쌍둥이 역설

3. 쌍둥이 역설의 현상

스무 살 쌍둥이 A와 B 중 A는 우주선을 타고, B는 지구에 남는다고 가정하자. A가 우주여행을 마치고 돌아오면 B는 A보다 나이를 더 많이 먹게 된다. A의 관점에서는 B가 움직이는 것이므로 B의 시간이 느리게 가야 하지만, 실제로는 B가 더 늙는다.^[68][69]

알베르트 아인슈타인은 1905년에 발표한 특수 상대성 이론에 관한 논문에서 A점과 B점에 놓인 두 개의 정지된 동기화된 시계에 대해, A점의 시계를 직선 AB를 따라 움직여 B점에서 정지시키면, A점에서 이동한 시계는 B점의 시계보다 늦어질 것이라고 추론했다. 그는 이 결과가 A점에서 B점으로의 경로가 다각형 또는 원형인 경우에도 적용된다고 말했다.^[65] 아인슈타인은 이것을 특수 상대성 이론의 자연스러운 귀결이며, 패러독스가 아니라고 생각했다.^[66][67]

1911년, 폴 랑주뱅은 로렌츠 인자(광속의 99.995%)로 여행하는 여행자의 이야기를 "인상적인 예"로 들었다. 여행자는 1년 동안 발사체 안에 머물고, 그 후 방향을 반전한다. 귀환하면, 여행자는 2살 더 늙지만, 지구에서는 200년이 경과한다.

3. 1. 쌍둥이 역설의 해소

3. 1. 1. [[세계선]]

3. 1. 2. 일반 상대성 이론의 관점

위 표에서 볼 수 있듯이, A가 가속하는 모든 구간에서 겉보기 중력으로 인해 A의 시간은 B보다 느리게 흘러간다.

머무르는 쌍둥이의 시계를 앞당기는 메커니즘은 중력 시간 팽창이다. 관찰자가 관성적으로 움직이는 물체가 자신에 대해 가속되고 있음을 발견하면, 상대성 이론과 관련하여 그 물체는 중력장에 있는 것이다. 전환 시 여행하는 쌍둥이에게 이 중력장은 우주를 채운다. 약한 장 근사에서 시계는 $t\text{'}\; =\; t(1\; +\; \backslash Phi/c^2)$의 속도로 째깍거리며, 여기서 $\backslash Phi$는 중력 퍼텐셜의 차이이다. 이 경우, $\backslash Phi\; =\; gh$이며, 여기서 $g$는 전환 동안 여행하는 관찰자의 가속도이고 $h$는 머무르는 쌍둥이까지의 거리이다. 로켓은 머무르는 쌍둥이 쪽으로 발사되어 그 쌍둥이를 더 높은 중력 퍼텐셜에 놓는다. 쌍둥이 간의 먼 거리 때문에, 머무르는 쌍둥이의 시계는 쌍둥이가 경험하는 고유 시간의 차이를 설명할 수 있을 만큼 충분히 빨라 보이는 것이다.^[40]

3. 1. 3. 더 현실적인 가정

• 로켓이 지구에서 출발하여 별을 향해 가속하는 구간 : 1구간
• 로켓이 별을 향해 감속하는 구간 = 지구를 향해 가속하는 구간 : 2구간
• 로켓이 지구를 향해 감속하는 구간 : 3구간

4. 특수 상대성 이론에서의 쌍둥이 역설 해소

상대성 원리에 따르면 모든 관성계는 동등하며, 쌍둥이 역설은 여행하는 쌍둥이(A)가 가속을 경험하여 관성계가 바뀌기 때문에 발생한다.^[28][29][30]

알베르트 아인슈타인은 특수 상대성 이론 논문에서, 한 시계가 이동 후 멈추면 늦어진다는 결과를 예측했다.^[16] 1911년, 아인슈타인은 이 결과를 다시 설명하며, 살아있는 유기체를 이용한 비유를 들었다. 그는 여행하는 유기체가 긴 비행 후 거의 변하지 않은 상태로 돌아올 수 있지만, 원래 위치에 있던 유기체는 이미 새로운 세대로 대체되었을 것이라고 설명했다.^[17][18]

폴 랑주뱅은 로렌츠 인자가 ''γ''^프랑스어 = 100 (광속의 99.995%)인 여행자의 이야기를 통해 쌍둥이 역설을 설명했다. 여행자는 1년 동안 발사체에 머물다가 방향을 바꾸는데, 돌아오면 2년이 늙었지만 지구에서는 200년이 지났다는 것을 발견한다. 랑주뱅은 여행자와 지구가 서로에게 일정한 속도로 신호를 계속 보내는 상황을 가정하여, 쌍둥이 역설의 도플러 효과 버전을 제시했다. 그는 신호 속도에 대한 상대론적 효과를 이용하여 다른 노화 속도를 설명하고, 여행자만 가속을 겪었기 때문에 발생하는 비대칭성을 강조했다.^[19][20][21]

