아델 환

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 대수적 수체의 경우
  - 2.1.1. 정수 아델 환
  - 2.1.2. 유리 아델 환
- 2.2. 유한체 위의 대수 곡선의 함수체의 경우
3. 성질
4. 이델 군
- 4.1. 이델 유군
5. 역사
6. 응용
참조

1. 개요

아델 환은 전역체의 모든 자리에 대한 완비체의 제한된 곱으로 정의되는 환으로, 대수적 수론과 대수 기하학에서 중요한 역할을 한다. 아델 환은 이델 군, 이델 유군과 같은 관련 구조를 가지며, 유체론, 보형 형식 이론, 랑글란즈 프로그램 등 다양한 분야에 응용된다. 특히, 아르틴 상호 법칙, 테이트의 논문, 리만 제타 함수 연구 등에 기여했으며, 유한체 위의 곡선 연구, 아델적 대수군, 타마가와 수 등과도 관련이 있다.

2. 정의

전역체 $K$의 아델 환은 다음과 같이 정의된다.^[40]

전역체 $K$는 수체 ($\mathbb Q$의 유한 확장) 또는 전역 함수체 ($p$가 소수이고 $r \in \mathbb N$인 $\mathbb{F}_{p^r}(t)$의 유한 확장)를 의미한다.

$K$의 아델 환은 모든 자리 $v$에 대한 완비화 국소체 $K_v$들의 제약된 곱으로 정의된다. 여기서 "제약된 곱"이란, 유한 개의 $v$를 제외한 나머지에 대해서는 $a_v$가 $K_v$의 대수적 정수환에 속해야 함을 의미한다. 즉, 다음 조건을 만족해야 한다.

:$\forall a\in\mathbb A_K\colon\{v\colon v(a_v)>0\}<\aleph_0$

이는 아델 환의 원소 $a = (a_v)$에 대해, 유한 개의 $v$를 제외한 모든 $v$에 대해 $a_v$가 $K_v$의 정수환 $O_v$에 속한다는 것을 뜻한다.

전역체 $K$의 아델 환 $\mathbb{A}_K$는 다음과 같이 정의된다.

:$\mathbb{A}_K:= {\prod_{v < \infty}}^' K_v \times \prod_{v | \infty}K_v.$

여기서,

${\prod_{v < \infty}}^' K_v$는 $K$의 유한 위치(finite place)에 대한 완비체들의 제한된 곱을 나타낸다.
$\prod_{v | \infty}K_v$는 $K$의 무한 위치(infinite place)에 대한 완비체들의 곱을 나타낸다. 무한 위치의 수는 유한하며, 각 완비체는 $\mathbb{R}$ 또는 $\mathbb{C}$이다.

아델 환의 원소는 $K$의 아델이라고 불린다.

$K$에서 $\mathbb{A}_K$로의 자연스러운 대각 임베딩(diagonal embedding)이 존재한다.

:$a \mapsto (a,a,\ldots)$

이때, $K$의 원소 $a$는 거의 모든 $v$에 대해 $a \in O_v^{\times}$를 만족한다. $K$는 대각 임베딩을 통해 $\mathbb{A}_K$의 부분환으로 간주될 수 있으며, $K$의 원소는 $\mathbb{A}_K$의 주 아델(principal adele)이라고 불린다.

$S$를 $K$의 위치(place) 집합이라고 할 때, $K$의 $S$-아델 집합은 다음과 같이 정의된다.

:$\mathbb{A}_{K,S} := {\prod_{v \in S}}^' K_v.$

또한, $\mathbb{A}_K^S := {\prod_{v \notin S}}^' K_v$ 이면, $\mathbb{A}_K=\mathbb{A}_{K,S} \times \mathbb{A}_K^S$가 성립한다.

아델 환의 정의는 전역체의 종류(대수적 수체 또는 유한체 위의 대수 곡선의 함수체)에 따라 조금씩 달라진다. 자세한 내용은 하위 섹션을 참고하라.

2. 1. 대수적 수체의 경우

대수적 수체 $K$의 아델 환은 $K$의 모든 자리 $v$에 대한 완비체 $K_v$들의 제한 곱으로 정의된다. 여기서 "제한 곱"이란, 거의 모든 $v$에 대해 $a_v$가 $K_v$의 정수환 $O_v$에 속하는 원소 $(a_v)$들의 집합을 의미한다.^[40] 즉, 다음과 같다.

