천-사이먼스 이론

3. 수학적 기초

천-사이먼스 이론은 3차원 유향 콤팩트 매끄러운 다양체 위에서 정의되는 주접속들의 공간을 수학적 기반으로 한다.

3. 1. 천-사이먼스 범함수

• $M$에서 공집합으로 가는 보충 경계 $\backslash tilde\; M$. 즉, $\backslash tilde\; M$은 유향 4차원 경계다양체이며, $\backslash partial\backslash tilde\; M\; =\; M$이다. (이러한 $\backslash tilde\; M$은 항상 존재한다.)
• $\backslash partial\backslash tilde\; M$의 근방 $U$ 및 미분 동형 $U\; \backslash cong\; M\; \backslash times\; [0,1)$.
• 매끄러운 단면 $s\backslash in\backslash Gamma(P)$. 이는 표준적으로 동형 사상 $\backslash operatorname\{Conn\}(P)\; \backslash cong\; \backslash Omega^1(M;\backslash mathfrak\; g)$를 정의한다. 즉, 아핀 공간의 원점을 정의하여 벡터 공간으로 만든다. 따라서 $A\; \backslash in\; \backslash Omega^1(M;\backslash mathfrak\; g)$로 간주할 수 있다.
• 표준적 사영 함수 $\backslash pi\backslash colon\; U\; \backslash cong\; M\backslash times[0,1)\; \backslash to\; M$에 대하여, $\backslash tilde\; A\; \backslash restriction\; U\; =\; \backslash pi^*A\; \backslash in\; \backslash Omega^1(U;\backslash mathfrak\; g)$가 되는 $\backslash tilde\; A\; \backslash in\; \backslash Omega^1(\backslash tilde\; M;\backslash mathfrak\; g)$.

4. 고전적 천-사이먼스 이론

고전적 천-사이먼스 이론은 천-사이먼스 범함수를 작용으로 하는 고전 장론이다. 이 경우, 오일러-라그랑주 방정식의 해는 천-사이먼스 범함수의 변분이 0이 되게 하는 주접속, 즉 평탄 주접속이다.^[37]

천-사이먼스 이론은 경계가 있든 없든 모든 위상 3-다양체 ''M''에서 정의될 수 있다. 이 이론은 슈바르츠 형 위상장론이므로 ''M''에 계량을 도입할 필요가 없다.

천-사이먼스 이론은 게이지 이론으로, 게이지 군 ''G''를 갖는 ''M'' 위의 천-사이먼스 이론에서 고전적 구성은 ''M'' 위의 주 ''G''-다발에 의해 설명된다. 이 다발의 접속은 접속 1-형식 ''A''로 특징지어지며, 이는 리 대수 '''g'''의 리 군 ''G''에 값을 갖는다.

일반적으로 접속 ''A''는 개별 좌표 패치에서만 정의되며, 서로 다른 패치에서의 ''A'' 값은 게이지 변환이라고 하는 맵에 의해 관련된다. 이는 공변 미분, 즉 외 미분 연산자 ''d''와 접속 ''A''의 합이 게이지 군 ''G''의 수반 표현으로 변환된다는 주장으로 특징지어진다. 자기 자신과의 공변 미분의 제곱은 곡률 형식 또는 장 세기라고 하는 '''g'''-값을 갖는 2-형식 ''F''로 해석될 수 있다. 또한 수반 표현으로 변환된다.

천-사이먼스 이론의 작용 ''S''는 천-사이먼스 3-형식의 적분에 비례한다.

:$S=\backslash frac\{k\}\{4\backslash pi\}\backslash int\_M\; \backslash text\{tr\}\backslash ,(A\backslash wedge\; dA+\backslash tfrac\{2\}\{3\}A\backslash wedge\; A\backslash wedge\; A).$

상수 ''k''는 이론의 ''레벨''이라고 불린다. 천-사이먼스 이론의 고전 물리학은 레벨 ''k''의 선택에 의존하지 않는다.

고전적으로 이 시스템은 장 ''A''의 변화에 대한 작용의 극값인 운동 방정식으로 특징지어진다. 장 방정식은 다음과 같이 명시적으로 표현된다.

:$0=\backslash frac\{\backslash delta\; S\}\{\backslash delta\; A\}=\backslash frac\{k\}\{2\backslash pi\}\; F.$

그러므로 고전적인 운동 방정식은 곡률이 모든 곳에서 사라질 때에만 만족되며, 이 경우 연결은 ''평탄하다''고 말한다. 따라서 ''G'' 천-사이먼스 이론에 대한 고전적 해는 ''M'' 위의 주 ''G''-다발의 평탄한 연결이다. 평탄한 연결은 기본 ''M'' 위의 비축약 사이클 주변의 홀로노미에 의해 완전히 결정된다. 더 정확하게는, 이는 ''M''의 기본군에서 게이지 군 ''G''로의 준동형 사상의 동치류와 일대일 대응을 이룬다.