막스 폰 라우에는 헤르만 민코프스키의 시공간 형식을 사용하여 랑주뱅의 설명을 자세히 설명했다. 라우에는 관성적으로 움직이는 물체의 세계선이 두 사건 사이의 고유 시간을 최대화한다는 것을 증명했다. 그는 또한 우주 비행사 쌍둥이는 두 개의 별도의 틀로 이동하는 반면, 지구 쌍둥이는 하나의 틀에 남아 있다는 사실로 비대칭적인 노화가 완전히 설명된다고 썼다.^[22][23][24]

아인슈타인과 랑주뱅은 이러한 결과를 문제라고 생각하지 않았다. 아인슈타인은 그것을 "특이하다"고 불렀고, 랑주뱅은 그것을 절대 가속의 결과로 제시했다.^[25] 두 사람은 쌍둥이 이야기에서 예시된 시간 차이로부터 자기 모순을 구성할 수 없다고 주장했다.

4. 1. 가속도의 역할

4. 2. 동시성의 상대성

4. 3. 비시공간적 접근

5. 생물학적 노화와 시계 작동의 동등성

화학적 과정, 생물학적 과정, 측정 장치의 기능, 눈과 뇌를 포함하는 인간의 인식, 힘의 전달 등 모든 과정은 빛의 속도에 의해 제약된다. 모든 수준에서 빛의 속도와 원자 수준에서 발생하는 고유한 지연에 의존하는 시계 기능이 존재한다. 따라서 생물학적 노화는 시계 시간 측정과 전혀 다르지 않다.^[38] 이는 생물학적 노화가 시계와 같은 방식으로 늦춰질 수 있다는 것을 의미한다.

6. 상대론적 도플러 효과

상대론적 도플러 효과를 통해 쌍둥이가 서로를 관찰할 때 시간 변화를 설명할 수 있다. 쌍둥이가 서로 멀어질 때는 적색 편이가 발생하여 시간이 느리게 가는 것처럼 관측된다. 반대로, 쌍둥이가 서로 가까워질 때는 청색 편이가 발생하여 시간이 빠르게 가는 것처럼 관측된다.

예를 들어, 스무 살 쌍둥이 A와 B 중 A가 0.8c의 속도로 16광년 떨어진 별로 우주여행을 떠나고 B는 지구에 남는 상황을 가정해 보자. 지구에 있는 B의 관점에서 보면, 왕복 여행에는 10년의 시간이 걸린다. 우주선 시계로 측정된 시간은 로렌츠 인자의 역수인 $\backslash alpha\; =\; \backslash scriptstyle\{\backslash sqrt\{1\; -\; v^2/c^2\}\}$ = 0.6만큼 감소한다. 따라서 여행자는 6년만 늙게 된다.

우주선 승무원(A)의 관점에서는 지구와 별 사이의 거리가 0.6 x 4 = 2.4 광년으로 길이 수축이 일어난다. 왕복 여행의 각 절반은 2.4 / 0.8 = 3년이 걸리므로, 총 6년이 걸린다. 결과적으로 여행을 마치고 돌아온 A는 6년, 지구에 남은 B는 10년 늙게 된다.

각 쌍둥이가 서로에게 자신의 모습을 담은 무선 신호를 주기적으로 보낸다고 가정하면, 다음과 같은 현상이 나타난다.

• 멀어질 때:
• 여행하는 쌍둥이(A)는 B의 시간이 정상 속도의 1/3배로 느리게 가는 것처럼 보인다.
• 지구에 있는 쌍둥이(B)는 9년 동안 우주선으로부터 송신기 주파수의 1/3배로 느려진 신호를 받는다.
• 정지 주파수 ''f''_rest를 가진 소스에서 멀어질 때 관찰되는 주파수 ''f''_obs는 상대론적 도플러 효과에 의해 다음과 같이 주어진다.

• 가까워질 때:
• 여행하는 쌍둥이(A)는 귀환 여정 동안 지구 쌍둥이(B)의 시계가 평소보다 3배 빠르게 진행되는 것처럼 보인다.
• 지구에 있는 쌍둥이(B)는 우주선 귀환 여정이 시작된 후 1년 동안, 화면 속 A의 시계가 빠르게 가는것을 본다.
• 소스가 관찰자를 향해 이동할 때, 관찰되는 주파수는 청색 편이되어 더 높게 나타나며, 다음과 같이 주어진다.