:

\mathbb A_K=\prod_v'K_v

$K$가 대수적 수체인 경우, 아델 환은 정수 아델 환으로 나타낼 수 있다.

:

\mathbb A_K=K\otimes_{\mathbb Z}\mathbb A_{\mathbb Z}

예를 들어, 유리 아델 환은 다음과 같다.

:

\mathbb A_{\mathbb Q}=\mathbb R\times\prod_p'\mathbb Q_p

여기서 $\mathbb Q_p$는 p진수체이고, $\prod'$는 제약된 곱을 의미한다. $\mathbb A_{\mathbb Q}$의 원소 $(a_\infty,a_2,a_3,a_5,\dots)$ 가운데, 유한 개를 제외한 나머지는 모두 p진 정수이어야 한다.

아델 환의 단위군은 '''이델 군'''($I_K = \mathbf{A}_{K}^\times$)이며, 이델 군을 부분군 $K^\times \subseteq I_K$으로 나눈 몫을 '''이델 유군'''($C_K\ =\ I_K/K^\times$)이라고 한다. '''정수 아델'''은 $\mathbf{O}_K\ =\ \prod O_\nu \ \subseteq \ \mathbf{A}_K$와 같이 정의되는 부분 링이다.

2. 1. 1. 정수 아델 환

정수환 $\mathbb Z$의 사유한 완비 $\hat{\mathbb Z}$는 다음과 같이 정의된다.

:$\hat{\mathbb Z}\stackrel{\text{def}}=\varprojlim\mathbb Z/n=\prod_p\mathbb Z_p$

여기서 우변(모든 p진 정수환들의 곱)은 중국인의 나머지 정리에 의한 것이다.^[3]

'''정수 아델 환'''(ring of integral adèles^영어) $\mathbb A_{\mathbb Z}$는 다음과 같다.

:$\mathbb A_{\mathbb Z}=\mathbb R\times\hat{\mathbb Z}$

2. 1. 2. 유리 아델 환

유리 아델 환(ring of rational adèles^영어) '''A'''_'''Q'''는 텐서 곱

:

\mathbb{A}_\mathbb{Q} =\mathbb{Q}\otimes_\mathbb Z \mathbb{A}_\mathbb{Z}

으로 정의된다. ('''A'''_'''Z'''가 열린 환이 되는 위상을 넣는다.)^[3]

유리 아델 환은 모든 p진 완비화 '''Q'''_p와 실수 (유리수의 모든 완비화)의 제한 직곱(restricted product)

:

\mathbb{A}_\mathbb{Q} = \mathbb{R} \times {\prod_{p}}' \mathbb{Q}_p

으로 정의할 수 있다. 여기서 제한 직곱은 아델(''a''_∞, ''a''₂, ''a''₃, ''a''₅, …)에 대해 유한 개를 제외한 모든 a_p가 p진 정수가 된다는 것을 의미한다.^[33]

예를 들어, 유리 아델 환은 다음과 같다.

:

\mathbb A_{\mathbb Q}=\mathbb R\times\prod_p'\mathbb Q_p

여기서

\mathbb Q_p

는 p진수체이고,

\prod'

는 제약된 곱을 의미한다.

\mathbb A_{\mathbb Q}

의 원소

(a_\infty,a_2,a_3,a_5,\dots)

가운데, 유한 개를 제외한 나머지는 모두 p진 정수이어야 한다.

2. 2. 유한체 위의 대수 곡선의 함수체의 경우

K

를 유한체

X/\mathbf{F_{\mathit{q}}}

위의 대수 곡선의 함수체라고 하자.

K

의 아델 환은 모든 place

\nu

에 대해

a_\nu

가 부분환

\mathcal{O}_\nu \subset K_\nu

에 속하는 튜플

(a_\nu)

로 구성된 다음과 같은 부분환이다.