만약 ''M''이 경계 ''N''을 가지면, ''N'' 위의 주 ''G''-다발의 자명화 선택을 설명하는 추가적인 데이터가 있다. 이러한 선택은 ''N''에서 ''G''로의 사상을 특징짓는다. 이 사상의 역학은 레벨 ''k''에서 ''N''에 대한 베스-주미노-위튼 모형(WZW) 모형에 의해 설명된다.

4. 1. 해밀턴 역학

5. 양자 천-사이먼스 이론

천-사이먼스 이론은 기하학적 양자화를 통해 양자화할 수 있다.^[37][38] 양자장론은 일반적으로 경로 적분으로 정의되는데, 이 경우 경로 적분이 잘 정의되기 위해서는 특정 값($k$)이 정수여야 한다. 이 정수 값을 (양자) 천-사이먼스 이론의 '''준위'''(level|레벨^영어)라고 한다.

$k\; =\; 0$인 경우는 자명한 이론을 얻으며, $k$의 부호를 바꾸는 것은 매끄러운 다양체 $M$의 방향을 뒤집는 것과 같다. 따라서 일반성을 잃지 않고 $k$를 양의 정수로 놓을 수 있다.

위상 양자장론의 공리계에 따라, 3차원 다양체 $\backslash Sigma\backslash times[0,1]$에서 $\backslash Sigma$에 대응하는 복소수 힐베르트 공간 $\backslash mathcal\; H(\backslash Sigma)$이 존재해야 한다. 평탄 주접속의 모듈라이 공간 $\backslash mathcal\; M$은 자연스럽게 심플렉틱 구조를 가지며, $\backslash Sigma$에 임의의 복소구조 $J$를 부여하면 $\backslash mathcal\; M$은 켈러 구조를 가지게 된다. 따라서 켈러 구조의 기하학적 양자화를 사용할 수 있다.

5. 1. 힐베르트 공간

5. 2. 준위의 재규격화

• 게이지 군이 $G$인 3차원 $\backslash mathcal\; N=0,1,2,3$ 양-밀스 이론에, 준위 $k$의 (초대칭) 천-사이먼스 항을 추가

만약 천-사이먼스 게이지 이론에 물질을 추가하면, 일반적으로 더 이상 위상수학적이지 않게 된다. 하지만, 만약 n개의 마요라나 페르미온을 추가하면, 패리티 이상 현상으로 인해 적분했을 때, 순수한 천-사이먼스 이론으로 이어지며 천-사이먼스 레벨이 −''n''/2만큼 일-루프 재규격화된다. 다시 말해, 페르미온 n개를 가진 레벨 k 이론은 페르미온이 없는 레벨 ''k'' − ''n''/2 이론과 동일하다.

6. 초대칭 천-사이먼스 이론

순수 천-사이먼스 이론에 마요라나 페르미온을 추가하여 '''초대칭 천-사이먼스 이론'''(supersymmetric Chern–Simons theory^영어)을 만들 수 있다.^[25][26] 이 경우 페르미온은 운동 에너지 항이 없어 국소적 자유도를 갖지 않는다. 이렇게 하여 $\backslash mathcal\; N=1,2,4$ 초대칭 천-사이먼스 이론을 정의할 수 있다.

예를 들어, $\backslash mathcal\; N=1$ 초대칭 천-사이먼스 이론의 경우, 게이지 보손 $A$에 대응하는 마요라나 게이지노 $\backslash lambda$를 추가하면 작용은 다음과 같다.

:$S=\backslash frac\; k\{4\backslash pi\}\backslash int\_M\backslash operatorname\{tr\}\backslash left(A\backslash wedge\backslash mathrm\; dA-\backslash frac23iA\backslash wedge\; A\backslash wedge\; A-\backslash bar\backslash lambda\backslash lambda\backslash ,\backslash operatorname\{vol\}\_M\backslash right)$

여기서

• $\backslash lambda$는 3차원 마요라나 스피너 장이다. 굽은 공간에서, 이는 필바인을 통해 정의된다.
• $\backslash operatorname\{vol\}\_M$은 $M$의 (3차) 부피 형식이다.

7. 응용

천-사이먼스 이론은 여러 분야에 응용된다.

응집물질물리학에서 분수 양자 홀 효과를 설명하는 데 쓰인다.^[31] 1989년에 2+1차원 천-사이먼스 이론이 분수 양자 홀계에 처음 사용되었다.^[16] 천-사이먼스 이론은 라플린 파동 함수를 포함하며, 애니온의 존재를 예측한다.

끈 이론에서 초대칭 천-사이먼스 이론은 자주 나타난다. D-막의 세계부피 이론은 천-사이먼스 형태의 항들을 포함하며, 겹친 M2-막 위에 존재하는 이론(ABJM 이론) 또한 천-사이먼스 이론의 한 종류이다.

7. 1. 3차원 양자 중력

7. 2. 분수 양자 홀 효과

7. 3. 끈 이론

참조

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