6. 1. 도플러 이동 이미지의 비대칭성

6. 2. 도플러 다이어그램에서 경과 시간 계산

6. 3. 보이는 것과 계산하는 것의 차이

6. 4. 도플러 이동 계산에서의 동시성

7. 여행하는 쌍둥이의 관점

전환하는 동안, 여행하는 쌍둥이는 가속 좌표계에 있게 된다. 등가 원리에 따르면, 여행자는 머무르는 쌍둥이가 중력 시간 팽창에 의해 중력장에서 자유 낙하하고 여행자는 정지해 있는 것처럼 전환 단계를 분석할 수 있다.^[39] 여행자의 관점에서 전환을 무시하고 각 다리에 대한 별도의 계산을 수행하면 지구 시계가 여행자보다 덜 늙는 결과가 나온다. 예를 들어, 지구 시계가 각 다리에서 1일 덜 늙는다면, 지구 시계가 뒤쳐지는 양은 2일이 된다. 전환 시에 일어나는 일에 대한 물리적 설명은 그 두 배인 4일 동안 지구 시계를 앞당기는 반대 효과를 만들어야 한다. 그러면 여행자의 시계는 머무르는 쌍둥이의 좌표계에서 수행된 계산과 일치하여 총 2일 늦어진다.

머무르는 쌍둥이의 시계를 앞당기는 메커니즘은 중력 시간 팽창이다. 관찰자가 관성적으로 움직이는 물체가 자신에 대해 가속되고 있음을 발견하면, 상대성 이론과 관련하여 그 물체는 중력장에 있는 것이다. 전환 시 여행하는 쌍둥이에게 이 중력장은 우주를 채운다. 약한 장 근사에서 시계는 $t\text{'}\; =\; t(1\; +\; \backslash Phi/c^2)$의 속도로 째깍거리며, 여기서 $\backslash Phi$는 중력 퍼텐셜의 차이이다. 이 경우, $\backslash Phi\; =\; gh$이며, 여기서 ''g''는 전환 동안 여행하는 관찰자의 가속도이고 ''h''는 머무르는 쌍둥이까지의 거리이다. 로켓은 머무르는 쌍둥이 쪽으로 발사되어 그 쌍둥이를 더 높은 중력 퍼텐셜에 놓는다. 쌍둥이 간의 먼 거리 때문에, 머무르는 쌍둥이의 시계는 쌍둥이가 경험하는 고유 시간의 차이를 설명할 수 있을 만큼 충분히 빨라 보이는 것이다. 이 속도 증가가 위에서 설명한 동시성 이동을 설명하기에 충분하다.^[40]

8. 시공간 경로 차이에 따른 경과 시간 차이

고유 시간 적분을 통해 시간 차이를 정량화할 수 있다.

시계 ''K''를 "집에 머무는 쌍둥이"와 연관시키고, 시계 K'를 여행을 가는 로켓과 연관시킨다. 출발 시점에 두 시계는 모두 0으로 설정된다.

로켓의 총 누적 고유 시간 Δ''τ''는 좌표 시간 Δ''t''의 적분 함수로 주어진다.

:$\backslash Delta\; \backslash tau\; =\; \backslash int\; \backslash sqrt\{\; 1\; -\; (v(t)/c)^2\; \}\; \backslash \; dt\; \backslash$

여기서 ''v''(''t'')는 시계 ''K''에 따라 ''t''의 함수로 된 시계 K'의 ''좌표 속도''이다.

이 적분은 6단계에 대해 계산할 수 있다:^[42]

:1단계 $:\backslash quad\; c\; /\; a\; \backslash \; \backslash text\{arsinh\}(\; a\; \backslash \; T\_a/c\; )\backslash ,$

:2단계 $:\backslash quad\; T\_c\; \backslash \; \backslash sqrt\{\; 1\; -\; V^2/c^2\; \}$

:3단계 $:\backslash quad\; c\; /\; a\; \backslash \; \backslash text\{arsinh\}(\; a\; \backslash \; T\_a/c\; )\backslash ,$

:4단계 $:\backslash quad\; c\; /\; a\; \backslash \; \backslash text\{arsinh\}(\; a\; \backslash \; T\_a/c\; )\backslash ,$

:5단계 $:\backslash quad\; T\_c\; \backslash \; \backslash sqrt\{\; 1\; -\; V^2/c^2\; \}$

:6단계 $:\backslash quad\; c\; /\; a\; \backslash \; \backslash text\{arsinh\}(\; a\; \backslash \; T\_a/c\; )\backslash ,$

여기서 ''a''는 가속 단계 동안 시계 K'가 느끼는 고유 가속도이며, ''V'', ''a'' 및 ''T''_a 사이에는 다음 관계가 성립한다.

:$V\; =\; a\; \backslash \; T\_a\; /\; \backslash sqrt\{\; 1\; +\; (a\; \backslash \; T\_a/c)^2\; \}$

:$a\; \backslash \; T\_a\; =\; V\; /\; \backslash sqrt\{\; 1\; -\; V^2/c^2\; \}$

따라서 여행하는 시계 K'는 경과 시간을 다음과 같이 나타낸다.

:$\backslash Delta\; \backslash tau\; =\; 2\; T\_c\; \backslash sqrt\{\; 1\; -\; V^2/c^2\; \}\; +\; 4\; c\; /\; a\; \backslash \; \backslash text\{arsinh\}(\; a\; \backslash \; T\_a/c\; )$

이는 다음과 같이 표현할 수 있다.