:

\mathbf{A}_K\ = \ \prod (K_\nu,\mathcal{O}_\nu)  \ \subseteq  \ \prod K_\nu

여기서 인덱스

\nu

는 전역체

K

의 모든 valuation을 나타내며,

K_\nu

는 해당 valuation에서의 완비화이고,

\mathcal{O}_\nu

는 해당 valuation ring이다.^[2]

유한체 위의 사영 직선의 함수체

K=\mathbf{F}_q(\mathbf{P}^1)=\mathbf{F}_q(t)

를 생각해보자. 그 값들은

X=\mathbf{P}^1

의 점

x

에 해당하며, 이는

\text{Spec}\mathbf{F}_{q}

위의 사상이다.

:

x\ :\ \text{Spec}\mathbf{F}_{q^n}\ \longrightarrow \ \mathbf{P}^1.

예를 들어,

\text{Spec}\mathbf{F}_{q}\ \longrightarrow \ \mathbf{P}^1

의 형태를 갖는 점은

q+1

개 있다. 이 경우

\mathcal{O}_\nu=\widehat{\mathcal{O}}_{X,x}

는

x

에서의 완비화된 구조층의 줄기(즉,

x

의 형식적 근방에서의 함수)이며,

K_\nu=K_{X,x}

는 그 분수체이다. 따라서

:

\mathbf{A}_{\mathbf{F}_q(\mathbf{P}^1)}\ =\ \prod_{x\in X} (\mathcal{K}_{X,x},\widehat{\mathcal{O}}_{X,x}).

이는 유한체 위의 임의의 매끄러운 고유 곡선

X/\mathbf{F_{\mathit{q}}}

의 경우에도 동일하게 적용되며, 제한된 곱은

x \in X

의 모든 점에 대해 수행된다.

3. 성질

수체 $K$ 에 대하여, 아델 환 $\mathbb A_K$ 의 덧셈군은 국소 콤팩트 위상군이다. 이 아벨 군의 폰트랴긴 쌍대군은 스스로와 동형이다.

아델 환 $\mathbb A_K$ 의 가역원들의 군 $\mathbb A_K^\times$ 를 '''이델 군'''(idèle group^영어)이라고 한다.^[40] 이 경우, 부분 공간 위상을 주면 곱셈 연산이 연속적이지 않아 위상군이 될 수 없으므로, 다음과 같은 위상을 준다.^[40] 우선, 아델 환의 곱집합 $\mathbb A\times\mathbb A$ 에 곱공간 위상을 준다. 이델 군 $\mathbb K^\times$ 는 그 속에 다음과 같은 부분 집합을 이룬다.

: $\iota\colon\mathbb A_K^\times\hookrightarrow\mathbb A_K\times\mathbb A_K$

: $\iota\colon x\mapsto(x,x^{-1})$

이 매장에 대하여 부분 공간 위상을 주면, $\mathbb A_K^\times$ 는 위상군을 이룬다.

대역체 $K$ 의 이델 군 $\mathbb A_K^\times$ 의 경우, 가역원군 $K^\times$ 로부터 다음과 같은 군 준동형이 존재한다.

: $i\colon K^\times\to\mathbb A_K^\times$

: $i\colon a\mapsto(a,a,a,\dots)\in\prod_p'K_p^\times$

이 준동형의 상을 '''주 이델'''(principal idèle^영어)이라고 한다.^[40] 이델 군의 주 이델 부분군에 대한 몫군 $C_K$ 를 '''이델 유군'''(idèle class group^영어)이라고 한다.^[40]

아델 환은 "유리수 $\mathbf{Q}$ 에 대한 해석을 수행"하는 기술적인 문제를 해결한다. 고전적인 해결책은 표준적인 거리 완비화 $\mathbf{R}$ 로 이동하여 그곳에서 해석적 기법을 사용하는 것이었다. 그러나 오스트로프스키에 의해 분류된 것처럼, 절댓값은 유클리드 거리 외에도 소수 $p \in \mathbf{Z}$ 마다 하나씩 더 존재한다. 유클리드 절댓값 $|\cdot|_\infty$ 는 다른 많은 절댓값 $|\cdot |_p$ 중 하나일 뿐이지만, 아델 환을 사용하면 모든 평가를 한 번에 이해할 수 있다. 이는 제한된 무한 곱으로 구조가 내장되어 있기 때문에 소수에 대한 정보를 유지하면서 해석적 기법을 사용할 수 있다는 이점이 있다.

