차원 유클리드 블랙홀로서 끈 이론에서 해석된다.^[16] 동일한 모형은 임계 상태에 있는, 예를 들어 임계 반강자성 포츠 모형과 같은 특정 2차원 통계 시스템도 설명한다.^[17]

10. 역사

율리우스 베스와 브루노 추미노^[29], 세르게이 노비코프^[30], 에드워드 위튼^[31]^[32]이 발견하였다. 비슷한 이름을 가진 베스-추미노 모형(4차원 초대칭 양자장론)과는 (발견자가 같은 것을 제외하며) 관계없는 이론이다.

참조

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_[2] 논문 Global aspects of current algebra
_[3] 논문 Non-abelian bosonization in two dimensions http://projecteuclid[...]
_[4] 논문 Multivalued functions and functionals. An analogue of the Morse theory
_[4] 논문 The Hamiltonian formalism and a many-valued analogue of Morse theory
_[5] 논문 Strings in AdS₃ and the SL(2,R) WZW model. I: The spectrum
_[6] 논문 Torsion and geometrostasis in nonlinear sigma models
_[7] 논문 Алгебра токов и двумерная модель Весса-Зумино
_[8] 서적 Conformal Field Theory Springer-Verlag
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_[12] 간행물 Non-Compact WZW Conformal Field Theories https://arxiv.org/ab[...]
_[13] 간행물 Conformal blocks on elliptic curves and the Knizhnik--Zamolodchikov--Bernard equations https://arxiv.org/ab[...]
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_[15] 간행물 The integer quantum Hall plateau transition is a current algebra after all https://arxiv.org/ab[...]
_[16] 논문 String theory and black holes
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_[18] 논문 Consequences of anomalous ward identities
_[19] 논문 Global aspects of current algebra
_[20] 논문 Non-abelian bosonization in two dimensions
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_[23] 논문 Strings in AdS₃ and the SL(2,R) WZW model. I: The spectrum
_[24] 논문 Conformal field theory: a case study 1999-04-21
_[25] 논문 Chern–Simons gauge theory and the AdS(3)/CFT(2) Correspondence
_[26] 논문 Chiral anomalies and AdS/CMT in two dimensions
_[27] 논문 Quantum field theory and the Jones polynomial https://projecteucli[...] 1989
_[28] 논문 D-branes in the WZW model 1999
_[29] 논문 Consequences of anomalous Ward identities 1971-11-01
_[30] 논문 Multivalued functions and functionals: An analogue of Morse theory 1981
_[31] 논문 Global aspects of current algebra
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