:$\backslash Delta\; \backslash tau\; =\; 2\; T\_c\; /\; \backslash sqrt\{\; 1\; +\; (a\; \backslash \; T\_a/c)^2\; \}\; +\; 4\; c\; /\; a\; \backslash \; \backslash text\{arsinh\}(\; a\; \backslash \; T\_a/c\; )$

반면 정지 시계 ''K''는 경과 시간을 다음과 같이 나타낸다.

:$\backslash Delta\; t\; =\; 2\; T\_c\; +\; 4\; T\_a\backslash ,$

이는 ''a'', ''T''_a, ''T''_c 및 ''V''의 모든 가능한 값에 대해 시계 K'의 판독값보다 크다.

:$\backslash Delta\; t\; >\; \backslash Delta\; \backslash tau\backslash ,$

표준 고유 시간 공식에서

:$\backslash Delta\; \backslash tau\; =\; \backslash int\_0^\{\backslash Delta\; t\}\; \backslash sqrt\{\; 1\; -\; \backslash left(\backslash frac\{v(t)\}\{c\}\backslash right)^2\; \}\; \backslash \; dt,\; \backslash$

Δ''τ''는 비관성 (이동하는) 관찰자 K'의 시간을 나타내며, 관성 (집에 머무르는) 관찰자 ''K''의 경과 시간 Δ''t''의 함수이며, 관찰자 K'는 시간 ''t''에서 속도 ''v''(''t'')를 갖는다.

비관성 관찰자 K'가 측정한 양만 사용할 수 있는 경우, 관성 관찰자 ''K''의 경과 시간 Δ''t''를 비관성 관찰자 K'의 경과 시간 Δ''τ''의 함수로 계산하려면 다음 공식을 사용할 수 있다:^[43]

:$\backslash Delta\; t^2\; =\; \backslash left[\; \backslash int^\{\backslash Delta\backslash tau\}\_0\; e^\{\backslash int^\{\backslash bar\{\backslash tau\}\}\_0\; a(\backslash tau\text{'})d\; \backslash tau\text{'}\}\; \backslash ,\; d\; \backslash bar\backslash tau\backslash right]\; \backslash ,\backslash left[\backslash int^\{\backslash Delta\; \backslash tau\}\_0\; e^\{-\backslash int^\{\backslash bar\backslash tau\}\_0\; a(\backslash tau\text{'})d\; \backslash tau\text{'}\}\; \backslash ,\; d\; \backslash bar\backslash tau\; \backslash right],\; \backslash$

여기서 ''a(τ)''는 왕복 여행 전체에서 비관성 관찰자 K'가 측정한 (예: 가속도계를 사용하여) 고유 가속도이다. 코시-슈바르츠 부등식을 사용하여 부등식 Δ''t'' > Δ''τ''가 이전 표현에서 따르는 것을 보일 수 있다.

:$\backslash begin\{align\}$

\Delta t^2 & = \left[ \int^{\Delta\tau}_0 e^{\int^{\bar{\tau}}_0 a(\tau')d\tau'} \, d \bar\tau\right] \,\left[\int^{\Delta \tau}_0 e^{-\int^{\bar\tau}_0 a(\tau')d \tau'} \, d \bar\tau \right] \\

& > \left[ \int^{\Delta\tau}_0 e^{\int^{\bar{\tau}}_0 a(\tau')d\tau'} \, e^{-\int^{\bar\tau}_0 a(\tau') \, d \tau'} \, d \bar\tau \right]^2 = \left[ \int^{\Delta\tau}_0 d \bar\tau \right]^2 = \Delta \tau^2.

\end{align}

가속된 관찰자 K'가 초기 속도가 0인 ''K''에서 출발하는 경우, 일반 방정식은 더 간단한 형태로 축소된다.

:$\backslash Delta\; t\; =\; \backslash int^\{\backslash Delta\backslash tau\}\_0\; e^\{\backslash pm\backslash int^\{\backslash bar\{\backslash tau\}\}\_0\; a(\backslash tau\text{'})d\; \backslash tau\text{'}\}\; \backslash ,\; d\; \backslash bar\backslash tau\; ,\; \backslash$

이는 여행자가 일정한 고유 가속도 단계를 갖는 쌍둥이 역설의 ''매끄러운'' 버전에서 순차적으로 ''a'', −''a'', −''a'', ''a''로 제공되며, 결과는^[7]

:$\backslash Delta\; t\; =\; \backslash tfrac\{4\}\{a\}\; \backslash sinh(\; \backslash tfrac\{a\}\{4\}\; \backslash Delta\backslash tau)\; \backslash$

여기서 ''c'' = 1의 관례가 사용되며, 이는 가속도 단계 Δ''t''/4 및 관성 (관성 주행) 단계 0을 갖는 위의 표현식과 일치한다.