아델 환의 목적은 $K$ 의 모든 완비를 한 번에 살펴보는 것이다. 아델 환은 데카르트 곱이 아닌 제한된 곱으로 정의된다. 이에는 두 가지 이유가 있다.

$K$ 의 각 요소에 대해 평가는 거의 모든 자리에서 0이다. 즉, 유한한 수를 제외한 모든 자리에서 0이다. 따라서 전역 체는 제한된 곱에 포함될 수 있다.
제한된 곱은 국소 콤팩트 공간이지만 데카르트 곱은 그렇지 않다. 따라서 조화 해석을 데카르트 곱에 적용할 수 없다. 이는 국소 콤팩트성이 일반적인 군에서의 해석에 중요한 도구인 하르 측도의 존재(및 유일성)를 보장하기 때문이다.

:'''정리.'''^[10] 모든 위치 집합

S

에 대해,

\mathbb{A}_{K,S}

는 국소적으로 콤팩트한 위상환이다.

'''참고.''' 위 결과는

K

위의 벡터 공간과 대수의 아델 환에도 적용된다.

:'''정리.'''^[11]

K

는

\mathbb{A}_K

에서 이산적이고 코콤팩트하다. 특히,

K

는

\mathbb{A}_K

에서 닫혀있다.

:'''정리.''' 아델 환은 ''자기 쌍대''이다:

\mathbb{A}_K\cong \widehat{\mathbb{A}_K}.

아델 환은 위에 정의된 위상에 관해 국소 콤팩트하고 완비한 군이다. 이 군은 그 지표군과 위상군으로서 동형이라는 의미에서 자기 쌍대이다. 아델 환은 수체나 함수체를 이산적인 여콤팩트 부분군으로 가지고 있다. 마찬가지로, 이데알이라고 불리는 아델의 곱셈군도, 아래에 정의된 위상에 관해 국소 콤팩트하다.

4. 이델 군

아델 환 $\mathbb A_K$의 가역원들의 군 $\mathbb A_K^\times$를 '''이델 군'''(idèle群, idèle group^영어)이라고 한다.^[40] 이델 군에는 부분 공간 위상 대신 다른 위상을 부여하여 위상군으로 만든다.^[40]

먼저, 아델 환의 곱집합 $\mathbb A_K \times \mathbb A_K$에 곱공간 위상을 부여한다. 이델 군 $\mathbb A_K^\times$는 다음과 같은 부분 집합으로 표현된다.

:$\iota\colon\mathbb A_K^\times\hookrightarrow\mathbb A_K\times\mathbb A_K$

:$\iota\colon x\mapsto(x,x^{-1})$

이 사상 $\iota$에 대해 부분 공간 위상을 부여하면 $\mathbb A_K^\times$는 위상군이 된다.

대역체 $K$의 이델 군 $\mathbb A_K^\times$에는 가역원군 $K^\times$로부터 다음과 같은 군 준동형이 존재한다.

:$i\colon K^\times\to\mathbb A_K^\times$

:$i\colon a\mapsto(a,a,a,\dots)\in\prod_p'K_p^\times$

이 준동형의 상 $i(K^\times)$을 '''주 이델'''(principal idèle^영어)이라고 한다.^[40]

이델 군은 국소 콤팩트하므로, 하르 측도 $d^\times x$가 존재한다.

4. 1. 이델 유군

이델 유군은 국소 콤팩트 위상군이며, 유체론의 중심 대상이다.^[40] 대역체

K

의 이델 유군은

C_K := I_K/K^{\times}

로 정의되는데, 여기서

I_K

는 이델 군이고,

K^{\times}

는 주 이델들의 집합이다. 이 군은 아이디얼 유군과 관련이 있으며, 유체론에서 중요한 역할을 한다.

대역 아르틴 준동형은 이델 유군에서 전역체의 최대 아벨 확대의 갈루아 군으로 가는 군 준동형을 제공한다.^[40] 즉, 다음과 같은 사상이 존재한다.

:

C_K\to\operatorname{Gal}(K^{\operatorname{ab}}/K)

여기서

K^{\operatorname{ab}}

는

K

의 최대 아벨 확대이다. 이를 통해, 다음과 같은 사유한군의 동형이 성립한다.

:

\hat C_K\cong\operatorname{Gal}(K^{\operatorname{ab}}/K)

여기서 좌변은 이델 유군의 사유한 완비이다.

K^\times

는

I_K

에서 닫혀 있으므로,

C_K

는 국소 콤팩트 위상군이자 하우스도르프 공간이다.

또한,

L/K

가 유한 확대일 때, 포함 사상

I_K \to I_L

은 단사 사상

C_K \to C_L

을 유도한다.^[17]

:

\begin{cases}C_K \to C_L\\\alpha K^\times \mapsto \alpha L^\times\end{cases}

5. 역사

"이델"(idèle^프랑스어) 개념은 클로드 슈발레가 1936년에 "아이디얼 원소"(élément idéal|엘레망 이데알^프랑스어)라는 이름으로 도입하였고,^[41] 1940년에 헬무트 하세의 제안으로 idèle|이델^프랑스어로 축약하였다.^[42] 이는 "아이디얼 원소"를 "id.el."로 축약한 것을 그대로 읽은 것이다.^[40]

앙드레 베유는 1938년에 함수체의 아델 환을 정의하였지만 명명하지 않았다.^[43] 이후 존 테이트는 이를 "값매김 벡터"(valuation vector^영어)라고 불렀고,^[44] 클로드 슈발레는 이를 재분배(repartition^영어)라고 불렀다.^[45] "아델"이라는 이름은 1954년에 문헌에 등장하기 시작하며,^[46] 아마 앙드레 베유가 지어낸 것으로 추측된다. "아델"(adèle|아델^프랑스어)은 프랑스어에서 여성 이름이며, "덧셈적 이델"(idèle additif|이델 아디티프^프랑스어)을 줄인 것이다.^[40]

6. 응용

아델 환과 이델 군은 수론의 다양한 분야에서 중요한 역할을 한다.

아델 환은 유리수 ${\displaystyle \mathbf {Q} }$에 대한 해석을 수행하는 기술적인 문제를 해결하기 위해 도입되었다. 오스트로프스키의 정리에 따르면, 유리수에는 유클리드 거리 외에도 소수 ${\displaystyle p\in \mathbf {Z} }$마다 하나씩 무수히 많은 절댓값이 존재한다. 아델 환을 사용하면 모든 절댓값에 대한 정보를 한 번에 다룰 수 있으며, 이는 제한된 무한 곱 구조를 통해 소수에 대한 정보를 유지하면서 해석적 기법을 적용할 수 있게 해준다.^[25]

아델 환의 주요 목적은 체 ${\displaystyle K}$의 모든 완비를 한 번에 살펴보는 것이다. 아델 환은 데카르트 곱이 아닌 제한된 곱으로 정의되는데, 이는 ${\displaystyle K}$의 각 원소에 대한 평가가 유한한 수를 제외한 모든 자리에서 0이고, 국소 컴팩트 공간의 성질을 이용하여 조화 해석을 적용하기 위함이다. 국소 컴팩트성은 하르 측도의 존재와 유일성을 보장하여 해석에 중요한 도구로 사용된다.^[25]

아델은 국소 콤팩트 아벨 군이므로 변환 불변 측도를 가지며, 이데알 군도 마찬가지로 변환 불변 측도를 가져 제타 적분을 정의하는 데 사용된다. 제타 적분은 이와사와 겐키치와 존 테이트에 의해 도입되었으며, 수체나 함수체의 제타 함수의 중요한 성질을 연구하는 데 사용된다. 이 방법은 유수 함수(유리형 함수)의 함수 등식을 아델의 조화 해석과 자기 쌍대성을 통해 간결하게 표현할 수 있게 한다.^[39]

대수군 이론과 결합된 아델 환은 아델적 대수군을 이끌어낸다. 아델 환은 기하학적인 정보를 포함하고 있으며, 앙드레 베유는 이를 통해 곡선 위의 벡터 번들의 동형류를 설명할 수 있음을 보였다.

또한, 아델적 GL(n)의 보형 표현은 랭글랜즈 프로그램에서 중요한 역할을 하며, 체의 갈루아 군의 유한 차원 표현 연구와 유체론의 비가환 확장에 대한 연구로 이어진다.