9. 우주선에서 경과 시간 계산 방법

Inertial frame of reference^영어 관찰자 K의 경과 시간 Δt를 고유 가속도를 이용하여 계산할 수 있다. 시계 ''K''를 "집에 머무는 쌍둥이"와 연관시키고, 시계 K'를 여행을 가는 로켓과 연관시킨다. 출발 시점에 두 시계 모두 0으로 설정한다.

로켓의 이동은 다음과 같이 6단계로 나눌 수 있다.

시계 ''K''가 관성적(정지) 상태를 유지한다는 것을 알고, 시계 K'의 총 누적 고유 시간 Δ''τ''는 좌표 시간 Δ''t''의 적분 함수로 주어진다.^[42]

:$\backslash Delta\; \backslash tau\; =\; \backslash int\; \backslash sqrt\{\; 1\; -\; (v(t)/c)^2\; \}\; \backslash \; dt\; \backslash$

여기서 ''v''(''t'')는 시계 ''K''에 따라 ''t''의 함수로 된 시계 K'의 ''좌표 속도''이며, 예를 들어 1단계에서 다음과 같이 주어진다.

:$v(t)\; =\; \backslash frac\{a\; t\}\{\; \backslash sqrt\{1+\; \backslash left(\; \backslash frac\{a\; t\}\{c\}\; \backslash right)^2\}\}.$

이 적분은 6단계에 대해 계산할 수 있다.^[42]

여기서 ''a''는 가속 단계 동안 시계 K'가 느끼는 고유 가속도이며, ''V'', ''a'' 및 ''T''_a 사이에는 다음 관계가 성립한다.

:$V\; =\; a\; \backslash \; T\_a\; /\; \backslash sqrt\{\; 1\; +\; (a\; \backslash \; T\_a/c)^2\; \}$

:$a\; \backslash \; T\_a\; =\; V\; /\; \backslash sqrt\{\; 1\; -\; V^2/c^2\; \}$

따라서 여행하는 시계 K'는 경과 시간을 다음과 같이 나타낸다.

:$\backslash Delta\; \backslash tau\; =\; 2\; T\_c\; \backslash sqrt\{\; 1\; -\; V^2/c^2\; \}\; +\; 4\; c\; /\; a\; \backslash \; \backslash text\{arsinh\}(\; a\; \backslash \; T\_a/c\; )$

이는 다음과 같이 표현할 수 있다.

:$\backslash Delta\; \backslash tau\; =\; 2\; T\_c\; /\; \backslash sqrt\{\; 1\; +\; (a\; \backslash \; T\_a/c)^2\; \}\; +\; 4\; c\; /\; a\; \backslash \; \backslash text\{arsinh\}(\; a\; \backslash \; T\_a/c\; )$

반면 정지 시계 ''K''는 경과 시간을 다음과 같이 나타낸다.

:$\backslash Delta\; t\; =\; 2\; T\_c\; +\; 4\; T\_a\backslash ,$

이는 ''a'', ''T''_a, ''T''_c 및 ''V''의 모든 가능한 값에 대해 시계 K'의 판독값보다 크다.

:$\backslash Delta\; t\; >\; \backslash Delta\; \backslash tau\backslash ,$

표준 고유 시간 공식은 다음과 같다.

:$\backslash Delta\; \backslash tau\; =\; \backslash int\_0^\{\backslash Delta\; t\}\; \backslash sqrt\{\; 1\; -\; \backslash left(\backslash frac\{v(t)\}\{c\}\backslash right)^2\; \}\; \backslash \; dt,\; \backslash$

Δ''τ''는 비관성 (이동하는) 관찰자 K'의 시간을 나타내며, 관성 (집에 머무르는) 관찰자 ''K''의 경과 시간 Δ''t''의 함수이며, 관찰자 K'는 시간 ''t''에서 속도 ''v''(''t'')를 갖는다.

비관성 관찰자 K'가 측정한 양만 사용할 수 있는 경우, 관성 관찰자 ''K''의 경과 시간 Δ''t''를 비관성 관찰자 K'의 경과 시간 Δ''τ''의 함수로 계산하려면 다음 공식을 사용할 수 있다.^[43]

:$\backslash Delta\; t^2\; =\; \backslash left[\; \backslash int^\{\backslash Delta\backslash tau\}\_0\; e^\{\backslash int^\{\backslash bar\{\backslash tau\}\}\_0\; a(\backslash tau\text{'})d\; \backslash tau\text{'}\}\; \backslash ,\; d\; \backslash bar\backslash tau\backslash right]\; \backslash ,\backslash left[\backslash int^\{\backslash Delta\; \backslash tau\}\_0\; e^\{-\backslash int^\{\backslash bar\backslash tau\}\_0\; a(\backslash tau\text{'})d\; \backslash tau\text{'}\}\; \backslash ,\; d\; \backslash bar\backslash tau\; \backslash right],\; \backslash$

여기서 ''a(τ)''는 왕복 여행 전체에서 비관성 관찰자 K'가 측정한 (예: 가속도계를 사용하여) 고유 가속도이다. 코시-슈바르츠 부등식을 사용하면 다음 부등식이 성립함을 보일 수 있다.