아델적 선형 대수군의 타마가와 수는 G('''Q''')를 G(A)에 관련시키는 체적 측도로, 단연결 G에 대해 타마가와 수가 항상 1이라는 타마가와 수에 대한 베유의 추측이 있었다. 이 추측은 1988년 로버트 코트위츠, 1989년 V. I. 체르노우소프에 의해 증명되었다. 타마가와 수의 개념은 버치-스윈너턴-다이어 추측과 스펜서 블로흐, 가토 가즈야 등이 연구한 타마가와 수 추측을 통해 아벨 다양체의 수론에 영향을 미치고 있다.

6. 1. 유체론

아르틴 상호 법칙은 전역체

K

에 대해 다음과 같은 관계를 설명한다.^[38]

:

\widehat{C_K} = \widehat{\mathbf{A}_K^\times/K^\times} \ \simeq \ \text{Gal}(K^\text{ab}/K)

여기서

K^{ab}

는

K

의 최대 아벨 대수적 확대를 나타내며,

\widehat{(\dots)}

는 해당 그룹의 프로유한 완성을 의미한다. 즉, 이델 유군과 전역체의 최대 아벨 확대의 갈루아 군 사이의 관계를 설명한다.

이데알류 군은 류체론의 핵심 대상이며, 이는 체의 아벨 확대를 설명한다.^[38] 국소 류수론에서 국소 상호 관계 사상의 곱은 이데알 군에서 전역 체의 최대 아벨 확대의 갈루아 군으로 가는 준동형 사상을 제공한다. 가우스 이차 상호 법칙을 광범위하게 일반화한 아르틴 상호 법칙은 이 곱이 수체의 곱셈군에서 0이 된다고 설명한다. 따라서, 이데알류 군에서 체의 절대 갈루아 군의 아벨 부분으로 가는 전역 상호 관계 사상이 얻어진다.

6. 2. 보형 형식 이론

존 테이트는 그의 논문 "수론적 체에서의 푸리에 해석과 헤케 제타 함수"^[29]에서 아델 환과 이델 군에 대한 푸리에 해석을 사용하여 디리클레 L-함수에 관한 결과를 증명했다. 따라서, 아델 환과 이델 군은 리만 제타 함수 및 보다 일반적인 제타 함수와 L-함수를 연구하는 데 적용되어 왔다. 이러한 함수의 아델 형식은 해당 하르 측도에 따라 아델 환 또는 이데알 군에 대한 적분으로 정의되고 표현될 수 있으며, 함수 방정식과 유수 확장을 보일 수 있다.^[30] 예를 들어,

s \in \C

이고

\Re(s) > 1,

일때,

:

\int_{\widehat{\Z}} |x|^s d^\times x = \zeta(s),

여기서

d^\times x

는

\widehat{\Z}^\times

의 부피가 1이 되도록 정규화되고 유한 아델 환으로 0까지 확장되는

I_{\Q,\text{fin}}

에 대한 고유한 하르 측도이다. 결과적으로, 리만 제타 함수는 아델 환의 (부분 집합)에 대한 적분으로 쓸 수 있다.^[31]

자동형식 이론은 이델 군을 유사한 고차원 군으로 대체하여 테이트의 논문을 일반화한 것이다. 이델군과 1-이데알은 다음과 같이 대체된다.

:

\begin{align}I_{\Q}      &= \operatorname{GL} (1, \mathbb{A}_{\Q}) \\I_{\Q}^1    &= (\operatorname{GL} (1, \mathbb{A}_\Q))^1:=\{x \in \operatorname{GL} (1, \mathbb{A}_\Q): |x|=1\} \\\Q^{\times} &= \operatorname{GL} (1, \Q)\end{align}

위 식별을 기반으로,

:

\begin{align}I_{\Q}   &\leftrightsquigarrow \operatorname{GL} (2, \mathbb{A}_{\Q}) \\I_{\Q}^1 &\leftrightsquigarrow (\operatorname{GL} (2, \mathbb{A}_\Q))^1:=\{x \in \operatorname{GL} (2, \mathbb{A}_\Q): |\det (x) |=1\} \\\Q       &\leftrightsquigarrow \operatorname{GL} (2, \Q)\end{align}

그리고 최종적으로,

:

\Q^{\times} \backslash I_{\Q}^1  \cong \Q^{\times} \backslash I_{\Q} \leftrightsquigarrow (\operatorname{GL} (2, \Q) \backslash (\operatorname{GL} (2, \mathbb{A}_\Q))^1 \cong (\operatorname{GL} (2, \Q)Z_{\R}) \backslash\operatorname{GL} (2, \mathbb{A}_\Q),

여기서

Z_\R

은

\operatorname{GL} (2, \R).

의 중심이다. 그런 다음 자동형식은

L^2((\operatorname{GL} (2, \Q)Z_{\R}) \backslash \operatorname{GL} (2, \mathbb{A}_\Q)).

의 원소로 정의된다. 즉, 자동형식은 특정 대수적 및 해석적 조건을 만족하는

\operatorname{GL} (2, \mathbb{A}_{\Q})

에 대한 함수이다. 자동형식을 연구하려면 군

\operatorname{GL} (2, \mathbb{A}_{\Q}).

의 표현을 아는 것이 중요하며,

\operatorname{GL} (2, \mathbb{A}_{\Q}).

에 대한 적분으로 설명할 수 있는 자동형식 L-함수를 연구하는 것도 가능하다.

더 나아가

\Q

를 수체로,

\operatorname{GL} (2)

를 임의의 환원적 대수적 군으로 대체하여 일반화할 수 있다.

아르틴 상호 법칙의 일반화는

\operatorname{GL} (2, \mathbb{A}_K)

의 표현과

K

의 갈루아 표현 간의 연결을 이끌어낸다 (랑글란즈 프로그램).

6. 3. 대수기하학

유한체 위의 곡선의 함수체 아델의 자기 쌍대성은 리만-로흐 정리와 곡선에 대한 쌍대성 이론을 유도하는 데 사용된다.^[39] 아델 환은 기하학적인 정보를 담고 있으며, 앙드레 베유가 지적한 바와 같이, 이를 통해 벡터 번들의 동형류를 기술할 수 있다.

6. 4. 기타

약한 근사 정리에 따르면, 어떤 전역체 K의 서로 다른 절댓값(비동치 평가) |·|₁, ..., |·|_N에 대해, K의 각 완비화 K_n을 생각할 수 있다.^[27] K를 K₁ × ... × K_N에 대각선으로 임베딩하면, K는 이 곱공간에서 전체 조밀 집합이 된다. 즉, 임의의 ε > 0과 (α₁, ..., α_N) ∈ K₁ × ... × K_N에 대해, 모든 n ∈ {1, ..., N}에서 |α_n - ξ|_n < ε을 만족하는 ξ ∈ K가 존재한다.

강한 근사 정리에 따르면, K의 위치 v₀에 대해, V를 v ≠ v₀인 모든 위치 v에 대한 K_v들의 제한 곱으로 정의하면, K는 V에서 조밀하다.^[28]

전역체는 아델 환에서 이산적이다. 강한 근사 정리는 하나의 위치(또는 그 이상)를 제외하면 K의 이산성이 K의 조밀성으로 바뀐다는 것을 보여준다.

하세-민코프스키 정리에 따르면, 전역체 K 위의 이차 형식은 각 완비화 K_v에서 0이 될 때만 0이 된다.

이는 이차 형식에 대한 하세 원리(지역-전역 원리)이다. 2보다 큰 차수의 다항식에서는 하세 원리가 일반적으로 성립하지 않는다. 하세 원리는 수체 K의 문제를 각 완비화 K_v에서 해결한 후, K에서의 해를 도출하는 아이디어를 담고 있다.

참조

_[1] 논문 Adelic Descent Theory 2017-08
_[2] 서적 18.785 Number theory I Lecture #22 https://math.mit.edu[...] MIT 2015-12-01
_[3] 웹사이트 ring of adeles in nLab https://ncatlab.org/[...]
_[4] 간행물 Geometric Class Field Theory, notes by Tony Feng of a lecture of Bhargav Bhatt https://math.berkele[...]
_[5] 간행물 Weil uniformization theorem, nlab article https://ncatlab.org/[...]
_[6] 논문 Residues of differentials on curves http://archive.numda[...]
_[7] 문서
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