:$\backslash begin\{align\}$

\Delta t^2 & = \left[ \int^{\Delta\tau}_0 e^{\int^{\bar{\tau}}_0 a(\tau')d\tau'} \, d \bar\tau\right] \,\left[\int^{\Delta \tau}_0 e^{-\int^{\bar\tau}_0 a(\tau')d \tau'} \, d \bar\tau \right] \\

& > \left[ \int^{\Delta\tau}_0 e^{\int^{\bar{\tau}}_0 a(\tau')d\tau'} \, e^{-\int^{\bar\tau}_0 a(\tau') \, d \tau'} \, d \bar\tau \right]^2 = \left[ \int^{\Delta\tau}_0 d \bar\tau \right]^2 = \Delta \tau^2.

\end{align}

여행자가 왕복 여행 동안 일정한 속도 ''v''를 갖는 표준 경우에 무한 가속도 단계를 모델링하기 위해 디랙 델타 함수를 사용하면, 다음 결과가 생성된다.

:$\backslash Delta\; t\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{1-\backslash tfrac\{v^2\}\{c^2\}\}\}\; \backslash Delta\backslash tau\; .\backslash$

가속된 관찰자 K'가 초기 속도가 0인 ''K''에서 출발하는 경우, 일반 방정식은 더 간단한 형태로 축소된다.

:$\backslash Delta\; t\; =\; \backslash int^\{\backslash Delta\backslash tau\}\_0\; e^\{\backslash pm\backslash int^\{\backslash bar\{\backslash tau\}\}\_0\; a(\backslash tau\text{'})d\; \backslash tau\text{'}\}\; \backslash ,\; d\; \backslash bar\backslash tau\; ,\; \backslash$

이는 여행자가 일정한 고유 가속도 단계를 갖는 쌍둥이 역설의 ''매끄러운'' 버전에서 순차적으로 ''a'', −''a'', −''a'', ''a''로 제공되며, 다음 결과가 나온다.^[7]

:$\backslash Delta\; t\; =\; \backslash tfrac\{4\}\{a\}\; \backslash sinh(\; \backslash tfrac\{a\}\{4\}\; \backslash Delta\backslash tau)\; \backslash$

여기서 ''c'' = 1의 관례가 사용되며, 이는 가속도 단계 및 관성 (관성 주행) 단계를 갖는 위의 표현식과 일치한다.

10. 회전하는 버전

밥과 앨리스는 거대한 천체를 원형 궤도로 공전하는 우주 정거장에 탑승하고 있다. 밥은 우주복을 입고 정거장 밖으로 나간다. 앨리스는 이전처럼 정거장 내부에 남아 계속 궤도를 따라 공전하고, 밥은 로켓 추진 시스템을 사용하여 공전을 멈추고 자신이 있던 자리에서 정지한다. 정거장이 한 바퀴를 돌아 밥에게 돌아오면 그는 앨리스와 재회한다. 앨리스는 밥보다 젊어졌다.^[44] 회전 가속도 외에도 밥은 정지하기 위해 감속한 다음 다시 가속하여 우주 정거장의 궤도 속도에 맞춰야 한다.

11. 절대 기준틀에서의 쌍둥이 역설

알베르트 아인슈타인은 1905년 특수 상대성 이론에 관한 논문에서 두 개의 시계를 A와 B 지점에 놓고, A 지점의 시계를 이동시켜 B 지점에 멈추면 A에서 이동한 시계가 B 지점의 시계보다 늦어진다고 추론했다. 그는 이 결과가 A에서 B까지의 경로가 다각형이거나 원형인 경우에도 적용된다고 말했다.^[16] 1911년, 폴 랑주뱅은 빛의 속도의 99.995%에 해당하는 로렌츠 인자로 여행하는 여행자의 이야기를 통해 "두드러진 예"를 제시했다. 여행자는 자신의 시간으로 1년 동안 발사체에 머물다가 방향을 바꾸는데, 돌아오면 지구에서는 200년이 지났다는 것을 발견하게 된다. 랑주뱅은 신호 속도에 대한 상대론적 효과를 통해 서로 다른 노화 속도를 설명하고, 여행자만 가속을 겪었기 때문에 발생한 비대칭성은 "속도의 모든 변화, 또는 모든 가속에는 절대적인 의미가 있다"는 사실로 설명했다.^[19][20][21]

막스 폰 라우에는 헤르만 민코프스키의 시공간 형식을 사용하여 관성적으로 움직이는 물체의 세계선이 두 사건 사이의 고유 시간을 최대화한다는 것을 증명했다. 또한 비대칭적인 노화는 우주 비행사 쌍둥이는 두 개의 별도의 틀로 이동하는 반면, 지구 쌍둥이는 하나의 틀에 남아 있고, 가속 시간은 관성 좌표계의 시간에 비해 임의로 작게 만들 수 있다는 사실로 설명된다고 썼다.^[22][23][24]

아인슈타인과 랑주뱅은 이러한 결과를 문제라고 생각하지 않았다. 아인슈타인은 그것을 "특이하다"고 불렀고 랑주뱅은 그것을 절대 가속의 결과로 제시했다.^[25] 아인슈타인이나 랑주뱅은 쌍둥이 이야기를 상대론적 물리학의 자기 일관성에 대한 도전으로 보지 않았다. 아인슈타인의 결론은 폴 랑제뱅이 실제적이지만 실험적으로 구별할 수 없는 절대적 기준 틀을 가정하게 만들었다.

1911년, 랑제뱅은 "에테르 내에서의 균일한 이동은 실험적인 의미가 없다. 그러나 이 때문에 에테르의 개념을 포기해야 한다거나, 에테르가 존재하지 않으며 실험적으로 접근할 수 없다고 성급하게 결론내려서는 안 된다. 에테르에 대한 균일한 속도만이 감지될 수 없을 뿐이며, 속도의 변화는... 절대적인 의미를 가진다."라고 썼다.^[45]

1913년, 앙리 푸앵카레는 사후 출판된 ''최후의 에세이''에서 "오늘날 일부 물리학자들은 새로운 관례를 채택하려 한다. 그들이 그렇게 해야만 하는 것은 아니며, 이 새로운 관례가 더 편리하다고 생각할 뿐이다. 그것이 전부이다. 그리고 이러한 의견에 동의하지 않는 사람들은 정당하게 옛것을 유지할 수 있다."라며 자신의 입장을 재확인했다.^[46]

절대적인 기준 틀을 가정하는 푸앵카레와 헨드릭 로렌츠의 상대성 이론에서는 시계 늦어짐이 현실로 간주되기 때문에, 재회한 시계들 사이의 실제적인 시간 차이로 인해 역설이 발생하지 않는다. 이 해석에서, 우주 전체에 정지해 있는 당사자는 최대의 시간 측정 속도를 가지며 수축되지 않은 길이를 가질 것이다. 존 A. 휠러가 "에테르 이론 B(길이 수축 플러스 시간 수축)"라고 부르는 상대성 이론의 그러한 해석은, 관성 기준 틀 전체에서 대칭적인 측정 뒤에 숨겨진 더 깊은 현실을 단순히 무시한 아인슈타인의 해석만큼 큰 지지를 얻지 못했다. 어느 해석이 다른 해석과 구별되는지를 보여주는 물리적 실험은 없다.^[47]

2005년, 로버트 B. 라플린(스탠포드 대학교 물리학 노벨상 수상자)은 공간의 본질에 대해 다음과 같이 썼다: "아인슈타인의 가장 창의적인 작품인 일반 상대성 이론이, 그의 원래 전제[특수 상대성 이론에서]가 그러한 매질이 존재하지 않는다는 것이었음에도 불구하고, 공간을 매질로 개념화하는 것으로 귀결된다는 것은 아이러니하다... '에테르'라는 단어는... 이론 물리학에서 극도로 부정적인 의미를 갖는다. 이는 불행한 일이다... 상대성 이론은 실제로 우주에 스며들어 있는 물질의 존재 여부에 대해 아무것도 말하지 않으며, 그러한 물질은 상대론적 대칭성을 가져야 한다는 것만을 말한다."^[48]

''특수 상대성 이론''(1968)에서 A. P. 프렌치는 "우리는 A의 가속도의 현실과, 그것과 관련된 관성력의 관측 가능성에 호소하고 있음을 주목하라. 만약 고정된 별과 멀리 떨어진 은하들의 틀이 존재하지 않는다면, 쌍둥이 역설...과 같은 효과가 존재할까? 대부분의 물리학자들은 그렇지 않다고 말할 것이다. 우리의 궁극적인 관성 기준 틀의 정의는, 실제로 그것이 광대한 우주의 물질에 대해 0의 가속도를 갖는 틀일 수 있다."라고 썼다.^[49]

12. 오해

알베르트 아인슈타인은 1905년에 발표한 특수 상대성 이론에 관한 논문에서 두 시계에 대해 언급하며, A점의 시계를 B점으로 이동시키면 B점의 시계보다 늦어진다고 설명했다. 그는 이것이 패러독스가 아닌 특수 상대성 이론의 자연스러운 결과라고 생각했다.^[65] 1911년, 아인슈타인은 이 결과를 다시 설명하며, 이동하는 생물은 긴 여행 후에도 거의 변화가 없지만, 정지해 있던 생물은 새로운 세대로 대체되었을 것이라고 말했다.^[66][67]

폴 랑주뱅은 1911년에 로렌츠 인자(광속의 99.995%)로 여행하는 여행자의 예를 들어, 여행자가 1년 후 지구로 돌아오면 2살 더 늙지만 지구에서는 200년이 경과한다고 설명했다. 랑주뱅은 여행자와 지구가 일정한 비율로 신호를 주고받는다는 점을 이용해, 쌍둥이 역설의 도플러 이동 버전을 제시했다. 그는 여행자만 가속을 받았기 때문에 비대칭성이 발생하며, "속도의 변화, 또는 가속에는 절대적인 의미가 있기" 때문에 차이가 발생한다고 설명했다.^[68][69][70]

막스 폰 라우에는 1911년과 1913년에 랑주뱅의 설명을 자세히 설명하며, 헤르만 민코프스키의 시공간 형식론을 사용하여 관성 운동하는 물체의 세계선이 두 사건 간의 고유 경과 시간을 최대화함을 증명했다. 그는 우주 비행사의 쌍둥이가 두 개의 별도 프레임으로 이동하는 반면, 지구의 쌍둥이는 하나의 프레임에 머무르기 때문에 비대칭적 노화가 발생하며, 가속 시간은 관성 운동 시간에 비해 임의로 작게 만들 수 있다고 설명했다.^[71][72][73]

이러한 결과에 대해 아인슈타인과 랑주뱅은 문제 삼지 않았고, 시간차로부터 자기 모순을 구축할 수 없다고 주장했다.^[74]

다음은 상대론과 관련된 역설로, "쌍둥이 역설"로 오해되는 경우이다.

• 로켓을 탄 형이 더 늙기 어렵게 된다(우라시마 효과).
• 형이 탄 로켓이 관성 운동을 할 때, 동생의 시점에서는 형이 더 늙기 어렵게 보이고, 형의 시점에서는 동생이 더 늙기 어렵게 보인다.

13. 구체적인 예시

이제 막 스무 살이 된 쌍둥이 A와 B가 있다고 가정하자. A는 v=0.8c^영어인 속도, 즉 빛의 속도의 80%로 날아가는 우주선을 타고 16광년 떨어진 별로 향하고, B는 지구에 남는다. A가 별에 도착했을 때, B는 20살을 더 먹지만, B가 보았을 때 A의 시계는 12년밖에 흐르지 않는다. A가 다시 지구로 돌아올 때도 마찬가지로, B에게는 20년의 시간이 흐르지만 B가 볼 때는 A가 12년밖에 걸리지 않은 것으로 보인다. 이는 특수 상대성 이론에 따른 당연한 현상이다.^[7]

하지만 A가 정지해 있고 B가 v^영어의 속도로 멀어지는 상황이라고 생각하면, A는 40년이 지나 60살이 되지만 B는 44살이 된다. 반대로 B의 입장에서는 자신이 60살인데 A는 44살밖에 되지 않는다.

결론적으로 B의 입장에서 본 결과만 옳게 된다. 즉, A가 젊은 채로 지구로 귀환한다.^[7]

좀 더 구체적인 예시로, 지구에서 4광년 떨어진 가장 가까운 별까지 v = 0.8c^영어의 속도로 여행하는 우주선을 생각해 보자.^[26][27]

계산을 쉽게 하기 위해, 우주선은 출발 시 아주 짧은 시간에 최대 속도에 도달하고, 왕복 여행의 끝에서 방향 전환도 아주 짧은 시간에 이루어진다고 가정한다.

지구에 있는 관제소에서는 왕복 여행에 지구 시간으로 10년이 걸릴 것으로 예상한다. 즉, 지구에 남아 있는 사람은 우주선이 돌아올 때 10살 더 늙는다. 우주선 시계로 측정된 시간과 여행자들이 늙는 정도는 로렌츠 인자의 역수인 α = 0.6^영어만큼 감소한다. 따라서 여행자들은 돌아올 때 6년만 늙게 된다.

우주선 승무원들은 자신들의 관점에서 지구와 별 사이의 거리가 α d = 0.6 × 4 = 2.4^영어 광년(길이 수축)이라고 생각한다. 여행의 각 절반은 3년이 걸리고, 왕복 여행에는 6년이 걸린다. 즉, 그들은 6년을 늙어 고향에 도착하며, 이는 지구에 있는 사람들의 계산과 일치한다.

지구에 체류하는 사람의 좌표계를 K계, 우주선에 타고 있는 사람의 좌표계를 K'계라고 하고, 지구의 영향에 의한 시간 흐름의 변화는 무시한다고 가정한다.

2000년 1월 1일부터 2006년 1월 1일까지의 여행을 6단계로 나누어 생각해보자.

가속과 감속의 물리 현상의 대칭성으로 인해 1, 3, 4, 6단계에서 우주선에서 느끼는 고유 시간은 같다.

참조

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